(Hình học 9 - Chường II: Đường tròn) Bài giảng: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN

tâm tới dây

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách

giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận

được giải đáp.

Đ 3 l iên hệ giữa dây và khoảng cách

từ tâm đến dây

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1 Bài toán

Trong chơng trình toán 7  Tập 2 các em đã đợc biết về mối quan hệ giữa đờng

xiên và hình chiếu và ý tởng đó cũng sẽ đợc sử dụng trong bài học này.

Bài toán: Cho AB, CD là hai dây (khác đờng kính) của đờng tròn (O; R) Gọi

OH, OK theo thứ tự là các kc từ O đến AB, CD Chứng minh rằng:

OH2 + HB2 = OK2 + KD2

 Giải  Sử dụng hình 68/tr 104  Sgk

Sử dụng định lí Pytago cho các tam giác OHB và OKD, ta đợc:

Từ (1) và (2) suy ra OH2 + HB2 = OK2 + KD2

 Chú ý: Kết luận của bài toán trên vẫn đúng nếu một dây là đờng kính

hoặc hai dây là đờng kính

2 liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 105  sgk): Sử dụng kết quả trong bài toán ở mục 1 để

chứng minh rằng:

 Giải

Từ kết quả của bài toán trong mục 1, ta có biến đổi:

OH2 +

2 AB

4 = OK

2 + 2 CD

a Nếu AB = CD thì:

(*)  OH2 +

2 AB

4 = OK

2 + 2 AB

4  OH

2 = OK2  OH = OK

b Nếu OH = OK thì:

(*)  OH2 +

2 AB

4 = OH

2 + 2 CD

4  AB

2 = CD2  AB = CD

Nh vậy là có kết quả:

Định lí 1: Trong một đờng tròn:

a Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

b Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Thí dụ 2: (HĐ 2/tr 105  sgk): Sử dụng kết quả trong bài toán ở mục 1 để so

sánh độ dài:

a OH và OK, nếu biết AB > CD

O

C

D

h

l

h

l

b AB và CD, nếu biết OH < OK.

 Giải

Từ kết quả của bài toán trong mục 1, ta có biến đổi:

OH2 +

2 AB

4 = OK

2 + 2 CD

a Nếu AB > CD thì:

(*)  OH2 < OK2  OH < OK

b Nếu OH < OK thì:

(*) 

2 AB

4 >

2 CD

4  AB

2 > CD2  AB > CD

Nh vậy là có kết quả:

Định lí 2: Trong hai dây của một đờng tròn:

a Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

b Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

 Chú ý:Kết quả trong định lí 1 và định lí 2 vẫn đúng với trờng hợp hai

đ-ờng tròn có bán kính bằng nhau (gọi là hai đđ-ờng tròn bằng nhau)

và nó tỏ ra rất hiệu quả trong bài toán cực trị

Thí dụ 3: (HĐ 3/tr 105  sgk): Cho ABC, O là giao điểm của các đờng trung

trực của tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh

AB, BC, CA Cho biết OD > OE, OE = OF (h.69/tr 105  Sgk) Hãy

so sánh các độ dài:

 Giải  Sử dụng hìng 69/tr 105  Sgk

Từ giả thiết suy ra đờng tròn (O; OA) là đờng tròn ngoại tiếp ABC và OD,

OE, OF theo thứ tự là khoảng cách từ tâm O tới các dây AB, BC, CA

Ta có:

OD > OE  AB < BC

OE = OF  BC = AC  AB < AC

bài tập lần 1

Bài tập 1: Cho một đờng tròn (O) và điểm P ở bên trong đờng tròn Vẽ dây

AB vuông góc với OP tại P Vẽ dây CD bất kì đi qua P và không vuông góc với OP Hãy so sánh độ dài hai dây AB và CD

Bài tập 2: Cho đờng tròn (O) và hai dây AB, CD bằng nhau, các tia AB và CD

cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đờng tròn Gọi H và K theo thứ

tự là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng:

Bài tập 3: Cho hình 70 trong đó hai đờng tròn cùng có tâm là O Cho biết AB

> CD Hãy so sánh các độ dài:

Bài tập 4: Cho đờng tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm

a Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB

b Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho IA = 1cm Kẻ dây CD qua I

và vuông góc với AB Chứng minh rằng CD = AB

Bài tập 5: Cho đờng tròn (O) và hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với

nhau tại I Giả sử IA = 2a, IB = 2b (a < b)

