Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"
Trang 1Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN
Tính chất đối xứng của đường tròn
Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
1
Trang 2PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2 Đọc lần 2 toàn bộ:
Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí
Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc Hiểu Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4 Thực hiện bài tập lần 1
5 Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1 Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”
4 Thực hiện bài tập lần 2
5 Viết thu hoạch sáng tạo
Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận
được giải đáp
Trang 3chơng II
đ ờng tròn
Chơng này, bao gồm các bài học:
1 Sự xác định đờng tròn Tính chất đối xứng của đờng tròn
2 Đờng kính và dây của đờng tròn
3 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
4 Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn
5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn
6 Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
7 Vị trí tơng đối của hai đờng tròn
Đ 1 s ự xác định đờng tròn
t ính chất đối xứng của đờng tròn
bài giảng theo chơng trình chuẩn
3
Trang 41 nhắc lại về đờng tròn
ở lớp 6, ta đã biết:
Định nghĩa: Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là
hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R
Đờng tròn nh vậy đợc kí hiệu (O; R), trong trờng hợp
không cần chú ý đến bán kính có thể sử dụng kí hiệu (O)
Cho đờng tròn (O; R) và điểm M, ta có:
Nếu OM < R M nằm trong đờng tròn
Nếu OM = R M nằm trên đờng tròn
Nếu OM > R M nằm ngoài đờng tròn
Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 98 sgk): Trong hình 53, điểm H nằm bên ngoài đờng
tròn (O), điểm K nằm bên trong đờng tròn (O) Hãy so sánh số đo của hai góc OKH và OHK
Giải Sử dụng hình 53/tr 98 Sgk
Từ giải thiết:
H nằm ngoài đờng thẳng (O), suy ra OH > R
K nằm trong đờng thẳng (O), suy ra OK < R
Khi đó, trong OHK với:
OK < OH OHK OKH.
Theo định nghĩa một đờng tròn sẽ hoàn toàn đợc xác định
khi biết tâm và bán kính của đờng tròn đó, hoặc khi biết
đoạn thẳng là đờng kính của đờng tròn đó
Thí dụ 2: Hãy xác định tâm O của đờng tròn, biết nó đi
qua điểm A và có bán kính bằng R
Khi đó:
AO = R O(A; R) – Đờng tròn tâm A, bán kính R
Thí dụ 3: (HĐ 2/tr 98 sgk): Cho hai điểm A và B.
a Hãy vẽ một đờng tròn đi qua hai điểm đó
b Có bao nhiêu đờng tròn nh vậy ? Tâm của chúng nằm trên đờng thẳng nào ?
a Ta có một trong các đờng tròn đi qua A và B Hình bên
b Có vô số đờng tròn đi qua hai điểm A và B
Thật vậy, dờng tròn đi qua hai điểm A và B thì:
OA = OB O thuộc trung trực của đoạn thẳng AB
Thí dụ 4: (HĐ 3/tr 98 sgk): Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Hãy vẽ
đ-ờng tròn đi qua ba điểm đó
Ta có nhận xét:
OA = OB O thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AB
OA = OC O thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AC
OB = OC O thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng BC
R
R O A O O
O O A B
R
M
M
Trang 5Vậy, tâm O là giao điểm của ba đờng trung trực của ABC.
