Biến đổi curvelet và hướng ứng dụng cho xử lý ảnh

a Ảnh gốc, b Hình chữ nhật màu đỏ biểu diễn chiều của một quy mô, c Khu vực bên trong của hai hình chữ nhật màu đỏ quy mô của tất cả các chiều 97 Hình 3.33: Sơ đồ của phương pháp được đề

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

ĐẶNG PHAN THU HƯƠNG

BIẾN ĐỔI CURVELET VÀ HƯỚNG ỨNG

DỤNG CHO XỬ LÝ ẢNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ

Hà Nội – 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Đặng Phan Thu Hương

BIẾN ĐỔI CURVELET VÀ HƯỚNG ỨNG DỤNG

CHO XỬ LÝ ẢNH

Ngành: Kỹ thuật điện tử

Mã số: 9520203

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Hà Nội – 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả khoa học được trình bày trong luận án này

là thành quả nghiên cứu của bản thân tôi trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh

và chưa từng xuất hiện trong công bố của các tác giả khác Các kết quả đạt được làchính xác và trung thực

Hà Nội, ngày… tháng….năm 2019

Tác giả luận án

Đặng Phan Thu Hương

Giáo viên hướng dẫn khoa học

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến PGS TS NguyễnThúy Anh và PGS TS Nguyễn Đức Minh đã trực tiếp hướng dẫn, định hướng khoa họctrong quá trình nghiên cứu sinh Thầy và Cô đã dành nhiều thời gian và tâm huyết, hỗ trợ

về mọi mặt để tôi hoàn thành bảnluận án này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, Viện Đào tạo SauĐại học, Viện Điện tử viễn thông, Cơ sở Sơn tây trường Đại học Lao Động Xã Hội, Bộmôn Mạch và Xử lý tín hiệu đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và nghiên cứu Chân thành cảm ơn các cán bộ, giảng viên cũng như các anh chịNCS của Viện Điện tử Viễn thông cùng các đồng nghiệp đã động viên, hỗ trợ và tận tìnhgiúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận án

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thành viên trong gia đình đã luônđộng viên, khích lệ và hy sinh rất nhiều trong thời gian vừa qua Đây chính là động lực tolớn để tác giả vượt qua khó khăn và hoàn thành luận án này

Tác giả luận án

Đặng Phan Thu Hương

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH vi

DANH MỤC BẢNG BIỂU x

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT xi

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU TOÁN HỌC xii

MỞ ĐẦU 1

1 Đặt vấn đề 1

2 Tính cấp thiết của đề tài 2

3 Mục tiêu, đối tượng, phương pháp và phạm vi nghiên cứu 3

3.1 Mục tiêu nghiên cứu 3

3.2 Đối tượng nghiên cứu 3

3.3 Phạm vi nghiên cứu 3

4 Phương pháp, nhiệm vụ nghiên cứu 3

4.1 Phương pháp nghiên cứu 4

4.2 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

5 Các đóng góp khoa học của luận án 5

6 Bố cục của luận án 5

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 7

1.1 Giới thiệu 7

1.2 Biến đổi Wavelet 8

1.2.1 Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) 8

1.2.2 Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform) 11

1.3 Biến đổi wavelet rời rạc và băng lọc 14

1.3.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis) 14

1.3.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc 16

1.3.3 Biểu diễn ma trận DWT 20

1.4 Biến đổi wavelet có hướng 23

1.5 Những tồn tại và định hướng giải quyết 26

1.5.1 Theo tiêu chí tối ưu Minimax 26

1.5.2 Theo phương pháp kết hợp với lọc khuếch tán phi tuyến 27

1.6 Kết luận chương 28

CHƯƠNG 2 BIẾN ĐỔI CURVELET 29

2.1 Giới thiệu 29

2.2 Sự mở rộng tính định hướng trong trường hợp 2 chiều 30

2.2.1 Làm việc với biến đổi wavelet rời rạc lấy mẫu điểm cực (DWT) 32 2.2.2 Làm việc với biến đổi wavelet không phân rã (UWT) 36

2.3 Wavelet footprint 37

2.4 Các wavelet cổ điển và các curvelet 40

2.5 Mối quan hệ của các Curvelet với các Wavelet có hướng khác 41

2.6.Biến đổi Curvelet liên tục trong 2 .

44 2.6.1 Các hàm cửa sổ 44

2.6.2 Hệ thống các hàm Curvelet 47

2.6.3 Định nghĩa của biến đổi Curvelet liên tục 50

2.7 Biến đổi Curvelet nhanh 51

2.8 Ứng dụng 54

2.8.1 Biến dịch chuyển 54

2.8.2 Tính chọn hướng trong xử lý ảnh 59

2.8.3 Biểu diễn biên 60

2.9 Kết luận chương 62

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG 63

3.1.Giới thiệu 63 3.2 Ứng dụng 64

3.2.1 Khử nhiễu ảnh bảo toàn biên sườn bằng phương pháp hỗn hợp Curvelet và khuếch tán phi tuyến 643.2.2 Chống rung ảnh Stereo bằng khuếch tán phi tuyến 703.2.3 Nâng cao chất lượng ảnh Restinal sử dụng biến đổi Curvelet kết hợp lọc khuếch tán phi tuyến và thuật toán tối thiểu Minimax 873.2.4 Khử nhiễu ảnh sử dụng biến đổi Curvelet kết hợp phân đoạn biểu

