(Hình học 9 - Chường II: Đường tròn) Bài giảng: Đường kính và dây của đường tròn

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách

giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận

được giải đáp

Đ 2 đ ờng kính và dây của đờng tròn

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1 so sánh độ dài của đờng kính và dây

Thí dụ 1: (Bài toán/tr 102  sgk): Gọi AB là dây cung bất kì của đờng tròn

(O; R) Chứng minh rằng AB  2R

 Giải  Học sinh tự vẽ hình

Ta xét hai trờng hợp:

Trờng hợp 1: Nếu AB là đờng kính thì AB = 2R. (1)

Trờng hợp 2: Nếu AB không là đờng kính thì trong OAB ta có:

Từ (1) và (2) suy ra AB  2R

Nh vậy là có kết quả:

Định lí 1: Đờng kính là dây cung lớn nhất của đờng tròn.

2 quan hệ vuông góc giữa Đờng kính và dây

Thí dụ 2: Đờng tròn (O; R) có đờng kính AB vuông góc với dây CD Chứng

minh rằng AB đi qua trung điểm của CD

 Giải  Học sinh tự vẽ hình

Ta xét hai trờng hợp:

Trờng hợp 1: Nếu CD là đờng kính thì hiển nhiên AB đi qua trung điểm O của

CD

Trờng hợp 2: Nếu CD không là đờng kính thì gọi I là giao điểm của AB và CD,

trong OCD ta có:

OC = OD = R  OCD cân tại O

 OI là đờng cao và đờng trung tuyến  IC = ID, đpcm

Nh vậy là có kết quả:

Định lí 2 : Trong một đờng tròn, đờng kính vuông góc với một dây thì chia dây

ấy ra hai phần bằng nhau (Nói cách khác: Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy).

 Yêu cầu: Tiếp theo, chúng ta đi xét bài toán ngợc lại với câu hỏi "Hãy đa ra

một ví dụ để chứng tỏ rằng đờng kính đi qua trung điểm của một dây có thể không vuông góc với dây ấy".

Thí dụ 3: (HĐ 1/tr 102  sgk): Đờng tròn (O; R) có đờng kính AB đi qua trung

điểm I của dây CD Chứng minh rằng AB vuông góc với CD

 Giải  Học sinh tự vẽ hình

Trong OCD ta có:

OC = OD = R  OCD cân tại O  OI là đờng cao và đờng trung tuyến

 OI  CD  AB  CD, đpcm

Nh vậy là có kết quả:

Định lí 3 : Trong một đờng tròn, đờng kính đi qua trung điểm của một dây

(không qua tâm) thì vuông góc với dây ấy.

Thí dụ 4: (HĐ 2/tr 104  sgk): Cho hình 67 Hãy tính độ dài dây AB, biết OA

= 13cm, AM = BM, OM = 5cm

 Giải  Sử dụng hình 67/tr 104  Sgk

Từ giả thiết AM = BM, suy ra:

OM  AB  OM  AM  OAM vuông tại M

do đó, theo định lí Pytago ta đợc:

AM2 = OA2  OM2 = 132  52 = 144  AM = 12

 AB = 2AM = 2.12 = 24cm

 Chú ý:Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ việc sử dụng kết quả của định lí trên

cho bài toán cực trị

Thí dụ 5: Cho một đờng tròn (O) và điểm P ở bên trong đờng tròn Chứng

minh rằng trong tất cả các dây cung đi qua P thì dây cung vuông

góc với bán kính qua P là dây cung ngắn nhất

 Giải

Gọi AB là dây cung qua P và vuông góc với OP và

CD là dây cung bất kỳ đi qua P

Hạ OH vuông góc với CD, ta có ngay:

OH  OP, vì trong tam giác vuông cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền

 AB  CD  AB là dây cung ngắn nhất

bài tập lần 1

Bài tập 1: Cho ABC, các đờng cao BD và CE Chứng minh rằng:

a Các điểm B, E, D, C thuộc một đờng tròn

b DE < BC

Bài tập 2: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, dây CD không cắt đờng kính AB