Trờng hợp đặc biệt: Nếu ABC vuông thì tâm của của đờng tròn ngoại tiếp
ABC là trung điểm của cạnh huyền
Ta có các kết quả:
Một điểm O cho trớc và một số thực R > 0 cho trớc xác định một đờng tròn (O: R)
Một đoạn thẳng AB cho trớc xác định một đờng tròn đờng kính AB (tâm O
là trung điểm của AB), kí hiệu (O;
2
AB
)
Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định một và chỉ một đờng tròn đi qua
ba điểm đó, kí hiệu (ABC) Đờng tròn này đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp
ABC và ABC gọi là tam giác nội tiếp đờng tròn đó
Thí dụ 5: (Bài 3/tr 100 Sgk): Chứng minh các định lí sau:
a Tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền
b Nếu một tam giác có một cạnh là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông
a Ta biết rằng "Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền" (Kiến thức Hình học Toán 7 Tập 2), do đó với ABC vuông tại A và D là trung điểm BC thì:
1
DA DB DC BC
2
D là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC
b Giả sử đờng tròn đờng kính BC (D là trung điểm BC) ngoại
tiếp ABC, suy ra:
DA = DB = DC 1
2
ABC vuông tại A
Chú ý:Nh vậy, một bài toán đợc đặt ra một cách tự nhiên là "Chứng minh
nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn", để minh hoạ một trong các phơng pháp thực hiện dạng toán này chúng ra đi xét thí
dụ sau:
Thí dụ 6: Cho ABC cân tại A, đờng cao AH = 1cm, BC = 4cm Đờng vuông
góc với AC tại C cắt đờng thẳng AH ở D
a Chứng minh rằng các điểm B, C thuộc đờng tròn đờng kính AD
b Tính độ dài AD
a Xét hai tam giác ADC và ADB, ta có:
AD chung
Â1 = Â2, vì ABC cân nên AH là phân giác
AC = AB, , vì ABC cân tại A
do đó:
5
O C
A
B
O C
A
B
A
B
C
B
D
A
2 1
C
A
B
H
D
1 2
Trang 6ADC = ADB ABD ACDˆ ˆ = 900
B, C thuộc đờng tròn đờng kính AD
b Trong ABD vuông tại D, ta có:
AH.AD = AB2 = AH2 + BH2 AD =
2
AH
4 AH
= 5cm.
Vậy, ta đợc AD = 5cm
Thí dụ 7: (HĐ 4/tr 98 sgk): Cho đờng tròn (O), A là điểm bất kì thuộc đờng
tròn Vẽ A' đối xứng với A qua điểm O (h.56/tr 99 Sgk) Chứng minh rằng điểm A' cũng thuộc đờng tròn (O)
Giải Sử dụng hình 56/tr 99 Sgk
Từ giải thiết, ta có ngay: OA' = OA = R A' (O) theo định nghĩa
Trong trờng hợp này AA' là một đờng kính của (O)
Ta có kết quả:
Đờng tròn là hình có tâm đối xứng Tâm của đờng tròn là tâm đối xứng của đờng tròn đó.
Thí dụ 8: (HĐ 5/tr 98 sgk): Cho đờng tròn (O), AB là đờng kính bất kì và C là
một điểm thuộc đờng tròn Vẽ C' đối xứng với C qua AB (h.57/tr 99 Sgk) Chứng minh rằng điểm C' cũng thuộc đờng tròn (O)
Giải Sử dụng hình 57/tr 99 Sgk
Từ giải thiết, ta có ngay:
OCC’ cân tại O vì có trung tuyến cũng là đờng cao
OC' = OC = R C' (O) theo định nghĩa
Trong trờng hợp này AB là đờng trung trực của CC'
Ta có kết quả:
Đờng tròn là hình có trục đối xứng Bất kì đờng kính nào cũng là trục đối xứng của đờng tròn.
Thí dụ 9: (Bài 6/tr 100 Sgk): Trong các biển thông báo (Bài 6/tr 100 Sgk),
biển nào có tâm đối xứng, biển nào có trục đối xứng ?