đồ Histogram 95

3.3 Kết luận chương 101

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 103

TÀI LIỆU THAM KHẢO 105

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH

Hình 1.1: Không gian và các không gian con trong đa phân giải Không gian L 2

biểu diễn toàn bộ không gian V j biểu diễn một không gian con, W j

biểu diễn chi tiết 15 Hình 1.2: Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hóa băng con (a) Quá trình

phân tích (b) Quá trình tổng hợp

Hình 1.3: Phân tích wavelet sử dụng ký hiệu toán tử 19

Hình 1.4: Băng lọc hai kênh 20

Hình 1.5: Sự phân chia của phổ tần số 2 chiều (a) Biến đổi wavelet có tính phân tách, (b) Biến đổi wavelet định hướng đề xuất 24 Hình 2.1: Sự phân chia của phổ tần số 2 chiều (a)Biến đổi wavelet có tính phân tách; (b)Biến đổi wavelet định hướng đề xuất Hình 2.2: Cấu trúc băng lọc DWT 2 – D cho một lớp phân tách Chức năng lọc và giảm mẫu được thể hiện trong một mẫu phân tách F0 và F1 chú thích cho bộ lọc thông thấp và thông cao 1- D, vùng tối thiểu cho băng thông lý tưởng D1=diag(2,1) và D2 =diag(1,2) là ma trận giảm mẫu 2 cửa theo các phương dọc và ngang tương ứng 32 Hình 2.3: (a) vùng tần số cao theo đường chéo của tín hiệu vào ; (b) lượng tần số ở băng con chéo góc (HH) 33 Hình 2.4: Băng lọc hai kênh 2 chiều với đáp ứng tần số dạng checkerboard Vùng tối thiểu băng thông lý tưởng Hình 2.5: Cấu trúc băng lọc của hệ thống đề xuất ứng với sự phân tách 1 lớp Hệ thống có thể bị lặp lại băng con thông thấp 0 trong trường hợp phân tách nhiều lớp Vùng kết hợp, ví dụ như biến đổi ngược, được đưa ra bởi một kết nối giữa vùng kết hợp của băng lọc checkerboar và biến đổi wavelet ngược Hình 2.6: Biểu diễn độ lớn đáp ứng tần số của F 1e jw 1F 1e jw 2, HH 0e j2w 1 ,e j2w 2vµ HF eqe jw 1 ,e jw 2 35

34

31

17

đối với trường hợp DWT 35

Hình 2.7: Độ lớn đáp ứng tần số của H0ejw1 ,ejw2vµ HF eqejw1 ,ejw2 trong trường hợp

UWT.37

Hình 2.8: Cửa sổ Ul (bên trái) và hình chiếu đứng (bên phải) 46

Hình 2.9: Các miền giá (support) của các cửa sổ U1 2(xám) U1 8(xám nhẹ) ) 49 Hình 2.10: Các lưới với  4,0  0 và      8 52

 Hình2.11: Miền giá cực đại của 1,k,0 (x) :   1 (xk), kZ2 và 2,k ,5 (vùng     xám tối màu); của 3,k ,3 ,  3,k ,6 và 3,k ,13 (vùng xám nhạt); và của 4,k ,0  và 4,k ,11 (vùng xám) 53 Hình 2.12: So sánh thay đổi tín hiệu DWT 55

Hình 2.13: So sánh thay đổi tín hiệu DT CWT 55

Hình 2.14: Tín hiệu ECG 56

Hình 2.15: Tín hiệu ban đầu và các hệ số wavelet bậc 2 và 3 56

Hình 2.16: Tín hiệu ban dầu và các hệ số cây kép bậc 2 và 3 57

Hình 2.17: Sự thay đổi năng lượng tại hệ số bậc 3 và 4 với CS DWT 58

Hình 2.18: Sự thay đổi năng lượng tại hệ số bậc 3 và 4 với DT-CWT 58

Hình 2.19: Các wavelet phân giải 2-D DWT lấy mẫu đánh giá 59

Hình 2.20: Các wavelet 2-D cây kép phức định hướng 60

Hình 2.21: Ảnh biên thẳng ban đầu 60

Hình 2.22: Biên được khôi phục sử dụng 2-D DT CWT và 2-D DWT 61

Hình 2.23: Ảnh Hyperbolic ban đầu 61

Hình 2.24: Kết quả trên các đường cong kì dị 62 Hình 3.1: (a)Ảnh gốc, (b)Ảnh nhiễu (20.7dB), (c)Wavelet DB4 (23.9931dB),(d)