Gọi H và K theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ A và B đến

CD Chứng minh rằng CH = DK

Bài tập 3: Cho đờng tròn (O; R) và một dây cung AB = 2a (a < R) Gọi I là

trung điểm của AB Tia OI cắt cung AB tại M Tính độ dài của dây

cung MA

Bài tập 4: Cho đờng tròn (O, R) và hai bán kính OA, OB Trên các bán kính

OA, OB lần lợt lấy các điểm M và N sao cho OM = ON Vẽ dây

CD đi qua M và N (M nằm giữa C và N)

a Chứng minh rằng CM = DN

b Giả sử AOB = 900, hãy tính OM, ON theo R sao cho:

CM = MN = ND

Bài tập 5: Cho đờng tròn (O, R) đờng kính AB Gọi M và N theo thứ tự là

trung điểm của OA và OB Qua M và N lần lợt vẽ các dây CD và

EF song song với nhau (C và E cùng nằm trên một nửa đờng tròn

đ-ờng kính AB)

a Chứng minh tứ giác CDFE là hình chữ nhật

b Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc nhọn là 300, tính diện

tích hình chữ nhật CDFE

Bài tập 6: Cho một đờng tròn (O) và một điểm P khác O ở bên trong đờng

tròn Dựng một dây cung AB đi qua P sao cho PA = PB

O

P H C

D

Bài tập 7: Cho đờng tròn (O; R) Tìm quỹ tích trung điểm M của các dây AB

sao cho AOB = 1200

bài giảng nâng cao

A Tóm tắt lí thuyết

1 so sánh độ dài của đờng kính và dây

Đờng kính là dây cung lớn nhất của đờng tròn

2 quan hệ vuông góc giữa Đờng kính và dây

Ta có các kết quả sau:

 Đờng kính vuông góc với một dây thì chia dây ấy ra hai phần bằng nhau

 Đờng kính đi qua trung điểm của một dây (không qua tâm) thì vuông góc với dây ấy

B phơng pháp giải toán

Dạng toán 2: Giải bái toán định tính và định lợng

Ví dụ 1: (Bài 10/tr 104  Sgk): Cho ABC, các đờng cao BD và CE Chứng

minh rằng:

a Các điểm B, E, D, C thuộc một đờng tròn

b DE < BC

 Hớng dẫn: Ta lần lợt:

 Với câu a), sử dụng tính chất tam giác vuông.

 Với câu b), sử dụng kết quả của định lí 1.

 Giải

a Trong ABC, ta có:

BD  AC  BPCˆ = 900

 D thuộc đờng tròn có đờng kính BC

CE  AB  BMCˆ = 900

 E thuộc đờng tròn có đờng kính BC

Vậy bốn điểm B, D, E, C thuộc đờng tròn có đờng kính BC

b Vì BC là đờng kính còn DE là một dây nên luôn có DE < BC

Ví dụ 2: (Bài 11/tr 104  Sgk): Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, dây CD

không cắt đờng kính AB Gọi H và K theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ A và B đến CD Chứng minh rằng CH = DK

 Hớng dẫn: Kẻ OM vông góc với CD.

 Giải  Học sinh tự vẽ hình

Kẻ OM vuông góc với CD, ta có nhận xét:

MC = MD  Tính chất đờng kính vuông góc với một dây.(1)

OM // AH // BK  OM là đờng trung bình của hình thang ABDC

Trừ theo vế (2) cho (1) ta đợc:

MH  MC = MK  MD  CH = DK, đpcm

E

C

A

B

D O

Ví dụ 3: Cho đờng tròn (O; R) và một dây cung AB = 2a (a < R) Gọi I là

trung điểm của AB Tia OI cắt cung AB tại M Tính độ dài của dây cung MA

 Hớng dẫn: Sử dụng định lí Pytago cho các tam giác vuông tơng ứng.