a Biển cấm đi ngợc chiều (h.58/tr 100_Sgk)
b Biển cấm ôtô (h.59/tr 100_Sgk)
Giải Sử dụng hình 58, 59/tr 100 Sgk
Ta thấy ngay:
Biển cấm đi ngợc chiều (h.58/tr 100_Sgk) có tâm đối xứng là tâm của đ-ờng tròn
Biển cấm ôtô (h.59/tr 100_Sgk) có trục đối xứng là đờng thẳng đi qua tâm của đờng tròn và vuông góc với ôtô
bài tập lần 1
Bài tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm Chứng minh
rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đờng tròn Tính bán kính của đờng tròn đó
Bài tập 2: Chứng minh rằng qua ba điểm thẳng hàng không thể có một đờng tròn
Trang 7Bài tập 3: Cho ABC đều Gọi M, N, P theo thứ tự là các trung điểm của các
cạnh AB, BC, CA Chứng minh rằng các điểm B, M, P, C thuộc một
đờng tròn
Bài tập 4: Cho ABC và M là trung điểm của BC Hạ MD, ME theo thứ tự
vuông góc với AB và AC Trên tia BD và CE lần lợt lấy các điểm I, K sao cho D là trung điểm của BI, E là trung điểm của CK Chứng minh rằng bốn điểm B, I, K, C cùng nằm trên một đờng tròn
Bài tập 5: Cho đoạn thẳng AB, tìm tập hợp các điểm M sao cho AM B = 900
Bài tập 6: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = R C là một điểm chạy trên
đ-ờng tròn đó Trên tia BC lấy một điểm M sao cho C là trung điểm của BM Tìm quỹ tích của điểm M
Bài tập 7: Đố: Một tấm bìa hình tròn không có dấu vết của tâm Hãy tìm lại
tâm của đờng tròn đó
Bài tập 8: Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm B, C cố định Điểm A di chuyển
trên đờng tròn, D là trung điểm của BC Gọi M là hình chiếu của B trên đờng thẳng AD
a Tìm tập hợp điểm M khi A di chuyển trên (O)
b Tìm vị trí của điểm A trên (O) để BM có độ dài lớn nhất
Bài tập 9: a Hãy dựng một đoạn thẳng AB = 6cm và ba đờng tròn phân biệt
nhận AB làm một dây cung
b Trong tất cả các đờng tròn nhận AB làm một dây cung thì đờng tròn nào có đờng kính nhỏ nhất ? Giải thích tại sao ?
Bài tập 10: Dựng một đờng tròn (O) có bán kính R cho trớc và đi qua hai điểm
A và B cho trớc
Bài tập 11: Cho góc nhọn xAy và hai điểm B, C thuộc tia Ax Dựng đờng tròn
(O) đi qua B và C sao cho tâm O nằm trên tia Ay
Bài tập 12: Dựng một đờng tròn (O) đi qua hai điểm A và B cho trớc và có tâm
ở trên đờng thẳng d cho trớc (A, B không thuộc d)
bài giảng nâng cao
A Tóm tắt lí thuyết
Định nghĩa: Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là
hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R
Đờng tròn nh vậy đợc kí hiệu (O; R), trong trờng hợp
không cần chú ý đến bán kính có thể sử dụng kí hiệu (O)
Cho đờng tròn (O; R) và điểm M, ta có:
Nếu OM < R M nằm trong đờng tròn
Nếu OM = R M nằm trên đờng tròn
Nếu OM > R M nằm ngoài đờng tròn
Theo định nghĩa một đờng tròn sẽ hoàn toàn đợc xác định
khi biết tâm và bán kính, vậy với câu hỏi " Hãy xác định tâm
O của đờng tròn, biết:
a Đờng tròn đi qua điểm A và có bán kính bằng R
7
R
R O A O O
R
M
M
Trang 8Khi đó:
AO = R O(A; R) – Đờng tròn tâm A, bán kính R
b Đờng tròn đi qua hai điểm A và B
Khi đó:
OA = OB
O thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AB
c Đờng tròn đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng
Khi đó:
OA = OB O thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AB
OA = OC O thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AC
OB = OC O thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng BC
Vậy, tâm O là giao điểm của ba đờng trung trực của ABC
Trờng hợp đặc biệt: Nếu ABC vuông thì tâm của của đờng tròn ngoại tiếp
ABC là trung điểm của cạnh huyền
Ta có các kết quả:
Một điểm O cho trớc và một số thực R > 0 cho trớc xác định một đờng tròn (O: R)
Một đoạn thẳng AB cho trớc xác định một đờng tròn đờng kính AB (tâm O
là trung điểm của AB), kí hiệu (O;
2
AB
)
Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định một và chỉ một đờng tròn đi qua
ba điểm đó, kí hiệu (ABC)
Ta có kết quả:
Tâm của đờng tròn là tâm đối xứng của đờng tròn đó
Bất kỳ đờng kính nào cũng là trục đối xứng của đờng tròn
B phơng pháp giải toán
Dạng toán 1: Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một
đ-ờng tròn
Phơng pháp
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa, ta chứng minh các điểm này cùng cách
đều một điểm
Lu ý rằng đờng tròn (O) đi qua hai điểm A, B thì tâm O thuộc
đờng trung trực của đoạn thẳng AB
Cách 2: Sử dụng kết quả "Nếu ABC = 900 thì B thuộc đờng tròn đờng
kính AC".