Cuvelet (29.5928dB), (e) NLDF (24.5491dB), (f)Đề xuất (27.4950dB) 69

viii Hình 3.2: Chi tiết được làm rõ (a)Wavelet DB4, (b)Curvelet,

(c)NLDF,(d)Phương pháp đề xuất69

Hình 3.3: Cách bố trí 2 camera trong việc chụp cặp ảnh stereo 70

Hình 3.4: Kết quả tách biên 2D bằng Curvelet 75

Hình 3.5: Kết quả khôi phục biên ảnh bằng biến đổi Curvelet 76

Hình 3.6: Ảnh 3D đầu vào 77

Hình 3.7: Hình chụp từ camera trái và phải 77

Hình 3.8: Sơ đồ thực nghiệm 77

Hinh 3.9: Kết quả tách biên ảnh không nhiễu bằng Curvelet 78

Hình 3.10: Kết quả khôi phục biên lý tưởng bằng Curvelet 78

Hình 3.11: Kết quả khôi phục ảnh Stereo với nhiễu ngẫu nhiên bằng Curvelet 79

Hình 3.12: Kết quả khôi phục ảnh Stereo với nhiễu cộng Gauss bằng Curvelet 80

Hình 3.13: Kết quả khôi phục ảnh Stereo với nhiễu nhân Gauss bằng Curvelet 80

Hình 3.14: Sơ đồ thực nghiệm khôi phục biên ảnh 81

Hình 3.15: Kết quả khôi phục biên ảnh với nhiễu ngẫu nhiên bằng Curvelet 82

Hình 3.16: Kết quả khôi phục biên ảnh với nhiễu cộng Gauss bằng Curvelet 82

Hình 3.17: Kết quả khôi phục biên ảnh với nhiễu nhân Gauss bằng Curvelet 83

Hình 3.18: Sơ đồ chống rung ảnh Stereo ( ảnh đầu vào bị rung ) 84

Hình 3.19: Ảnh đầu vào 84

Hình 3.20: Các kết quả xử lý ảnh mờ sử dụng bộ lọc Wiener 85

Hình 3.21: Kết quả RMSE và PSNR đối với bộ lọc Wiener 86

Hình 3.22: Kết quả khôi phục với Curvelet 86

Hình 3.23: Kết quả RMSE và PSNR đối với biến đổi Curvelet 87

Hình 3.24 Ảnh võng mạc 88

Hình 3.25: Sơ đồ nguyên lý tăng cường ảnh võng mạc 89

Hình 3.26: Ảnh võng mạcvà các biến đổi cấp xám 89

Hình 3.27: Biểu đồ 3 dải màu của ảnh võng mạc 90

Hình 3.28: Hình ảnh gốc võng mạc (kênh Green) 91

Hình 3.29: Kết quả tăng cường ảnh võng mạc 92

Hình 3.30: Mật độ phổ năng lượng của ảnh võng mạc:(a) Local Normalization, (b) Decorrstrretch, (c) Laplacian, (d) Contrast Limit Adaptive Histogram Equalization, (e)DWT, (f)CVT – Minimax – NLDF 93 Hình 3.31: Biểu diễn không gian và tần số của hàm sơ cấp của Curvelet; (a) không gian, (b) biểu diễn tần số của hai quy mô Curvelets khác nhau, sự hồi tiếp và chuyển đổi; (c) và (d) minh họa một hình ảnh tổng quan, trong đó bao hai phản xạ giao nhau, và biểu diễn của nó là một trọng số của hàm sơ cấp Curvelet96 Hình 3.32: Độ lớn hệ số Curvelet của hình ảnh (a) Ảnh gốc, (b) Hình chữ nhật màu đỏ biểu diễn chiều của một quy mô, (c) Khu vực bên trong của hai hình chữ nhật màu đỏ quy mô của tất cả các chiều 97 Hình 3.33: Sơ đồ của phương pháp được đề xuất để khử nhiễu hình ảnh bằng cách sử dụng phép biến đổi Curvelet và phân đoạn histogram Hình 3.34: Kiểm tra hình ảnh với nhiễu Gaussian (= 15) và PSNR tương ứng; (trái) hình ảnh đầu vào ban đầu, tức là không có nhiễu, (giữa) hình ảnh bị nhiễm nhiễu Gaussian trắng, hình ảnh được khử nhiễu của phương pháp được đề xuất 100

99

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1: Bảng so sánh các giá trị PSNR 68

Bảng 3.2: Kết quả chống rung ảnh Stereo với Wiener filter và Curvelet 87

Bảng 3.3: Đánh giá định lượng trên các phương pháp xử lý 94

Bảng 3.4: Kết quả khử nhiễu được biểu thị bằng tham số PSNR 101

Bảng 3.5: So sánh các phương pháp khử nhiễu khác nhau 101

CWT Continuous Wavelet Transform Biến đổi Wavelet liên tục

DFT Discrete Fourier Transform Biển đổi Fourier rời rạc

DSP Digital Signal Processing Xử lý số tín hiệu

DWT Discrete Wavelet Transform Biến đổi Wavelet rời rạc

FFT Fast Fourier Transform Biển đổi Fourier nhanh

FIR Filter Impulse Response Bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn

MDBPF Multi-Dimension Block Pulse Tập các hàm xung khối nhiều

MIMO Multi-input Multi-output Nhiều đầu vào nhiều đầu raMRA Miltiresolution Analysis Phân tích đa phân giải

PCBF Piecewise Constant Systems of Hàm trực giao gồm các hệ phân

PSNR Peak Signal-to-noise Ratio Tỷ số tín hiệu cực đại trên nhiễuSNR Signal to Noise Ration Tỷ số tín hiệu trên tạp âm

STFT Short Time Fourier Transform Biến đổi Fourie thời gian ngắnUWT Undecimated Wavelet Transform Biến đổi Wavelet không phân rã

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU TOÁN HỌC

x t  Tín hệu

W a, b Biến đổi wavelet liên tục

a ,bt  Hàm wavelet gốc

 Biến đồi Fourier của hàm wavelet gốc

 Biến đồi Fourier của   t 



f n  Hàm rời rạc

y Đường thẳng có độ dốc r và giao điểm b

B Tần số thiết lập trong khoảng  ,  

B N Phổ tần số của tín hiệu rời rạc N chiều

f

F1z1 Bộ lọc wavelet thông cao theo phương dọc

F1z2 Bộ lọc wavelet thông cao theo phương ngang

H 0z1 , z2 Băng lọc checker board

MỞ ĐẦU

1 Đặt vấn đề

Sự bùng nổ của các thiết bị di động thông minh và công nghệ kết nối tốc độcao trong nhiều lĩnh vực ứng dụng như: Các ứng dụng đa phương tiện, Robot thôngminh, xử lý ảnh 3D, đồ họa nhiều chiều, kỹ thuật y sinh,… đã đòi hỏi có một công

cụ xử lý tín hiệu nhiều chiều Tín hiệu nhiều chiều là sự mở rộng của tín hiệu mộtchiều với sự đo đạc trên nhiều hơn một biến độc lập như vậy, để có thể xử lý tínhiệu nhiều chiều (ví dụ tín hiệu 3D), cần có các thuật toán mạnh để phân tích cáctính chất tương quan về mặt thời gian không gian như khử nhiễu, tăng cường ảnh,…dựa vào các đặc trưng của tín hiệu về không gian hay các điểm kỳ dị như biên sườn

Trong các phép xử lý tín hiệu thì phép biến đổi Wavelet nhận được sự quantâm, đặc biệt là biến đổi Wavelet thế hệ hai, ngày càng chứng tỏ khả năng ứng dụnghiệu quả trong nhiều lĩnh vực Tính chất cơ bản của biến đổi Wavelet là độ phângiải thời gian và độ phân giải tần số có thể thay đổi được trong mặt phẳng thời gian– tần số Đây là phép biến đổi tuyến tính, có dạng sóng nguyên thủy (sóng mẹ) )không cố định Các dạng sóng tạo ra các tập trực chuẩn Biến đổi Wavelet cho phépchọn các hàm cơ bản trong phép biến đổi của nó để phân chia các thành phần mongmuốn và không mong muốn trong tín hiệu

Trong xử lý tín hiệu, thông tin về hướng là tính chất đặc trưng quan trọng.Tuy nhiên, các nghiên cứu biến đổi wavelet nhiều chiều có định hướng còn rất hạnchế, hơn nữa các hướng khác nhau bị trộn lẫn trong một số băng con Wavelet Vìvậy, việc mở rộng tính định hướng cho biến đổi Wavelet nâng cao hiệu quả tínhđịnh hướng của biến đổi Wavelet nhiều chiều Biến đổi Curvelet là dạng tổng quáthóa biến đổi Wavelet nhiều chiều nhằm xử lý tín hiệu nhiều chiều ở các mức độkhác nhau Biến đổi Curvelet thừa kế các biến đổi Wavelet nhiều chiều, đặc biệt làhiệu quả trong việc biểu diễn các đột biến dọc theo các biên sườn của tín hiệu

Như vậy, hướng tiếp cận cụ thể của luận án là sử dụng biến đổi Curvelet đểkhử nhiễu và chống rung, nâng cao chất lượng tín hiệu ảnh dựa trên hai tính chấttoán học đặc trưng: “Các kỳ dị đường cong có thể xấp xỉ hóa bởi số ít các hệ số theo

1

cách không thích nghi” và “Duy trì các dạng sóng kết hợp dưới tác động củaphương trình sóng trong môi trường mịn”.

Nghiên cứu về lý thuyết Wavelet thế hệ hai và các ứng dụng là lĩnh vựcnghiên cứu còn khá mới mẻ, nhiều tiềm năng và rất hấp dẫn Đó cũng là lý do luận

án “Biến đổi curvelet và hướng ứng dụng cho xử lý ảnh” có tính lý thuyết và ứngdụng thực tiễn cao

2 Tính cấp thiết của đề tài

Loại trừ nhiễu, tăng cường ảnh là các nhiệm vụ quan trọng trong xử lý ảnhnhằm khôi phục tin cậy ảnh quan sát được dưới tác động của các loại nhiễu Đã cónhiều phương pháp, nhiều thuật toán tối ưu đề xuất xử lý tín hiệu trong miền tần số(lọc Wiener), miền Wavelet, làm trơn Gauss,… khử nhiễu mà vẫn bảo toàn cácthuộc tính quan trọng của ảnh đầu vào [89][7]

Phần lớn các nghiên cứu khử nhiễu tín hiệu (1D, 2D, 3D, MD) đều nhằm vàoviệc bảo vệ các thuộc tính đột biến của tín hiệu - các điểm kỳ dị (singularities) Đốivới ảnh 2D, đó là các biên sườn (edges) Theo cách tiếp cận tiên đề, xuất hiện tậpcác tiên đề riêng dẫn đến nghiệm của phương trình vi phân từng phần ứng dụngtrong khử nhiễu tín hiệu Các tiên đề có cấu trúc và hình thái nhằm đảm bảo quátrình trở thành semigroup đủ mềm mại [47] Nguyên lý “Minimum–Maximum” làmột trong các tiên đề quan trọng, trong đó, phải đảm bảo không tạo ra cực trị địaphương tại bất kỳ thời điểm nào để không xuất hiện thành phần phụ không mongmuốn (artifact) ở tín hiệu được khuếch tán Nguyên lý này còn đảm bảo, cực trị toàncục dọc theo tiến trình của tín hiệu theo thời gian bị giới hạn bởi cực trị toàn cục ởtín hiệu khởi tạo với tín hiệu có bất kỳ chiều, và là hàm không giảm (cực trị làminimum) hoặc không tăng (cực trị là maximum) nhằm đảm bảo tính bền vững củaquá trình xử lý Điều này đòi hỏi xây dựng kiến thức chuyên gia về hiện thực hóacác thuật toán xử lý tín hiệu nhiều chiều dựa trên biến đổi Wavelet có hướng thế hệhai phục vụ xử lý ảnh

2

3 Mục tiêu, đối tượng, phương pháp và phạm vi nghiên cứu

3.1 Mục tiêu nghiên cứu

 Nghiên cứu các thành phần của biến đổi Curvelet dựa trên sự tổng quát hóabiến đổi Wavelet cho lớp hàm liên tục tồn tại các kỳ dị tuyến tính theo đường cong

 Nghiên cứu về biến đổi Curvelet và ứng dụng chống rung ảnh 3D dựa trênbiến đổi Curvelet đảm bảo cho ảnh không bị rung (mờ) bảo toàn các thuộc tính đầuvào của ảnh đồng thời tận dụng các ưu điểm và hạn chế các nhược điểm của phươngpháp khi ảnh bị tác động của nhiễu, đặc biệt, tăng cường tính bền vững trên cơ sở biếnđổi Curvelet

 Xử lý ảnh võng mạc dựa trên biến đổi Curvelet kết hợp lọc khuếch tán phituyến và thuật toán tối ưu theo tiêu chí Minimax để nâng cao, cải thiện chất lượng ảnh

 Nghiên cứu về biến đổi Curvelet kết hợp với biểu đồ phân đoạn Histogram

để khử nhiễu ảnh

3.2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án này giới hạn ở các thuật toán xử lý ảnh dựa trên biến đổi Curvelet gồm:

 Mô hình hóa ảnh thông qua tín hiệu điểm đột biến và hiệu ứng biên sườn,

 Biến đổi Wavelet footprint rời rạc có hướng (Directional Discrete Wavelet Footprint),

 Biến đổi Curvelet kết hợp lọc khuếch tán phi tuyến và thuật toán tối ưu theo tiêu chí Minimax

3.3 Phạm vi nghiên cứu

 Biến đổi Wavelet footprint rời rạc có hướng

 Biến đổi Curvelet kết hợp lọc khuếch tán phi tuyến, lọc wiener, thuật toán tối

ưu minimax

4 Phương pháp, nhiệm vụ nghiên cứu

3

4.1 Phương pháp nghiên cứu

 Nghiên cứu biến đổi Wavelet footprint rời rạc có hướng, biến đổi Curveletkết hợp lọc khuếch tán phi tuyến để đề xuất các thuật toán xử lý ảnh, bao gồm khửnhiễu, tăng cường ảnh nhằm cải thiện chất lượng ảnh

 Dùng phương pháp giải tích biểu diễn ảnh và hiệu quả của các thuật toán đề xuất, kiểm nghiệm thông qua các kết quả mô phỏng

