Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về tứ giác và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nguyễn Việt Hải

THÁI NGUYÊN - 2019

Danh mục hình

1.1 Tứ giác nội tiếp 6

1.2 Định lý Pithot 8

1.3 IMO Shortlist 2008, Bài 1 9

1.4 IMO Shortlist 2013, Bài 3 10

1.5 IMO Shortlist 2016, Bài 1 11

1.6 IMO Shortlist 1997, Bài 7 13

1.7 IMO Shortlist 2008, Bài 1 13

2.1 a) a2 + c2 = b2 + d2; b) dP AB +P BA +d P CD +d P DC = πd 16 2.2 Bộ 8 điểm thứ nhất đồng viên 17

2.3 KLM N là tứ giác nội tiếp 18

2.4 Bộ 8 điểm thứ hai đồng viên 19

2.5 ABCD là tứ giác α ⇐⇒ RST U là hình chữ nhật 20

2.6 Bốn trung tuyến m1, m2, m3, m4 21

2.7 Bán kính các đường tròn ngoại tiếp: R1, R2, R3, R4 22

2.8 Các đường cao của các tam giác h1, h2, h3, h4 23

2.9 IMO Shortlist 1992, Bài 5 28

2.10 Tứ giác αβ 31

2.11 Công thức diện tích tứ giác αβ của Josefsson 33

3.1 Tứ giác toàn phần 36

3.2 Điểm Miquel, đường tròn Miquel 37

3.3 Đường thẳng Simson của tứ giác toàn phần 37

3.4 Định lý Brocard: O là trực tâm 4GEF 39

3.5 Dấu hiệu nhận biết tứ giác điều hòa 40

3.6 AI là phân giác dBID 41

3.7 VMO 2012 43

3.8 Bốn điểm F, M, Z, Y đồng viên 45

3.9 P Q = QR ⇐⇒ 2 phân giác và AC đồng quy 46

3.10 Moldova, 2014 47

Mục lục

1.1 Các công thức tính diện tích tứ giác 3

1.2 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp 4

1.2.1 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp 4

1.2.2 Dấu hiệu nhận biết tứ giác ngoại tiếp 7

1.3 Các ứng dụng trong giải toán 8

2 Tứ giác có hai đường chéo vuông góc, bằng nhau 15 2.1 Tứ giác có hai đường chéo vuông góc 15

2.2 Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau 24

2.3 Tứ giác có đường chéo vuông góc và bằng nhau 30

3 Tứ giác toàn phần, tứ giác điều hòa 35 3.1 Tứ giác toàn phần 35

3.2 Tứ giác điều hòa 39

3.3 Các ứng dụng trong giải toán 42

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhậnđược sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS Nguyễn Việt Hải,Giảng viên cao cấp Trường đại học Hải Phòng Tôi xin chân thành bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối vớinhững điều thầy đã dành cho tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo, Khoa Toán-Tin, quý thầy

cô giảng dạy lớp Cao học K11B (2017 - 2019) Trường đại học khoa học

- Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báucũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, nhữngngười đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốtquá trình học tập và thực hiện luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

Hải Phòng, tháng 5 năm 2019

Người viết Luận văn

Hoàng Diệu Thu

MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN

1 a, b, c, d Độ dài 4 cạnh tứ giác 3

Mở đầu

1 Mục đích của đề tài luận văn

Giống như tam giác, tứ giác là một đề tài quan trọng và có nội dungphong phú trong hình học phẳng Trong chương trình hình học hiện nay(ở phổ thông cũng như ở các trường Đại học sư phạm) mới chỉ đề cập đếncác hình tứ giác đặc biệt: Hình thang, hình bình hành, hình vuông, hìnhthoi, và tứ giác nội tiếp Chuyên đề về tứ giác còn rất nhiều vấn đề quantrọng và mới cần được nghiên cứu bổ sung với những kiến thức sâu sắc.Gần đây các khái niệm này được sử dụng nhiều trong các kỳ thi học sinhgiỏi quốc gia và quốc tế Đó là lý do tôi nghiên cứu đề tài "Một số vấn đề

về tứ giác và ứng dụng" Mục đích của đề tài là:

- Trình bày các vấn đề bổ sung về tứ giác, đặc biệt các vấn đề mớinhưng chưa được trình bày trong các sách về hình học sơ cấp: Tứ giác cóhai đường chéo vuông góc, bằng nhau; tứ giác toàn phần, tứ giác điều hòa

và các ứng dụng hay các đường thẳng đặc biệt liên quan đến tứ giác,

- Sử dụng được các công cụ của hình học như: Biến đổi đại số trên các

hệ thức hình học đã có, phương pháp tọa độ, phương pháp biến hình, đểnghiên cứu và mở rộng các khái niệm xung quanh tứ giác

- Bồi dưỡng năng lực dạy các chuyên đề khó ở trường THCS và THPTgóp phần đào tạo học sinh học giỏi môn Hình học

2 Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết

Dựa vào các tài liệu [1], [3] luận văn trình bày một số vấn đề quantrọng về tứ giác hay được ứng dụng để giải các bài toán hình học khó Nộidung luận văn chia làm 3 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp là các nội dung quan trọng và chủ yếuhay gặp để giải quyết các bài toán thi học sinh giỏi, thi chuyển cấp ở phổthông Ở đây ta sẽ hệ thống lại các dấu hiệu nhận biết một tứ giác nộitiếp, ngoại tiếp, phát biểu các công thức tính toán liên quan đến tứ giác,

bổ sung thêm các điều kiện khác và minh họa cách áp dụng các kiến thức

đó vào việc giải các bài toán thi Olympic toán quốc gia và quốc tế Chươngnày bao gồm:

1.1 Các công thức tính diện tích tứ giác

1.2 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp

1.3 Các ứng dụng trong giải toán

Chương 2 Tứ giác có hai đường chéo vuông góc, bằng nhau

Nội dung chương này đề cập đến hai loại tứ giác khá đặc biệt vớicác tính chất liên quan đến đường chéo: Tứ giác có hai đường chéo vuônggóc, tứ giác có hai đường chéo bằng nhau Sự kết hợp các tính chất này

bao gồm các mục sau:

2.1 Tứ giác có hai đường chéo vuông góc

2.2 Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau

2.3 Tứ giác có hai đường chéo vuông góc và bằng nhau

Chương 3 Tứ giác toàn phần, tứ giác điều hòa

Hai loại tứ giác quan trọng nữa là tứ giác toàn phần và tứ giác điều hòaliên quan đến hình học xạ ảnh, được trình bày rất trực quan với các tínhchất phong phú, được sử dụng nhiều để giải các bài toán về chứng minhtính thẳng hàng, đồng quy, tính đồng viên, hoặc các đẳng thức, bất đẳngthức hình học

Nội dung của chương được chia thành 3 phần:

3.1 Tứ giác toàn phần

3.2 Tứ giác điều hòa

3.3 Các ứng dụng trong giải toán

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp là các nội dung quan trọng và haygặp trong các chuyên đề về tứ giác Ở đây ta sẽ hệ thống lại các dấu hiệuhay dùng để nhận biết một tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp Phát biểu

và chứng minh các công thức tính diện tích tứ giác, bổ sung thêm các điềukiện khác và minh họa cách áp dụng các dấu hiệu đó vào việc giải các bàitoán thi Olympic toán quốc gia và quốc tế

1.1 Các công thức tính diện tích tứ giác

AC2 = a2 + b2 − 2ab cos B

= c2 + d2 − 2cd cos D

= h(a + b)2 − (c + d)2i h(c + d)2 − (a − b)2i− 16abcd cos2



B + D2



= (2s − 2d) (2s − 2c) (2s − 2b) (2s − 2a) − 16abcd cos2



B + D2



= 16 (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) − 16abcd cos2



B + D2





B + D2



1.2 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn Ta còngọi là 4 điểm đồng viên thay cho cách nói tứ giác nội tiếp Tứ giác lồi

(iii.) Hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc,

\

CAD = CBD,\ ACB =\ ADB\

(iv.) Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện, hay tổng haigóc đối diện bằng hai vuông

(v.) Có điểm P sao cho P A.P C = P B.P D.

Khi đó, các điều kiện sau là tương đương

b EA.EB = EC.ED

c F A.F C = F B.F D

Chứng minh Mệnh đề được chứng minh nhờ tam giác đồng dạng

Ý nghĩa của mệnh đề là xác định tứ giác nội tiếp nhờ quan hệ giữa cáccạnh khi ta không tìm được mối quan hệ giữa các góc

Ví dụ 1.2.1 (Định lý Ptolemy) Tứ giác lồi ABCD nội tiếp được khi vàchỉ khi

AB.CD + AD.BC = AC.BD (1.4)Chứng minh Có nhiều cách chứng minh, cách nào cũng có cái hay nhưngngắn nhất là sử dụng phép nghịch đảo Tuy nhiên, ở đây chúng tôi chọncách chứng minh với kiến thức tối thiểu

= DAC +\ \P AC = P AD\ và \ACB = \ADP Từ đó, AC

AB.CD + AD.BC = AC (BP + P D) = AC.BD

Hình 1.1: Tứ giác nội tiếp

Cộng vế với vế ta được:

AB.CD + AD.BC = AC.BP0 + AC.P0D = AC.BD

\

ABD = ABP\0 = ACD\ và 4 điểm A, B, C, D thuộc một đường tròn

đó ta có bất đẳng thức

x1 + x2 + x3 ≥ 2 (p1 + p2 + p3) (1.5)

Có rất nhiều cách chứng minh kết quả kinh điển này Sau đây ta sẽ sửdụng định lý Ptolemy

AB.CA0+ AC.BA0 = BC.AA0

a.

+p2c

a +

ac



≥ 2 (p1 + p2 + p3)

ngoại tiếp tam giác

Những ví dụ trên một lần nữa cho thấy sự gần gũi giữa bất đẳng thứcPtolemy và bất đẳng thức tam giác

Ta nêu một số dấu hiệu hay dùng về tứ giác ngoại tiếp:

(i.) Các phân giác trong của 4 góc đồng quy tại một điểm, đó chính là

khi và chỉ khi :

1d(P, AB) +

1d(P, CD) =

1d(P, BC) +

1d(P, DA).

hay viết dưới dạng

AM = AQ, BM = BN, CN = CP, DP = DQ

Cộng vế với vế ta có: AB + CD = BC + DA.

nên BC ≤ DC Khi đó tồn tại Q ∈ AD, P ∈ DC sao cho AB = AQ và

CB = CP, suy ra DP = DQ Từ đó, các tam giác ABQ, CBP, DP Q

AD, DC, CB, AB của tứ giác Vậy tồn tại đường tròn tâm I tiếp xúc vớicác cạnh tứ giác

Hình 1.2: Định lý Pithot

(iii.) và (iv.) Đã trình bày chi tiết trong [3]

1.3 Các ứng dụng trong giải toán

Ta sẽ ứng dụng các kiến thức bổ sung ở trên vào việc trình bày lời giảicác bài toán thi học sinh giỏi, thi Olimpic quốc gia và quốc tế

tròn (I, IH) cắtBC tạiM, N, đường tròn (J, J H)cắt CA tại P, Q, đườngtròn (K, KH) cắt AB tạiR, S Chứng minh rằng 6 điểm M, N, P, Q, G, S

nằm trên một đường tròn

Chứng minh.

AP =

AQ

Hình 1.3: IMO Shortlist 2008, Bài 1

= OM = ON nên ta có điều phải chứng minh

OM2 = OI2 + IH2

Tương tự, ta suy ra M, N, P, Q, R, S nằm trên đường tròn tâm O, bán

2

p

2(R2 + OH2)

trên (ABC) thì ∆ABC là tam giác vuông

Hình 1.4: IMO Shortlist 2013, Bài 3

IC1 = IB1 ⇐⇒ I ≡ O

TrênOBlấy điểmM và trênOC lấy điểmN sao cho BM = CN = OA.

4CN A1 = 4AOC1 (c.g.c)

4BM A1 = 4AOB1 (c.g.c), N A1 = OC1 = OA1 = OB1 = M A1 Nhưvậy, \CA1N = AC\1O = 1800−BC\1O = 1800−OB\1C = AB\1O = BA\1M

DoN A1 = OA1 = M A1 nên4M ON là tam giác vuông Từ góc \M ON

sử A ∈ CF với F A = F B, F ở giữa A và C Điểm D được lấy sao cho

DA = DC, AC là phân giác góc \DAB; E được lấy sao cho EA = ED

Hình 1.5: IMO Shortlist 2016, Bài 1

Chứng minh Hình 1.5 Ta chia làm 3 bước

và \F DA = α Không mất tính chất tổng quát ta coi M F = M C = 1 Ta

có \BF C = 2α, BF = 2 cos(2α) = AF ; AC = AF + F C = 2 cos(2α) + 2

Vậy, (2 + 2 cos 2α)2 = a2(2 + 2 cos 2α) =⇒ a2 = 2 + 2 cos 2α

EF = ED = 1 nên nó là hình thoi, DF ⊥EM

(doAF XD là hình bình hành) nên EB = EF + F B = ED + DX = EX,

Dấu bằng xảy ra khi nào?

AC.EF + AF.CE ≥ AE.F C

Hình 1.6: IMO Shortlist 1997, Bài 7

ACDE, ABCE nội tiếp, tức là lục giác nội tiếp đường tròn và AC = CE

giác đều

Hình 1.7: IMO Shortlist 2008, Bài 1

Chứng minh

Giả sử EG, F D lần lượt cắt Γ tại Y và X Ta có F B = F D, F G = CG

và \AXF = \ABF = F DB =\ ADX\ Ta suy ra 4DAX cân đỉnh A, nên

AX = AD

góc đồng vị bằng nhau nên ta có điều phải chứng minh

đường chéo theo các cạnh

Như vậy, trong chương này ta đã hệ thống lại các dấu hiệu nhận biếtmột tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp, phát biểu các công thức tính toán liênquan đến tứ giác, bổ sung thêm các điều kiện khác và minh họa cách ápdụng các kiến thức đó vào việc giải các bài toán thi Olympic toán quốcgia và quốc tế

Chương 2

Tứ giác có hai đường chéo vuông

góc, bằng nhau

đường chéo, "tứ giác có 2 đường chéo vuông góc” được viết tắt là “tứ giác

α", "tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau" được viết tắt là "tứ giác β", "tứgiác có 2 đường chéo vuông góc và bằng nhau" được viết tắt là "tứ giác

-Đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện tứ giác là "đường trungbình của tứ giác" (mỗi tứ giác có 2 đường trung bình), giao 2 đường trungbình gọi là "trọng tâm tứ giác"

-Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh, vuông góc với cạnh đối diệngọi là "đường trung cao" của tứ giác (mỗi tứ giác có bốn đường trung cao)

2.1 Tứ giác có hai đường chéo vuông góc

Định nghĩa 2.1 Tứ giác lồi mà hai đường chéo vuông góc với nhau gọi

Tứ giác đặc biệt này có nhiều tính chất thú vị được chứng minh bằngcác công cụ khác nhau, chẳng hạn, định lý cô sin, phương pháp véc tơ,phương pháp quỹ tích, ứng dụng số phức và chứng minh bằng phản chứngđược tham khảo chính trong ([3]) Ta lần lượt xét các đặc trưng của tứgiác có hai đường chéo vuông góc dưới dạng các điều kiện cần và đủ

Dấu hiệu 2.1.1 Q là tứ giác α khi và chỉ khi:

AB2 + CD2 = BC2 + DA2

Hình 2.1: a) a 2 + c 2 = b 2 + d 2 ; b) \ P AB + \ P BA + \ P CD + \ P DC = π

Chứng minh

Y ∈ AC Theo định lý Pythagore,BY2+AY2 = AB2, BY2+CY2 = BC2,

AB2 + CD2 − BC2 − DA2 =

= AY2 − AX2 + CX2 − CY2

= (AY + AX)(AY − AX) + (CX + CY )(CX − CY )

= (AY + AX)XY + (CX + CY )XY

Điều ngược lại hiển nhiên

\

P AB +\P BA +P CD +\ P DC = π.\ (2.1)

Chứng minh Hình 2.1b) Xét tổng các góc trong 4ABP và 4CDP ta có

\

P AB +\P BA +P CD +\ P DC = 2π − 2θ,\

2 ⇐⇒ (2.1)

điểm gồm 4 trung điểm các cạnh, 4 chân đường trung cao, đồng viên

Hình 2.2: Bộ 8 điểm thứ nhất đồng viên

G, E, G0, E0 thuộc đường tròn tâm I = GE ∩ HF, bán kính r1 = 1

2GE

r2 = 1

2HF.

là các đỉnh của một tứ giác nội tiếp

\

P DN = P M N\

Hình 2.3: KLM N là tứ giác nội tiếp

K, L, M, N, R, S, T, U đồng viên

Chứng minh

có \M N K +M T K = π ⇐⇒\ M T K =\ AN K +\ DN M\ (vì \AN D = π, hình

= T P C[ và \DN M = M P D\ Theo định lý góc ngoài tam giác, ta có

\

M T P = T P C +[ T CP[

tỏ T thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác KLM N Tương tự như vậy, cácđiểm R, S, U thuộc đường tròn này.

Hình 2.4: Bộ 8 điểm thứ hai đồng viên

chéo tứ giác

Chứng minh

hình chữ nhật.

Hình 2.5: ABCD là tứ giác α ⇐⇒ RST U là hình chữ nhật

Nhắc lại rằng bộ 8 điểm thứ nhất nằm trên đường tròn có tâm là trọng

bộ 8 điểm đó trùng nhau? Ta có câu trả lời sau:

Hệ quả 2.1.1 (Hai bộ 8 điểm đồng viên) Bộ 8 điểm thứ nhất và bộ 8

có 2 đường chéo vuông góc

Chứng minh Vì bộ 8 điểm thứ hai được dựng từ các đường thằng đi quagiao 2 đường chéo nên 2 bộ 8 điểm đó trùng nhau khi và chỉ khi 4 đường

Chứng minh

thỏa mãn 4(m2 − n2) = −2(a2 − b2 + c2 − d2), trong đó, a, b, c, d là các

b) Xét hình bình hành Varignon của tứ giác (hình bình hành với đỉnh là

mỗi cạnh hình bình hành Varignon tương ứng bằng một nửa độ dài đường

Hình 2.6: Bốn trung tuyến m1, m2, m3, m4

(hình 2.6) Áp dụng cách tính độ dài trung tuyến trong các tam giác

Dấu hiệu 2.1.8 Tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo vuông góc khi vàchỉ khi R21 + R23 = R22 + R24, trong đó, R1, R2, R3, R4 lần lượt là các bán

đỉnh P = AC ∩ BD

a = 2R1sin θ, b = 2R2sin(π − θ), c = 2R3sin θ, d = 2R4sin(π − θ)

Ta thu được

a2 + c2 − b2 − d2 = 4 sin2θ R21 + R32 − R22 − R24

Hình 2.7: Bán kính các đường tròn ngoại tiếp: R1, R2, R3, R4

a2 + c2 = b2 + d2 ⇔ R21 + R23 = R22 + R42,

vì sin θ > 0 đối với 0 < θ < π

tâm ngoại tiếp của một trong các tam giác là trung điểm của một cạnhnếu và chỉ nếu góc đối diện là góc vuông Nhưng điều này hiển nhiên.Kết quả sau rất có ý nghĩa khi nó liên quan đến các đường cao của cáctam giác tạo bởi hai đường chéo.

Hình 2.8: Các đường cao của các tam giác h 1 , h 2 , h 3 , h 4

góc giữa hai đường chéo Như vậy, xem hình 2.8:

xz sin2θ

2 cos θ

xy sin2θ1

Nhận xét 2.1.1 Liên hệ với dấu hiệu nhận biết giữa tứ giác ngoại tiếp và

tứ giác có hai đường chéo vuông góc ta thấy có các hệ thức mê tric tương

Một lớp khác gồm các tứ giác có tính chất hai đường chéo bằng nhau

cân, hình chữ nhật, hình vuông Tuy nhiên còn có rất nhiều tứ giác khác

dạng điều kiện cần và đủ Có 3 điều kiện trình bày dựa vào bài báo [4]

Ta đã biết trung điểm các cạnh của tứ giác bất kỳ là đỉnh của hình bìnhhành, người ta gọi nó là hình bình hành Varignon Hai đường chéo hìnhbình hành Varignon là hai đường trung bình của tứ giác ban đầu và cạnhcủa hình bình hành Varignon có độ dài bằng nửa đường chéo tứ giác đang