O O A B
O C
A
B
O C
A
B
A
B
Trang 9Ví dụ 1: (Bài 1/tr 99 Sgk): Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC
= 5cm Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đờng tròn Tính bán kính của đờng tròn đó
Hớng dẫn: Sử dụng hai tam giác vuông với cạnh huyền là AC (hoặc BD), từ đó
suy ra bán kính đờng tròn là 1
AC
2 (hoặc
1 BD
2 ) và độ dài của nó
đ-ợc tính nhờ định lí Pytago.
Giải Học sinh tự vẽ hình
Nhận xét rằng:
ABC vuông tại B nên B thuộc đờng tròn đờng kính AC
ADC vuông tại D nên B thuộc đờng tròn đờng kính AC
Vậy, bốn điểm A, B, C, D thuộc đờng tròn đờng kính AC và:
1
R AC
2
AB BC 2
12 5 2
144 25 2
2
Ví dụ 2: (Chú ý/tr 98 sgk): Chứng minh rằng qua ba điểm thẳng hàng
không thể có một đờng tròn
Hớng dẫn: Sử dụng phơng pháp chứng minh phản chứng, tức giả sử "Tồn tại đờng
tròn đi qua ba điểm thẳng hàng A, B, C” rồi suy ra sự mâu thuẫn bởi hai
đờng thẳng song song thì không thể cắt nhau.
Ta đi chứng minh bằng phản chứng
Giả sử tồn tại đờng tròn (O) đi qua ba điểm thẳng hàng A, B, C Ta có:
A, B (O) OA = OB O thuộc trung trực Ex của AB
B, C (O) OB = OC O thuộc trung trực Fy của BC
Mặt khác, vì A, B, C thẳng hàng nên:
Ex // Fy, điều này mâu thuẫn với (*)
Vậy, qua ba điểm thẳng hàng không thể có một đờng tròn
Chú ý: Từ kết quả "Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định một và chỉ
một đờng tròn đi qua ba điểm đó ", chúng ta có thể khai thác thêm
nh sau:
1 Nếu các điểm A, B, C, D thuộc đờng tròn (O) và A, B, C, E thuộc đờng tròn (O') thì (O) (O'), hay nói cách khác " Năm
điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đờng tròn "
2 Mở rộng hơn "Nếu ta có A, B, C, D thuộc đờng tròn (O1)
và A, B, C, E thuộc đờng tròn (O2) và A, B, C, F thuộc đ-ờng tròn (O3) " thì (O1) (O2) (O3) (O) và (O) là đờng tròn ngoại tiếp DEF
Ví dụ 3: (Bài 2/tr 100 Sgk): Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải
để đợc khẳng định đúng
Giải Sử dụng bẳng tr 100 Sgk
Ta có:
(1) (5); (2) (6); (3) (4)
9
Trang 10Ví dụ 4: Cho ABC đều Gọi M, N, P theo thứ tự là các trung điểm của các
cạnh AB, BC, CA Chứng minh rằng các điểm B, M, P, C thuộc một
đờng tròn
Hớng dẫn: Sử dụng một trong hai cách đã đợc trình bày trong phần phơng pháp
giải toán.
