Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"
Trang 1Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN
Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
1
Trang 2ôn tập chơng II
A Câu hỏi ôn tập
Câu 1. Thế nào là đờng tròn ngoại tiếp một tam giác ? Nêu cách xác định tâm
của đờng tròn ngoại tiếp tam giác
Trả lời
Đờng tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp ngoại tiếp tam giác đó
Tâm của đờng tròn là giao điểm của hai đờng trung trực
Trờng hợp đặc biệt khi ABC vuông tại A thì tâm O của đờng tròn là trung điểm của BC
Câu 2. Thế nào là đờng tròn nội tiếp một tam giác ? Nêu cách xác định tâm
của đờng tròn nội tiếp tam giác
Trả lời
Đờng tròn tiếp xúc trong với ba cạnh của tam giác đợc gọi là đờng tròn nội tiếp ngoại tiếp tam giác đó
Tâm của đờng tròn là giao điểm của hai đờng phân giác trong
Câu 3. Chỉ rõ tâm đối xứng của đờng tròn, trục đối xứng của đờng tròn
Trả lời
Ta có ngay:
Tâm của đờng tròn là tâm đối xứng của đờng tròn đó
Đờng tròn là hình có trục đối xứng Bất kì đờng kính nào cũng là trục đối xứng của đờng tròn
Câu 4. Chứng minh định lí: Trong các dây của đờng tròn dây lớn nhất là
đ-ờng kính
Trả lời Học sinh tự vẽ hình
Ta phát biểu cụ thể: "Gọi AB là dây cung bất kì của đờng tròn (O; R).
Chứng minh rằng AB 2R"R"
Thật vậy, ta xét hai trờng hợp:
Trờng hợp 1: Nếu AB là đờng kính thì AB = 2R"R. (1)
Trờng hợp 2R": Nếu AB không là đờng kính thì trong OAB ta có:
AB < OA + OB = R + R = 2R"R (2R")
Từ (1) và (2R") suy ra AB 2R"R
Câu 5. Phát biểu các định lí về quan hệ vuông góc giữa đờng kính và dây
Trả lời
Ta có hai định lí (theo thứ tự sgk) sau:
chia dây ấy ra hai phần bằng nhau (Nói cách khác: Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy).
dây (không qua tâm) thì vuông góc với dây ấy.
Câu 6. Phát biểu các định lí về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Trả lời
Ta có hai định lí (theo thứ tự sgk) sau:
Trang 3a Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
a Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
b Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Câu 7. Nêu các vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn ứng với mỗi vị
trí đó, viết hệ thức giữa d (khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng) và R (bán kính của đờng tròn)
Trả lời
Ta có ba vị trí tơng đối giữa đờng thẳng với đờng tròn:
1 Đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau, khi đó d > R
2R" Đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn, khi đó d = R
3 Đờng thẳng cắt đờng tròn, khi đó d < R
Câu 8. Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đờng tròn Phát biểu tính chất của tiếp
tuyến và dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến Phát biểu tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Trả lời
Tiếp tuyến của đờng tròn là đờng thẳng chỉ có một điểm chung với đờng
tròn đó
Định lí: Nếu một đờng thẳng là tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó
vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
góc với bán kính đi qua điểm đó thì đờng thẳng ấy là một tiếp tuyến của
đờng tròn.
Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Tia kẻ từ giao điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
Câu 9. Nêu các vị trí tơng đối của hai đờng tròn ứng với mỗi vị trí đó, viết
hệ thức giữa đoạn nối tâm d với các bán kính R, r
Trả lời
Ta có bảng:
Vị trí tơng đối của hai đờng
tròn (O; R) và (O; r) (R r) Số điểmchung Hệ thức giữa OO'với R và r Hai đờng tròn cắt nhau 2R" R r < OO' < R + r Hai đờng tròn tiếp xúc nhau:
Tiếp xúc trong
Tiếp xúc ngoài
1
OO' = R r > 0 OO' = R + r Hai đờng tròn không giao nhau:
(O) chứa (O')
(O) ngoài nhau (O')
Đặc biệt (O) và (O') đồng tâm
0
OO' < R r OO' > R + r OO' = 0
3
Trang 4Câu 10. Tiếp của hai đờng tròn tiếp xúc nhau có vị trí nh thế nào đối với đờng
nối tâm ? Các giao điểm của hai đờng tròn cắt nhau có vị trí nh thế nào đối với đờng nối tâm ?
Trả lời
Ta thấy:
Nếu hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đờng nối tâm
Nếu hai đờng tròn cắt nhau thì dây chung vuông góc với đờng nối tâm
và bị đờng này chia làm hai phần bằng nhau
B Tóm tắt các kiến thức cần nhớ
các định nghĩa
1 Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R
2R" Tiếp tuyến của đờng tròn là đờng thẳng chỉ có một điểm chung với đờng tròn đó
các định lí
1 a Tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền
b Nếu một tam giác có một cạnh là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông
2R" a Đờng tròn là hình có tâm đối xứng Tâm của đờng tròn là tâm đối xứng của đờng tròn đó
b Đờng tròn là hình có trục đối xứng Bất kì đờng kính nào cũng là trục đối xứng của đờng tròn
3 Đờng kính là dây cung lớn nhất của đờng tròn
4 Trong một đờng tròn:
a Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
b Đờng kính đi qua trung điểm của một dây (không qua tâm) thì vuông góc với dây ấy
5 Trong một đờng tròn:
a Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
b Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn, dây nào gần tâm hơn thì dây
đó lớn hơn
6 a Nếu một đờng thẳng là tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
b Nếu một đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đờng thẳng ấy là một tiếp tuyến của đờng tròn
7 Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì:
a Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
b Tia kẻ từ giao điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
c Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
8 Nếu hai đờng tròn cắt nhau thì đờng nối tâm là trung trực của dây cung
C Bài tập
Trang 5Bài 1: (Bài 41/tr 12R"8 Sgk): Cho đờng tròn (O) có đờng kính BC, dây AD vuông
góc với BC tại H Gọi E, F theo thứ tự là chân đờng vuông góc kẻ từ H đến
AB, AC Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đờng tròn ngoại tiếp tam giác HBE,
HCF
a Hãy xác định vị trí tơng đối của các đờng tròn (I) và (O), (K) và
(O), (I) và (K)
b Tứ giác AEHF là hình gì ? Vì sao ?
c Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC
d Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và
(K)
e Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất
Hớng dẫn: Ta lần lợt:
Với câu a), ta đi chứng minh tứ giác AEHF có ba góc vuông.
Với câu b), sử dụng công thức hình chiếu cho các tam giác vuông có chung đờng cao AH.
Với câu b), ta đi chứng minh IE vông góc với EF và KF vông góc với EF thông qua số đo góc.
Với câu d), sử dụng kết quả câu a) ta đợc EF = AH, do đó
EF lớn nhất khi AH lớn nhất, từ đó suy ra H là trung điểm BC.
Giải
a Ta lần lợt thấy ngay:
Hai đờng tròn (I) và (O) tiếp xúc trong với nhau
Hai đờng tròn (K) và (O) tiếp xúc trong với nhau
Hai đờng tròn (I) và (K) tiếp xúc ngoài với nhau
b Gọi O là trung điểm của BC, trong ABC ta có:
AO là trung tuyến
2
Do đó ABC vuông tại A, tức là góc BAC vuông
Từ giả thiết về chân đờng vuông góc ta các góc AEH và AFH cũng vuông
Do đó tứ giác AEHF là hình chữ nhật
c Sử dụng công thức hình chiếu trong các tam giác vuông HAB và HAC,
ta có:
AE.AB = HA2R" = AF.AC
d Ta có ngay I, K theo thứ tự là trung điểm của BH, CH
Gọi M là giao điểm của AH và EF, ta lần lợt:
Trong HEI cân tại I, ta có IEH IHE.
