3,0 điểm Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O.. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BECM.. a Chứng minh rằng: OEM vuông cân b Chứng minh: ME song song với BN c Từ C kẻ CH vuông góc với
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CÁP HUYỆN
NĂM HỌC 2018-2019
ĐỀ THI MÔN : TOÁN Câu 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức 1 2 2 5
4
P
x
Tìm x để P có giá trị bằng 2
Câu 2 (2,0 điểm) Chứng minh rằng nếu a b c là các số thực thỏa mãn:, , 1 1 1 2
a b c và
a b c abcthì 12 12 12 2
a b c
Câu 3 (2,0 điểm) Tính tổng:
Câu 4 (2,0 điểm) Giải phương trình: 2
x x x
Câu 5 (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
2 2
3n 2n 3n 2 10n
Câu 6 (2,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên:
2
x xy x y
Câu 7 (1,0 điểm) Cho ,m n là các số tự nhiên và p là số nguyên tố thỏa mãn:
1
p m n
Chứng minh rằng khi đó n2là một số chính phương
Câu 8 (2,0 điểm) Cho các số thực dương a b c thỏa mãn , , 2 1 1
b a c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a b c b P
a b c b
Câu 9 (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O Gọi M là điểm bất kỳ
thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng CD tại N Trên cạnh AB lấy
điểm E sao cho BECM
a) Chứng minh rằng: OEM vuông cân
b) Chứng minh: ME song song với BN
c) Từ C kẻ CH vuông góc với BN tại H Chứng minh ba điểm O M H thẳng hàng , ,
Câu 10 (2,0 điểm) Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để
phủ kín 1 tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt các tấm bìa?
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1
Biểu thức có nghĩa khi x0;x4
4
2
P
x
x
2
x
x
Câu 2
Từ
2
2 2 2
a b c ab bc ca
2 a b c 4(*)
abc
Nên từ (*) 12 12 12 2 4 12 12 12 2
Câu 3
Với n *ta có:
1
2
2
1
1
1
n n
n n n n
n n
Suy ra
2
1 1
n n
Trang 3Áp dụng kết quả trên với n1;2; ;2019ta có:
S
Câu 4 Điều kiện x 1
t x DK t x t
Phương trình đã cho trở thành: 4 2
t t t
2
4
2 2
2( )
6 0 3( )
t t
t tm
t t
t ktm
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x3
Câu 5
Ta có:
3 10 2 10 10 3 2 10( )
dfcm
Câu 6
Ta có : x2xy2017x2018y20190
2
2018 2018 2018 1
Nên có 2 trường hợp xảy ra:
1:
2 :
TH
TH
Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên x y; 2019; 2019 ; 2018; 2019
Trang 4Câu 7
1 1
p m n
Vì m n là các số tự nhiên nên , m n m 1
Mặt khác p là số nguyên tố nên chỉ có 2 trường hợp: p2 1.p2 p p
2
Vì p là số nguyên tố nên n2là số chính phương Vậy có điều phải chứng minh
Câu 8
Vì 2 1 1
b a c nên b 2ac
a c
Do đó:
2 2
2
2
ac a
a b a c c ac a c
ac
a c
Và:
2 2
2
2
ac c
c b a c c ac c a
ac
a c
Suy ra :
2 2
4
P
Vậy P4với mọi a b c thỏa mãn đề bài Dấu bằng xảy ra khi a, , b c
Vậy GTNN của P là 4 khi a b c
Trang 5Câu 9
a) Xét OEB và OMC,ta có: OBOC(vì ABCD là hình vuông)
0
1 1 45 ; ( )
B C BECM gt OEB OMC c g c( )
OE OM
và O1 O3
Lại có O2 O3 BOC 900(vì tứ giác ABCD là hình vuông)
kết hợp với OEOM OEMvuông cân tại O b) Vì AB/ /CD AB/ /CN AM BM
MN MC
Mà BECM gt( )và ABBCAEBM thay vào (*) ta có:
/ /
AM AE
ME BN
MN EB (Theo định lý Talet đảo)
c) Gọi H là giao điểm của OM và BN '
Từ ME/ /BN OMEOH B' (cặp góc đồng vị)
Mà OME450vì OEM vuông cân tại O
0 1
MH B C OMC BMH g g
H N
E
O
C D
M
Trang 6, '
OM MC
OB MH
kết hợp với OMBCMH'(hai góc đối đỉnh)
0
OMB CMH cgc MH C OBM
Vậy BH C' BH M' MH C' 900CH'BN tại H '
Mà CH BNtại HH H'hay ba điểm , ,O M H thẳng hàng (đpcm)
Câu 10
Giả sử ABC là tam giác đều có cạnh bằng 3 Chia mỗi cạnh tam giác ABC thành ba phần bằng nhau Nối các điểm chia bởi các đoạn thẳng song song với các cạnh Tam giác ABC được chia thành 9 tam giác đều có cạnh bằng
1 như hình vẽ
Gọi I, J, K lần lượt là 3 điểm trên các cạnh
BC, CA, AB sao cho BI CJ AK 1.Ba đường tròn bán kính 1, tâm tương ứng I, J, K
sẽ phủ kín được tam giác ABC (mỗi hình tròn
sẽ phủ kín được 3 tam giác đều cạnh 1) Như vậy dùng ba tấm bìa hình tròn bán kính 1 sẽ phủ kín được tam giác ABC
*Số tấm bìa ít nhất phải dùng là 3, vì nếu ngược lại sẽ có hai trong ba đỉnh của tam giác
ABC cùng thuộc một hình tròn bán kính 1 Điều này không thể xảy ra do cạnh của tam giác ABC bằng 3
I
J A
K