Ta có thể lựa chọn một trong ba cách trình bày sau:
Cách 1: Vì ABC đều nên trung tuyến sẽ là đờng cao, do đó:
CM AB BMCˆ = 900
M thuộc đờng tròn có đờng kính BC
BP AC BPCˆ = 900
P thuộc đờng tròn có đờng kính BC
Vậy bốn điểm B, C, M, P thuộc đờng tròn có đờng kính BC
Cách 2: Ta có:
BMD vuông tại M và có MN là trung tuyến, nên:
BPC vuông tại P và có PN là trung tuyến, nên:
Từ (1), (2) suy ra:
NB = NC = NM = NP B, C, M, P thuộc đờng tròn (N; NB)
Cách 3: Với ABC đều có cạnh bằng a nên NB = NC = a
MN là đờng trung bình nên MN = 1
2AC =
a
PN là đờng trung bình nên PN = 1
2AB =
a
Từ (3), (4), (5) suy ra:
NB = NC = NM = NP = a
2 B, C, M, P thuộc đờng tròn (N;
a
2).
Ví dụ 5: Cho ABC và M là trung điểm của BC Hạ MD, ME theo thứ tự
vuông góc với AB và AC Trên tia BD và CE lần lợt lấy các điểm I, K sao cho D là trung điểm của BI, E là trung điểm của CK Chứng minh rằng bốn điểm B, I, K, C cùng nằm trên một đờng tròn
Hớng dẫn: Tham khảo ví dụ 4.
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:
Cách 1: (Sử dụng định nghĩa) Ta có:
M là trung điểm BC nên MB = MC =
2
1
BC (1)
MD là trung trực của BI nên:
ME là trung trực của CK nên MK = MC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra MB = MC = MI = MK =
2
1
BC
A
B
E D
M
C
A
B
P
N
Trang 11Vậy bốn điểm B, I, K, C cùng nằm trên đờng tròn tâm M, bán kính
2
1
BC
Cách 2: Ta có:
MD là trung trực của BI nên:
MI = MB =
2
1
BC BCI vuông tại I
I thuộc đờng tròn đờng kính BC (4)
ME là trung trực của CK nên:
MK = MC =
2
1
BC BCK vuông tại K
K thuộc đờng tròn đờng kính BC (5) Vậy, bốn điểm B, I, K, C cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC
Nhận xét: Trong lời giải trên, để chứng minh bốn điểm B, I, K, C cùng
thuộc một đờng tròn, ta có thể sử dụng cả hai cách và:
ở cách 1, ta khẳng định điểm M (đã cho sẵn) cách đều bốn
điểm B, I, K, C dựa trên tính chất đờng trung trực
ở cách 2, ta khéo léo chứng minh BIC BKC = 900 dựa trên kết quả "Trong tam giác vuông trung tuyến bằng thuộc cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền và ngợc lại " Tuy nhiên, cách 2 đợc đề xuất thông qua kết quả của cách 1
Dạng toán 2: Quỹ tích điểm là một đờng tròn
Phơng pháp
Với yêu cầu " Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tính chất K ", ta cần trình
bày lời giải gồm ba phần:
Phần thuận: Giả sử có điểm M thoả mãn điều kiện K, ta khéo léo
suy ra rằng M thuộc một đờng tròn (O), thí dụ:
Chứng minh OM = r – không đổi
Chứng minh AMˆB = 900, với O là trung điểm AB
Phần đảo: Lấy M (O) và đi chứng minh rằng M có tính chất K.
Kết luận.
Ví dụ 1: (Bài 7/tr 101 Sgk): Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải
để đợc khẳng định đúng
Hớng dẫn: Sử dụng định nghĩa đờng tròn và hình tròn.
Giải Sử dụng bẳng tr 100 Sgk
Ta có:
(1) (4); (2) (6); (3) (5)
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB, tìm tập hợp các điểm M sao cho AM B = 900
Hớng dẫn: Sử dụng kết quả của định lí trong thí dụ 5.
11
M
A