Trong HME cân tại M, ta có MEH MHE.
Khi đó:
IEH MEH IHE MHE IHA 90 0 IE EF
EF là tiếp tuyến của đờng tròn (I)
Chứng minh tơng tự ta cũng có EF là tiếp tuyến của đờng tròn (K)
Vậy, đờng thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K)
e Từ a) ta đợc EF = AH, do đó:
EF lớn nhất AH lớn nhất AD lớn nhất
AD là đờng kính H là trung điểm BC
5
B
A
C H
D
E
F
K
I M
Trang 6Bài 2: (Bài 42R"/tr 12R"8 Sgk): Cho hai đờng tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A.
Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B (O) , C (O') Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở M Gọi E là giao điểm của OM và AB, F E là giao
điểm của O'M và AC Chứng minh rằng:
a Tứ giác AEMF là hình chữ nhật
b ME.MO = MF.MO'
c OO' là tiếp tuyến của đờng tròn có đờng kính BC
d BC là tiếp tuyến của đờng tròn có đờng kính OO’
Hớng dẫn: Ta lần lợt:
Với câu a), ta đi chứng minh tứ giác AEMF là hình bình hành có một góc vuông.
Với câu b), sử dụng công thức hình chiếu cho các tam giác vuông có chung đờng cao AM.
Giải
a Trong ABC, ta có:
IA = IB Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau với đờng tròn (O)
IA = IC Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau với đờng tròn (O')
Từ đó, suy ra:
IA là trung tuyến và 1
2
ABC vuông tại A BAC 90 0 (1) Tiếp tục, ta có:
0 0
ABC ACB 90 FMC ACB 90
ABC FMC
MF // AB (2R") Chứng minh tơng tự, ta cũng có ME // AC (3)
Từ (1), (2R"), (3) suy ra AEMF là hình chữ nhật
b Sử dụng công thức hình chiếu trong các tam giác vuông MAO và MAO', ta có:
ME.MO = MA2R" = MF.MO'
c Đờng tròn đờng kính BC với tâm M
Ngoài ra:
MA OO' OO' là tiếp tuyến của đờng tròn có đờng kính BC
d Gọi I là trung điểm của OO’, ta đi chứng minh:
IM BC Học sinh tự thực hiện tơng tự bài 2.
Bài 3: (Bài 43/tr 12R"8 Sgk): Hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Gọi
M là trung điểm của OO’ Qua A, kẻ đờng thẳng vuông góc với AM, cắt các đờng tròn (O) và (O’) ở C và D
a Chứng minh rằng AC = AD
b Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua M Chứng minh rằng KB vuông góc với AB
Hớng dẫn: Ta lần lợt:
Với câu a), dễ nhận thấy AC, AD theo thứ tự là hai dây cung của hai đờng tròn (O), (O’), do đó việc chứng minh:
AC = AD
AE = AF, với E, F là trung điểm AC, AD.
O
O' A
C M B
F E
Trang 7Nh vậy, ta cần sử dụng tính chất đờng kính đi qua trung
điểm để khẳng định AM là đờng trung bình của hình thang OEFO'.
Với câu b), sử dụng tính chất đờng trung tuyến trong tam giác để khẳng định ABK vuông tại B.
Giải
a Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC, AD, suy ra:
OE AC và AE = CE; O'F AD và AF = DF
OE // MA // O'F
Khi đó, tứ giác OO'FE có:
OE // O'F OO'FE là hình thang
từ đó AM là đờng trung bình của OO'FE, suy ra:
EA = FA 2R"EA = 2R"FA AC = AD, đpcm
b Trong ABK, ta có:
M là trung điểm AK nên BM là trung tuyến
2
Do đó ABK vuông tại K, tức là KB vuông góc với AB
7
C
O
A
D
M
O'
F
E
K B
