Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)

Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát (Luận văn thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS MAI VIẾT THUẬN

Thái Nguyên, 4/2019

Mục lục

1.1 Giải tích phân thứ 61.1.1 Tích phân phân thứ 61.1.2 Đạo hàm phân thứ 71.2 Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình viphân phân thứ Caputo 111.3 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phânthứ 131.4 Một số bổ đề bổ trợ 16

2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 172.2 Tiêu chuẩn ổn định Mittag-Leffler toàn cục 222.3 Ví dụ minh họa 24

3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 273.2 Tiêu chuẩn ổn định đều 303.3 Ví dụ minh họa 33

LỜI NÓI ĐẦU

Mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậcnguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O Chua và L Yang vào năm 1988 [7]

Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa họctrong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong xử lí tínhiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [3, 8, 15] Năm 2008,trong một nghiên cứu của mình, A Boroomand và M.B Menhaj [3] lần đầutiên mô hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputohoặc Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình viphân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phânphân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính và tínhchất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [3, 15] Do đó hệ phương trìnhmạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhàkhoa học Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron phânthứ đã được công bố trong những năm gần đây (xem [15, 18, 19, 27] và các tàiliệu tham khảo trong đó)

Như chúng ta đã biết, tính ổn định là một trong những tính chất cơ bản vàquan trọng của mọi hệ động lực và hệ phương trình vi phân phân thứ cũngkhông là ngoại lệ Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trình

vi phân phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoahọc trong những năm gần đây (xem [2, 10, 12, 14, 17] và các tài liệu tham khảotrong đó) Đối với lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ, một vài kết quảthú vị và sâu sắc đã được công bố trong những năm gần đây [20, 22, 25, 26].Bằng cách sử dụng biến đổi Laplace và sử dụng một số tính chất của đạo hàmphân thứ Caputo, H Wang cùng các cộng sự [20] nghiên cứu tính ổn định tiệm

cận cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ Trong [25], các tácgiả nghiên cứu tính ổn định Mittag–Leffler đối với lớp hệ phương trình mạng

nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt không liên tục Tính ổn định cho hệ phươngtrình mạng nơ ron phân thứ phức được nghiên cứu trong [26] Bằng cách tiếpcận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính, các tác giả trong [27] nghiêncứu tính ổn định Mittag–Leffler của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứkhông có trễ với hàm kích hoạt thỏa mãn điều kiện Lipschitz Gần đây, tính

ổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạttổng quát được nghiên cứu trong [23] với cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức

ma trận tuyến tính và định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phânthứ So với cách tiếp cận sử dụng biến đổi Laplace và tìm nghiệm của đa thứcđặc trưng trong các bài báo [20, 25], cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức matrận tuyến tính có ưu thế là có thể kiểm tra các điều kiện ổn định bằng phầnmềm MATLAB Ngoài ra, với cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trậntuyến tính, bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ

có thể giải quyết không mấy khó khăn

Luận văn tập trung trình bày tính ổn định cho hệ phương trình mạng nơron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợpcác bài báo đã được công bố trong những năm gần đây Luận văn gồm có 3chương Cụ thể:

Trong chương 1, tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ nhưtích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàmphân thứ Caputo Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và duynhất nghiệm Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ Nội dungchính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [10, 12, 13].Trong chương 2 của luận văn, tôi trình bày một số điều kiện đủ cho hệphương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát Nội dungchính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [23]

Trong chương 3 của luận văn, tôi trình bày một số điều kiện đủ cho hệphương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát Nộidung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [23]

Luận văn này được thực hiện tại trường ĐH Khoa Học - Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Mai Viết Thuận.Tôi xinđược bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa họccủa mình Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn,tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.Tôi xin trân trọng cảm ơn BGH trường ĐH Khoa Học - Đại học TháiNguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – tin cùng các giảng viên đã tham giagiảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu,cảm ơn những ngườibạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiêncứu Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường ĐH Khoa Học -Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứmệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau Xin chânthành cảm ơn

Danh mục ký hiệu

A > 0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn, x 6= 0

kxk chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1, x2, , xn)> ∈ Rn

C([a, b], Rn) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn

ACm[a, b] không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]

t 0Itα toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính

ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phươngtrình vi phân có trễ Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được

sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau.Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [9, 10, 12, 13]

1.1 Giải tích phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phânthứ Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệmtích phân lặp thông thường

Định nghĩa 1.1 ([13]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t0Itα := I với I là toán

tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với

0 < α < 1 được cho bởi định lí sau

Định lí 1.1 ([13]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b] Khi

đó, tích phân t0Itαx(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, t0Itαx cũng làmột hàm khả tích.

Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville vàđạo hàm Caputo Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiềulĩnh vực

Định nghĩa 1.2 ([13]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂

R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R đượccho bởi

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.

Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R AC[a, b] là không gian các hàmtuyệt đối liên tục trên [a, b] Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữacác hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:

Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm ACn[a, b] như sau:

ACn[a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1f )(t) ∈ AC[a, b]



dt

}.Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm ACn[a, b]

Mệnh đề 1.1 ([13]) Không gian ACn[a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạngnhư sau:

Định lí sau cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứRiemann–Liouville

Định lí 1.2 ([13]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1 Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạohàm phân thứ RLt

0 Dαtf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểudiễn dưới dạng sau

Hệ quả 1.1 ([13]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì

Z t

t 0

f0(s)ds(t − s)α

.Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville làmột toán tử tuyến tính

Mệnh đề 1.2 ([12]) Cho trước một số thực dương α Khi đó đạo hàm phânthứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là

RL

t 0 Dαt [λf (t) + µg(t)] = λRLt0 Dtαf (t) + µRLt0 Dtαg(t)trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ ACn[a, b]

Định nghĩa 1.3 ([12]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂

R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

C

t 0Dtαx(t) := t0Itn−αDnx(t),trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dxdnn làđạo hàm thông thường cấp n

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1(t), x2(t), , xd(t))T đạo hàm phân thứCaputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:

C

t 0Dαtx(t) := Ct0Dtαx1(t), Ct0Dαtx2(t), , Ct0Dαtxd(t)
T Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứcấp α

Định lí 1.3 ([13]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1 Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạohàm phân thứ Caputo Ct0Dαtf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] Hơn nữa, ta có(i) Nếu α 6∈ N thì Ct 0Dαtx(t) biểu diễn dưới dạng sau:

Chứng minh Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2

Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.Mệnh đề 1.4 ([12]) Cho trước một số thực dương α Nếu ξ là hằng số thì

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịchđảo phải của tích phân phân thứ Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đâyĐịnh lí 1.5 ([13]) Cho α > 0, n = [α] + 1 Nếu f (t) ∈ ACn[a, b] thì

1.2 Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương

trình vi phân phân thứ Caputo

Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) vàluôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình Bây giờ chotrước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn) là không gian các hàm liên tụcnhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn k.k∞ được định nghĩa như sau

t∈[0,T ]kx(t)k,( trong đó k.k là chuẩn Euclide trong không gian Rn)

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệmđịa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ

Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo

C

với điều kiện ban đầu

trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn

là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn.Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ]nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn) thỏa mãn (1.1) và(1.2)

Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của

hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân.Mệnh đề 1.5 [9] Xét bài toán (1.1) Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy

ý, một hàm ϕ(., x0) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn[0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân

Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phươngtrình vi phân phân thứ Caputo được được đảm bảo bởi các định lí sau:

Định lí 1.7 ([9] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn

Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T∗], Rn) là nghiệm của bài toán (1.1)với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2).

Định lí 1.8 ([2] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán (1.1),(1.2) Giả sử f : R+× Rn −→ Rn thỏa mãn

kf (t, x) − f (t, y)k ≤ L(t)kx − yk,

ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý

x0 ∈ Rn, bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞)

1.3 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi

phân phân thứ

Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler

Định nghĩa 1.4 [12] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi

Nhận xét 1.2 Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có

+∞

X

k=0

zkk! = e

z

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ

Định nghĩa 1.5 [12] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi

được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số Các hàm Mittag-Leffler nhận giátrị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định của hệphương trình tuyến tính phân thứ Caputo và hệ phương trình vi phân có nhiễuphi tuyến Caputo Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo

(1.4)

trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1, x2, , xn)T ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 làthời điểm ban dầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t vàthỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x

Định nghĩa 1.6 ([27]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệphương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) nếu và chỉ nếu f (t,x) = 0.Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọiđiểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có thểchuyển về gốc tọa độ 0 Thật vậy, giả sử x 6= 0 là một điểm cân bằng của hệphương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) Đặt y(t) = x(t) − x Khi đó hệ(1.4) trở thành

Định nghĩa 1.7 ([27]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4)

có một điểm cân bằng x = 0 Khi đó hệ (1.4) được gọi là ổn định Mittag–Lefflernếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn

Như ta đã biết, phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hiệu quả

để nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến.Đối với lớp hệ phân thứ Caputo không có trễ, Y Li, Y Q Chen, và I Podlubny

đã đưa ra phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệphương trình vi phân phân thứ

Định lí 1.9 ([14]) Hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương

α1, α2, α3, a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện:(i) α1kx(t)ka ≤ V (t, x(t)) ≤ α2kx(t)kab,

(ii) Ct0DtαV (t, x(t)) ≤ −α3kx(t)kab,

trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏamãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0trong Rn Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.4)

là ổn định Mittag–Leffler toàn cục

Đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ, Chen B.S vàChen J.J là những tác giả đầu tiên đưa ra định lý kiểu Razumikhin để nghiêncứu tính ổn định nghiệm cho lớp hệ này

Định lí 1.10 [6] Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễCt0Dαtx(t) =h(t, xt), ở đó xt = x(t + θ) ∈ C([t0 − τ, t0], Rn), −τ ≤ θ ≤ 0, h : [t0, +∞) ×C([t0− τ, t0], Rn) → Rn là một hàm liên tục từng khúc theo t và thỏa mãn điềukiện Lipschitz địa phương trên [t0, +∞), xt0 = φ ∈ C([t0 − τ, t0], Rn) là điềukiện ban đầu Giả sử rằng ω1, ω2 : R −→ R là các hàm liên tục không giảm,

ωi(s), i = 1, 2 dương với s > 0 và ωi(0) = 0, i = 1, 2, ω2 là hàm tăng chặt Nếutồn tại hàm khả vi V : R × Rn −→ R thỏa mãn

ta có bất đẳng thức sau đúng

C

0Dαt xT(t)P x(t) ≤ 2xT(t)P C0Dαtx(t), ∀t ≥ 0

Bổ đề 1.4 [23] Giả sử rằng các ma trận Qi ∈ Rn×n(i = 0, 1, , p) là các

ma trận thực, đối xứng Khi đó điều kiện ηTQ0η > 0, ∀η 6= 0 sao cho ηTQiη ≥

0, (i = 1, 2, , p) đúng nếu tồn tại các số τi ≥ 0(i = 1, 2, , p) sao cho

Chương 2

Tính ổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm

kích hoạt tổng quát

2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Xét hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát

(2.1)

ở đó α ∈ (0, 1), x(t) = (x1(t), x2(t), , xn(t))T ∈ Rn là véc tơ trạng tháicủa mạng nơ ron, C = diag{c1, c2, , cn} với ci > 0, B = (bij) là matrận hằng số, véc tơ I = [I1, I2, , In]T ∈ Rn tín hiệu đầu vào, g(x(t)) =[g1(x1(t)), g2(x2(t)), , gn(xn(t))]T ∈ Rn là hàm kích hoạt của mạng nơ ron.Hàm kích hoạt được giả thiết thỏa mãn điều kiện dưới đây:

Giả thiết 2.1 Hàm kích hoạt gi(.), i = 1, 2, , n thỏa mãn điều kiện dướiđây

ki− ≤ gi(u) − gi(v)

ở đó ki−, ki+(i = 1, 2, , n) là hằng số cho trước

Nhận xét 2.1 Trong Giả thiết 2.1, các hằng số ki+ và ki− có thể là số dương,

số âm hoặc bằng 0 Đặc biệt, khi ki− = 0 và k+i > 0, Giả thiết 2.1 suy rarằng gi(.), i = 1, 2, , n là các hàm đơn điệu không tăng thỏa mãn điều kiện

Lipschitz toàn cục Khi k+i > k−i > 0, ta có hàm kích hoạt thuộc lớp hàm đơnđiệu tăng với đạo hàm có cận trên và cận dưới Trong hầu hết các kết quả đã

có (chẳng hạn trong [1, 27]), các hàm kích hoạt gi(.) đều thỏa mãn điều kiện

|gi(u) − gi(v)| ≤ ki|u − v|, với mọi u, v ∈ R Dưới giả thiết này, các giá trị tuyệtđối của k+i và ki− đều bằng nhau Như vậy, so với các điều kiện hàm kích hoạtthuộc lớp hàm đơn điệu không giảm hoặc thuộc lớp hàm liên tục Lipschitz,điều kiện (2.2) là ít bảo thủ hơn

Nhận xét 2.2 Trong [1], luận văn của Nguyễn Văn Cường đã nghiên cứutính ổn định cho lớp mạng nơ ron phân thứ (2.2) Tuy nhiên, trong [1] mới chỉnghiên cứu tính ổn định cho hệ (2.1) trong trường hợp hàm kích hoạt thuộclớp hàm liên tục Lipschitz Trong luận văn này, chúng tôi trình bày tính ổnđịnh cho hệ (2.1) trong trường hợp hàm kích hoạt thỏa mãn điều kiện (2.2)dựa trên việc đọc hiểu và trình bày lại một cách có hệ thống bài báo [23] Vìvậy, các nội dung chính trong luận văn này khác với kết quả trong [1]

Định nghĩa 2.1 Một ánh xạ H : Rn −→ Rn

là một phép đồng phôi trên Rnnếu H là một ánh xạ liên tục, một song ánh và H−1 là một ánh xạ liên tục

Bổ đề dưới đây cho ta một điều kiện đủ để một ánh xạ là một phép đồngphôi

Bổ đề 2.1 [16] Nếu ánh xạ liên tục H : Rn −→ Rn thỏa mãn hai điều kiệndưới đây:

(i) H là một đơn ánh trên Rn;

Để thuận tiện cho việc trình bày tiếp theo, ta ký hiệu

tỏ H là một đơn ánh, tức là H(u) 6= H(v) với bất kỳ u = (u1, , un)T, v =(v1, , vn)T ∈ Rn, u 6= v Theo Giả thiết 2.1, u 6= v ta xét hai trường hợp dướiđây