 Giải

Trong AMI, ta có:

AM2 = AI2 + MI2 = a2 + MI2 (1)

Mặt khác:

MI = OM – OI = R – OI

Trong OAI, ta có:

OI2 = OA2  AI2 = R2  a2  OI = 2 2

a

R 

 MI = R  R  2 a 2 (2)

Thay (2) vào (1), ta đợc:

AM2 = AI2 + MI2 = a2 + (R  R  2 a 2 )2

= a2 + R2 – 2R 2 2

a

R  + R2  a2 = 2R2 – 2R 2 2

a

R 

a R R 2 R

Vậy, độ dài dây cung AM = 2 2 2

a R R 2 R

 Nhận xét:Trong lời giải trên để tính độ dài dây cung AM chúng ta lựa chọn

phơng pháp trình bày theo hớng phát sinh yêu cầu rồi thực hiện yêu cầu này để đạt đợc mục đích cuối cùng là AM, cụ thể:

AM2 = AI2 + MI2 = a2 + MI2  cần xác định MI

MI = OM  OI = R  OI  cần xác định OI

OI đợc xác định dựa vào OAI

Từ đó, thay ngợc lại kết quả để nhận đợc AM

Cách trình bày nh vậy sẽ rất dễ hiểu, tuy nhiên nó lại tỏ ra dài dòng, chính vì lý do này mà các em học sinh hãy lu trử nó trong suy nghĩ còn khi trình bày lời giải thì trình bày theo kiểu ngợc lại, cụ thể:

1 Để tính AM cần xác định MI

2 Để tính MI cần xác định OI

3 OI đợc xác định dựa vào

OAI

Trong OAI, ta có:

OI2 = OA2 AI2 = R2 a2

 OI = R 2  a 2

Suy ra MI = OM  OI = R  R  2 a 2

Trong AMI, ta có:

AM2 = AI2 + MI2

= a2 + (R  R  2 a 2 )2

 AM = 2 R 2  2 R R 2  a 2 Các em học sinh có thể luyện tập bằng việc giải lại ví dụ trên trong trờng hợp

R = 5cm và a = 3cm

O

M I

Ví dụ 4: Cho đờng tròn (O, R) và hai bán kính OA, OB Trên các bán kính

OA, OB lần lợt lấy các điểm M và N sao cho OM = ON Vẽ dây

CD đi qua M và N (M nằm giữa C và N)

a Chứng minh rằng CM = DN

b Giả sử AOB = 900, hãy tính OM, ON theo R sao cho:

CM = MN = ND

 Hớng dẫn: Ta lần lợt:

 Với câu a), sử dụng định lí Talét cùng mối quan hệ giữa vông góc và song song để sử dụng đợc kết quả của định lí 2.

 Với câu b), sử dụng định lí Pytago cho các tam giác vuông tơng ứng.

 Giải

a Hạ OE vuông góc với AB cắt CD tại F

Trong OAB cân tại O, ta có:

OM ON

OA OB  MN // AB  OF  MN và MF = NF.

Ta có nhận xét thêm:

OF  MN  OF  CD  CF = DF

Khi đó:

CM = CF – MF = DF – NF = DN, đpcm

b Đặt MF = x, suy ra:

CF = CM + MF = MN + MF = 3MF = 3x

OF = x, vì OMF vuông cân tại F

Trong OCF, ta có:

OF2 = OC2 – CF2  x2 = R2 – 9x2  10x2 = R2  x = R

10. Khi đó, ta đợc:

ON = OM = OF 2 = R

10. 2 =

R

5 . Vậy, với ON = OM = R

5 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Ví dụ 5: Cho đờng tròn (O, R) đờng kính AB Gọi M và N theo thứ tự là

trung điểm của OA và OB Qua M và N lần lợt vẽ các dây CD và

EF song song với nhau (C và E cùng nằm trên một nửa đờng tròn đ-ờng kính AB)

c Chứng minh tứ giác CDFE là hình chữ nhật

d Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc nhọn là 300, tính diện tích hình chữ nhật CDFE

 Hớng dẫn: Tham khảo ví dụ 4.