4.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Khảo sát, phân loại, đánh giá (lý thuyết, mô hình, tiêu chí, phương pháp tính)các kết quả của tác giả trước liên quan đến mô hình hóa tín hiệu và biến đổi Wavelet

có hướng Công bố bài báo khoa học tổng quan về các nội dung đã khảo sát, phân loại,đánh giá trên quan điểm riêng về sự mở rộng tính định hướng của biến đổi Wavelet vàkết hợp với lọc khuếch tán phi tuyến, các hướng tiếp cận khả thi về giải pháp cải thiệnhiệu năng của một số ứng dụng biến đổi Wavelet có hướng

 Đề xuất giải pháp chống rung ảnh 3D dựa trên biến đổi Curvelet đảm bảocho ảnh không bị rung (mờ) bảo toàn các thuộc tính đầu vào của ảnh, thực hiện kiểmchứng thông qua mô phỏng đối với kịch bản điển hình Công bố công trình khoa họcliên quan đến giải pháp đề xuất và kết quả mô phỏng kiểm chứng thu được

 Đề xuất giải pháp xử lý ảnh võng mạc dựa trên biến đổi Curvelet kết hợp lọckhuếch tán phi tuyến và thuật toán tối ưu theo tiêu chí Minimax để nâng cao, cải thiệnchất lượng ảnh, kiểm chứng thông qua mô phỏng Công bố công trình khoa học liênquan đến giải pháp đề xuất và các kết quả mô phỏng kiểm chứng đạt được

 Đề xuất phương pháp khử nhiễu ảnh dựa trên biến đổi Curvelet kết hợp biểu

đồ phân đoạn Histogram để có kết quả khử nhiễu tốt hơn đặc biệt đối với các ảnh cóchứa các kỳ dị đường cong Công bố công trình khoa học liên quan đến giải pháp đềxuất và các kết quả mô phỏng kiểm chứng đạt được

4

5 Các đóng góp khoa học của luận án

Thực hiện các nhiệm vụ nghiên cứu đã trình bày ở phía trên, từ khía cạnhphương pháp luận tiếp cận vấn đề, có thể tóm tắt các kết quả mới của luận án nhưsau:

 Mô hình hóa cấu trúc và ứng dụng biến đổi Curvelet nhằm tăng cường chấtlượng ảnh với các đặc tính thị giác theo yêu cầu, đặc biệt mô hình hóa thông qua cácđiểm đột biến và hiệu ứng biên sườn trong ảnh và tiến hành khử nhiễu bằng biến đổiCurvelet kết hợp lọc khuếch tán phi tuyến

 Đề xuất thuật toán chống rung ảnh 3D dựa trên biến đổi Curvelet đảm bảo cho ảnh không bị rung (mờ) bảo toàn các thuộc tính đầu vào của ảnh

 Đề xuất phương pháp xử lý ảnh võng mạc dựa trên biến đổi Curvelet kết hợplọc khuếch tán phi tuyến và thuật toán tối ưu theo tiêu chí Minimax để nâng cao, cảithiện chất lượng ảnh

 Đề xuất phương pháp khử nhiễu ảnh dựa trên biến đổi Curvelet kết hợp biểu

đồ phân đoạn Histogram để có kết quả khử nhiễu tốt hơn đặc biệt đối với cácảnh có chứa các kỳ dị đường cong

6 Bố cục của luận án

Trên cơ sở các nhiệm vụ và kết quả nghiên cứu đã được trình bày ở trên,nghiên cứu sinh trình bày luận án theo ba chương như sau

Chương 1: Tổng quan: Chương này trình bày 3 nội dung chính Thứ nhất,

làm rõ bản chất một số phép biến đổi và những thách thức trong việc mô hình hóa

và xử lý Thứ hai, khái quát về các đề xuất liên quan đến biến đổi Wavelet cóhướng, tái tạo tín hiệu (reconstruction), hiển thị tín hiệu và các ứng dụng thực tiễncủa biến đổi Wavelet có hướng trên cơ sở tham chiếu tới những công bố của các tácgiả trước và hệ thống hóa những hạn chế và tồn tại cần giải quyết Thứ ba, về địnhhướng giải quyết nâng cao hiệu năng một số ứng dụng xử lý ảnh trên cơ sở mô hình,cấu trúc hệ thống và xử lý

Chương 2: Biến đổi Curvelet: Chương này trình bày đề xuất nâng cao hiệu

năng của phép loại trừ nhiễu trên cơ sở biến đổi Wavelet footprint rời rạc có hướng

5

Vấn đề mở rộng tính định hướng được đề cập tới cung cấp một công cụ nâng caohiệu quả tính định hướng của biến đổi Wavelet Đồng thời trình bày cấu trúc củabiến đổi Curvelet, ưu điểm của biến đổi Curvelet so với biến đổi Wavelet cơ bản vàcác biến đổi Wavelet định hướng khác Nghiên cứu các tính chất và các khía cạnh

kỹ thuật của biến đổi Curvelet để nhận dạng và tách biên ảnh Cuối cùng, trình bày

sự thống nhất giữa kết quả mô phỏng với lý thuyết, minh chứng tính ưu việt của môhình đề xuất

Chương 3: Ứng dụng: Chương này trình bày các ứng dụng của biến đổi

curvelet trong xử lý ảnh gồm: khử nhiễu ảnh bảo toàn biên sườn bằng phương pháphỗn hợp curvelet và khuếch tán phi tuyến, chống rung ảnh 3D dựa trên biến đổiCurvelet đảm bảo cho ảnh không bị rung (mờ) bảo toàn các thuộc tính đầu vào củaảnh đồng thời tận dụng các ưu điểm và hạn chế các nhược điểm của phương phápkhi ảnh bị tác động của nhiễu, đặc biệt tăng cường tính bền vững trên cơ sở biến đổiCurvelet Ước lượng bền vững theo tiêu chí Minimax, xử lý ảnh võng mạc dựa trênbiến đổi Curvelet kết hợp lọc khuếch tán phi tuyến và thuật toán tối ưu theo tiêu chíMinimax để cải thiện chất lượng ảnh Đề xuất biến đổi Curvelet kết hợp biểu đồphân đoạn Histogram để khử nhiễu ảnh tạo ra kết quả khử nhiễu tốt hơn đặc biệt đốivới các ảnh có chứa các kỳ dị đường cong

6

CHƯƠNG 1.

TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu

Lý thuyết Wavelet là một trong những lĩnh vực toán học hiện đại, phát triểnbởi các nhà nghiên cứu như Yves Meyer, Stéphanne Mallat và Albert Cohen Lýthuyết Wavelet cũng được sử dụng như một công cụ phân tích trong hầu hết các lĩnhvực nghiên cứu về kỹ thuật như: cơ học, điện tử, truyền thông, máy tính, sinh học, yhọc và thiên văn học Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và hình ảnh thì ứng dụng chínhcủa Wavelet để khử nhiễu và nén ảnh

Trong phạm vi khử nhiễu, sự thành công của kỹ thuật khử nhiễu dựa vào lýthuyết Wavelet được đảm bảo bởi khả năng của biến đổi Wavelet rời rạc [85], [3].Trong biến đổi Wavelet, tín hiệu chứa trong một lượng nhỏ các hệ số biến đổi Các

hệ số biến đổi khác về cơ bản chứa nhiễu Như vậy, bằng cách lọc đi một số các hệ

số, phần lớn nhiễu được loại bỏ Phương pháp khử nhiễu ảnh dùng Wavelet baogồm ba bước: biến đổi Wavelet rời rạc của ảnh giảm nhiễu, lọc các hệ số trong miềnWavelet và cuối cùng là thực hiện biến đổi Waveler ngược khôi phục ảnh ban đầu

Ba nhược điểm chính của kỹ thuật khử nhiễu dựa vào biến đổi Wavelet rờirạc [28] đó là: thiếu sự bất biến theo thời gian và sự bất đối xứng của sóng mẹ) vàcuối cùng là tính chọn lọc kém Những nhược điểm này có thể được khắc phục bằngcách sử dụng biến đổi Wavelet phức [50], [52] Biến đổi Wavelet phức cũng đãchứng minh là mạnh về phân tích tín hiệu và hình ảnh [68]

Mặc dù biến đổi Wavelet đã có những thành công đáng kể, nhưng chúng cónhiều hạn chế trong xử lý ảnh nhiều chiều vì biến đổi Wavelet không tận dụng đượcnhững ưu điểm cũng như các tính năng hình học hiện có trong hình ảnh Điều này

có nghĩa là biến đổi Wavelet không thích hợp để khai thác sự tương quan dọc theocác cạnh và đường biên trong ảnh và có hướng giới hạn tính chọn lọc Do đó hạnchế hiệu suất khử nhiễu dựa trên thuật toán Wavelet Vì vậy yêu cầu cần có mộtphép biến đổi hiệu quả hơn với các hàm cơ sở trong không gian đẳng hướng vàkhông đẳng hướng cho các ảnh thực tế tăng cường biên ảnh và độ tương phản cao

7

hơn Ví dụ như Curvelet [10], Contourlet [21], Băng lọc định hướng [5], Wedgelets [25],[45], Shearlet [57],[35], [58], Bandelets [78], [67], [79], Directionlets [97].

1.2 Biến đổi Wavelet

1.2.1 Biến đổi Wavelet liên tục (CWT)

Trong đó, a là hệ số tỷ lệ (scaling) và b là hệ số dịch (translation),

là liên hợp phức của hàm wavelet a ,bt  x t là tín hiệu

8Với  ( ) là biến đổi

thuộc vào hàm Wavelet a ,b

Để đảm bảo tính chất phân rã của các hàm Wavelet, các hàm được khu biệt

rõ ràng trong miền thời gian, hàm Wavelet cần thoả mãn điều kiện:

(1.6)

Một chuỗi Wavelet có được nhờ gián đoạn hoá CWT Sự gián đoạn hoá

CWT được thực hiện nhờ lấy mẫu trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ Tốc độ lấy mẫu có

thể thay đổi theo sự thay đổi tỷ lệ với điều kiện không vi phạm tiêu chuẩn Nyquist

Tiêu chuẩn Nyquist: tốc độ lấy mẫu tối thiểu cho phép tái xây dựng lại tín hiệu

nguyên bản là 2f, với f là tần số lớn nhất của tín hiệu Do vậy, khi hệ số tỷ lệ cao lên

(tần số thấp đi) tốc độ lấy mẫu có thể giảm, số lượng phép tính giảm

1.2.1.2 Tính chất của CWT

Các đặc điểm quan trọng nhất của Wavelet là các điều kiện chấp nhận

(admisibility condition) và các điều kiện chính tắc (regularity condition) và các đặc

điểm này dẫn đến tên gọi Wavelet (sóng con) Người ta chứng minh rằng tích phân

bình phương các hàm (t)t)) thoả mãn điều kiện admissibility:

có thể được sử dụng để phân tích ban đầu và sau đó khôi phục lại tín hiệu mà không

tổn hao thông tin Trong biểu thức (1.4) hàm  ( ) là biến đổi Fourier của (t)

Điều kiện admissibility chỉ ra rằng biến đổi Fourier của hàm (t)t)) triệt tiêu ở f = 0.

 2  0

9

Điểm không ở tần số bằng 0 cũng có nghĩa rằng giá trị trung bình của

Wavelet trong miền thời gian phải bằng 0:

và do vậy phải có dạng dao động Nói cách khác, (t) phải là dạng sóng

Người ta sử dụng các điều kiện bổ sung (additional condition) của các hàm

Wavelet để làm cho biến đổi Wavelet suy giảm nhanh cùng với sự giảm tỷ lệ a Đó

là điều kiện chính tắc (regularity condition) và điều kiện này yêu cầu hàm Wavelet

phải trơn và tập trung trong cả miền thời thời gian và tần số Regularity là một khái

niệm phức tạp và chúng ta sẽ giải thích điều kiện này sử dụng khái niệm momen

triệt tiêu (vanishing moment).

Nếu khai triển biến đổi Wavelet (1.1) thành chuỗi Taylor ở t = 0 cho tới bậc

Ở đây xp có nghĩa là đạo hàm bậc p của x(t) và O(n + 1) nghĩa là phần dư của

biểu thức Bây giờ nếu đặt các momen của Wavelet bằng Mp :

Từ điều kiện admissibility có momen M0  0 do vậy số hạng đầu tiên bên vế

phải là bằng 0 Nếu chúng ta tìm được cách làm cho các momen khác và momen Mn

cũng bằng 0, thì các hệ số biến đổi Wavelet W(a,b) sẽ phân rã nhanh như an + 2 cho

tín hiệu trơn f t  Đó là lý thuyết về momen triệt tiêu hay bậc xấp xỉ Nếu

Wavelet có momen triệt tiêu N, thì bậc xấp xỉ cho biến đổi Wavelet cũng là N Trên

thực tế, nghiên cứu thực nghiệm đưa ra nhận định rằng số momen yêu cầu phụ

thuộc lớn vào ứng dụng

10

trong biến đổi Wavelet liên tục.

Tính tỷ lệ (scaling)

W x v(a, b)   Wx (v 1a, vb), x v  t   v x vt  (1.15)

Tính chất tỷ lệ làm cho biến đổi wavelet thực sự phù hợp để phân tích các

cấu trúc dạng bậc Nó như là một kính hiển vi toán học với các đặc tính không phụ

thuộc vào sự phóng đại

Tính bảo toàn năng lượng

Biến đổi wavelet liên tục cũng có tính chất bảo toàn năng lượng giống như

công thức Parseval của biến đổi Fourier

Định lý: Nếu hàm x(t)L2(R) và có biến đổi Wavelet liên tục là Wxa, b thì:

Biến đổi Wavelet liên tục có tính định vị tốt, đặc biệt là với những thay đổi

đột ngột trong miền thời gian ở tần số cao (hay tỷ lệ thấp), đây là một ưu điểm so

với các phép biến đổi truyền thống

1.2.2 Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform)

Vì những hàm Wavelet được định nghĩa đối với mọi điểm trong không gian

(a, b) nên rõ ràng việc áp dụng những cơ sở Wavelet rất dư thừa Do vậy, để giảm

bớt sự dư thừa đó biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) được giới thiệu Biến đổi DWT

11

dựa trên cơ sở mã hoá băng con, có thể được thực hiện dễ dàng, giảm thời gian tính

toán và tài nguyên yêu cầu

Cơ sở của DWT được xây dựng từ năm 1976, khi các kỹ thuật phân tích tín

hiệu rời rạc được phát triển Các nghiên cứu về DWT cũng được thực hiện trong

lĩnh vực mã hóa tín hiệu tiếng nói còn được gọi là mã hoá băng con (sub-band

coding) Năm 1983, các kỹ thuật tương tự kỹ thuật mã hoá băng con được phát triển

được gọi là mã hoá hình chóp (pyramidal coding) và dẫn đến sơ đồ phân tích đa

phân giải (MRA)

Trong biến đổi Wavelet liên tục, tín hiệu được phân tích sử dụng một tập hợp

hàm cơ sở liên quan với nhau bởi hệ số tỷ lệ (a) và hệ số tịnh tiến (b) Trong DWT,

biểu diễn thời gian-tỷ lệ của tín hiệu số thu được nhờ sử dụng các kỹ thuật lọc số

Tín hiệu được phân tích qua các bộ lọc với tần số cắt khác nhau ở các tỷ lệ khác

Biến đổi DWT có thể biến đổi ngược nếu như tập hợp tương ứng của các

mẫu xác định một khung Wavelet:

A f    f,   a, b  2 B f

a ,b

với A và B là hai hằng số dương gọi là giới hạn của khung (framebounds).

Biến đổi ngược được xác định như sau:

12

f n   C  j, k j,kn 

jZ kZ

Nếu giới hạn khung (framebounds) trong (1.19) là A=B=1, thì phép biến đổi

là trực giao

Đây là tổng vô hạn theo cả chỉ số thời gian k và chỉ số tỷ lệ j Tuy nhiên tổng

này có thể được tính hữu hạn với sai số rất nhỏ trong trường hợp các hàm Waveletvới toàn bộ năng lượng tập trung trong một khoảng nào đó, như vậy phép tổng hữuhạn (1.20) theo k là đúng với một số xấp xỉ

Để tìm hiểu tại sao phép tổng (1.20) theo j là hữu hạn với một số xấp xỉ, phầntiếp theo của chương sẽ đưa ra khái niệm đa phân giải MRA Khái niệm MRA đượcphát triển bởi Mallat và Meyer, đây là nền tảng lý thuyết để xây dựng các Waveletsau này

1.2.2.2 Tính chất của DWT

Wavelet được xác định bởi một số xác định các hệ số khác không M Số hệ

số này đại diện cho số momen triệt tiêu (vanishing moments) được xác định như

sau: Nếu x là khả vi M lần và phân rã đủ nhanh, thì M-1 mômen Wavelet đầutiên triệt tiêu, nghĩa là:

Hàm t  trong định nghĩa đa phân giải MRA được gọi là hàm tỷ lệ (scaling

function) hay hàm cha (father function) đôi khi còn được gọi là hàm xấp xỉ.

 j,kt   2 j/ 2   2 j t  k j, k  ZVới V j  span  j,k : k  Z

Wavelet phải thoả mãn hai phương trình tỷ lệ:

13

  x     2 h k   x  k 

k

  x     2  1k h  k  1  x  k 

kNgoài ra, hàm tỷ lệ là trực giao với phép tịnh tiến của nó:

Và các Wavelet cần phải trực giao với hàm tỷ lệ của chính nó, ví dụ:

  H Hx H H H H2x H Hk H Hdx H H0

(1.23)(1.24)

có nghĩa rằng tổng trên là không với mọi m khác không Một biểu thức quan

trọng khác, là hệ quả của điều kiện hệ số lọc:

h H Hn H Hh H Hn H H2k H H H0n

Như vậy, có thể kết luận rằng mọi tính chất của Wavelet được quyết định bởi

dãy h(k) và để biểu diễn sự phân tích và khôi phục Wavelet chúng ta chỉ cần các hệ

số của bộ lọc h(k)

1.3 Biến đổi wavelet rời rạc và băng lọc

1.3.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis)

Định nghĩa: Không gian L2 = L2(R) là không gian của các tín hiệu tương tự

Phân tích đa phân giải MRA của L2 là một họ các không gian con

14

Như vậy họ   t  k , k  Z tạo thành một cơ sở trực giao cho không giantham chiếu V0 Các không gian Vj lồng vào nhau Không gian L2(R) đóng kín tậphợp mọi Vj

Hình 1.1: Không gian và các không gian co n trong đa phân giải Không gian L2

biểu diễn toàn bộ không gian Vj biểu diễn một không gian con, Wj biểu diễn chi

Họ  j,k : Hk Z tạo thành một cơ sở trực chuẩn cho Wn

Theo định nghĩa đa phân giải, ta có phương trình tỷ lệ:

x J  t   k s J,k J,k  t  Tương tự như vậy hàm Wj có thể được viết thành dạng

với j0 là độ phân giải nhỏ nhất được chọn trong phân tích.