O

C

D

h

l

h'

l'

a Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây.

b Tính bán kính của đờng tròn (O)

Bài tập 6: Cho đờng tròn (O), dây AB = 2a và khoảng cách từ nó tới tâm bằng

h Gọi I là trung điểm của AB Tia IO cắt đờng tròn tại C

a Chứng minh rằng ABC là tam giác cân

b Tính khoảng cách từ O đến BC

Bài tập 7: Cho đờng tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm Vẽ dây

cung CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm

Tính độ dài dây CD

bài giảng nâng cao

A Tóm tắt lí thuyết

Ta có các kết quả sau:

1 Trong một đờng tròn hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm

2 Trong hai dây không bằng nhau của một đờng tròn dây lớn hơn khi và chỉ

khi nó gần tâm hơn

Cả hai kết quả trên vẫn đúng với trờng hợp hai đờng tròn có bán kính bằng nhau

(gọi là hai đờng tròn bằng nhau) và nó tỏ ra rất hiệu quả trong bài toán cực trị

B phơng pháp giải toán

Ví dụ 1: (Bài 16/tr 106  Sgk): Cho một đờng tròn (O) và điểm P ở bên trong

đờng tròn Vẽ dây AB vuông góc với OP tại P Vẽ dây CD bất kì đi

qua P và không vuông góc với OP Hãy so sánh độ dài hai dây AB

và CD

 Hớng dẫn: Ta thực hiện phép so sánh khoảng cách từ tâm O tới

AB và CD.

 Giải

Hạ OH vuông góc với CD, ta có ngay:

OH  OP, vì trong tam giác vuông cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền

 AB  CD

Ví dụ 2: (Bài 13/tr 106  Sgk): Cho đờng tròn (O) và hai dây AB, CD bằng

nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đờng

tròn Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD Chứng

minh rằng:

 Hớng dẫn: Trớc tiên, để cần vẽ đợc hình đúng với lu ý của giả thiết là "Các tia AB và

CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đờng tròn" Khi đó:

và OKE ta sẽ có đợc kết quả EH = EK.

 Giải  Học sinh tự vẽ hình

Từ giả thiết AB = CD suy ra OH = OK

O

P H C

D

O

C

D

h

l

h

l

O

C

D

h

l

h '

l '

a Trong các tam giác vuông OHE và OKE, ta có:

EH2 = OE2  OH2 = OE2  OK2 = EK2  EH = EK

b Ta có:

EA = EH + AH AB

EH 2

EK 2

  = EK + CK = EC

 Chú ý: Trong ví dụ này điều quan trọng là vẽ đợc đúng hình

Ví dụ 3: (Bài 15/tr 106  Sgk): Cho hình 70 trong đó hai đờng tròn cùng có

tâm là O Cho biết AB > CD Hãy so sánh các độ dài:

 Hớng dẫn: Sử dụng kết quả của định lí 2.

 Giải  Sử dụng hình 70/tr 106  Sgk

a Với giả thiết xét trong đờng tròn nhỏ:

AB > CD  HO < OK

b Từ kết quả câu a) xét trong đờng tròn lớn:

c Biến dổi (*) về dạng:

2MH > 2MK  MH > MK

Ví dụ 4: (Bài 11/tr 104  Sgk): Cho đờng tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB

bằng 8cm

a Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB

b Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho IA = 1cm Kẻ dây CD qua I

và vuông góc với AB Chứng minh rằng CD = AB

 Hớng dẫn: Ta lần lợt:

AB) = OH và độ dài của OH đợc tính dựa vào định lí Pytago cho tam giác vuông OHB.

Từ đó, sử dụng kết quả của định lí 1.

 Giải

a Gọi H là trung điểm của AB, suy ra:

d(O, AB) = OH OB2 HB2

2

2 AB OB

2

 

   

  2

2 8 5 2

 

   

   25 16 3cm. 

b Gọi K là trung điểm của CD, suy ra:

OHIK là hình chữ nhật

 OK = HI = HA  IA AB

IA 2

  = 4  1 = 3cm = OH  CD = AB

 Chú ý:Ví dụ tiếp theo minh hoạ yêu cầu nợc lại của ví dụ 1

Ví dụ 5: Cho đờng tròn (O) và hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với

nhau tại I Giả sử IA = 2a, IB = 2b (a < b)

a Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây

7 O

I C

K

O

I

D C

K

b Tính bán kính của đờng tròn (O).

 Giải

a Hạ OH, OK theo thứ tự vuông góc với AB và CD, ta có:

OH = OK vì AB = CD

HA = HB =

2

b a 2 2

IB AI 2





Tứ giác IHOK có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, ngoài ra có hai cạnh liên tiếp OH và OK bằng nhau nên là hình vuông

Suy ra:

OH = OK = IH = AH – AI = a + b – 2a = b  a

b Trong HOB, ta có:

R2 = OB2 = OH2 + HB2 = (b - a)2 + (a + b)2 = 2(a2 + b2)  R = 2 ( a2 b2) Vậy, ta đợc R = 2 ( a2  b2)

Ví dụ 6: Cho đờng tròn (O), dây AB = 2a và khoảng cách từ nó tới tâm bằng

h Gọi I là trung điểm của AB Tia IO cắt đờng tròn tại C

a Chứng minh rằng ABC là tam giác cân

b Tính khoảng cách từ O đến BC

 Hớng dẫn: Ta lần lợt:

cũng là đờng cao.

dây cần có đợc độ dài của dây đó và ngợc lại"

 Giải

a Ta có:

AI = IB = a  OI  AB

Suy ra ABC có trung tuyến CI là đờng cao nên là tam giác cân

b Hạ OH vuông góc với BC, ta có:

HB = HC =

2

1 BC

Trong OIB, ta có:

OB2 = IO2 + IB2 = h2 + a2  OB = a  2 h 2

Ta có:

IC = IO + OC = IO + OB = h + a  2 h 2

Trong IBC, ta có:

BC2 = IC2 + IB2 = (h + a  2 h 2 )2 + a2 = 2(a2 + h a  2 h 2 + h2)

 BC = 2(a2 h a2 h2 h2)







 HB =

2

1

) h h a h a (

O B

C

A

H

I

Trong OHB, ta có:

OH2 = OB – HB2 = ( 2 2

h

a  )2 – [

2

1

) h h a h a (

= 2

1 (a2 + h a  2 h 2 + h2)

 OH =

2

h h a h

 Nhận xét: Trong lời giải trên:

1 ở câu a) ta chỉ cần sử dụng kết quả "Đờng kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy", từ đó dẫn tới tam giác có trung tuyến là đờng cao, do đó nó là tam giác vuông

2 ở câu b) chúng ta đã lựa chọn phơng pháp trình bày ngợc sau suy nghĩ theo kiểu phát sinh yêu cầu, cụ thể ta nghĩ:

 Để tính OH cần xác định BH và OB

 BH =

2

1

BC và BC đợc xác định thông qua IBC nếu biết OC (tức

là OB)

 OB đợc xác định thông qua OIB

3 Tất nhiên có thể tính OH thông qua sự đồng dạng của hai tam giác vuông là OHC và BIC  Bạn đọc tự làm

Các em học sinh có thể luyện tập bằng việc giải lại ví dụ trên trong trờng hợp a

= 24cm và h = 7cm

Ví dụ 7: (Bài 14/tr 106  Sgk): Cho đờng tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB

bằng 40cm Vẽ dây cung CD song song với AB và có khoảng cách

đến AB bằng 22cm Tính độ dài dây CD

 Hớng dẫn: Sử dụng định lí Pytago để tính khoảng cách từ O tới AB, từ đó suy ra

khoảng cách từ O tới CD và độ dài của CD.

 Giải  Học sinh tự vẽ hình

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD

Trong OEA vuông tại E, ta có:

OE2 = OA2  EA2

2

2 AB OA

2

 

   

 

2

2 40 25

2

 

   

  = 15cm

Trong OFC vuông tại F, ta có:

CF2 = OC2  OF2 = OC2  (EF  OE)2 = 252  (22  15)2 = 576

 CD = 2CF 2 576

bài tập lần 2

Bài 1: Cho đờng tròn (O) và hai dây AB, AC sao cho AB < AC và tâm O nằm trong góc ABC Chứng minh rằng OÂB > OÂC

Bài 2: Cho đờng tròn (O, R) Tìm quỹ tích trung điểm M của các dây AB sao cho

B

O

A = 600

Bài 3: Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở bên trong đờng tròn đó (A  O) Dựng hình thoi ABCD sao cho B, C, D nằm trên đờng tròn (O)

Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 500.000đ.

1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

Lấ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhỏnh NHN0 & PTNT Tõy Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giỏo ỏn điện tử qua email.

LUễN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY