30 câu hình học tuyển sinh 10 THPT chuyên

Câu 1. (Hà NộiTS102011THPT Chuyên) Cho hình bình hành ABCD với BAD . Đường phân giác của góc BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại O khác C . Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với CO . Đường thẳng d lần lượt cắt các đường thẳng CB; CD tại E; F . 1). Chứng minh rằng OBE ODC . 2). Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF . 3). Gọi giao điểm của OC và BD là I , chứng minh rằng IB.BE.EI ID.DF.FI . Lời giải 1). Tứ giác OBCD nội tiếp và CO là phân giác góc BCD , suy ra OBD OCD OCB ODB , nên tam giác cân tại O , do đó OB (1). Tứ giác OBCD nội tiếp ODC (cùng bù với góc OBC ) (2). Trong tam giác có CO vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác cân tại C . Do AB CF AEB AFC EAB , suy ra tam giác 2). Từ OBE ODC OE OC . cân tại B , nên BE (3). Mà CO là đường cao tam giác cân CEF , suy ra OE OF . Từ đó OE OC OF , vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF . 3). Theo trên, ta có BE mà CE CF BC DF . Ta có CI là đường phân giác góc BCD , nên IB CB DF IB.BE ID.DF ID CD BE Mà CO là trung trực EF và I CO , suy ra

90

BC D

OD

OBE

CD

Câu 1 (Hà Nội-TS10-2011-THPT Chuyên) Cho hình bình hành ABCD với BAD Đường phân giác của

góc BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại O khác C Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông

góc với CO Đường thẳng d lần lượt cắt các đường thẳng CB; CD tại E; F

1) Chứng minh rằng OBE ODC

2) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF

3) Gọi giao điểm của OC và BD là I , chứng minh rằng IB.BE.EI ID.DF.FI

Lời giải

1) Tứ giác OBCD nội tiếp và CO là phân giác góc BCD , suy ra OBD OCD OCB ODB , nên tam giác

cân tại O , do đó OB (1)

Tứ giác OBCD nội tiếp ODC (cùng bù với góc OBC ) (2)

Trong tam giác có CO vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác cân tại C .

Do AB CF AEB AFC EAB , suy ra tam

giác 2) Từ OBE ODC OE OC

cân tại B , nên BE (3).

Mà CO là đường cao tam giác cân CEF , suy ra OE OF

Từ đó OE OC OF , vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF

MN MN

PDQ NDM

NAM

Mà CO là trung trực EF và I CO , suy ra IE IF

Từ hai đẳng thức trên, suy ra IB.BE.EI ID.DF.FI

Câu 2 (Hà Nội-TS10-2012-THPT Chuyên) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M là một

điểm trên cung nhỏ BC ( M khác B; C và AM không đi qua O ) Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM

sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M

1) Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O Chứng minh rằng ba điểm N; P; D thẳng hàng

2) Đường tròn đường kính MP cắt MD tại điểm Q khác M Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN

Từ (3) và (4) PAQ NAP , suy ra AP là phân giác của góc NAQ (*)

Xét (O) , ta có AND AMD

Xét đường tròn đường kính MP có QMP QNP ANP QNP , nên NP là phân giác của góc ANQ (**)

BDM BCF

DC

EAD

90

Từ (*) và (**), suy ra P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ANQ.

Câu 3 (Hà Nội-TS10-2013-THPT Chuyên) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn

Đường phân giác của góc BAC cắt (O) tại điểm D khác A Gọi M là trung điểm của AD và E là điểmđối xứng với D qua tâm O Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác

1) Chứng minh rằng tam giác

và tam giác đồng dạng

2) Chứng minh rằng EF vuông góc với AC.

Lời giải

E A

Câu 4 (Hà Nội-TS10-2014-THPT Chuyên) Cho tam giác nhọn với AB và D là điểm thuộc cạnh

BC sao cho AD là phân giác của BAC Đường thẳng qua C và song song với AD , cắt trung trực của AC

tại E Đường thẳng qua B song song với AD , cắt trung trực của AB tại F

1) Chứng minh rằng tam giác 2) Chứng minh rằng các đường thẳng

ABF

đồng dạng với tam giác ACE .

BE; CF; AD đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là G

3) Đường thẳng qua G song song với AE cắt đường thẳng BF tại Q Đường thẳng QE , cắt đường tròn ngoại tiếptam giác tại P khác E Chứng minh rằng các điểm A; P; G; Q; F cùng thuộc một đường tròn.

, nên AGQF nội tiếp, và QPG GCE GFQ ,

Câu 5 (Hà Nội-TS10-2011-THPT Chuyên dự bị) Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AH , H thuộc BC

P

thuộc AB sao cho CP là phân giác góc BCA Giao điểm của CP và AH là Q Trung trực của PQ cắt

AH và BC lần lượt tại E; F

1) PE giao AC tại K Chứng minh rằng PK vuông góc AC

2) FQ giao CE , CA lần lượt tại

M; N Chứng minh rằng bốn điểm E; K; N; M thuộc một đường tròn.

3) Chứng minh rằng bốn điểm P; E; C; F thuộc một đường tròn.

K N P

E M Q

900 , nên tứ giác EKNM nội tiếp đường tròn đường tròn đường kính EN .

Ta có tứ giác EKCH nội tiếp đường tròn đường kính EC nên PEQ HCK

Chú ý: EF là phân giác góc PEQ và CQ là phân giác góc HCK , do đó

PEF

1

PEQ 1 HCK PCF Do đó tứ giác

PECF nội tiếp

Câu 6 (Hà Nội-TS10-2012-THPT Chuyên dự bị) Cho tam giác

giác trong của tam giác ( T thuộc cạnh AB )

là D khác C , giao điểm của DB và (K ) là E khác D Chứng minh rằng

3) Gọi giao điểm của CE và AB là M Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng BT

cân nên KCT nên

K

thuộc

BC.

BMN

Nhận xét Chứng minh một điểm thuộc một đoạn thẳng ta quy về chứng minh ba điểm thẳng hàng

2) Gọi (K ) giao BC tại F khác C Ta thấy tứ giác FEDC nội tiếp và chú ý K thuộc BC nên FEC 90 0

Câu 7 (Hà Nội-TS10-2013-THPT Chuyên dự bị) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O) M; N là hai

điểm thuộc cung nhỏ AC sao cho MN song song với AC và tia BM nằm giữa hai tia BA; BN BM giao AC

tại P Gọi Q là một điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho PQ vuông góc với BC QN giao AC tại R.

1) Chứng minh rằng bốn điểm B; P; R; Q cùng thuộc một đường tròn

BQN

180

B; P; R; Q cùng thuộc một đường tròn.

2) Gọi PQ giao BC tại D, AQ giao BR tại E ta có các biến đổi góc sau

EQD DQB AQB PRB ACB RBC

EBD.

90 0

Vậy tứ giác BEDQ nội tiếp, suy ra BEQ BDQ 90

0 BR AQ .3) Ta có BPQ

Do đó AFB BPQ ABR

Câu 8 (Hà Nội-TS10-2014-THPT Chuyên dự bị) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn O H là trực

tâm của tam giác ABC AD là đường kính của O E thuộc AC sao cho HE BC

1) Chứng minh rằng các đường thẳng BH và DE cắt nhau trên O

2) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng EH và AB Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với

đỉnh D của tam giác DEF.

3) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF Chứng minh

2) Ta có HP AC , suy ra AEH AHP AEP

Suy ra EA là phân giác ngoài đỉnh E của DEF

Tương tự FA là phân giác ngoài đỉnh F của

DEF

Suy ra A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của DEF

3) Do I là tâm nội tiếp nên EI là tia phân giác trong

180 0 BFE ABE AFB

APB

A

F H

O E

C

D

Mà EA là tia phân giác ngoài, suy ra EI AC EI HB

Tương tự FI HC; EF BC , suy ra và HBC có cạnh tương ứng song song, nên BE; CF và IH đồng quy.

90

0

BP C

2

BPC 2BQC

180

Câu 9 (Hà Nội-TS10-2011-THPT Chuyên dự bị) Cho tam giác nội tiếp đường tròn (O) P di chuyển

trên cung BC chứa A của (O) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Q là tâm đường tròn nội tiếptam giác PBC

1) Chứng minh rằng B; I; Q; C cùng nằm trên một đường tròn.

2) Trên tia BQ; CQ lần lượt lấy các điểm M; N sao cho BM BI ; CN CI Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải

1) Ta có BIC

Tứ giác BPAC nội tiếp, suy ra BAC BPC BQC BIC , nên 4 điểm B; I; Q; C thuộc một đường tròn

2) Gọi đường tròn B; BI giao C; CI tại K khác I thì K cố định.

Góc IBM là góc ở tâm chắn cung IM và IKM là góc nội tiếp chắn cung IM , suy ra IKM (1).

Tương tự IKN (2).

Theo câu 1)

IBM B; I; Q; C thuộc một đường tròn, suy ra

(3)

Từ (1), (2) và (3), suy ra IKM IKN KM KN

Vậy MN đi qua K cố định

18

0 0

AB C

2

AC B

1 ICN2

IBQ ICQ

ICN

TD TC TB TQ

KNL

Câu 10 (Hà Nội-TS10-2012-THPT Chuyên dự bị) Cho hình bình hành ABCD có BAD Giả sử O là điểm

nằm trong sao cho

OC không vuông góc với BD Vẽ đường tròn tâm O đi qua C BD cắt (O) tạihai điểm

M, N sao cho B nằm giữa M và D Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD, AB lần lượt tại P,Q.1) Chứng minh rằng bốn điểm M; N; P; Q cùng thuộc một đường tròn

Từ đó TM.TN TC2 TP.TQ , suy ra tứ giác MNPQ nội tiếp.

2) Gọi MP giao (O) tại điểm thứ hai S.

Ta có các biến đổi góc sau:

KML (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

(góc ngoài)(do các tứ giác MNPQ và MNSC nội tiếp)

Từ đó tứ giác MKLN nội tiếp, suy ra KLM KNM QPM , nên KL PQ OC Vậy KL OC.

Câu 11 (Hà Nội-TS10-2013-THPT Chuyên dự bị) Cho hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn (O) với AB

song song CD và AB CD M là trung điểm CD P là điểm di chuyển trên đoạn MD ( P khác M, D

Do đó PA.PQ

PE.PS

PF 2PM PF.PM , suy ra tứ giác AMQF nội tiếp Từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam

2giác luôn đi qua M

2) Vì EA là tiếp xúc (O) và từ kết quả câu 1) ta có EA2 ER.EQ EP2 Từ đó có EA EP , suy ra

QPS QAB

QRB

EPQ ERP ERP ∽ EPQ

EPR BPS ASE , suy ra

tứ

DAP EAP EAD APE ACD PAC

Do đó AP là phân giác DAC , suy ra QC QM CD

Câu 12 (Hà Nội-TS10-2014-THPT Chuyên dự bị) Cho tam giác nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O)

D là điểm thuộc cạnh BC ( D khác B và D khác C ) Trung trực của CA; AB lần lượt cắt đường thẳng

AD tại E; F Đường thẳng qua E song song với AC cắt tiếp tuyến qua C của (O) tại M Đường thẳngqua qua F song song với AB cắt tiếp tuyến qua B của (O) tại N.

1) Chứng minh rằng đường thẳng MN tiếp xúc với (O)

2) Giả sử FN

EM Chứng minh rằng AD là phân giác của tam giác ABC

Lời giải

1) Gọi AD cắt (O) tại P khác A.

Ta có PCM (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

(góc đồng vị do EM AC );

Suy ra tứ giác ECMP nội tiếp Từ đó suy ra MPC

Tương tự PN tiếp xúc (O) , suy ra MN tiếp xúc (O) tại P

, suy ra CP là phân giác góc BAC

Câu 13 (An Giang-TS10-2016-THPT Chuyên ) Cho tam giác có ba góc nhọn và góc A bằng 60 nội tiếp

trong đường tròn tâm O , bán kính R Các đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H

1) Chứng minh rằng AD.AC AE.AB

BN

hai tam giác AHC ; có cùng bán kính

ADB ADE

ED BC

1).Hai tam giác vuông và

2).Xét hai tam giác và

có chung góc A nên chúng đồng dạng, suy ra AD

AE

có

+ Góc A chung, mà , suy ra ADE ∽

3) Kéo dài BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại H

Xét hai tam giác vuông và có

Cạnh AD chung;

BHC (góc có cạnh tương ứng vuông góc);

Mà HH vuông góc với AC , nên tam giác

Với H là điểm đối xứng của H qua AC

Suy ra AC là trung trực của đoạn HH

cân tại A hay AC là đường trung trực của HH

Hai tam giác và bằng nhau

Suy ra bán kính hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác

chính là đường tròn (O)

Vậy hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác và

và bằng nhau mà đường tròn ngoại tiếp tam giác

AD AB

AHH

AHC

AHC

Câu 14 (Hà Nội-TS10-2011-THPT Chuyên ) Cho tam giác có các góc ABC và góc ACB nhọn, góc

BAC 600 Các đường phân giác

trong BB ; CC của tam giác ABC cắt nhau tại I

1) Chứng minh tứ giác

AB IC nội tiếp.

2) Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác

Mà hai góc này đối nhau Nên tứ giác

2) Vì tứ giác BC IK nội tiếp nên BIC

AB IC nội tiếp (điều phải chứng minh).

(góc nội tiếp cùng chắn BC ) và BIK (góc nội tiếp cùng

ACKC nội tiếp, nên AKC1 (cùng chắn cung KC )

KCC1

C1K

1

C là đường trung trực của AK nên AK (điều phải chứng minh).

Câu 15 (Hà Nội-TS10-2016-THPT Chuyên ) Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC ), M là trung điểm của cạnh

BC,O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác Các đường cao AD; BE; CF của tam

1) Nối EM Tứ giác EFBC là tứ giác nội tiếp nên ABC (1).

XBA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến-dây cung cùng chắn cung AB của (O) (2)

MEC có

Kết hợp với (2), ta có được XBA MEC

Cộng vế theo vế với (1), ta được ABC XBC AEF MEC

Suy ra EXBM là tứ giác nội tiếp, suy ra XMB XEB (3)

Tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp nên FEB FAD.

Kết hợp với (3), suy ra XMB FDA mà FAD FCB nên XMB hai góc này ở vị trí đồng vị của XM và FC

suy ra XM FC mà FC AB , do đó XM AB (điều phải chứng minh)

2) Tứ giác ABME là tứ giác nội tiếp nên SXM BEM mà BEM (

Tứ giác BFHD là tứ giác nội tiếp nên EBM DFE.

Kết hợp với trên suy ra SXM HFD (*).

cân tại M )

ACB

MC BC

2

FCB

MBE

Ta có S; M; O thẳng hàng do OM và SO cùng vuông góc với BC , suy ra

Tứ giác AFDE là tứ giác nội tiếp nên ta có

FDA

MS B

(điều phải chứng minh)

Câu 16 (Phú Thọ-TS10-2016-THPT Chuyên Hùng Vương ) Cho hình vuông ABCD tâm O , M là điểm di động

trên cạnh AB Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AM AE , trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BM

1) Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc MOE , đường thẳng OB là phân giác trong của góc

MOF Từ đó suy ra ba điểm O; E; F thẳng hàng

2) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF Chứng minh bốn điểm

vuông cân đỉnh A , suy ra AM AE ; EAO

(c – g – c), suy ra MOA EOA

Vậy OA là phân giác trong của góc MOE .

Chứng minh tương tự, ta có OB là phân giác trong của góc MOF

Mặt khác,

2) Tứ giác AEHM nội tiếp đường tròn đường kính ME nên MHA

Tứ giác BFHM nội tiếp đường tròn đường kính MF nên MHB , suy

ra

Ta thấy O và H cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên bốn điểm A; B; H; O cùng nằm trên đường tròn đường kính

AB

3) Đường thẳng MH cắt đường tròn đường kính AB tại điểm thứ hai I ( I khác H ).

Ta có AHI nên I là điểm chính giữa cung AB (không chứa O ) của đường tròn đường kính AB

Do A; B; O là các điểm cố định nên I là điểm cố định ( I đối xứng với O qua đường thẳng AB )

Vậy, khi M di động trên cạnh AB , đường thẳng MH luôn đi qua điểm cố định I ( I đối xứng với O qua đường thẳng

AB ).

Câu 17 (Hà Nội-TS10-2011-THPT Chuyên ) Cho hình thang ABCD với BC song song AD Các góc BAD

và

CDA là các góc nhọn Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I P là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng BC (

P không trùng với B; C ) Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam

giác

cắt đoạn thẳng PA tại M khác P

và đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đoạn thẳng PD tại N khác P

1) Chứng minh rằng năm điểm A; M; I; N; D cùng nằm trên một đường tròn Gọi đường tròn này là (K )

2) Giả sử các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại Q , chứng minh rằng Q cũng nằm trên đường tròn (K )

BPI CNI

1) Tứ giác BPIM nội tiếp và AD BC , suy ra MAD BPM BIM , nên tứ giác AMID nội tiếp

Tương tự tứ giác DNIA nội tiếp

Vậy các điểm A; M; I; N; D thuộc một đường tròn (K )

2) Do các tứ giác BPIM và CPIN nội tiếp nên ta có QMI , suy ra tứ giác MINQ nội tiếp

Mà M; I; N (K) , suy ra tứ giác MINQ nội tiếp đường tròn (K )

Vậy Q thuộc đường tròn (K )

3) Khi P; I; Q thẳng hàng, kết hợp với Q thuộc đường tròn (K ) ta có AIQ (đối đỉnh); PIC (do tứ giác

NIPC nội tiếp)

PNC (đối đỉnh); QND (do tứ giác INDQ nội tiếp)

AIQ QID , suy ra IQ là phân giác DIA nên IP là phân giác góc BIC.

Do đó

Câu 18. Cho tam giác nhọn ( AB AC ) nội tiếp đường tròn (O) Giả

sử

M; N là hai điểm thuộc cung nhỏ

BC sao cho MN song song với BC và tia AN nằm giữa hai tia AM; AB Gọi P là hình chiếu vuông góccủa điểm C trên AN và Q là hình chiếu vuông góc của điểm M trên AB

1) Giả sử CP cắt QM tại điểm T Chứng minh T nằm trên đường tròn (O)

2) Gọi giao điểm của NQ và (O) là R khác N Giả sử AM cắt PQ tại S Chứng minh rằng bốn điểm

BAN MAC

PTA CTA ABC PQ BC MN NMA

HBC

T

1) Do TPA TQA 90 0

, nên tứ giác TAPQ nội tiếp

Do đó MTC QTP QAP (do tứ giác TAPQ nội tiếp) (do MN BC ), suy ra tứ giác MTAC nội tiếp,suy ra T (O)

Từ đó QSA (1)

Mà tứ giác AMNR nội tiếp, suy ra ARN (2).

Từ (1) và (2), suy ra QRA QSA 180 0

, suy ra tứ giác ARQS nội tiếp, ta có điều phải chứng minh

Câu 19 (Hà Nội-TS10-2013-THPT Chuyên ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H

Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ( P khác B, C và H ) và nằm trong tam giác

ABC PB cắt (O) tại M khác B, PC cắt (O) tại N khác C BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F Đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt nhau tại Q khác A.

1) Chứng minh rằng ba điểm M; N; Q thẳng hàng

2) Giả sử AP là phân giác góc

MAN Chứng minh rằng khi đó PQ đi qua trung điểm của

ANQ ANM ABM

2) Ta có các góc nội tiếp bằng nhau AFQ suy ra FQ BE Tương tự EQ CF

Từ đó tứ giác EQFP là hình bình hành, suy ra QAN

hay AQ là phân giác MAN.

Nếu AP là phân giác MAN thì A, P, Q thẳng hàng

Từ đó nếu PQ giao BC tại K thì KAC

Từ đó KB hay K là trung điểm

Câu 20 (Hà Nội-TS10-2014-THPT Chuyên ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm P nằm trong

tam giác thỏa mãn PB =

PC D là điểm thuộc cạnh BC ( D khác B và D khác C ) sao cho P nằm trongđường tròn ngoại tiếp tam giác DAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC Đường thẳng PB cắt đườngtròn ngoại tiếp tam giác

tại F khác C.

tại E khác B Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

1) Chứng minh rằng bốn điểm A; E; P; F cùng thuộc một đường tròn.

2) Giả sử đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại Q khác A, đường thẳng AF cắt đường thẳng QC tại L Chứngminh rằng tam giác ABE đồng dạng với tam giác

3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng QB Chứng minh rằng QKL