Vì    W0  V1 , và   2t  k  là một cơ sở trực chuẩn của

1.3.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc

Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu các bộ lọc được sử dụng phổ biến Wavelet cóthể được thực hiện bởi các bộ lọc lặp đi lặp lại với tỷ lệ thay đổi Độ phân giải củatín hiệu là tiêu chuẩn để đánh giá lượng thông tin chi tiết trong tín hiệu Độ phângiải của tín hiệu được xác định bởi các quá trình lọc, và tỷ lệ được xác định bởi sựphân chia (upsampling) và nội suy (downsampling) còn gọi là quá trình lấy mẫu con(subsampling)

16

Biến đổi Wavelet rời rạc được tính toán bởi quá trình lọc thông thấp và thôngcao liên tiếp của tín hiệu rời rạc theo thời gian, được gọi là thuật toán Mallat hay sựphân tích cây Mallat (Mallat-tree decomposition) Ý nghĩa quan trọng của thuật toánMallat là thuật toán này đã kết nối sự đa phân giải liên tục theo thời gian với các bộlọc rời rạc.

Trong hình vẽ 1.2a, tín hiệu được được biểu thị bởi dãy x[n], với n là sốnguyên Bộ lọc thông cao được biểu thị bởi G, trong khi bộ lọc thông thấp đượcbiểu thị bởi H Ở mỗi mức, bộ lọc thông cao G đưa ra thông tin chi tiết d[n], trongkhi bộ lọc thông thấp H kết hợp với hàm tỷ lệ đưa ra các xấp xỉ thô a[n].

Ở mỗi mức phân tích, các bộ lọc nửa dải (half band filter) đưa ra các tín hiệu

kéo dài duy nhất nửa băng tần Các bộ lọc này làm tăng độ phân giải tần số lên gấpđôi vì tính bất định của tần số được giảm đi một nửa Theo luật Nyquist nếu như tínhiệu nguyên bản có tần số góc cao nhất  rad/s yêu cầu tần số góc lấy mẫu là 2rad/s, vậy khi tần số góc cao nhất là /2 rad/s thì tần số góc lấy mẫu sẽ là  rad/s,

do vậy loại bỏ một nửa số mẫu cần lấy mà không gây ra sự mất mát thông tin Việclấy mẫu con với hệ số chia 2 làm giảm một nửa độ phân giải thời gian vì toàn bộ tínhiệu bây giờ được biểu diễn trên chỉ một nửa số lượng mẫu

Như vậy, độ phân giải thời gian đạt được tốt ở các tần số cao, trong khi độphân giải tần số lại trở nên tốt hơn ở các tần số thấp Quá trình lọc và phân chia làliên tiếp nhau cho đến khi đạt được mức yêu cầu Số lượng tối đa các mức phụthuộc vào độ dài của tín hiệu Biến đổi Wavelet rời rạc của tín hiệu thu được nhờ sự

xâu chuỗi (concatenating) các hệ số a[n] và d[n], bắt đầu từ mức cuối cùng của quá

trình phân tích

Hình 1.2b biểu diễn quá trình khôi phục tín hiệu nguyên bản từ các hệ sốWavelet Về cơ bản, quá trình khôi phục là sự đảo ngược của của quá trình phântích Các hệ số xấp xỉ và các hệ số chi tiết ở mọi mức được nội suy bởi hệ số 2, quacác bộ lọc tổng hợp thông thấp và thông cao và sau đó được gộp vào với nhau Quátrình tiếp tục cho đến đạt được cùng số mức thu được trong quá trình phân tích tínhiệu nguyên bản

Phương pháp tốt nhất để mô tả quy trình trên cũng như đưa ra một quy trìnhhiệu quả để xác định các hệ số wavelet là biểu diễn phép toán của các bộ lọc

Trở lại hai biểu thức (1.31) và (1.34) trong phần trước, dãy l2h k , k  Z

và g k , k  Z là các bộ lọc gương vuông góc (quadrature mirror filters) trong

18

xử lý tín hiệu Mỗi liên hệ giữa g và h, là bộ lọc gương vuông góc của h(k) thể hiện

Các tính chất sau có thể được chứng minh sử dụng biến đổi Fourier và tínhtrực giao:

 h k   2, g k   0

Với dãy f  fn đại diện cho tín hiệu rời rạc cần được phân tích và các toán

tử H và G được xác định bởi các biểu thức:

Hf k  h n  2k f n 

n

Gf k  g n  2k f n 

nCác biểu thức (1.37), (1.38) biễu diễn phép lọc tín hiệu qua các bộ lọc số

h(k), g(k) tương ứng với các phép toán tích chập với đáp ứng xung của các bộ lọc.

Hệ số 2k đại diện cho phép phân chia (downsampling) Các toán tử H và G tương

ứng với bước trong phân tích wavelet

Như vậy biến đổi wavelet rời rạc có thể tóm tắt như sau (hình 1.3):

Hình 1.3: Phân tích wavelet s ử dụng ký hiệu toán tử

19

0, c0

Quy trình khôi phục tín hiệu cũng tương tự như phân tích Tín hiệu ở mọi

mức được nội suy (upsampled) với hệ số 2, qua các bộ lọc tổng hợp ký hiệu G, H

(thông cao và thông thấp tương ứng), sau đó được cộng với nhau Các toán tử G , H

được xác định như sau:

Hf n  h  n  2k  f  n 

(1.41)k

Gf n   g  n  2k  f  n 

(1.42)k

là phần từ cơ bản của thuật toán hình chóp

Hình 1.4: Băng lọc hai kênh