Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa

Vật lí thống kê áp dụng các phương pháp thống kê để giải quyết các bàitoán liên quan đến các hệ chứa một số rất lớn những phần tử, có số bậc tự docao đến mức không thể giải chính xác bằn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

ThS ĐỖ THỊ THU THỦY

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành tốt đề tài này, trước tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâusắc tới các thầy cô trong khoa Vật lí, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đãđộng viên giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài Đặc biệt, em xincảm ơn cô NGUYỄN THỊ HÀ LOAN và cô ĐỖ THỊ THU THỦY đã tạo điềukiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành tốt đề tài khóa luậnnày

Mặc dù đã cố gắng, xong do điều kiện về thời gian và kiến thức có hạnnên những vấn đề trình bày trong đề tài không tránh khỏi những thiếu sót Vìvậy, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và cácbạn trong khoa

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hà

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của côNGUYỄN THỊ HÀ LOAN và cô ĐỖ THỊ THU THỦY cùng với sự cố gắngcủa bản thân em.Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận của em cótham khảo tài liệu của một số tác giả ( đã nêu trong mục tài liệu tham khảo )

Em xin cam đoan rằng những kết quả nghiên cứu trong khóa luận này làtrung thực và không trùng với các đề tài khác Nếu sai em chịu hoàn toàn tráchnhiệm

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hà

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

NỘI DUNG 4

CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4

1.1 Hàm phân bố 4

1.2 Nội năng 9

1.3 Nhiệt độ suy biến 10

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 12

2.1 Biểu diễn tọa độ của dao động tử 12

2.2 Biểu diễn số hạt của dao động tử 17

CHƯƠNG3: NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ 26

3.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa 26

3.2 Nhiệt độ suy biến của dao động tử lượng tử 27

KẾT LUẬN 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

Vật lí thống kê áp dụng các phương pháp thống kê để giải quyết các bàitoán liên quan đến các hệ chứa một số rất lớn những phần tử, có số bậc tự docao đến mức không thể giải chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử, màphải giả thiết các phần tử có tính hỗn loạn và tuân theo các quy luật thống kê.

Vật lí thống kê cổ điển chỉ đúng với hệ hạt vĩ mô, do đó để giải thíchnhiều tính chất của hệ hạt vi mô mà vật lý thống kê cổ điển chưa giải thíchđược, ta sẽ áp dụng các thống kê lượng tử Mô hình lượng tử được áp dụngrộng rãi trong vật lý hiện đại đó là dao động tử Nó được coi là mô hình gầnđúng của các phân tử thực, các nguyên tử thực và của các hạt thực khác Các

mô hình đó được áp dụng cho các hạt tự do cũng như cho các hạt cấu thành hệvật lý

Một trong những tính chất đặc trưng của hệ lượng tử này đó là nhiệt độsuy biến Tính chất này là gì? Và tại sao tính chất này lại được nghiên cứutrong hệ lượng tử? Trong bài viết này em muốn làm sáng tỏ vấn đề đó Vì vậy,

em đã chọn đề tài “NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀUHÒA” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về nhiệt độ suy biến của

dao động tử điều hòa

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về dao động tử điều hòa

- Nghiên cứu nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa và chất rắn

4 Đối tượng nghiên cứu

- Tích phân trạng thái của dao động tử

- Năng lượng trung bình của dao động tử

- Nhiệt độ suy biến của dao động tử

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu của vật lý thống kê

- Phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán

6 Cấu trúc khóa luận

- Đề tài “Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa” có kết cấu gồm

3 phần: mở đầu, nội dung và kết luận

- Phần nội dung được chia làm 3 chương:

CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Hàm phân bố

1.1.1 Phân bố chính tắc lượng tử

1.1.2 Phân bố chính tắc lớn lượng tử

1.1.3 Phân bố Maxwell-Boltzmann lượng tử

1.2 Nội năng của hệ

1.3 Nhiệt độ suy biến

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

2.1 Biểu diễn tọa độ của dao động tử

2.2 Biểu diễn số hạt của dao động tử

CHƯƠNG 3: NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ3.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa

3.2 Nhiệt độ suy biến của dao động tử lượng tử

3.2.1 Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa

3.2.2 Nhiệt độ suy biến của chất rắn

nn  n n

 ˆ  e NˆHˆ

Vì có thể đo được đồng thời năng lượng và số hạt của hệ nên toán tử Hamilton

H 

nN

nN m M nm NM

N E nN

kT

1.1.3 Phân bố Maxwell-Boltzmann lượng tử

Khảo sát hệ các hạt không tương tác Năng lượng của hệ bằng tổng nănglượng của các hạt riêng lẻ :

với năng lượng E bằng :

i Z

Đây chính là phân bố Maxwell-Boltzmann lượng tử

1.2 Nội năng

Mọi hệ nhiệt động đều bao gồm một số rất lớn các hạt Các hạt

này chuyển động và tương tác với nhau

Tổng năng lượng của các hạt này là năng lượng của hệ

Năng lượng toàn phần của hệ bao gồm nội năng và ngoại năng

Nhưng trong nhiệt động lực học, chúng ta không khảo sát chuyển động

của toàn bộ hệ và độ biến thiên thế năng của hệ trong chuyển động đó

Vì vậy, năng lượng của hệ trong nhiệt động lực học chính là nội

năng của hệ Nội năng của hệ bao gồm năng lượng của tất cả các dạng

chuyển động và tương tác của các hạt cấu thành hệ: năng lượng của

chuyển động tịnh tiến, quay và dao động của các nguyên tử phân tử,

năng lượng tương tác phân tử, năng lượng nội nguyên tử của các lớp

chứa đầy electron, năng lượng nội hạt nhân và các năng lượng khác

Nội năng U là một thông số nội và, do đó khi có cân bằng nó phụ thuộc

1.3 Nhiệt độ suy biến

Nhiệt độ suy biến là nhiệt độ mà ở đó, hệ thống các hạt trở thành suybiến (x Suy biến), nghĩa là trạng thái dao động của các hạt bị phá vỡ hay trạngthái vật chất của hệ bị thay đổi

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Ở chương này, em đã tìm hiểu và trình bày về một số khái niệm

cơ bản của Vật lí thống kê Đó là hàm phân bố, nội năng và nhiệt độ suybiến của dao động tử Trên cơ sở đó, em sẽ tìm hiếu kĩ hơn về dao động

tử điều hòa

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 2.1 Biểu diễn tọa độ của dao động tử

Trong Cơ học cổ điển chuyển động một chiều theo trục Ox của một hạt khối lượng m, chịu tác dụng của lực đàn hồi F= -Kx (k là hệ số đàn hồi) được diễn

trong đó E là năng lượng toàn phần

Vận tốc của hạt như một hàm của tọa độ là

dt a2

 ( )  exp

lượng E của dao động tử điều hòa chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn

 1

E  E   n   , n=0,1,2,…

Năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa ứng với n=0

E 0  12

có thể giải thích được trên cơ sở của Vật lý lượng tử

p2 K x2 K 1

E    px  2m 2 m 2

đó dao động tử điều hòa chỉ có thể có năng lượng là bội của năng lượng :

Ta có các hàm chuẩn hóa tương ứng là

2.2 Biểu diễn số hạt của dao động tử

Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm được bằng phương pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức của

Hamiltonian

Hˆ  

2m dx2 Kx2

tử tọa độ và xung lượng chính tắc mới

Việc nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử điều hòa quy về bài toán tìm

các véctơ riêng và trị riêng của Hamiltonian (2.11), trong đó các toán tử aˆ,

thỏa mãn hệ thức giao hoán (2.10) Để làm điều đó ta định nghĩa một toán tửmới như sau

Thật vậy, theo định nghĩa (2.12) và sử dụng hệ thức giao hoán (2.10), ta có:

Nˆ , aˆ  Nˆaˆ  aˆNˆ  aˆaˆaˆ  aˆaˆaˆ  aˆaˆ  aˆaˆ

Kết hợp hai nhận xét trên ta thấy rằng nếu n là một trị riêng của

Nˆ

thì chuỗi

aˆ nmin  0

vì nếu

aˆ

nmin  0 thì đó là véctơ trạng thái ứng với trị riêng n min -1<n min , trái

min min

Nˆ nmin min min n n

So sánh hai phương trình trên ta đi đến nhận xét ba

Trị riêng nhỏ nhất của toán tử

Nˆ

Toán tử

Nˆ

có các trị riêng nguyên không âm cách nhau một đơn vị được đoán

do đó được đoán nhận là toán tử sinh năng lượng.

hạt,

dao động tử điều hòa

Trong Cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thểcoi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng Khái niệm “hạt” đưa vào đây chỉ để cho tiện, thực chất đó chỉ là “giả hạt”, một khái niệm quantrọng và hữu hiệu khi nghiên cứu các trạng thái kích thích trong Vật lý các môitrường đông đặc

 n n 1 n 1  n

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Để nghiên cứu về hệ dao động tử điều hòa, ta có hai cách biểu diễn đó là biểudiễn tọa độ và biểu diễn số hạt Trong biểu diễn số hạt, ta biết thêm về khái niệm sinh và huỷ hạt nhờ đó ta đưa ra được công thức tính năng lượng đơn giản hơn biểu diễn tọa độ

tương ứng với các dao động “không” mà ta không thể trừ bỏ được bằng cách

hạ nhiệt độ Nói khác đi, do có xuất hiện năng lượng “không” nên dao động tửtrong cơ học lượng tử không thể ở trạng thái nghỉ

3.2 Nhiệt độ suy biến của dao động tử lượng tử

3.2.1 Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa

Xét tổng trạng thái của các hệ lí tưởng hóa cấu tạo bởi một số rất lớn N các daođộng tử

Ta tìm tổng thống kê (tổng trạng thái) đối với một dao động tử của hệ

Từ công thức (1.7) và (3.1), tổng trạng thái đối với một dao động tử được xácđịnh bằng

1

 

kT

trung bình  sẽ tiến tới h

, tức là năng lượng ở mức thấp nhất

2

t sb

lớn (so với mức thấp nhất) và khi đó dao động tử điều hòa sẽ bị phá vỡ Hệđược cấu tạo từ các dao động tử sẽ phải thay đổi trạng thái (rắn sang lỏng, lỏngsang khí, rắn sang khí)

3.2.2 Nhiệt độ suy biến của chất rắn

Trong mạng tinh thể chất rắn các nguyên tử tương tác với nhau, vì vậy chúng chuyển động như các dao động tử liên kết Mỗi nguyên tử có 3 bậc tự do, vì vậy tập hợp N nguyên tử trong vật rắn là tập hợp 3N dao động tử điều hòa lượng tử liên kết, với 3N tần số khác nhau, kể từ tần số 0 cho tới tần số cực đại

Hệ 3N dao động tử điều hòa liên kết có thể được thay bằng tập hợp 3N dao



2 32 C

Do sóng âm trong vật rắn bao gồm sóng ngang và sóng dọc với vận tốc truyềnkhác nhau; mặt khác sóng ngang lại có khả năng phân cực nên ta có thể tính số

Đại lượng C có thứ nguyên như vận tốc truyền sóng.

rắn và mật độ nguyên tử trong môi trường đó

Trên cơ sở (3.4) ta viết được (3.5) dưới dạng:

dN    9 N

D

(3.6)

Như vậy trong vùng nhiệt độ thấp lí thuyết Debye cho kết quả phù hợp rất tốt

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3

Nhiệt độ suy biến là một tính chất quan trọng của hệ dao động tử Do đó, ở chương 3 em đã tìm hiểu, trình bày và tính được phổ năng lượng và nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa Đặc biệt áp dụng tính nhiệt độ suy biến củachất rắn theo quan điểm của Debye

KẾT LUẬN

Với đề tài “ NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA” em

đã hoàn thành cơ bản việc nghiên cứu các vấn đề sau:

- Những khái niệm cơ bản: hàm phân bố, nội năng, nhiệt độ suy biến

- Biểu diễn dao động tử điều hòa

- Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa và áp dụng trong chất rắn

Do vậy, đề tài này có thể bổ sung thêm vào nguồn tài liệu tham khảo cho cácbạn sinh viên trong quá trình tìm hiểu về nhiệt độ suy biến của dao động tử lượng tử trong Vật lý

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hà

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Vũ Thanh Khiết (1983), Vật lý thống kê, NXB Giáo dục

2 Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (2009), Vật lýthống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

3 Bài giảng Vật lí thống kê của các thầy cô ở tổ Vật lí lý thuyết, Khoa Vật líĐHSP Hà Nội 2

4 Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cở sở lý thuyết của vật lí lượng

tử, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

5 Charles Kittel (1970), Sơ yếu Vật lí chất rắn, NXB Khoa học và Kỹ thuật Hànội ( Phạm Duy Hiển và Đặng Mộng Lân dịch)