Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)

Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Số đa giác và một số bài toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH THỊ THU HÀ

SỐ ĐA GIÁC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH THỊ THU HÀ

SỐ ĐA GIÁC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Chương Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Hàm sinh 3

1.2 Phương trình Pell 8

Chương 2 Chương Số đa giác và số đa diện 10

2.1 Số đa giác 10

2.2 Một số tính chất 13

2.3 Hàm sinh của số đa giác 28

2.4 Số tam giác chính phương 30

2.5 Tổng bình phương các số đa giác 32

2.6 Định lý Cauchy về số đa giác 35

2.7 Một số số hình học phẳng khác 37

2.8 Số đa diện 39

KẾT LUẬN 44

Tài liệu tham khảo 44

Mở đầu

Các số tượng hình (figurate numbers) cũng như hầu hết các số đặcbiệt khác có lịch sử lâu đời và phong phú Các số tượng hình đã được giớithiệu vào khoảng thế kỷ thứ VI trước công nguyên như một nỗ lực gắn kếtHình học với Số học Những nhà toán học thời kỳ Pythagore đã xem xétmột số nguyên dương bất kỳ như là tập các điểm trên mặt phẳng và các sốtượng hình là số có thể biểu thị bởi một một hình đều: số đa giác là các sốbiểu thị bởi các đa giác đều, số đa diện là số biểu thị bởi các đa diện đều, Lý thuyết các số tượng hình không chỉ thể hiện vẻ đẹp của toán học màthâm nhập vào nhiều nghiên cứu trong toán học, đặc biệt là số học và đượcnhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu (Pythagoras, Hypsicles, Plutarch,Nicomachus, Theon, Diophantus, Fibonacci, Stifel, Cardano, Descartes, Pell,Pascal, Euler, Legendre, Gauss, )

Luận văn tìm hiểu về số đa giác, số đa diện và một số bài toán liênquan Tài liệu chính của luận văn là cuốn sách "Figure Numbers" của E.Deza, M.M Deza và hai bài báo "A short proof of Cauchy’s polygonal numbertheorem" của M B Nathanson; "Sum of squares of polygonal numbers" của

A Gnanam, B Anitha

Luận văn được chia làm 2 chương Chương 1 trình bày một số kiếnthức chuẩn bị về hàm sinh và phương trình Pell Chương 2 trình bày về số đagiác, số đa diện và một số bài toán liên quan Số đa giác và một số tính chấtđược trình bày ở mục đầu của Chương 2 Nội dung tiếp theo của Chương

2 trình bày về một số bài toán quan trọng liên quan như số tam giác chínhphương, Định lý Cauchy về số đa giác, tổng bình phương các số đa giác Một

số số hình học phẳng khác như số đa giác chỉ số âm, số pronic, số gnomonic,

số kim cương Aztec cũng được giới thiệu trong chương Cuối cùng luận văntìm hiểu sơ lược về số đa diện: số tứ diện và số hình chóp

Trong quá trình làm luận văn, tôi nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡtận tình của TS Trần Nguyên An - Trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Caohọc khóa Cao học Toán khóa K11 (2017-2019) - trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên, đã truyền thụ đến cho tôi nhiều kiến thức và kinhnghiệm nghiên cứu khoa học

Lời cuối cùng, tác giả muốn dành để tri ân bố mẹ và gia đình vì đãchia sẻ những khó khăn để tác giả hoàn thành công việc học tập của mình

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 01 năm 2019

Tác giả

Đinh Thị Thu Hà

để đổi một dollar khi dùng các đồng xu có mệnh giá khác nhau Các hàmsinh cũng có thể được dùng để giải các hệ thức truy hồi bằng cách dịch một

hệ thức truy hồi đối với các số hạng của một dãy thành một phương trìnhcủa hàm sinh Các hàm sinh cũng có thể được dùng để chứng minh các hẳngđẳng thức tổ hợp bằng cách lợi dụng những mối liên hệ tương đối đơn giảngiữa các hàm và chuyển dịch những mối quan hệ này thành hằng đẳng thứcliên quan đến các số hạng của các dãy Những lý do trên giải thích vì sao taquan tâm đến hàm sinh Mục này của chương nhắc lại những kiến thức cơbản của hàm sinh của một dãy số làm kiến thức cơ sở cho Chương 2

Định nghĩa 1.1.1 Hàm sinh đối với dãy số a0, a1, , ak, của các sốthực là chuỗi vô hạn

Ví dụ 1 Hàm sinh của dãy {ak} với ak = 3, ak = k + 1, ak = 2k lần lượt là

Do đó G(x) = xx−16−1 là hàm sinh của dãy 1, 1, 1, 1, 1, 1

Ví dụ 3 Giả sửm là một số nguyên dương vàak = Cmk vớik = 0, 1, 2, , m.Hàm sinh của dãy a0, a1, , am là

G(x) = Cm0 + Cm1x + Cm2x2 + + Cmmxm

Theo Định lí nhị thức ta thấy ngay rằng G(x) = (1 + x)m

Khi được dùng để giải các bài toán đếm, các hàm sinh thường đượccoi như là những chuỗi lũy thừa hình thức Vấn đề hội tụ của các chuỗi nàykhông được xem xét tại đây Tuy nhiên, để áp dụng một số kết quả của giảitích, đôi khi việc xem xét đối với những giá trị nào của x thì chuỗi hội tụcũng là một điều quan trọng Bây giờ ta sẽ nêu ra một số tính chất của cácchuỗi vô hạn có liên quan đến các hàm sinh

Ví dụ 4 Hàm f (x) = 1−x1 là hàm sinh của dãy 1, 1, vì

1

1 − x = 1 + x + x

2 +

với |x| < 1

Ví dụ 5 Hàm f (x) = 1−ax1 là hàm sinh của dãy 1, a, a2, a3, vì

1

1 − ax = 1 + ax + a

2x2 + a3x3 +

với |ax| < 1, hay |x| < |a|1 với a 6= 0

Chúng ta cũng sẽ cần một số kết quả về việc cộng và nhân hai hàmsinh

Định nghĩa 1.1.5 Cho u là một số thực và k là một số nguyên không âm.Khi đó hệ số nhị thức mở rộng được định nghĩa bởi

C31/2 =

1 2

Ví dụ 8 dưới đây cho ta một công thức tiện ích để tính các hệ số nhị thức

mở rộng khi tham số (u) là một số âm

Ví dụ 8 Khi tham số (u) là một số âm, hệ số nhị thức mở rộng có thể đượcbiểu diễn qua các hệ số nhị thức thông thường Muốn vậy, chú ý rằng

Định lí 1.1.6 có thể chứng minh bằng cách dùng chuỗi Maclaurin

Nhận xét 1.1.7 Khi u là một số nguyên dương, Định lí nhị thức mở rộngquy về Định lí nhị thức, vì trong trường hợp đó Cuk = 0 nếu k > u

Ví dụ 9 dưới đây minh họa cách dùng Định lí nhị thức mở rộng khi số mũ là

số nguyên âm

Ví dụ 9 Dùng Định lí nhị thức mở rộng tìm hàm sinh đối với (1 + x)−n và

(1 − x)−n, khi n là số nguyên dương

Lời giải Theo Định lí nhị thức mở rộng ta có

Chứng minh Nếu D là số chính phương thì tồn tại m ∈Z sao cho D = m2.Khi đó phương trình (1.1) được viết lại thành:

Mệnh đề 1.2.2 Nếu số nguyên D trong phương trình (1.1) là số nguyên

âm thì phương trình đó không có nghiệm nguyên dương

Chứng minh Đặt D = −mvới m > 0 Khi đó phương trình (1.1) trở thành:

Nếum > 1 và kết hợp với x2, y2 ≥ 0 kéo theo x = 1; y = 0 hoặcx = −1; y =

0 Vậy ta kết luận phương trình (1.1) không có nghiệm nguyên dương

Từ đây ta hạn chế xét nghiệm nguyên dương của phương trình Pell

và D là số số nguyên dương Ta công nhận một số kiến thức sau về phươngtrình Pell

Định lý 1.2.3 (Điều kiện tồn tại nghiệm) Phương trình (1.1) có nghiệmnguyên dương khi và chỉ khi D là số không chính phương.

Định lý 1.2.4 (Công thức nghiệm) Ký hiệu (a, b) là nghiệm nhỏ nhất củaphương trình

x2 − Dy2 = 1

Khi đó dãy (xn, yn) cho bởi

xn = (a + b

√D)n+ (a − b√

D)n2

yn = (a + b

√D)n− (a − b√D)n

2√D

cho tất cả các nghiệm của (1.1)

Dãy nghiệm (xn, yn) cũng có thể xác định theo công thức truy hồi sau

x0 = 1, x1 = a, xn+2 = 2axn+1− xn, (1.2)

y0 = 0, y1 = b, yn+2 = 2ayn+1 − yn (1.3)

Chương 2

Số đa giác và số đa diện

Chương này giới thiệu về số đa giác, số đa diện và một số bài toán liênquan

2.1 Số đa giác

Theo các nhà toán học cổ đại, ta xem xét tập các điểm lập thành một

số số hình học trên mặt phẳng như sau: Bắt đầu bằng một điểm Thêm vào

đó 2 điểm ta được tam giác đều gồm ba điểm Tam giác đều sáu điểm có thểthu được từ tam giác đều 3 điểm bằng cách thêm vào đó 3 điểm Thêm vào đó

4 điểm ta được tam giác đều mười điểm Như vậy, bằng cách thêm vào một

Hình 2.1: Năm số tam giác đầu tiên

điểm, 2 điểm, 3 điểm, 4 điểm, rồi sắp xếp thành các tam giác đều và đếm sốđiểm trong mỗi tam giác ta được các số 1, 3, 6, 10, được gọi là các số tamgiác Cũng cần chú ý thêm 3=1+2, 6=3+3=1+2+3, 10=6+4=1+2+3+4,

Tương tự như số tam giác, bắt đầu từ 1 điểm, khi ta thêm 3 điểm, 5điểm, 7 điểm, và sắp xếp thành các hình vuông rồi đếm số điểm trong đó,

ta được các số 1, 4, 9, 16, 25, được gọi là các số hình vuông Chú ý 4=1+3,9=4+5=1+3+5,

Bắt đầu từ 1, bằng cách thêm vào 4 điểm, 7 điểm, 10 điểm, và sắpxếp thành các hình ngũ giác đều rồi đếm số điểm trong đó, ta được các số 1,

5, 12, 22, được gọi là số ngũ giác Theo quy trình trên, ta có thể xây dựngđược các số lục giác 1, 6, 15,

Hình 2.2: Năm số hình vuông đầu tiên

Hình 2.3: Năm số ngũ giác đầu tiên

Hình 2.4: Năm số lục giác đầu tiên

Định nghĩa tổng quát đầu tiên cho sốm- giác được đưa ra bởi Hypsicles

từ thế kỉ II trước CN và được Diophantus đưa vào luận án "On polygonalnumbers"

Định nghĩa 2.1.1 Số m - giác thứ n ký hiệu Sm(n) là tổng của n số trongcấp số cộng

1, 1 + (m − 2), 1 + 2(m − 2), 1 + 3(m − 2), , m ≥ 3

Theo định nghĩa Sm(n) = 1 + (1 + (m − 2)) + (1 + 2(m − 2)) + (1 +3(m − 2)) + · · · + (1 + (m − 2)(n − 1))

Nhận xét 2.1.2

Sm(n) = 1

2m(n

2 − n) − n2 + 2n (2.1)

Ta có thể chứng minh công thức trên nhờ quy nạp như sau: Với n = 1, ta có:

Sm(1) = 12m(1 − 1) − 12 + 2.1 = 1 Vậy (2.1) đúng với n = 1 Giả sử (2.1)

đúng với n = k, nghĩa là: Sm(k) = 12m(k2− k) − k2+ 2k Ta cần chứng minh(2.1) đúng với n = k + 1 Thật vậy:

dụ, xét trường hợp với n = 4 như trong hình ảnh dưới đây:

Từ công thức tổng quát của số tam giác Tn = n(n+1)2 , ta có: n =

(ii) 2018 không là số tam giác vì 8.2018 + 1 = 16145 không là số chínhphương.

Đối với số hình vuông, hai số hình vuông thứ n xếp thành hình chữnhật cạnh n và 2n Do đó: Sn = 2n.n2 = n2

Cách khác, ta thấy rằng số hình vuông thứ n + 1 thu được từ số hìnhvuông thứ nbằng cách thêm vào đó 2n + 1 Bắt đầu từ n = 1 thì Sn = 1 và:

S3(n) + S3(n − 1) = n(n + 1)

n(n − 1)2

chứng minh (2.2) đúng với n = k + 1 Thật vậy:

Vậy ta có điều phải chứng minh

Định lý 2.2.2 Tổng của n số lập phương đầu tiên là bình phương số tamgiác thứ n

Ngoài ra, chúng ta có thể chứng minh theo cách khác như sau:

Vậy ta có điều phải chứng minh

Tương tự, ta có thể xây dựng các số tam giác từ các số tam giác khác.Định lý 2.2.3 Các số tam giác với chỉ số chẵn được tính bởi công thức:

S3(2n) = 3S3(n) + S3(n − 1) (2.4)Chứng minh Thật vậy, ta có:

3S3(n) + S3(n − 1) = 3.n(n + 1)

n(n − 1)2

Hình 2.5: Hình ảnh minh họa cho trường hợp n = 3

Giả sử (2.4) đúng với n = k, nghĩa là: S3(2k) = 3S3(k) + S3(k − 1) Ta cần

chứng minh (2.4) đúng với n = k + 1 Thật vậy:

Vậy ta có điều phải chứng minh

Định lý 2.2.4 Một số tam giác với chỉ số lẻ được tính bởi công thức:

S3(2n + 1) = 3S3(n) + S3(n + 1) (2.5)Chứng minh Ta có:

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Định lý 2.2.5 Ta có:

S3(3n − 1) = 3S3(n) + 6S3(n − 1) (2.6)Chứng minh Ta có:

3S3(n) + 6S3(n − 1) = 3n(n + 1)

6n(n − 1)2

Vậy ta có điều phải chứng minh

Định lý 2.2.6 Công thức sau đây được gọi là công thức Diophantus (haycông thức Plutarch):

S4(2n + 1) = 8S3(n) + 1 (2.7)

Chứng minh Ta có: 8S3(n) + 1 = 8n(n+1)2 + 1 = 4n2+ 4n + 1 = (2n + 1)2 =

S4(2n + 1)

Hình 2.8: Hình ảnh minh họa cho trường hợp n = 2

Bằng quy nạp, vớin = 1, ta có: 8S3(1) + 1 = 8.1 + 1 = 9 = S4(2) Vậy(2.7) đúng với n = 1 Giả sử (2.7) đúng với n = k, nghĩa là: S4(2k + 1) =8S3(k) + 1 Ta cần chứng minh (2.7) đúng với n = k + 1 Thật vậy:

Vậy (2.7) đúng với n = k + 1 và ta có điều phải chứng minh

Định lý 2.2.7 Tổng của hai số tam giác có chỉ số chẵn (hoặc lẻ) liên tiếp:

S3(n − 1) + S3(n + 1) = 2S3(n) + 1 (2.8)Chứng minh Ta có:

= 2.n(n + 1)

2 + 1

= 2S3(n) + 1

Hình 2.9: Hình ảnh minh họa cho trường hợp n = 3

Bằng quy nạp, với n = 2, ta có: S3(1) + S3(3) = 1 + 6 = 7 = 2.3 + 1 =2S3(2) + 1

Vậy (2.8) đúng với n = 2 Giả sử (2.8) đúng với n = k, nghĩa là:

Vậy (2.8) đúng với n = k + 1 và ta có điều phải chứng minh

Một số mối quan hệ giữa các số đa giác khác:

Định lý 2.2.8 Ta có:

S5(n) = S4(n) + S3(n − 1) (2.9)Chứng minh Ta có:

S4(n) + S3(n − 1) = n2 + n(n − 1)

2

= 3n

2 − n2

= n(3n − 1)

2

= S5(n)

Bằng quy nạp, với n = 2, ta có: S4(2) + S3(1) = 4 + 1 = 5 = S5(1).Vậy (2.9) đúng với n = 2 Giả sử (2.9) đúng với n = k, nghĩa là: S5(k) =

S4(k) + S3(k − 1) Ta cần chứng minh (2.9) đúng với n = k + 1 Thật vậy:

S4(k + 1) + S3(k) = S4(k) + S3(k − 1) + (2n + 1) + n

= S5(n) + (3n + 1)

= S5(n + 1)

Vậy (2.9) đúng với n = k + 1 và ta có điều phải chứng minh

Hình 2.10: Hình ảnh minh họa cho trường hợp n = 4

Tính chất sau thể hiện mối quan hệ giữa số tam giác và số lục giác.Định lý 2.2.9 Ta có:

S6(n) = S3(n) + 3S3(n − 1) (2.10)Chứng minh Ta có:

S3(n) + 3S3(n − 1) = n(n + 1)

2 + 3

n(n − 1)2

= n

2(4n − 2)

= S6(n)

Bằng quy nạp, với n = 2, ta có: S3(2) + 3S(1) = 3 + 3.1 = 6 = S6(1)

Vậy (2.10) đúng với n = 2 Giả sử (2.10) đúng với n = k, nghĩa là: S6(k) =

S3(k) + 3S3(k − 1) Ta cần chứng minh (2.10) đúng với n = k + 1 Thật vậy:

Hình 2.11: Hình ảnh minh họa cho trường hợp n = 3

Định lý 2.2.10 Định lý số lục giác

S6(n) = S3(2n − 1) (2.11)Chứng minh Dễ thấy: S3(2n − 1) = 2n(2n−1)2 = n(4n−2)2 = S6(n)

Hình 2.12: Hình ảnh minh họa cho trường hợp n = 3

Bằng quy nạp, với n = 1, ta có: S6(1) = 6 = S3(2.1 − 1) Vậy (2.11) đúngvới n = 1 Giả sử (2.11) đúng với n = k, nghĩa là: S6(k) = S3(2k − 1) Tacần chứng minh (2.11) đúng với n = k + 1

Hình 2.13: Hình ảnh minh họa cho trường hợp n = 4

Vậy (2.12) đúng với n = 2 Giả sử (2.12) đúng với n = k, nghĩa là: S8(k) =6S3(k − 1) + k Ta cần chứng minh (2.12) đúng với n = k + 1 Thật vậy:

Vậy (2.12) đúng với n = k + 1 và ta có điều phải chứng minh

Công thức sau của Nicomachus of Alexandria được công bố từ thế kỷ

I trước CN trong "Giới thiệu về số học":

Định lý 2.2.12 Công thức Nicomachus:

Sm(n) = Sm−1(n) + S3(n − 1) (2.13)Chứng minh Từ Sm(n) = n((m−2)n−m+4)2 , ta có:

Bằng quy nạp, với n = 2, ta có: Sm−1(2) + S3(1) = (m − 1) + 1 = m =

Sm(1) Vậy (2.13) đúng với n = 2 Giả sử (2.13) đúng với n = k, nghĩa là:

Sm(k) = Sm−1(k) + S3(k − 1) Ta cần chứng minh (2.13) đúng với n = k + 1.Thật vậy:

S3(k) + Sm−1(k + 1) = (Sm−1(k − 1) + S3(k − 1)) + ((m − 2)k + 1) + k

= Sm(k) + ((m − 2)k + 1)

= Sm(k + 1)

Vậy (2.13) đúng với n = k + 1 và ta có điều phải chứng minh

Bachet de Méziriac đã phát hiện tính chất sau:

Định lý 2.2.13 Công thức Bachet de Méziriac: Mọi số m giác thứ n đềuphân tích được thành tổng của số tam giác thứ n và m − 3 số tam giác thứ

n − 1

Sm(n) = S3(n) + (m − 3)S3(n − 1) (2.14)Chứng minh Ta có thể thu được công thức này bằng cách sử dụng liên tiếpcông thức Diophantus cho các số m − 1 - giác, m − 2 - giác,

Ngoài ra, ta có thể chứng minh bằng cách sau: Xét đa giác đều k cạnh, khi

đó các điểm của đa giác chính là sốk - cạnh thứn Từ một đỉnh của đa giác,

Hình 2.14: Ví dụ với hình thất giác

kẻ đường thẳng nối đỉnh đó với các đỉnh còn lại:

Khi đó, đa giác được chia thành k − 2 tam giác, trong đó có 1 tam giác có

số điểm là số tam giác thứ n và k − 3 tam giác còn lại số điểm là số tamgiác thứ n − 1 Từ đó ta có công thức (2.14) Công thức (2.14) cho chúng tabảng về mối quan hệ giữa các số đa giác như sau:

Định lý 2.2.14 Ta có:

Sm(n) = (m − 2)S3(n − 1) + n (2.15)Chứng minh Ta có thể thu được công thức này từ công thức Bachet deMéziriac như sau:

(69) 13 + 33 + 53 + + q3 = S3(n), ở đây q là số lẻ, và n = 12(q2 +2q − 1);

2.3 Hàm sinh của số đa giác

Theo mục 1.1, ta có

1(1 − x)3 = 1 + 3x + 6x2 + · · · + S3(n)xn−1 + · · · , |x| < 1

Vậy hàm sinh của các số tam giác là (1−x)1 3 Để tìm hàm sinh của các số đagiác ta có mệnh đề sau

Cho hai đa thức với hệ số thực

f (x) = a0 + a1x + · · · + amxm; g(x) = b0 + b1x + · · · + bnxn,