Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến (Luận văn thạc sĩ)

Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến (Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến (Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến (Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến (Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến (Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến (Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến (Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến (Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến (Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến (Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến (Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến (Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến (Luận văn thạc sĩ)

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

D×ÌNG CÆNG CØ

B‡T NG THÙC V€ CÜC TRÀ SINH BÐI CC A THÙC „I SÈ BA BI˜N

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

THI NGUY–N - 2019

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

D×ÌNG CÆNG CØ

B‡T NG THÙC V€ CÜC TRÀ SINH BÐI CC A THÙC „I SÈ BA BI˜N

Möc löc

1.1 Mët sè b§t ¯ng thùc cê iºn li¶n quan ¸n a thùc 3

1.2 a thùc bªc ba v  mët sè h» thùc cì b£n 8

1.2.1 Cæng thùc Vi±te v  ph÷ìng tr¼nh bªc 3 9

1.2.2 H» ph÷ìng tr¼nh èi xùng ba ©n 13

1.2.3 Ph¥n t½ch a thùc th nh nh¥n tû 16

1.2.4 T½nh chia h¸t cõa c¡c a thùc èi xùng 18

1.3 a thùc bªc ba v  c¡c h» thùc trong tam gi¡c 19

Ch÷ìng 2 C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n 22 2.1 B§t ¯ng thùc sinh bði a thùc bªc ba 22

2.1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 22

2.1.2 C¡c ành lþ cì b£n cõa a thùc ¤i sè ba bi¸n 24

2.2 C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n 28

2.2.1 Mët sè m»nh · b§t ¯ng thùc 28

2.2.2 p döng chùng minh b§t ¯ng thùc 33

2.3 Mët sè d¤ng b§t ¯ng thùc ba bi¸n trong ph¥n thùc 35

Ch÷ìng 3 C¡c d¤ng to¡n cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n 38 3.1 Cüc trà theo r ng buëc têng v  t½ch ba sè 38

3.2 C¡c d¤ng to¡n cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n 41 3.3 Mët sè d¤ng to¡n li¶n quan 45

Tuy nhi¶n, c¡c d¤ng b§t ¯ng thùc ùng vîi lîp a thùc têng qu¡t th¼ ng÷íi

ta c¦n ¸n c¡c cæng cö cõa gi£i t½ch (t½nh lçi, lãm) º kh£o s¡t chóng

º ¡p ùng nhu c¦u bçi d÷ïng gi¡o vi¶n v  bçi d÷ïng håc sinh giäi v n¥ng cao nghi»p vö cõa b£n th¥n v· chuy¶n · b§t ¯ng thùc v  cüc tràsinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n, tæi chån · t i luªn v«n "B§t ¯ngthùc v  cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n"

Luªn v«n n y nh¬m cung c§p mët sè d¤ng b§t ¯ng thùc v  cüc trà sinhbði c¡c a thùc ¤i sè còng mët sè d¤ng li¶n quan

Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v  3 ch÷ìng

Ch÷ìng 1 a thùc v  c¡c h» thùc li¶n quan

Ch÷ìng 2 C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n.Ch÷ìng 3 C¡c d¤ng to¡n cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n.Möc ½ch cõa · t i luªn v«n l  kh£o s¡t mët sè lîp b§t ¯ng thùc v cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n v  x²t c¡c mð rëng cõa chóng

º ¡p döng trong kh£o s¡t c¡c b i to¡n cüc trà li¶n quan

T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu

¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n v  gióp ï t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp

v  nghi¶n cùu luªn v«n T¡c gi£ công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nhtîi c¡c Th¦y Cæ trong khoa To¡n-Tin tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håcTh¡i Nguy¶n ¢ gi£ng d¤y v  gióp ï cho t¡c gi£ trong suèt thíi gian håctªp t¤i Tr÷íng

çng thíi, t¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn tîi gia ¼nh v  c¡c b¤n çngmæn ¢ luæn gióp ï v  ëng vi¶n tæi trong thíi gian håc tªp v  trong qu¡tr¼nh ho n th nh luªn v«n.

Th¡i Nguy¶n, 12 th¡ng 05 n«m 2019

T¡c gi£

D÷ìng Cæng Cø

Ch÷ìng 1 a thùc v  c¡c h» thùc li¶n quan

Möc ½ch cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh b y mët sè b§t ¯ng thùc cê iºnli¶n quan ¸n a thùc nâi chung, a thùc bªc ba nâi ri¶ng v  x²t mët sèh» thùc cì b£n Mët ph¦n cõa ch÷ìng n y ÷ñc d nh º n¶u v· a thùcbªc ba v  c¡c h» thùc trong tam gi¡c C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng ÷ñctham kh£o tø c¡c t i li»u [2], [3]

1.1 Mët sè b§t ¯ng thùc cê iºn li¶n quan ¸n a thùc

ành ngh¾a 1.1 Cho A l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và Ta gåi a thùcbªc n bi¸n x l  mët biºu thùc câ d¤ng

fn(x) = anxn + an−1xn−1+ · · · + a1x + a0 (an 6= 0), (1.1)trong â c¡c ai ∈ A ÷ñc gåi l  h» sè, an l  h» sè cao nh§t v  a0 l  h» sè

tü do cõa a thùc

Bªc cõa a thùc fn(x)l  sè mô cao nh§t cõa lôy thøa câ m°t trong (1.1)

v  ÷ñc kþ hi»u l  deg(f ) Khi â n¸u trong (1.1) an 6= 0 th¼ deg(f ) = n

N¸u ai = 0, i = 1, , n v  a0 6= 0 th¼ ta câ bªc cõa a thùc l  0.N¸u ai = 0, i = 0, , n th¼ ta coi bªc cõa a thùc l  −∞ v  gåi athùc khæng (nâi chung th¼ ng÷íi ta khæng ành ngh¾a bªc cõa a thùckhæng) Tªp hñp t§t c£ c¡c a thùc vîi h» sè l§y trong v nh A ÷ñc kþhi»u l  A[x]

Khi A = K l  mët tr÷íng th¼ v nh K[x] l  mët v nh giao ho¡n câ ìn

và Ta th÷íng x²t A = Z, ho°c A = Q ho°c A = R ho°c A = C Khi â,

ta câ c¡c v nh a thùc t÷ìng ùng l  Z[x], Q[x], R[x], C[x]

C¡c ph²p t½nh tr¶n a thùc

Cho hai a thùc

f (x) = anxn+ an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,g(x) = bnxn+ bn−1xn−1 + · · · + b1x + b0

thuëc A[x] sao cho

f (x) = g(x)q(x) + r(x) vîi deg r(x) < deg g(x)

N¸u r(x) = 0 ta nâi f (x) chia h¸t cho g(x)

Gi£ sû a l  ph¦n tû tòy þ cõa v nh A, f (x) =

aiai câ ÷ñc b¬ng c¡ch thay x bði a

÷ñc gåi l  gi¡ trà cõa f (x) t¤i a

N¸u f (a) = 0 th¼ ta gåi a l  nghi»m cõa f (x) B i to¡n t¼m c¡c nghi»mcõa f (x) trong A gåi l  gi£i ph÷ìng tr¼nh ¤i sè bªc n trong A

f (x) chia h¸t cho (x − a)m v  f (x) khæng chia h¸t cho (x − a)m+1

Trong tr÷íng hñp m = 1 th¼ ta gåi a l  nghi»m ìn cán khi m = 2 th¼ a

÷ñc gåi l  nghi»m k²p Sè nghi»m cõa mët a thùc l  têng sè c¡c nghi»mcõa a thùc â kº c£ bëi cõa c¡c nghi»m (n¸u câ) V¼ vªy, ng÷íi ta coi mët

a thùc câ mët nghi»m bëi c§p m nh÷ mët a thùc câ m nghi»m tròngnhau

H» qu£ 1.1 a thùc câ væ sè nghi»m l  a thùc khæng.

H» qu£ 1.2 N¸u a thùc câ bªc ≤ n m  nhªn còng mët gi¡ trà nh÷ nhaut¤i n + 1 iºm ph¥n bi»t cõa èi sè th¼ â l  a thùc h¬ng

H» qu£ 1.3 Hai a thùc bªc ≤ n m  nhªn n + 1 tròng nhau t¤i n + 1

iºm ph¥n bi»t cõa èi sè th¼ chóng çng nh§t b¬ng nhau

ành lþ 1.6 Måi a thùc f (x) ∈ R[x] câ bªc n v  câ h» sè ch½nh (h» sècao nh§t) an 6= 0 ·u câ thº ph¥n t½ch (duy nh§t) th nh nh¥n tû d¤ng

3) Khi a thùc fn(x) d¤ng (1.1) vi¸t d÷îi d¤ng fn(x) = g(x)q(x) vîi

deg(g) > 0v deg(q) > 0th¼ ta nâig l  ÷îc cõafn(x)v  ta vi¸tg(x)|fn(x)

hay fn(x) g(x)

N¸u g(x)|f (x) v  g(x)|h(x) th¼ ta nâi g(x) l  ÷îc chung cõa f (x) v 

h(x)

N¸u hai a thùc f (x) v  h(x) ch¿ câ ÷îc chung l  c¡c a thùc bªc 0 th¼

ta nâi r¬ng chóng nguy¶n tè còng nhau v  vi¸t (f (x), h(x)) = 1

ành lþ 1.7 i·u ki»n c¦n v  õ º hai a thùc f (x) v  h(x) nguy¶n tècòng nhau l  tçn t¤i c°p a thùc u(x) v  v(x) sao cho

f (x)u(x) + h(x)v(x) ≡ 1

T½nh ch§t 1.1 N¸u c¡c a thùc f (x) v  g(x) nguy¶n tè còng nhau v c¡c a thùc f (x) v  h(x) nguy¶n tè còng nhau th¼ c¡c a thùc f (x) v 

g(x)h(x) công nguy¶n tè còng nhau

T½nh ch§t 1.2 N¸u c¡c a thùc f (x), g(x), h(x) thäa m¢n i·u ki»n

f (x)h(x) chia h¸t cho g(x), g(x) v  h(x) nguy¶n tè còng nhau th¼ f (x)

chia h¸t cho g(x)

T½nh ch§t 1.3 N¸u a thùc f (x) chia h¸t cho c¡c a thùc g(x) v  h(x)

vîi g(x) v  h(x) nguy¶n tè còng nhau th¼ f (x) chia h¸t cho g(x)h(x)

T½nh ch§t 1.4 N¸u c¡c a thùc f (x) v  g(x) nguy¶n tè còng nhau th¼

[f (x)]m v  [g(x)]n s³ nguy¶n tè còng nhau vîi måi m, n nguy¶n d÷ìng

B§t ¯ng thùc (1.4) câ trong nhi·u t i li»u b¬ng ti¸ng Vi»t v  ÷ñc gåi

l  b§t ¯ng thùc Cæsi (Cauchy) Tuy nhi¶n, trong c¡c t i li»u n÷îc ngo ib§t ¯ng thùc tr¶n câ t¶n ti¸ng Anh l  AM-GM Inequality, cho n¶n v·sau, ta gåi b§t ¯ng thùc (1.4) l  B§t ¯ng thùc giúa trug b¼nh cëng v trung b¼nh nh¥n

B§t ¯ng thùc (1.4) kh¡ quen thuëc vîi a sè b¤n åc v  ¢ ÷ñc chùngminh trong nhi·u t i li»u b¬ng ti¸ng Vi»t, n¶n chóng tæi s³ khæng tr¼nh

ành lþ 1.10 (B§t ¯ng thùc Schwarz).

Cho x1, x2, , xn v  y1, y2, , yn l  hai d¢y sè thüc, trong â yi > 0,

∀i = 1, 2, , n Ta luæn câ b§t ¯ng thùc

(x1 + x2 + · · · + xn)2

y1 + y2 + · · · + yn ≤ x

2 1

Gi£ sû h m sè f (x) li¶n töc tr¶n I(a, b), trong â I(a, b) ÷ñc ng¦m hiºu

l  mët trong sè c¡c tªp [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) Khi â i·u ki»n c¦n v 

õ º h m sè f (x) lçi tr¶n I(a, b) l 

f



x1 + x22

1.2.1 Cæng thùc Vi±te v  ph÷ìng tr¼nh bªc 3

M°c dò c¡ch gi£i ph÷ìng tr¼nh bªc ba têng qu¡t khæng ÷ñc giîi thi»u

ð bªc phê thæng nh÷ng c¡c b i to¡n li¶n quan ¸n ph÷ìng tr¼nh bªc ba l¤ith÷íng g°p trong c¡c k¼ thi v o ¤i håc v  thi håc sinh giäi Trong möc

n y tr¼nh b y mët sè b i to¡n li¶n quan ¸n cæng thùc Vi±te cõa a thùcbªc ba

4 = −4a3c + a2b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 (1.7)

÷ñc gåi l  bi»t thùc cõa ph÷ìng tr¼nh Khi â:

a) N¸u 4 > 0, th¼ t§t c£ c¡c nghi»m x1, x2, x3 l  c¡c sè thüc v  kh¡cnhau

b) N¸u 4 < 0, th¼ mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l  thüc, cán hai nghi»mkia l  phùc li¶n hñp còng nhau

c) N¸u 4 = 0 v  a2− 3b 6= 0, th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.6) câ ba nghi»m thüc,trong â câ hai nghi»m tròng nhau (nghi»m k²p), nghi»m cán l¤i kh¡c hai

nghi»m tr¶n N¸u 4 = 0 v  a2 − 3b = 0 th¼ ph÷ìng tr¼nh câ ba nghi»mthüc còng nhau (nghi»m bëi).

Chùng minh Gi£ sûx1, x2, x3 l  c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.6) (câthº l  c¡c sè phùc, nh÷ng ½t nh§t câ mët nghi»m l  thüc) Khi â theocæng thùc Vi±te cho ph÷ìng tr¼nh bªc ba, ta câ

b) Gi£ sû x1 l  nghi»m thüc, cán x2, x3 l  phùc li¶n hñp câ d¤ng:

x2 = α + iβ v  x3 = α − iβ Khi â, ta câ

T = (x1 − α − iβ)(x1 − α + iβ)2iβ = 2iβ[(x1 − α)2 + β2]

Do â

4 = T2 = −4β2[(x1 − α)2 + β2] < 0

c) Tø k¸t qu£ tr¼nh b y trong ph¦n b) ta th§y n¸u ph÷ìng tr¼nh (1.6)

câ hai nghi»m b¬ng nhau th¼ c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ·u l  thüc

v  4 = 0 º l m s¡ng tä khi n o ch¿ câ hai nghi»m b¬ng nhau (nghi»mk²p), ho°c c£ ba nghi»m b¬ng nhau (nghi»m bëi), ta x²t biºu thùc

41 = (x1 − x2)2 + (x2 − x3)2 + (x3 − x1)2 = 2(σ12 − 3σ2) = 2(a2 − 3b)

Rã r ng n¸u x1, x2, x3 l  c¡c sè thüc th¼ 41 = 0, tùc l  a2 = 3b khi v ch¿ khi ph÷ìng tr¼nh (1.6) câ ba nghi»m thüc b¬ng nhau (nghi»m bëi).Vªy n¸u 4 = 0 v  a2 = 3b th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.6) câ nghi»m bëi, cán n¸u

4 = 0 v  a2 6= 3b th¼ ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m sè k²p ành lþ ÷ñc chùngminh

V½ dö 1.2 Th nh lªp mët ph÷ìng tr¼nh bªc ba câ c¡c nghi»m l  b¼nhph÷ìng c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

u3 − 2u2 + u − 12 = 0

Líi gi£i K½ hi»u u1, u2, u3 l  c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho v 

r1, r2, r3 l  c¡c a thùc èi xùng sì c§p cõa c¡c bi¸n u1, u2, u3 Theo ành

Vªy gi¡ trà c¦n t¼m cõa a l  a = −9.

V½ dö 1.5 Bi¸t r¬ng t, u, v l  ba nghi»m thüc cõa ph÷ìng tr¼nh

x3 + ax2 + bx + c = 0, (1.8)trong â a, b, c l  c¡c sè thüc T¼m i·u ki»n cõa a, b, c º t3, u3, v3 nghi»m

óng ph÷ìng tr¼nh

x3 + a3x2 + b3x + c3 = 0 (1.9)Líi gi£i p döng cæng thùc Vi±te cho ph÷ìng tr¼nh (1.8), ta câ

σ1 = t + u + v = −a, σ2 = tu + uv + vt = b, σ3 = tuv = −c (1.10)

Gi£ sû t3, u3, v3 l  c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.9) Theo cæng thùcVi±te, ta câ

V¼ t§t c£ c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l  thüc, n¶n ta ph£i câ

b ≤ 0 Vªy, i·u ki»n c¦n v  õ cõa a, b, c l  c = ab v  b ≤ 0

1.2.2 H» ph÷ìng tr¼nh èi xùng ba ©n

Gi£ sû P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) l  c¡c a thùc èi xùng X²t h»ph÷ìng tr¼nh

ành lþ 1.15 (xem [3]) Gi£ sû σ1, σ2, σ3 l  c¡c sè thüc n o â Khi âph÷ìng tr¼nh bªc ba

v  ngo i ra khæng cán c¡c nghi»m n o kh¡c Ng÷ñc l¤i, n¸u x = a, y = b,

z = c l  nghi»m cõa h» (1.14), th¼ c¡c sè a, b, c l  nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh (1.13)

Chùng minh Gi£ sû u1, u2, u3 l  c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.13).Khi â ta câ çng nh§t thùc

(1.14) khæng cán nghi»m n o kh¡c s³ ÷ñc l m s¡ng tä d÷îi ¥y.

Gi£ sû x = a, y = b, z = c l  c¡c nghi»m cõa h» (1.14), ngh¾a l 

Khi â ta câ

u3 − σ2u2 + σ2u − σ3 = u3 − (a + b + c)u2 + (ab + bc + ca)u − abc

σ1 ≥ 0, σ2 ≥ 0, σ3 ≥ 0

Chùng minh Gi£ sû x, y, z l  nghi»m cõa h» (1.14) Khi â theo ành

lþ 1.15, x, y, z l  c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.13) Theo ành lþ 1.14,ph÷ìng tr¼nh (1.13) câ nghi»m thüc khi v  ch¿ khi bi»t thùc cõa nâ khæng

¥m, ngh¾a l  (1.15) ÷ñc thäa m¢n Ngo i ra, n¸u c¡c sèx, y, zl  khæng ¥m,th¼ hiºn nhi¶n σi ≥ 0 (i = 1, 2, 3) Ng÷ñc l¤i, n¸uσi ≥ 0 (i = 1, 2, 3) v (1.15) ÷ñc thäa m¢n, th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.13) khæng thº câ nghi»m ¥m.Thªt vªy, trong (1.13) thay u = −v ta câ ph÷ìng tr¼nh

v3 + σ1v2 + σ2v + σ2 = 0 (1.16)V¼ σi ≥ 0 (i = 1, 2, 3), n¶n ph÷ìng tr¼nh (1.16) khæng thº câ nghi»md÷ìng, do â ph÷ìng tr¼nh (1.13) khæng thº câ nghi»m ¥m Tø â suy ra

Líi gi£i °t x + y + z = σ1, σ2 = xy + yz + zx, σ3 = xyz Sû döngcæng thùc Waring ta câ

Gi£i h» n y ta t¼m ÷ñc σ1 = 2, σ2 = −1, σ3 = −2 Theo ành lþ 1.15,

ta câ x, y, z l  c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

Trong möc n y tr¼nh b y c¡c ùng döng cõa a thùc èi xùng v  ph£n

èi xùng ba bi¸n v o c¡c b i to¡n v· ph¥n t½ch th nh nh¥n tû

Gi£ sû f (x, y, z) l  a thùc èi xùng ba bi¸n º ph¥n t½ch f (x, y, z)

th nh nh¥n tû, tr÷îc h¸t c¦n ph£i biºu di¹n nâ qua c¡c a thùc èi xùng

cì sð σ1, σ2, σ3 º ÷ñc a thùc ϕ(σ1, σ2, σ3), sau â cè g­ng ph¥n t½ch athùc cuèi còng th nh nh¥n tû N¸u trong c¡c nh¥n tû cõa f (x, y, z) câ athùc khæng èi xùng h(x, y, z), th¼ do f (x, y, z) l  èi xùng s³ ph£i câ c¡cnh¥n tû nhªn ÷ñc tø h(x, y, z) b¬ng c¡ch ho¡n và c¡c bi¸n x, y, z ngh¾a

l  câ c¡c nh¥n tû d¤ng:

h(x, y, z), h(x, z, x), h(y, x, z), h(y, z, x), h(z, x, y), h(z, y, x)

N¸u trong c¡c nh¥n tû câ nh¥n tû g(x, y, z) l  a thùc èi xùng ch¿ vîihai bi¸n, th½ dö èi vîi x, y ngh¾a l 

g(x, y, z) = g(y, x, z),

th¼ c¡c nh¥n tû còng d¤ng s³ l 

g(x, y, z), g(y, z, x), g(z, x, y)

N¸u nh÷ trong c¡c nh¥n tû câ nh¥n tû k(x, y, z) èi xùng ch®n, ngh¾a l 

k(x, y, z) = k(y, z, x) = k(z, x, y),

th¼ c¡c nh¥n tû còng d¤ng s³ l 

k(x, y, z), k(y, z, x)

Nh÷ vªy, trong ph¥n t½ch th nh nh¥n tû cõa a thùc èi xùng f (x, y, z)

câ thº g°p c¡c nh¥n tû d¤ng sau ¥y:

trong â T (x, y, z) l  a thùc ph£n èi xùng ìn gi£n nh§t, cán g(x, y, z)

l  a thùc èi xùng Ngo i ra, èi vîi a thùc ph£n èi xùng thu¦n nh§t

câ k¸t qu£ sau ¥y

M»nh · 1.1 K½ hi»u θm(x, y, z) l  a thùc ph£n èi xùng bªc m Khi

Nh÷ vªy, a thùc ¢ cho chia h¸t cho σ1 = x + y + z Nh÷ng v¼ a thùc

¢ cho l  h m ch®n èi vîi x, y, z, n¶n nâ công chia h¸t cho −x + y + z,

x − y + z, x + y − z Công v¼ a thùc ¢ cho câ bªc b¬ng 4, n¶n ta câ

1.2.4 T½nh chia h¸t cõa c¡c a thùc èi xùng

Trong möc n y tr¼nh b y mët sè v½ dö v· t½nh chia h¸t cõa c¡c a thùc

Líi gi£i Tr÷îc h¸t ta ph¥n t½ch g(x, y, z) th nh nh¥n tû V¼ khi x = −y,

x = −z, y = −z th¼ g = 0, n¶n theo ành l½ Bezout a thùc g(x, y, z) chiah¸t cho (x + y)(x + z)(y + z) M°t kh¡c, v¼ bªc cõa g b¬ng 3, n¶n nâ câd¤ng

g(x, y, z) = a(x + y)(x + z)(y + z)

Cho x = y = z = 1 ta t¼m ÷ñc a = 3 V¥y ta câ

g(x, y, z) = (x + y + z)3 − x3 − y3 − z3 = 3(x + y)(x + z)(y + z)

B¬ng c¡ch t÷ìng tü ta th§y f (x, y, z) chia h¸t cho (x + y)(x + z)(y + z)

vîi måi n nguy¶n d÷ìng, tùc l  f (x, y, z) chia h¸t cho g(x, y, z)

V½ dö 1.10 Chùng minh r¬ng, n¸u a thùc èi xùng f (x, y, z) chia h¸tcho x − y th¼ nâ chia h¸t cho (x − y)2(x − z)2(y − z)2

Líi gi£i Gi£ sû r¬ng

suy ra g(x, y, z) l  a thùc ph£n èi xùng theo hai bi¸n x, y Vªy g(x, y, z)

chia h¸t cho x − y Do â f (x, y, z) chia h¸t cho (x − y)2 V¼ f (x, y, z) l 

a thùc èi xùng, n¶n vai trá cõa x, y, z l  nh÷ nhau, cho n¶n f (x, y, z)

công chia h¸t cho (x − z)2 v  (y − z)2 Vªy f (x, y, z) chia h¸t cho

Theo ành lþ Bezout, f (x) chia h¸t cho x + y + z = x − (−y − z) khi

v  ch¿ khi f (−y − z) = 0 Ta câ

f (−y − z) = −(y + z)3 − kyz(y + z) + (y3 + z3)

= (k + 3)yz(y + z) = 0, ∀y, z

Tø â suy ra k = −3

Vªy i·u ki»n c¦n v  õ º x3 + y3 + z3 + kxyz chia h¸t cho x + y + z

l  k = −3

1.3 a thùc bªc ba v  c¡c h» thùc trong tam gi¡c

Ph÷ìng tr¼nh bªc ba têng qu¡t câ d¤ng

x3 + ax2 + bx + c = 0 (1.17)

m2 − 1.Khi â, ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t

t = 1

2



d + 1d



= 12

m2 + 1 Khi â ph÷ìngtr¼nh câ nghi»m duy nh§t

t = 1

2



d + 1d



= 12

bsin B =

csin C = 2R.

L§y (1.19) nh¥n vîi (1.20), ta ÷ñc

cos2 A

2 =

a(p − a)4Rr .

Tø â suy ra

ar4R(p − a) +

a(p − a)4Rr = sin

Vªy a l  nghi»m cõa (1.18) T÷ìng tü b, c công l  nghi»m cõa (1.18) Ta

câ i·u c¦n chùng minh

Ch÷ìng 2 C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n

Trong ch÷ìng n y ta quan t¥m chõ y¸u ¸n c¡c d¤ng a thùc èi xùng

v  a thùc çng bªc bi¸n sè thüc v  nhªn gi¡ trà thüc C¡c k¸t qu£ ch½nhcõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o tø t i li»u [3]

P (x, y, z) = X

k+l+m≤n

aklmxkylzm

Bªc lîn nh§t cõa c¡c ìn thùc trong a thùc ÷ñc gåi l  bªc cõa a thùc

ành ngh¾a 2.3 a thùc P (x, y, z) ÷ñc gåi l  a thùc èi xùng, n¸u nâkhæng thay êi vîi måi ho¡n và cõa x, y, z ngh¾a l 

P (x, y, z) = P (y, x, z) = P (z, y, x) = P (x, z, y) = P (y, z, x) = P (z, x, y)

ành ngh¾a 2.4 a thùc ph£n èi xùng l  a thùc thay êi d§u khi thay

êi và tr½ cõa hai bi¸n b§t ký