a Chứng minh rằng tổng các chữ số của một số chính phương bất kỳ không thể bằng 2019.. Ban đầu bể không có nước, An đã sử dụng 2 cái thùng để xách nước đổ vào bể, một thùng lại 7 lít, mộ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
SÓC TRĂNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
2
2
1
a) Rút gọn P b) Tìm x để P2 2 1 x4 x2
Câu 2
a) Chứng minh rằng tổng các chữ số của một số chính phương bất kỳ không thể bằng 2019
b) Nhà bạn An có một cái bể chứa nước hình trụ có chiều cao h1mvà đường kính mặt đáy(không kể bề dày thành bể) là 40
Ban đầu bể không có nước, An đã sử dụng 2 cái thùng để xách nước đổ vào bể, một thùng lại 7 lít, một thùng loại 4 lít Sau nhiều lượt đổ nước vào bể, nhưng An không nhớ mình đã xách mỗi loại thùng trên bao nhiêu lần Em hãy tính giúp xem An đã xách mỗi loại bao nhiêu lần ? Biết rằng thùng luon được đong đầy trước khi đổ vào bể chứa
Câu 3
a) Tìm m để phương trình 2
2x m1 x180có hai nghiệm thực phân biệt
1; 2
x x sao cho biểu thức 2 2
1 4 2 25
Q x x đạt GTNN
b) Giải hệ phương trình
2 3
x y x y x y
Câu 4 Cho tam giác đều ABC Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho
0
15
CAD Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt AD tại E Tia phân giác trong
của góc B cắt AD ở K Chứng minh rằng AK ED
Câu 5 Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AH là đường cao Trên đoạn HC lấy
điểm M M khác H và C) Gọi ,( I J lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến
các cạnh AC và AB N, là điểm đối xứng của M qua IJ
a) Chứng minh rằng ABCN nội tiếp đường tròn T
b) Kéo dài AM cắt đường tròn T tại P (P khác A) Chứng minh rằng
PM PB PC
c) Gọi D là trung điểm của AH kẻ HK vuông góc với CD tại , K Chứng minh
rằng: BAK KHC
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1
2 2
2
2
b)Ta có:
5
( )
4
Câu 2
a) Ta biết rằng tổng các chữ số của một số tự nhiên thì có cùng số dư với số tự nhiên đó khi chia cho 9 Mà một số chính phương khi chia cho 9 có số dư là 0;1;4 hoặc 7 Nhưng 2019 chia cho 9 dư 3 Do đó tổng các chữu số của một
số chính phương bất kỳ không thể bằng 2019
b) Ta có thể tích bể là 1 40 2 3
.10 100 2
Gọi ,x y theo thứ tự là số lượt đổ thùng loại 4 lít và 7 lít vào bể ĐK: ,x y * Theo bài toán thì 4x7y1007y 4 y 4
Mặt khác 7y100 4 x96 4 y 12
Câu 3
a) Vì 2.18 36 0nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Theo Vi-et thì 1 2
1 2
1 2 9
m
x x
x x
Ta có: 2 2 2 2 2 2
1 4 2 25 1 2 4 2 25 1 100
Q x x x x x x
Trang 3 2 2 2 2
2x 5x 181 2 2x 5x 181 20 x x 181 180 181 361
Do đó GTNN của Q là 361 Đạt được khi:
1 2
1 2
1 2
1 2
3 10 3 10
9
x x
x x
m
m
b) Hệ phương trình
0
1 3
y
Áp dụng BĐT Cosi:
2
1 2
1 2
1 3
y x x x
1 3 .1
Do đó x y,ta có
2
2
1
y y
y x
Vậy nghiệm của hệ phương trình x y; 0;0 ; 1;1
Trang 4Câu 4
Ta có ACBCDAADCADC600 150, suy ra CDE vuông cân
Đường thẳng qua E vuông góc với CE cắt đường thẳng qua D vuông góc với CD tại F Suy ra tứ giác CDFE là hình vuông, suy ra AD là trung trực của CF
Mặt khác BK là trung trực của AC nên KAKC KACcân
Do đó 0 0 0 0 0
180 60 15 45 60
KCF
đều KCCFED Do đó AK ED
K
F E
A
Trang 5Câu 5
a) Ta có tứ giác AIMJ là hình chữ nhật do đó AIMJ nội tiếp đường tròn đường kính AM và IJ
Vì N đối xứng với M qua IJ nên JNI JMI 900hay N thuộc đườn tròn
đường kính AM và IJ 0
90
ANM
Mặt khác I thuộc trung trực MN nên
MIC
vuông cân tại I nên thuộc trung trực MC, suy ra I là tâm đường tròn
ngoại tiếp MNC
0 1
45 2
45 90 45 180
Hay ABCN nội tiếp đường tròn T
K D
P
N
I
J
H
C
B
A
M
Trang 6b) Ta có: MPC MBA PM PC PM MB (1)
(2)
Cộng (1), (2) vế theo vế:
1
PC PB BA CA BA BA BA PC PB PM
c) Áp dụng hệ thức lượng ta có: DH2 DK DC DA2 DK DC
0 45
45 45 90 180
ABHKlà tứ giác nội tiếp
0 90
mà ABK AHK KCH nên suy ra BAK KHC