TÌM CÁC CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LŨY THỪA Bài toán: Tìm 1 chữ số tận cùng của . Cách giải: Nhận xét rằng: Và: Do đó, giả sử số A có chữ số tận cùng là a. Nếu a = 0,1,5,6 thì có tận cùng là 0,1,5,6 tương ứng; Nếu a = 2,3,7,8 thì ta xét số dư của lũy thừa n khi chia cho 4, rồi áp dụng nhận xét trên; Nếu a = 4,9 thì ta xét số dư của lũy thừa n khi chia cho 2, rồi áp dụng nhận xét trên; Ví dụ 1. a) Tìm chữ số tận cùng của ; b) Tìm chữ số tận cùng của . Giải: a) Xét , ta viết , vậy chữ số tận cùng của là 8. Xét , ta viết , vậy chữ số tận cùng của là 7. b) Xét , ta viết: , vậy chữ số tận cùng của là 4. Xét , ta viết: , vậy chữ số tận cùng của là 9. 1.1. Tìm hai chữ số tận cùng Bài toán: Tìm 2 chữ số tận cùng của .
Trang 1TÌM CÁC CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LŨY THỪA Bài toán: Tìm 1 chữ số tận cùng của A n
Cách giải:
Nhận xét rằng:
0n = 0, 1n = 1, 5n = 5, 6n = 6
Và:
2 6, 3 1, 7 1, 8 6,
4 6, 9 1
Do đó, giả sử số A có chữ số tận cùng là a
- Nếu a = 0,1,5,6 thì A có tận cùng là 0,1,5,6 tương ứng; n
- Nếu a = 2,3,7,8 thì ta xét số dư của lũy thừa n khi chia cho 4, rồi áp dụng nhận xét trên;
- Nếu a = 4,9 thì ta xét số dư của lũy thừa n khi chia cho 2, rồi áp dụng nhận xét trên;
Ví dụ 1.
a) Tìm chữ số tận cùng của 721991,19831987;
b) Tìm chữ số tận cùng của 1341995,19891989
Giải:
a) Xét 721991, ta viết 1991 ( )4 497 3 ( )497
72 = 72 72 = 6 8 6 8 8= = , vậy chữ số tận cùng của 721991 là 8
Xét 19831987, ta viết 1987 ( 4)496 3 ( )496
1983 = 1983 1983 = 1 7 1 7 7= = , vậy chữ số tận cùng của 19831987 là 7
b) Xét 1341995, ta viết: 1995 ( 2)997 ( )997
134 = 134 134= 6 134 6.134 4= = , vậy chữ số tận cùng của 1341995 là 4
Xét 19891989, ta viết: 1989 ( 2)994 ( )994
1989 = 1989 1989= 1 1989 1.1989 9= = , vậy chữ số tận cùng của 19891989 là 9
I.1 Tìm hai chữ số tận cùng
Bài toán: Tìm 2 chữ số tận cùng của A n
Trang 2Cách giải:
Nhận xét rằng:
00n = 00, 01n = 01, 25n = 25, 76n = 76
Và:
4
2 76, 3 01, 7 01, 8 76,
4 76, 9 01, 6 76
5 25,
=
Do đó, giả sử số A có hai chữ số tận cùng là ba
- Nếu ba = 00,01,25,76 thì n
A có tận cùng là 00,01,25,76 tương ứng;
- Nếu a = 2,3,7,8 thì ta xét số dư của lũy thừa n khi chia cho 20, rồi áp dụng nhận xét trên;
- Nếu a = 4,6,9 thì ta xét số dư của lũy thừa n khi chia cho 10, rồi áp dụng nhận xét trên;
- Nếu a = 5 thì ta xét số dư của lũy thừa n khi chia cho 4, rồi áp dụng nhận xét trên;
Ví dụ 1.
a) Tìm hai chữ số tận cùng của 721991,19831987;
b) Tìm hai chữ số tận cùng của 1341995,19891989
Giải:
a) Xét 721991, ta viết 1991 ( )20 99 11 ( )99
72 = 72 72 = 76 28 76 28 28= = , vậy hai chữ số tận cùng của 721991 là 28
Xét 19831987, ta viết:
( )99 ( )99
1983 = 1983 1983 = 01 27 01 27 27= = , vậy hai chữ số tận cùng của 19831987 là 27
b) Xét 1341995, ta viết:
( )199 ( )199
134 = 134 134 = 76 134 = 76 24 24= ,
vậy hai chữ số tận cùng của 1341995 là 24
Xét 19891989, ta viết:
Trang 3( )198 ( )198
1989 = 1989 1989 = 01 09 01 09 09= = , vậy hai chữ số tận cùng của 1989
1989 là 09
I.2 Tìm ba chữ số tận cùng
Bài toán: Tìm 3 chữ số tận cùng của A n
Giải:
- Giả sử n=100k r+ ,0≤ <r 100, khi đó A n = A100k.A r
- Giả sử A x≡ (mod10), hay chữ số tận cùng của A là x, thế thì:
100
100 0
J
−
=
∑
Tức là 3 chữ số tận cùng của A là 3 chữ số tận cùng của 100 x 100
Do đó, A n =( )A100 k.A r ≡( )x100 k (mod1000)A r , với x là chữ số tận cùng của A Như vậy, để
tìm 3 chữ số tận cùng của A, ta xét số dư r của lũy thừa n khi chia cho 100, rồi tìm 3 chữ số tận cùng của ( )x100 k.A r
- Để tìm 3 chữ số tận cùng của x , với x = 0,1,2, ,9 ta có các nhận xét sau:100
+) Nếu x = 0 thì 100
000(mod1000)
+) Nếu x = 5 thì 54 =625, 625n ≡625(mod1000), suy ra 5100 ≡625(mod1000)
+) Nếu x = 2,4,6,8 thì
100
2 , 2 576(mod1000), 576 376(mod1000)
2 376(mod1000)
376n 376(mod1000)
≡
M
,
suy ra ( )x100 k ≡376(mod1000)
+) Nếu x = 1,3,7,9 thì
4
100 4 25 25
1,81, 2401.6561 1(mod 40)
( ) (40 1) 001(mod1000)
x
suy ra ( )x100 k ≡001(mod1000)
Trang 4Ví dụ Tìm 3 chữ số tận cùng của 20162020.
II HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP.
II.1 Chứng minh rằng A=8102−2102M10
II.2 Chứng minh rằng A=0,3.(19831983−19171917) là một số nguyên
II.3 Chứng minh rằng A n( ) 2= 34n+1+3 11,M ∀ ∈n ¥
II.4 Tìm hai chữ số tận cùng của số A=2100
II.5 Tìm hai chữ số tận cùng của số A=71991
II.6 Tìm hai chữ số tận cùng của số 1991
9 2
II.7 Tìm hai chữ số tận cùng của số 14
14 14
II.8 Tìm ba chữ số tận cùng của số 2003
9 2
II.9 Tìm ba chữ số tận cùng của số B=29 1991
II.10 Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa biết rằng cơ số của lũy thừa đó là số lớn nhất
trong các số tự nhiên có hai chữ số mà hiệu hai chữ số của nó bằng 7, số mũ của lũy thừa
đó là số tự nhiên nhỏ nhất có 16 ước số dương
II.11 Tìm số nguyên x để A=20142015+20162017 chia hết cho x3+2x
II.12 Cho A là tổng các hệ số trong khai triển của đa thức P x( ) (10= x3−3 )x 2015 Tìm 3 chữ số
tận cùng của A