 Giải

a Hạ OP vuông góc với CD cắt EF tại Q, suy ra:

CP = DP, tính chất đờng kính vuông góc với dây cung

OQ  EF, vì EF // CD

 EQ = FQ, tính chất đờng kính vuông góc với dây cung

Xét hai tam giác vuông OPM và OQN, ta có:

O

N

E

OM = 1

2OA =

1

2OB = ON MÔP = NÔQ, vì đối đỉnh

do đó:

OPM = OQN (cạnh huyền và góc nhọn)  OP = OQ  CD = EF

Khi đó, tứ giác CDFE có:

CD //EF  CDFE là hình bình hành

Trong hình bình hành CDFE, ta có:

PQ là đờng trung bình  PQ // CE  CD  CE

 CDFE là hình chữ nhật

b Ta có:

Trong OPM vuông tại P, với OMPˆ = 300, suy ra:

OP = 1

2OM =

1

2.

1

2OA =

R

4 .

CE = PQ = 2OP = R

Trong OPC vuông tại P, ta có:

CP = OC2 OP2 = 2 R2

R 16

 = R 15

4 .

CD = 2CP = R 15

Thay (2), (3) vào (1), ta đợc:

SCDFE = R

2 .

R 15

2 =

2

R 15

4 .

Dạng toán 3: Giải bái toán dựng hình

Ví dụ 1: Cho một đờng tròn (O) và một điểm P khác O ở bên trong đờng

tròn Dựng một dây cung AB đi qua P sao cho PA = PB

 Hớng dẫn: Sử dụng kết quả của định lí 3.

 Giải

Phân tích: Giả sử đã dựng đợc dây AB đi qua P sao cho

PA = PB, ta có:

PA = PB  OP  AB

Cách dựng: Dựng đờng thẳng (d) qua P và vuông góc với

OP cắt (O) tại hai điểm A, B

Chứng minh: Vì:

OP  AB  PA = PB

Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình.

 Lu ý: Nếu P  O; bài toán có vô số nghiệm hình.

O

P

C

D

M

F

E

P Q

Dạng toán 4: Giải bái toán quỹ tích

Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O; R) Tìm quỹ tích trung điểm M của các dây AB

sao cho AOB = 1200

 Hớng dẫn: Với AB không đổi thì OM sẽ không đổi Bằng việc tính đợc độ dài của

OM = R 1 ta sẽ nhận đợc kết luận M(O; R 1 ).

 Giải

Phần thuận: Giả sử có điểm M là trung điểm của dây

cung AB sao cho AOB = 1200

Trong OAM, ta có:

M

O

A = 600  OAM = 300

 OM =

2

1

OA =

2

R  M(O;

2

R )

Phần đảo: Lấy một điểm M bất kỳ trên đờng tròn (O;

2

R ), dựng dây cung AB qua M và vuông góc với OM Ta phải chứng minh AOB = 1200

Thật vậy, trong OAM vuông tại M, ta có:

OM =

2

1

OA  OÂM = 300  AOM = 600

 AOB = 2AOM = 1200

Kết luận: Quỹ tích của điểm M là đờng tròn (O;

2

R )

bài tập lần 2

Bài 1: Cho đờng tròn (O, R) đờng kính AB Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm

của OA và OB Qua M và N lần lợt vẽ các dây CD và EF song song với nhau (C và E cùng nằm trên một nửa đờng tròn đờng kính AB)

a Chứng minh tứ giác CDFE là hình chữ nhật

b Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc nhọn là 300, tính diện tích hình chữ nhật CDFE

Bài 2: Cho ABC có ba góc nhọn ở phía ngoài tam giác vẽ các nửa đờng tròn có

đ-ờng kính theo thứ tự là AB và AC Qua A vẽ đđ-ờng thẳng (d) cắt các nửa đđ-ờng tròn trên thứ tự ở E và F Chứng minh rằng

a Nếu (d) song song với BC thì BEFC là hình chữ nhật

b Nếu (d) vuông góc với trung tuyến AM của ABC thì AE = AF

Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 550.000đ.

1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

Lấ HỒNG ĐỨC

O

Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY