Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"
Trang 1Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN
đường tròn
Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 2PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2 Đọc lần 2 toàn bộ:
Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí
Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc Hiểu Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4 Thực hiện bài tập lần 1
5 Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1 Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”
4 Thực hiện bài tập lần 2
5 Viết thu hoạch sáng tạo
Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận
2
Trang 3được giải đáp.
Trang 4Đ 5 D ấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của
đờng tròn
bài giảng theo chơng trình chuẩn
1 dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn
Ta đã có các kết quả sau:
Nếu một đờng thẳng và một đờng tròn chỉ có một điểm chung thì đờng thẳng đó là tiếp tuyến của đờng tròn
Nếu khoảng cách từ tâm của một đờng tròn đến đờng thẳng bằng bán kính thì đờng thẳng đó là tiếp tuyến của đờng tròn
Định lí : Nếu một đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đờng thẳng ấy là một tiếp tuyến của đờng tròn.
Ta có minh hoạ:
(d) là tiếp tuyến của (O) tại H (d) OH hoặc viết:
OH )
d (
) d ( H và ) O ( H Nếu
(d) là tiếp tuyến của (O) tại H
Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 110 sgk): Cho ABC, đờng cao AH Chứng minh rằng
đ-ờng thẳng BC là tiếp tuyến của đđ-ờng tròn (A; AH)
Giải Học sinh tự vẽ hình
Ta có ngay:
H (A; AH) va H (BC)
(BC) AH
(BC) là tiếp tuyến của (A; AH) tại H
2 áp dụng
Bài toán: Qua điểm A nằm bên ngoài đờng tròn (O) Hãy dựng tiếp tuyến của
đờng tròn
Cách dựng Hình 75/tr 111 Sgk
Ta lần lợt:
Dựng M là trung điểm của AO
Dựng đờng tròn tâm M bán kính MO, cắt đờng tròn (O) tại B và C
Kẻ các đờng thẳng AB và AC Ta đợc các tiếp tuyến cần dựng
Thí dụ 2: (HĐ 2/tr 111 sgk): Hãy chứng minh cách dựng trên là đúng.
Chứng minh
Với cách dựng trên, ta có:
2
OAB vuông tại B
B (O) va B (AB)
AB OB
AB là tiếp tuyến của (O) tại B
Tơng tự, ta cũng có AC là tiếp tuyến của (O)
4
(d) R
Trang 5 Chú ý: Nh vậy, ta đã biết cách dựng tiếp tuyến của đờng tròn đi qua một điểm
A ở ngoài nó Một yêu cầu ngợc lại là "Hãy dựng đờng tròn nhận
một đờng thẳng làm tiếp tuyến".
Thí dụ 3: (Bài 22/tr 111 Sgk): Cho đờng thẳng d, điểm A nằm trên đờng
thẳng d, điểm B nằm ngoài đờng thẳng d Hãy dựng đờng tròn (O)
đi qua B và tiếp xúc với đờng thẳng d tại A
Giải Học sinh tự vẽ hình
Ta lần lợt:
Dựng đờng thẳng a qua A và vuông góc với d
Dựng đờng trung trực b của đoạn thẳng AB, b cắt a tại O
Dựng đờng tròn (O; OA)
bài tập lần 1
Bài tập 1: Cho ABC vuông tại A Hãy nêu cách dựng tiếp tuyến với đờng
tròn ngoại tiếp ABC, biết tiếp tuyến đi qua điểm:
Bài tập 2: Cho đờng tròn đờng kính AB Hãy nêu cách dựng tiếp tuyến với
đ-ờng tròn, biết tiếp tuyến song song với AB
Bài tập 3: Cho đờng tròn (O; R) và dây AB = 2a Vẽ một tiếp tuyến song song
với AB, nó cắt các tia OA và OB theo thứ tự tại M và N Tính diện tích MON
Bài tập 4: Cho nửa đờng tròn (O) với đờng kính AB Từ A và B kẻ hai tiếp
tuyến Ax và By Qua một điểm M thuộc nửa đờng tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lợt ở C và D Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau ở N Chứng minh rằng:
Bài tập 5: Cho ABC có AB = 3, BC = 5, CA = 4 Vẽ đờng tròn (B; AB)
Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đờng tròn
Bài tập 6: Cho ABC cân tại A nội tiếp đờng tròn tâm O Vẽ hình bình hành
ABCD Tiếp tuyến tại C của đờng tròn cắt đờng thẳng AD tại N Chứng minh rằng:
a Đờng thẳng AD là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
b Ba đờng thẳng AC, BD và ON cùng đi qua một điểm
Bài tập 7: Cho đờng tròn (O), dây AB khác đờng kính Qua O kẻ đờng vuông
góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn ở điểm C
a Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn
b Cho bán kính của đờng tròn bằng 15cm, AB = 24cm Tính độ dài OC
Bài tập 8: Cho đờng tròn (O), đờng kính AB Vẽ CD vuông góc với OA tại
trung điểm I của OA Các tiếp tuyến với đờng tròn tại C và tại D cắt nhau ở M
a Chứng minh rằng ba điểm M, A, B thẳng hàng
b Tứ giác OCAD là hình gì ?
c Tính CM D
d Chứng minh rằng đờng thẳng MC là tiếp
tuyến của đờng tròn (B, BI)
Bài tập 9: Cho đờng tròn (O; 2cm) và một điểm A chạy trên đờng tròn đó Từ
A vẽ tiếp tuyến xy Trên tia Ax lấy điểm M, trên tia Ay lấy điểm N sao cho AM AN 2 3 cm Tìm quỹ tích các điểm M và N
Bài tập 10: Cho đờng tròn (O; R) Tìm quỹ tích của điểm A mà từ đó kẻ đợc
hai tiếp tuyến AB, AC tới (O; R) sao cho BAC = 600
Trang 6bài giảng nâng cao
A Tóm tắt lí thuyết
1 định nghĩa
Định nghĩa : Một đờng thẳng đợc gọi là một tiếp tuyến của đờng tròn nếu nó chỉ
có một điểm chung với đờng tròn đó.
Nh vậy, ta có:
(d) là tiếp tuyến của (O) (d) (O) = {H}H}
khi đó, ta nói " đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại H ".
2 Các tính chất của tiếp tuyến
Ta có các kết quả sau:
Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vuông góc với bàn kính đi qua tiếp điểm
Nếu một đờng thẳng vuông góc với bán kính tại mút nằm trên đờng tròn thì đờng thẳng đó là một tiếp tuyến của đờng tròn
Ta có minh hoạ:
(d) là tiếp tuyến của (O) tại H (d) OH
hoặc viết:
OH )
d
(
) d ( H và ) O ( H Nếu
(d) là tiếp tuyến của (O) tại H
B phơng pháp giải toán
Dạng toán 1: Dựng tiếp tuyến của đờng tròn
Phơng pháp
Các yêu cầu dựng tiếp tuyến của đờng tròn (O) cho trớc thờng gặp phải một trong ba dạng sau:
Dạng 1: Dựng tiếp tuyến đi qua điểm A cho trớc
Dạng 2: Dựng tiếp tuyến song song với đờng thẳng a cho trớc
Dạng 3: Dựng tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng a cho trớc
Phơng pháp thực hiện các dạng toán trên đợc trình bày trong ba dạng toán sau:
Dạng 1: Từ một điểm A cho trớc, hãy dựng tiếp
tuyến với đờng tròn (O) cho trớc, biết:
a Điểm A nằm trên đờng tròn
b Điểm A nằm ngoài đờng tròn
Phơng pháp dựng
a Vì A nằm trên đờng tròn nên tiếp tuyến là đờng
thẳng qua A và vuông góc với OA
b Ta thực hiện theo bốn phần:
Phân tích: Giả sử đã dựng đợc tiếp tuyến qua A tới đờng tròn (O) và có tiếp điểm
là B, ta có:
O
B
A = 900
B thuộc đờng tròn đờng kính AO
B
(d)
(d) R
Trang 7Vậy, B là giao điểm của (O) và đờng tròn đờng kính
AO
Cách dựng: Ta thực hiện:
Dựng đờng tròn đờng kính AO, kí hiệu (AO),
đ-ờng tròn này cắt (O) tại B và B'
Dựng đờng thẳng AB và AB', đó chính là các tiếp
tuyến cần dựng
Chứng minh: Trong đờng tròn (AO) ta có ngay:
O
B
A = 900 AB là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
O
'
B
A = 900 AB' là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình (tức là, qua A luôn kẻ đợc hai tiếp tuyến
tới (O))
Chú ý: Nếu điểm A nằm trong đờng tròn (O) thì qua A không thể kẻ đợc
tiếp tuyến tới đờng tròn (O)
Ví dụ 1: Cho ABC vuông tại A Hãy nêu cách dựng tiếp tuyến với đờng
tròn ngoại tiếp ABC, biết tiếp tuyến đi qua điểm:
Hớng dẫn: Trớc tiên, ta cần chỉ ra đợc tâm O của đờng tròn ngoại tiếp ABC và
khi đó:
Tiếp tuyến tại A là đờng thẳng qua A và vông góc với OA.
Tiếp tuyến tại B là đờng thẳng qua B và vông góc với OB.
Giải
Vì ABC vuông tại A nên đờng tròn ngoại tiếp
ABC có tâm O là trung điểm của BC
a Tiếp tuyến qua A là đờng thẳng a qua A và vuông
góc với OA
b Tiếp tuyến qua B là đờng thẳng b qua B và vuông góc
với OB
Dạng 2: Cho đờng tròn (O) và một đờng tròn (d) Dựng tiếp tuyến của đờng tròn sao
cho tiếp tuyến này song song với (d)
Phơng pháp dựng
Phân tích: Giả sử đã dựng đợc tiếp tuyến (t) của đờng
tròn (O) và tiếp tuyến song song với (d), gọi H là tiếp
điểm, ta có:
OH (t) (t)//(d) OH (d)
Vậy, tiếp điểm H là giao điểm của đờng tròn (O) với đờng thẳng qua O vuông góc với (d)
Cách dựng: Ta thực hiện:
Dựng đờng thẳng xOy (d) và cắt (O) tại H
Dựng đờng thẳng (t) qua H và vuông góc với
OH, đó chính là tiếp tuyến cần dựng
Chứng minh: Ta có ngay:
(t) OH và (d) OH (t) // (d)
(t) là tiếp tuyến cần dựng
Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình.
O
B' A
B
I
O
(t)
H (d)
O (t
1)
H1 (d)
(t2)
H2
C B
A
O
b
a
Trang 8Ví dụ 2: Cho đờng tròn đờng kính AB Hãy nêu cách dựng tiếp tuyến với
đ-ờng tròn, biết tiếp tuyến song song với AB
Giải
Gọi O là trung điểm của AB, ta thực hiện:
Dựng đờng thẳng d qua O và vuông góc với AB Đờng
thẳng này cắt đờng tròn tại hai điểm H1 và H2
Dựng hai đờng thẳng a, b theo thứ tự đi qua hai điểm
H1, H2 và song song với AB
Khi đó, a, b là hai tiếp tuyến cần dựng
Dạng 3: Cho đờng tròn (O) và một đờng thẳng (d) Dựng tiếp tuyến của đờng tròn
sao cho tiếp tuyến này vuông góc với (d)
Phơng pháp dựng
Phân tích: Giả sử đã dựng đợc tiếp tuyến (t) của đờng tròn (O) và tiếp tuyến vuông
góc với (d), gọi H là tiếp điểm, ta có:
OH (t) ( t ) ( d )
OH // (d)
Vậy, tiếp điểm H là giao điểm của đờng tròn (O) với
đ-ờng thẳng qua O song song với (d)
Cách dựng: Ta thực hiện:
Dựng đờng thẳng xOy // (d) và cắt (O) tại H
Dựng đờng thẳng (t) qua H và vuông góc với
OH, đó chính là tiếp tuyến cần dựng
Chứng minh: Ta có ngay:
(t) OH và (d) // OH (t) (d)
(t) là tiếp tuyến cần dựng
Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình.
Dạng toán 2: Giải bài toán định tính và định lợng
Phơng pháp
1 Với bài toán cho trớc đờng thẳng d là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại H, ta sẽ nhận đợc ngay các kết quả:
(d) OH và OH = R
2 Với bài toán cho trớc AM và AN là hai tiếp tuyến của đờng tròn (O),
ta sẽ nhận đợc ngay các kết quả:
AM OM và AN ON,
AM = AN và MÂO = NÂO
Dựa vào các kết quả trên ta thực hiện các yêu cầu của bài toán
Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O; R) và dây AB = 2a Vẽ một tiếp tuyến song song
với AB, nó cắt các tia OA và OB theo thứ tự tại M và N Tính diện tích MON
Hớng dẫn: Sử dụng tính đồng dạng của hai tam giác hoặc
định lí Talét.
Giải
Gọi H là tiếp điểm và OH cắt AB tại I, ta có:
8
(d)
(t)
( t
1
)
H
1
( d )
( t
2
)
H
B
b
1
H
2
N
M
B A
Trang 9OH MN và OH AB
Trong OAI, ta có:
IA =
2
AB
= a; OI2 = OA2 – IA2 = R2 – a2 OI = 2 2
a
R Vì OAI ~ OMH nên:
HM
IA
= OH
OI HM =
OI
OH IA
=
2
2 a R
R a
MN = 2HM =
2
2 a R
R a 2
Ta có:
SMON =
2
1 OH.MN =
2
1
R
2
2 a R
R a 2
=
2 2 2
a R
R a
Nhận xét:Trong lời giải trên chúng ta đã lựa chọn phơng pháp trình bày
ng-ợc sau suy nghĩ theo kiểu phát sinh yêu cầu, cụ thể ta nghĩ:
Để tính SMON =
2
1
OH.MN cần xác định MN, tức là cần xác định HM (vì MN = 2HM)
HM đợc xác định thông qua sự đồng dạng của OAI và
OMH, từ đó cần xác định IA và OI
IA =
2
1
AB còn OI đợc xác định thông qua OIA
Ví dụ 2: Cho nửa đờng tròn (O) với đờng kính AB Từ A và B kẻ hai tiếp
tuyến Ax và By Qua một điểm M thuộc nửa đờng tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lợt ở C và D Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau ở N Chứng minh rằng:
Hớng dẫn: Ta lần lợt:
Với câu a), sử dụng định lí Ta lét để khẳng định tính song song của hai đờng thẳng.
Với câu b), sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Giải
a Theo tính chất của tiếp tuyến ta có ngay:
DB = DM, AC = MC
Mặt khác, vì Ax // By nên hai tam giác ANC và DNB đồng dạng, suy ra:
AC
DB NA
ND
=
CM
DM MN // AC (định lí Talet đảo)
b Từ kết quả câu a) suy ra
MN // BD
DB
MN CD
CM
CM.DB = CD.MN, đpcm
Nhận xét:Trong lời giải trên:
1. ở câu a) để chứng minh MN // AC, ta suy nghĩ theo điều kiện tơng đơng, tức là giả sử có:
MN // AC
NA
ND = MC
MD MD DB
AC MC
AC
DB , luôn đúng vì Ax // By
O
M
N
y x
Trang 10Do vậy, khi trình bày lời giải chúng ta đã xuất phát từ kết quả DB = DM, AC
= MC cùng với giả thiết Ax//By
2. ở câu b) vẫn với suy nghĩ nh trong a) ta giả sử có:
CM.DB = CD.MN
DB
MN CD
CM
MN // BD // AC
Do vậy, khi trình bày lời giải chúng ta đã xuất phát từ giả thiết Ax // By cùng kết quả thu đợc trong a) để có nhận xét MN // BD
Dạng toán 3: Chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến
của đờng tròn
Phơng pháp
Để chứng minh đờng thẳng d là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R), ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Nếu biết một giao điểm A của d và (O) thì ta đi chứng minh:
OA d
Cách 2: Hạ OA vuông góc với d, ta đi chứng minh OA = R
Ví dụ 1: (Bài 21/tr 111 Sgk): Cho ABC có AB = 3, BC = 5, CA = 4 Vẽ đờng
tròn (B; AB) Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đờng tròn
Hớng dẫn: Sử dụng định lí Pytago để khẳng định ABC vuông tại A.
Giải Học sinh tự vẽ hình
Trong ABC, ta có nhận xét:
AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 = 52 = BC2 ABC vuông tại A
Khi đó, ta có:
A (B; AB) va A (AC)
AB AC
AC là tiếp tuyến của (A; AB) tại A
Ví dụ 2: Cho ABC cân tại A nội tiếp đờng tròn tâm O Vẽ hình bình hành
ABCD Tiếp tuyến tại C của đờng tròn cắt đờng thẳng AD tại N Chứng minh rằng:
a Đờng thẳng AD là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
b Ba đờng thẳng AC, BD và ON cùng đi qua một điểm
Giải
a Vì ABC cân tại A nên OA BC
Vì ABCD là hình bình hành nên:
AD // BC AD OA
AD là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
b Gọi I là giao điểm của AC và BD, suy ra:
I là trung điểm AC
I ON (vì NA, NC đều là tiếp tuyến của (O))
Vậy, ba đờng thẳng AC, BD và ON cùng đi qua điểm I
Nhận xét:
1 Nh vậy, trong ví dụ trên để chứng minh AD là tiếp tuyến của đờng tròn (O), ta chỉ phải đi chứng minh AD OA bởi A thuộc (O)
2 Với yêu cầu ngợc lại " Tìm điều kiện để đờng thẳng d là tiếp tuyến của
đ-ờng tròn (O; R) ", ta cần có:
d(O, d) = R
10
O
C
A
B
N
I
D
Trang 11Ví dụ 3: (Bài 24/tr 111 Sgk): Cho đờng tròn (O), dây AB khác đờng kính.
Qua O kẻ đờng vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đờng
tròn ở điểm C
a Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn
b Cho bán kính của đờng tròn bằng 15cm, AB = 24cm Tính độ
dài OC
Hớng dẫn: Ta lần lợt:
Với câu a), sử dụng kết quả của định lí.
Với câu b), sử dụng định lí Pytago.
Giải Học sinh tự vẽ hình
a Gọi H là giao điểm của OC với AB, suy ra:
HA = HB OAH = OBH (c.c.c) AOH BOH AOC BOC
OAC = OBC (c.g.c) OAC OBC 90 0
B (O) va B (BC)
BC OB
BC là tiếp tuyến của (O) tại B
b Trong OAH vuông tại H, ta có:
OH2 = OA2 HA2
2
2 AB OA
2
2
2 24 15
2
= 81 OH = 9cm
Trong OAC vuông tại A, ta có:
cos AOC
OC
OC cos AOC
OA cos AOH
OA OH OA
OA2
OH
2
24 9
= 64cm
Ví dụ 4: (Tơng tự bài 25/tr 112 Sgk): Cho đờng tròn (O), đờng kính AB Vẽ
CD vuông góc với OA tại trung điểm I của OA Các tiếp tuyến với
đờng tròn tại C và tại D cắt nhau ở M
a Chứng minh rằng ba điểm M, A, B thẳng hàng
b Tứ giác OCAD là hình gì ?
c Tính CM D
d Chứng minh rằng đờng thẳng MC là tiếp
tuyến của đờng tròn (B, BI)
Giải
a Ta có nhận xét:
AB là đờng trung trực của CD (vì nó đi qua trung
điểm I của CD và vuông góc với CD)
MC = MD (tính chất giao điểm của hai tiếp tuyến ) M thuộc đờng trung
trực của CD M thuộc AB
Vậy, ba điểm M, A, B thẳng hàng
b Tứ giác OCAD có hai đờng chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung
điểm mỗi đờng nên nó là hình thoi
c Trong AOC ta có:
OA = OC = CA AOC là tam giác đều A OC = 600
C M O = 900 600 = 300 C M D = 600
d Hạ BK vuông góc với MC, ta có nhận xét:
CA 30
Cˆ
Cˆ1 2 0 là tia phân giác của góc MCD
O
C M
D
K