ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG LÊ THỊ HÀ PHƯƠNG NGHIÊN CỨU KỸ THUẬT XỬ LÝ ẢNH ỨNG DỤNG PHÁT HIỆN KHỐI U TRONG GAN Ngành: Khoa học máy tính Mã số: 8
Trang 1ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN
THÔNG
LÊ THỊ HÀ PHƯƠNG
NGHIÊN CỨU KỸ THUẬT XỬ LÝ ẢNH
ỨNG DỤNG PHÁT HIỆN KHỐI U TRONG GAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH
THÁI NGUYÊN - 2019
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n
Trang 2ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN
THÔNG
LÊ THỊ HÀ PHƯƠNG
NGHIÊN CỨU KỸ THUẬT XỬ LÝ ẢNH
ỨNG DỤNG PHÁT HIỆN KHỐI U TRONG GAN
Ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 8 480101
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐỖ NĂNG TOÀN
THÁI NGUYÊN - 2019
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n
Trang 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan các số liệu và kết quả nghiên cứu của luận văn làtrung thực và không trùng lặp với đề tài khác
Tôi cũng xin cam đoan mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này
đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồngốc
Thái Nguyên, ngày tháng năm 2019
Học viên thực hiện
Lê Thị Hà Phương
Trang 4Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới Thầy PGS.TS Đỗ Năng Toànđã
tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt luận văn tốtnghiệp này
Quá trình thực hiện đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, rất mongtiếp tục nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô đối với đề tài nghiêncứu của tôi để đề tài được hoàn thiện hơn
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Trang 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ CÁI VIẾT TẮT v
DANH MỤC HÌNH VẼ SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN vi
MỞ ĐẦU 1
Chương 1.KHÁI QUÁT VỀ XỬ LÝ ẢNH VÀ BÀI TOÁN PHÁT HIỆNKHỐI U TRONG GAN 3
1.1 Khái quát về xử lý ảnh 3
1.1.1 Các khái niệm cơ bản 3
1.1.2 Các bước xử lý ảnhsố 5
1.2 Bài toán phát hiện bất thường trong gan
15 1.2.1 Giới thiệu về xử lý ảnh y tế 15
1.2.2 Các chuẩn ảnh y tế và truyền thông ảnh y tế 16
1.2.3 Phát hiện bất thường trong gan dựa vào ảnh y tế 19
Chương 2.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÁT HIỆN KHỐI U TRONG GAN 20
2.1 Phát hiện khối u dựa vào phát hiện biên 20
2.1.1 Giới thiệu 20
2.1.2 Kỹ thuật phát hiện biên Gradient 21
2.1.3 Kỹ thuật phát hiện biên Laplace 24
2.1.4 Phương pháp canny 27
2.2 Phát hiện khối u dựa vào đặc trưng bất biến tỷ lệ - SIFT
28 2.2.1 Phát hiện cực trị không gian tỷ lệ (Scale-space Extrema Detection)30 2.2.2 Định vị chính xác điểm khóa (Keypoint localization) 34
Trang 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n
2.2.3 Gán hướng cho các điểm khóa (Oriented Assignment) 372.2.4 Bộ mô tả ảnh cục bộ (Keypoint Description) 38
Trang 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n
5
Chương 3.CHƯƠNG TRÌNH THỬ NGHIỆM 42
3.1 Phân tích yêu cầu bài toán 42
3.1.1 Khối u trong cơ thể người 42
3.1.2 Khối u, nang trong gan người và các đặc điểm của nó 43
3.1.3 Cách giải quyết bài toán 3.1.4 Yêu cầu thực nghiệm, ứng dụng 47
3.3 Một số kết quả chương trình 50
KẾT LUẬN 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO 54
Trang 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n
6
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ CÁI VIẾT TẮT
2 CGA Color Graphic Adapter Chế độ đồ họa màu
loạt dài
4 MPEG Moving Picture Experts
Group
Chuẩn nén video vàaudio theo ISO/IEC
5 DICOM Digital ImagingandCommunic Chuẩn hình ảnh số và
truyền thông trong y tếations in Medicine
6 PACS Picture archiving and
communication system
Hệ thống lưu trữ vàtruyền hình ảnh
7 SIFT Scale Invariant Biến đổi đặc trưng bất
biến tỷ lệFeature Transform
Trang 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n
7
DANH MỤC HÌNH VẼ SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN
Hình 1.1 Quá trình xử lý ảnh 3
Hình 1.2 Các bước cơ bản trong một hệ thống xử lý ảnh 5
Hình 1.3 Sơ đồ phân tích, xử lý ảnh và lưu đồ thông tin giữa các khối 5
Hình 1.4 Ảnh gốc và ảnh sau khi nắn chỉnh 6
Hình 1.5 Dãn độ tương phản 8
Hình 1.6 Quá trình hiển thị và chỉnh sửa, lưu trữ ảnh thông qua DIB 14
Hình 1.7 Sự chuyển đổi giữa các mô hình biểu diễn ảnh 14
Hình 1.8 Minh họa đối tượng thông tin và dịch vụ của DICOM 17
Hình 2.1 Bộ lọc Laplace of Gauss 25
Hình 2.2 Mô hình tính của phương pháp Canny 27
Hình 2.3 Xây dựng một thể hiện không gian tỷ lệ 31
Hình 2.4 Các giá trị cực đại và cực tiểu của các ảnh DoG 32
Hình 2.5 Các giai đoạn lựa chọn các điểm khóa 35
Hình 2.6 Bộ mô tả điểm khóa 39
Hình 3.1 U máu gan 43
Hình 3.2 Tăng sản thể nốt khu trú 44
Hình 3.3 U tuyến gan 45
Hình 3.4 Nang gan 45
Hình 3.5 Gan đa nang 46
Hình 3.6 Mô hình chức năng nhận dạng đối tượng……….47
Hình 3.7 Ảnh chụp CT lá gan 49
Hình 3.8 Ảnh sau khi xử lý 50
Trang 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN h t t p : / / l r c t nu.edu v n
Trang 11cơ bị mắc bệnh ung thư Ở Việt Nam, trong bản đồ ung thư thế giới, tỷ lệmắc ung thư được xếp vào nhóm nước cao thứ 3, với gần 200 ca mắc trên
100 nghìn người Tại các nước phát triển,chương trình sàng lọc phát hiệnsớm ung thư đạt kết quả tốt, đã góp phần chữa khỏi hơn 50% bệnh nhân ungthư thì ở nước ta đa số người bị ung thư khi được chẩn đoán đã ở giai đoạnmuộn, tỉ lệ chữa khỏi bệnh còn rất thấp Cơ hội chữa khỏi bệnh ung thưchính là làm sao phát hiện sớm ung thư
Vì vậy, việc cảnh báo ung thư sớm là vô cùng quan trọng để hỗ trợ bác
sỹ trong quá trình chuẩn đoán và điều trị cho bệnh nhân Với mục tiêu là
phát hiện vùng ảnh có khả năng là khối u, tôi lựa chọn đề tài “Nghiên cứu
kỹ thuật xử lý ảnh ứng dụng phát hiện khối u trong gan” nhằm nghiên
cứu các kỹ thuật xử lý ảnh, qua đó ứng dụng giải quyết bài toán phát hiệnkhối u trong gan
Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và ba chươngvới bố cục nội dung như sau:
Chương 1 Khái quát về xử lý ảnh và bài toán phát hiện khối u trong
gan
Chương này trình bày khái quát về xử lý ảnh, ảnh y tế và bài toán pháthiện bất thường trong gan
Trang 12Chương 2 Một số phương pháp phát hiện khối u trong gan
Chương này hệ thống hóa một số kỹ thuật phát hiện biên như kỹ thuậtGradient, kỹ thuật Laplace, kỹ thuậtCanny và kỹ thuật SIFT dùng cho việcphát hiện vùng khác biệt hay bất thường trong ảnh lá gan
Chương 3 Chương trình thử nghiệm
Phần mềm đầu vào là ảnh lá gan, trích xuất từ ảnh chụp cắt lớp hay ảnhcộng hưởng tử, đầu ra ảnh có các vùng khoanh tương ứng với các khối u trongảnh
Trang 13Chương 1 KHÁI QUÁT VỀ XỬ LÝ ẢNH VÀ BÀI TOÁN PHÁT HIỆN
KHỐI U TRONG GAN 1.1.Khái quát về xử lý ảnh
1.1.1.Các khái niệm cơ bản
1.1.1.1 Xử lý ảnh
Xử lý ảnh [1,2,3]là một trong những cách tiếp cận phân tích, tổng hợphình ảnh theo ý tưởng và mục đích của người sử dụng Tuy xử lý ảnh là mộttrong những ngành khoa học còn tương đối mới so với nhiều ngành khoa họckhác, nhưng tốc độ phát triển rất nhanh, được rất nhiều các viện nghiên cứu,ứng dụng
Những năm trở lại đây với sự phát triển của phần cứng máy tính, xử lýảnh và đồ hoạ đã phát triển một cách mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng được ápdụng trong cuộc sống Xử lý ảnh và đồ hoạ đóng một vai trò quan trọng trongtương tác người -máy
Mục đích của xử lý ảnh là nâng cao chất lượng hình ảnh phục vụ chocon người và xử lý dữ liệu dạng hình ảnh để máy tính có thể hiểu được từ đóđưa ra những quyết định cần thiết
Hình 1.1 Quá trình xử lý ảnh
Xử lý ảnh có nhiều ứng dụng trong đời sống như: nhận dạng ảnh, vệtinh dự báo thời tiết, viễn thám, ảnh y tế, khoa học hình sự, điện ảnh…
Trang 141.1.1.2 Điểm ảnh
Điểm ảnh (Pixel) làmột phần tử nhỏ nhất của một hình ảnh số tại toạ độ
(x, y) với độ xám hoặc màu nhất định Để mắt người cảm nhận sự liên tục về
không gian và mức xám (hoặc màu) của ảnh số gần như ảnh thật thì kíchthước và khoảng cách giữa các điểm ảnh đó được chọn sao cho thích hợp
1.1.1.3 Ảnh
Là một tập hợp các điểm ảnh được biểu diễn thông qua một mảng hai
chiều I(n,p): n dòng và p cột, với ảnh này thì số lượng điểm ảnh sẽ là n×p Ta
kí hiệu I(x,y) để chỉ giá trị mức xám của điểm ảnh tại vị trí toạ độ (x,y)
1.1.1.4 Mức xám củaảnh
a) Định nghĩa: Mức xám (grey level) của điểm ảnh là kết quả sự mã
hóa tương ứng một cường độ sáng của mỗi điểm ảnh với một giá trị số tạiđiểm đó
b) Các thang giá trị mức xám thông thường: 16, 32, 64, 128, 256 (Mức
256 là mức phổ dụng bởi vì trong kỹ thuật máy tính dùng 1 byte (8 bit) đểbiểu diễn mức xám: Mức xám dùng một byte biểu diễn: 28=256 mức, tức là từgiá trị 0 đến255)
c)Ảnh đen trắng: là ảnh chỉ có hai màu đen và trắng với mức xám ở các
điểm ảnh có thể khácnhau
d) Ảnh nhị phân: ảnh chỉ có hai mứcđen trắng phân biệt tức dùng 1 bit
mô tả 21 mức khác nhau Nói cách khác mỗi điểm ảnh của ảnh nhị phân chỉ cóthể là 0 hoặc1
e) Ảnh màu: theo lý thuyết của Thomas là ảnh tổ hợp từ ba màu cơ bản
(Red, Blue, Green) được thu nhận trên các dải băng tần khác nhau để tạo nênthế giới màu, người ta thường dùng ba byte để mô tả mức màu, khi đó các giátrị màu: 28*3 = 224 ≈ 16,7triệu màu
Trang 151.1.1.5 Độ phân giải của ảnh
Độ phân giải (Resolution) của ảnh là số lượng điểm ảnh ( pixcel)trênmột hình ảnh số được hiển thị
1.1.2.Các bước xử lý ảnhsố
Một hệ thống xử lý ảnh có sơ đồ tổng quát như sau:
Hình 1.2 Các bước cơ bản trong một hệ thống xử lý ảnh
Hình 1.3 Sơ đồ phân tích, xử lý ảnh và lưu đồ thông tin giữa các khối
Sau đây sẽ trình bày một số kỹ thuật xử lý ảnh cần thiết phục vụ choviệc cài đặt chương trình thử nghiệm (theo các bước trong hình 1.2), còn cácthành phần khác sẽ được giới thiệu ở mức cơ bản
Trang 16Các thiết bị thu nhận ảnh Raster thông thường là camera, các thiết bị thunhận ảnh thông thường Vector là sensor hoặc bàn số hoá Digitalizer hoặcđược chuyển đổi từ ảnh Raster.
Nhìn chung các hệ thống thu nhận ảnh thực hiện 1 quá trình:
- Cảm biến: biến đổi năng lượng quang học thành năng lượngđiện
- Tổng hợp năng lượng điện thànhảnh
1.1.2.2 Tiền xử lý
Sau bộ thu nhận, ảnh có thể nhiễu và độ tương phản thấp nên cần đưa
vào bộ tiền xử lý (Image Processing) để nâng cao chất lượng Chức năng
chính của bộ tiền xử lý là nắn chỉnh biến dạng, lọc nhiễu, chỉnh mức xám,nâng độ tương phản để làm ảnh rõ hơn, nét hơn
a) Nắn chỉnh biến dạng
Ảnh gốc thường bị biến dạng do các thiết bị quang học và điện tử
ẢnhgốcẢnh sau khi nắm chỉnh
Hình 1.4 Ảnh gốc và ảnh sau khi nắn chỉnh
Các nguyên nhân gây ra biến dạng ảnh do:
- Do đầu thu ảnh chất lượngkém, camera
- Do môi trường, ánh sáng, hiện trường (scene), khí quyển, nhiễuxung
Trang 17sở lý thuyết lọc là: bộ lọc chỉ cho tín hiệu có tần số nào đó thông qua do đó,
để lọc nhiễu người ta thường dùng lọc thông thấp (theo quan điểm tần sốkhông gian) hay lấy tổ hợp tuyến tính để san bằng (lọc trungbình)
c)Tăng độ tương phản
Trang 18Ảnh số là tập hợp các điểm ảnh, mà mỗi điểm ảnh có giá trị độ sáng khác nhau.
Trang 19Ở đây,mắt người dễ nhận ra hình ảnh nhờ có độ sáng, song không phải làquyết định Thực tế chỉ ra rằng hai đối tượng có cùng độ sáng nhưng đặt trênhai nền khác nhau sẽ cho cảm nhận khác nhau Vì vậy, độ tương phản biểudiễn sự thay đổi độ sáng của đối tượng so với nền Như vậy có thể hiểu rằng,
độ tương phản là độ nổi của điểm ảnh hay vùng ảnh so với nền Với địnhnghĩa này, nếu ảnh có độ tương phản thấp, ta có thể thay đổi tuỳ ý theo ýmuốn
Ảnh với độ tương phản thấp có thể do độ sáng không đủ hay khôngđều, hoặc do tính không tuyến tính hay biến động nhỏ của bộ cảm nhận ảnh
Để điều chỉnh lại độ tương phản của ảnh, ta điều chỉnh lại biên độ trên toàndải hay trên dải có giới hạn bằng cách biến đổi tuyến tính biên độ đầu vào(dùng hàm biến đổi là hàm tuyến tính) hay phi tuyến (hàm mũ hay hàm
lôgarít) Khi dùng hàm tuyến tính các độ dốc α, β, γphải chọn lớn hơn một
trong miền cần dãn Các tham số a và b (các cận) có thể chọn khi xem xét lược
đồ xám của ảnh
Hình 1.5 Dãn độ tương phản
ảnh kết quả trùng với ảnhdãn độ tương phản
co độ tương phảnChú ý, nếu dãn độ tương phản bằng hàm tuyến tính ta có
Hàm mũ hay dùng trong dãn độ tương phản có dạng:
f = (X[m,n]) p(1.5)
d)Chỉnh mức xám
Trang 20Nhằm khắc phục tính không đồng đều của hệ thống gây ra Thông thường có hai hướng tiếp cận:
Trang 21- Giảm số mức xám: Thực hiện bằng cách nhóm các mức xám gần nhau
thành một bó Trường hợp chỉ có hai mức xám thì chính là chuyển về ảnh đentrắng Ứng dụng: In ảnh màu ra máy in đentrắng
- Tăng số mức xám: Thực hiện nội suy ra các mức xám trung gian bằng
kỹ thuật nội suy Kỹ thuật này nhằm tăng cường độ mịn choảnh
1.1.2.3.Phân vùng ảnh
Phân vùng ảnh là khâu quan trọng trong quá trình xử lý ảnh Giai đoạnnày nhằm phân tích hình ảnh thành các vùng riêng biệt vàđồng nhất theo mộttiêu chí nào đó dựa theo biên hay các vùng liên thông Tiêu chuẩn để xác địnhcác vùng liên thông có thể là cùng mức xám, cùng màu hay cùng độ nhám Trước hết cần làm rõ khái niệm "vùng ảnh" (Segment) và đặc điểm vật lý củavùng
Vùng ảnh là một chi tiết, một thực thể trông toàn cảnh Nó là một tậphợp các điểm có cùng hoặc gần cùng một tính chất nào đó: mức xám, mứcmàu, độ nhám… Vùng ảnh là một trong hai thuộc tính của ảnh Nói đến vùng
ảnh là nói đến tính chất bề mặt Đường bao quanh một vùng ảnh (Boundary)
là biên ảnh Các điểm trong một vùng ảnh có độ biến thiên giá trị mức xámtương đối đồng đều hay tính kết cấu tươngđồng
Dựa vào đặc tính vật lý của ảnh, người ta có nhiều kỹ thuật phân vùng:phân vùng dựa theo miền liên thông gọi là phân vùng dựa theo miền đồng nhấthay miền kề; phân vùng dựa vào biên gọi là phân vùng biên Ngoài ra còn cócác kỹ thuật phân vùng khác dựa vào biên độ, phân vùng dựa theo kết cấu
Đây là phần phức tạp khó khăn nhất trong xử lý ảnh và cũng dễ gây lỗi,làm mất độ chính xác của ảnh Kết quả nhận dạng ảnh phụ thuộc rất nhiều vàocông đoạn này
1.1.2.4.Trích chọn đặc trưng
Ảnh đầu ra sau phân đoạn sẽ đượctrích chọn các tính chất để thể hiệnảnh, giúp cho việc nhận dạng các đối tượng ảnh chính xác,làm cơ sở để phân
Trang 22biệt lớp đối tượng này với đối tượng khác trong phạm vi ảnh nhận được.
Các đặc điểm của đối tượng được trích chọn tuỳ theo mục đích nhậndạng trong quá trình xử lý ảnh Có thể nêu ra vài đặc điểm của ảnh sau đây:
- Đặc điểm không gian: Phân bố mức xám, phân bố xác suất, biên độ,
điểm uốn
- Đặc điểm biến đổi: Các đặc điểm loại này được trích chọn bằng việc
thực hiện lọc vùng (Zonal Filtering) Các bộ vùng được gọi là “mặt nạ đặc điểm” (Feature Mask) thường là các khe hẹp với hình dạng khác nhau (chữ
nhật, tam giác, cung tròn )
- Đặc điểm biên và đường biên: Đặc trưng cho đường biên của đối
tượng và do vậy rất hữu ích trong việc trích chọn các thuộc tính bất biến đượcdùng khi nhận dạng đối tượng Các đặc điểm này có thể được trích chọn nhờ
toán tử gradient, toán tử la bàn, toán tử Laplace, toán tử “chéo không” (Zero
Crossing)
Việc trích chọn hiệu quả các đặc điểm giúp cho việc nhận dạng các đốitượng ảnh chính xác, với tốc độ tính toán cao và dung lượng bộ nhớ lưu trữgiảm xuống
1.1.2.5.Nhận dạng và nội suy ảnh
Đây là giai đoạn cuối của các hệ thống xử lý ảnh Nhận dạng ảnh
(Image Recognition) là quá trình phân loại các đối tượng được biểu diễn theo
một mô hình nào đó và gán chúng vào một lớp (gán cho đối tượng một têngọi) dựa theo những quy luật và mẫu chuẩn Quá trình nhận dạng dựa vào
những mẫu học biết trước gọi là nhận dạng có thầy hay học có thầy, trong những trường hợp ngược lại gọi là học không có thầy.
Nội suy (Interpretation) là phán đoán theo ý nghĩa trên cơ sở nhận
dạng Ví dụ: một loạt chữ số và nét gạch ngang trên phong bì thư có thể đượcnội suy thành mã điệnthoại
Trang 23Có nhiều cách phân loại ảnh khác nhau về ảnh Theo lý thuyết về nhậndạng, các mô hình toán học về ảnh được phân theo hai loại nhận dạng ảnh
cơ bản:
- Nhận dạng theo thamsố
- Nhận dạng theo cấutrúc
Hay có ba cách tiếp cận khác nhau:
- Nhận dạng dựa vào phân hoạch khônggian
- Nhận dạng dựa vào cấutrúc
- Nhận dạng dựa vào kỹ thuật mạngnơron
Hai cách tiếp cận đầu là các kỹ thuật kinh điển Các đối tượng ảnh quansát và thu nhận được phải trải qua giai đoạn tiền xử lý nhằm tăng cường chấtlượng, làm nổi các chi tiết, tiếp theo là trích chọn và biểu diễn các đặc trưng,cuối cùng mới qua giai đoạn nhậndạng
Cách tiếp cận thứ ba hoàn toàn khác Nó dựa vào cơ chế đoán nhận, lưutrữ và phân biệt đối tượng mô phỏng theo hoạt động của hệ thần kinh conngười Do cơ chế đặc biệt, các đối tượng thu nhận bởi thị giác người khôngcần qua giai đoạn cải thiện mà chuyển ngay sang giai đoạn tổng hợp, đối sánhvới các mẫu đã lưu trữ để nhận dạng
Hiện nay, trong khoa học và công nghệ một số đối tượng nhận dạngđang được áp dụng là: nhận dạng ký tự (chữ in, chữ viết tay, chữ ký điện tử),
nhận dạng văn bản (Text), nhận dạng vân tay, nhận dạng mã vạch, nhận dạng
đối tượng chuyển động, nhận dạng mặt người…
1.1.2.6.Hậu xử lý
a) Nén ảnh
Nén ảnh là kỹ thuật nhằm giảm thiểu không gian lưu trữ Do đó khi mô
Trang 24tả ảnh, người ta đã đưa kỹ thuật nén ảnhvào.
Thông thường có hai hướngtiếp cận chính là nén có bảo toàn và khôngbảo toàn thông tin Nén không bảo toàn thì thường có khả năng nén cao hơnnhưng khả năng phục hồi thì kém hơn Trên cơ sở hai khuynh hướng, có bốncách tiếp cận cơ bản trong nén ảnh:
- Nén ảnh thống kê: Kỹ thuật nén này dựa vào việc thống kê tần suất
xuất hiện của giá trị các điểm ảnh, trên cơ sở đó mà có chiến lược mã hóathích hợp Một ví dụ điển hình cho kỹ thuật mã hóa này là*.TIF
- Nén ảnh không gian: Kỹ thuật này dựa vào vị trí không gian của các
điểm ảnh để tiến hành mã hóa Kỹ thuật lợi dụng sự giống nhau củacácđiểmảnh trong các vùng gần nhau Ví dụ cho kỹ thuật này là mã nén*.PCX
- Nén ảnh sử dụng phép biến đổi: Đây là kỹ thuật tiếp cận theo hướng
nén không bảo toàn và do vậy, kỹ thuật thường hiệu quả hơn *.JPG tiếp cậntheo kỹ thuật nénnày
- Nén ảnh Fractal: Sử dụng tính chất Fractal của các đối tượng ảnh, thể
hiện sự lặp lại của các chi tiết Kỹ thuật nén sẽ tính toán để chỉ cần lưu trữphần gốc ảnh và quy luật sinh ra ảnh theo nguyên lýFractal
- Phương pháp Kim tự tháp Laplace (PyramideLaplace)
- Phương pháp mã hóa dựa vào biểu diễnảnh
Trang 25- Hiện nay, các chuẩn nén ảnh theo định dạng MPEG được dùng vàđang phát huy hiệuquả.
b) Biểu diễn ảnh
Ảnh trên máy tính là kết quả thu nhận theo các phương pháp số hoáđược nhúng trong các thiết bị kỹ thuật khác nhau Quá trình lưu trữ ảnh nhằmhai mục đích:
- Tiết kiệm bộnhớ
- Giảm thời gian xửlý
Việc lưu trữ thông tin trong bộ nhớ có ảnh hưởng rất lớn đến việc hiểnthị, in ấn và xử lý ảnh được xem như là một tập hợp các điểm với cùng kíchthước nếu sử dụng càng nhiều điểm ảnh thì bức ảnh càng đẹp, càng mịn vàcàng thể hiện rõ hơn chi tiết của ảnh gọi đặc điểm này là độ phân giải
Việc lựa chọn độ phân giải thích hợp tuỳ thuộc vào nhu cầu sử dụng vàđặc trưng của mỗi ảnh cụ thể, trên cơ sở đó các ảnh thường được biểu diễntheo hai mô hình cơ bản
* Mô hình Raster
Đây là cách biểu diễn ảnh thông dụng nhất hiện nay, ảnh được biểu diễndưới dạng ma trận các điểm (điểm ảnh) Thường thu nhận qua các thiết bị nhưcamera, scanner Tuỳ theo yêu cầu thực thế mà mỗi điểm ảnh được biểu diễnqua một hay nhiềubít
Mô hình Raster thuận lợi cho hiển thị và in ấn Ngày nay công nghệphần cứng cung cấp những thiết bị thu nhận ảnh Raster phù hợp với tốc độnhanh và chất lượng cao cho cả đầu vào và đầu ra Một thuận lợi cho việc hiểnthị trong môi trường Windows là Microsoft đưa ra khuôn dạng ảnh DIB
(Device Independent Bitmap) làm trung gian Hình 1.6 thể hình quy trình
chung để hiển thị ảnh Raster thông quaDIB
Một trong những hướng nghiên cứu cơ bản trên mô hình biểu diễn này
là kỹ thuật nén ảnh các kỹ thuật nén ảnh lại chia ra theo hai khuynh hướng lànén bảo toàn và không bảo toàn thông tin nén, bảo toàn có khả năng phục hồi
Trang 26hoàn toàn dữ liệu ban đầu còn, nếu không bảo toàn chỉ có khả năng phục hồi
độ sai số cho phép nào đó Theo cách tiếp cận này người ta đã đề ra nhiều quycách khác nhau như BMP, TIF, GIF, PCX…
Hiện nay trên thế giới có trên 50 khuôn dạng ảnh thông dụng bao gồm
cả trong đó các kỹ thuật nén có khả năng phục hồi dữ liệu 100% và nén có khảnăng phục hồi với độ sai số nhậnđược
Hình 1.6 Quá trình hiển thị và chỉnh sửa, lưu trữ ảnh thông qua DIB
* Mô hình Vector
Biểu diễn ảnh ngoài mục đích tiết kiệm không gian lưu trữ dễ dàng chohiển thị và in ấn còn đảm bảo dễ dàng trong lựa chọn sao chép di chuyển tìmkiếm…Theo những yêu cầu này kỹ thuật biểu diễn vector tỏ ra ưu việt hơn
Trong mô hình vector người ta sử dụng hướng giữa các vector của điểmảnh lân cận để mã hoá và tái tạo hình ảnh ban đầu ảnh vector được thu nhậntrực tiếp từ các thiết bị số hoá như Digital hoặc được chuyển đổi từ ảnh Rasterthông qua các chương trình số hoá
Công nghệ phần cứng cung cấp những thiết bị xử lý với tốc độ nhanh vàchất lượng cho cả đầu vào và ra nhưng lại chỉ hỗ trợ cho ảnhRaster
Do vậy, những nghiên cứu về biểu diễn vectơ đều tập trung từ chuyểnđổi từ ảnh Raster
Hình 1.7 Sự chuyển đổi giữa các mô hình biểu diễn ảnh
Trang 271.2 Bài toán phát hiện bất thường trong gan
1.2.1 Giới thiệu về xử lý ảnh y tế
Các thực thể tạo ảnh y tế (medical imaging modallity) khác nhau cungcấp các thông tin đặc tính riêng biệt về các cơ quan bên trong hay của các tổchức mô của cơ thể Độ tương phản và độ nhìn thấy của ảnh y tế phụ thuộcvào thực thể tạo ảnh, hàm đáp ứng cũng như phụ thuộc vào các vùng bệnh lýcủa bệnh nhân Ví dụ cụ thể như khi thăm khám vết rạn cơ thể ở khung xươngsườn bằng chụp X-quang ngực thì cần nhìn rõ cấu trúc xương cứng, muốnkiểm tra khả năng có bị ung thư vú hay không thông qua phim chụp X-quang
vú thì lại cần thấy rõ sự vi vôi hoá, các khối bất thường, các cấu trúc mômềm…Do vậy, mục tiêu của tạo ảnh và xử lý ảnh y tế là thu nhận và xử lýcác thông tin hữu ích về các cơ quan sinh lý hay các cơ quan của cơ thể bằngcách sử dụng các nguồn năng lượng để phục vụ cho việc chẩn đoán bệnh
Các phương pháp chẩn đoán hình ảnh rất phong phú, như chẩn đoán qua
hình ảnh X quang, hình ảnh siêu âm, siêu âm - Doppler màu, hình ảnh nội soi,
hình ảnh chụp cắt lớp vi tính (Computed Tomography Scanner- CT Scanner),hình ảnh chụp cộng hưởng từ (Magnetic Resonance Imaging-mrl)
Chẩn đoán hình ảnh đã góp phần rất quan trọng trong việc nâng cao tínhchính xác, kịp thời và hiệu quả trong chẩn đoán bệnh Như dựa trên hình ảnhchụp CT, các bác sỹ có thể đo được tương đối chính xác kích thước các cơquan nội tạng đặc trong ổ bụng (gan, lách, thận, tuỵ, ) và phát hiện các khối
u bất thường nếu có
Các thiết bị và máy y tế về chẩn đoán hình ảnh ngày càng được sửdụng nhiều trong công nghệ thông tin, phần mềm cho các máy Y tế ngàycàng được nâng cấp, nhất là khi kỹ thuật số ra đời và phát triển Các thiết bị
và máy y tế đã ghi nhận và phân tích tín hiệu rất tốt, cho hình ảnh sâu hơn,chất lượng ảnh tốt hơn
Trang 28Hơn nữa giao diện giữa các thiết bị và máy y tế kỹ thuật cao với hệthống máy tính dùng trong quản lý tại bệnh viện và giữa các bệnh viện vớinhau ngày càng được đồng nhất, các giao thức truyền ảnh trên mạng có mộtchuẩn chung thống nhất (hình ảnh có kích thước giảm nhẹ gánh nặng đườngtruyền nhưng chất lượng hình ảnh đủ để chẩn đoán) tạo nên phòng “hội chẩnảo" giữa các chuyên gia y tế ở xa nhau.
1.2.2 Các chuẩn ảnh y tế và truyền thông ảnh y tế
Có nhiều chuẩn để truyền ảnh trên mạng như chuẩn PACS
(PictureArchiving and Communication System) - hệ thống lưu trữ, xử lý và
truyền thông hình ảnhvà chuẩn DICOM (Digital Imaging andCommunications
in Medicine)- tiêu chuẩn để xử lý, lưu trữ, in ấn và thu/nhận hình ảnh trong y
tế.Tất cả các chuẩn này có chung một tiêu chí là nénảnh ở mức độ tối đa đểgiảm kích thước lưu trữ và khi truyền trên mạng, có các mức độ phân giải
khác nhau khi truyền Các ảnh truyền thường là các ảnh về X quang, ảnh siêu
âm, ảnh nội soi, ảnh CT Scanner Việc truyền ảnh này giúp cho hỗ trợ chẩnđoán từ xa, cho các bác sỹ, học viên, sinh viên học tập và nghiên cứu
1.2.2.1 Chuẩn DICOM
DICOM (The Digital Image and Communication in Medicine - Tiêuchuẩn ảnh số và truyền thông trong y tế) là hệ thống tiêu chuẩn công nghiệpđược phát triển nhằm mục đích để cho các thiết bị ảnh của các nhà sản xuấtkhác nhau có thể trao đổi và chia sẻ thông tin trong môi trường thông tin ảnh y
tế, đặc biệt là môi trường PACS Tiêu chuẩn này bao gồm cả việc định nghĩacấu trúc tập tin và giao thức truyền thông tin
a, Các thành phần của tiêu chuẩn DICOM.
- Nghi thức thực hiện (Conformance)
- Định nghĩa đối tượng thông tin (Information Object Definitions)
- Định nghĩa lớp dịch vụ (Service Class Definitions)
Trang 29- Cấu trúc dữ liệu và mã hóa (Data Structure and Encoding).
- Từ điển dữ liệu (Data Dictionary)
- Giao thức trao đổi bản tin (Message Exchange Protocol)
- Hỗ trợ truyền thông mạng trao đổi bản tin (Network CommunicationSupport forMessage Exchange)
- Hỗ trợ trao đổi kiểu điểm - điểm (Point to Point Support)
- Profiles ứng dụng lưu trữ Media (Media Storage Application Profiles)
- Media vật lý và khuôn dạng dùng cho trao đổi dữ liệu (Media Formatsand Physical Media for Data Interchange)
- Chức năng hiển thị chuẩn mức xám (Grayscale Standard Display Function)
- Profiles quản lý hệ thống và an ninh bảo mật (Security and SystemManagementProfiles)
- Nguồn ánh xạ nội dung (Content Mapping Resource)
b Lớp đối tượng và lớp dịch vụ DICOM
DICOM có 2 lớp thông tin là “Lớp đối tượng” và “Lớp dịch vụ”; trong
đó lớp đối tượng IOD (Information Object Definition) bao gồm từ điển dữ liệu
và đối tượng thế giới thực Lớp dịch vụ bao gồm các định nghĩa dịch vụ: lưutrữ, truyền hình ảnh, hiển thị, truy vấn… được xây dựng dựa trên tập các phần
tử dịch vụ truyền thông DIMSE (Dicom Message Service Elements) mà thựcchất là các chương trình phần mềm có nhiệm vụ thực thi các chức năng xácđịnh theo yêu cầu Minh họa cặp đối tượng - dịch vụ SOP (Service ObjectPair) của DICOM trình bày trong Hình 1.8
Hình 1.8.Minh họa đối tượng thông tin và dịch vụ của DICOM
1.2.2.2 Chuẩn PACS
Trang 30PACS viết tắt của Picture Archiving and Communication Systems - hệthống lưu trữ và truyền hình ảnh Trong lĩnh vực chuẩn đoán hình ảnh y tếPACS được phát triển nhằm cung cấp việc lưu trữ dữ liệu hình ảnh một cách
an toàn và kinh tế; truyền dữ liệu hình ảnh giúp cho việc hội chẩn, chẩn đoán,điều trị, đào tạo và nghiên cứu từ xa, mở rộng khả năng xem và báo cáo từ xa.PACS là một bộ phận thông tin không thể thiếu của hệ thống thông tin y tế
PACS bao gồm bốn thành phần chính sau:
-Các thiết bị tạo ảnh và máy tính nhận ảnh:
Các thiết bị tạo hình ảnh như máy chụp cắt lớp vi tính (CT Scanner),máy chụp cộng hưởng từ (MRI - Magnetic Resonnance Imaging), máy X -quang số, máy chụp mạch, máy siêu âm Máy tính nhận ảnh được kết nối cácthiết bị tạo ảnh và có nhiệm vụ: Duy trì toàn vẹn dữ liệu ảnh nhận được; tựđộng hóa việc nhận ảnh và lưu trữ ảnh; phân phối ảnh đến các máy tính hiểnthị và lưu trữ; nhận ảnh từ các Module di động khác gửi tới
-Máy tính hiển thị hình ảnh và các dữ liệu liên quan:
Xem, tối ưu hình ảnh, báo cáo và điều khiển thiết bị.Tại máy tính hiểnthị yêu cầu phải sử dụng màn hình kép: Một màn hình để hiển thị hình ảnhgốc, một màn hình để hiển thị ảnh sau khi đã được xử lý Từ đó có thể so sánhhai ảnh để đưa ra kết luận chẩn đoán chính xác.Có rất nhiều máy tính hiển thịkhác nhau: Máy tính phục vụ chẩn đoán; máy tính phê chuẩn kiểm tra; phântích; máy tính in và số hóa
- Hệ thống lưu trữ và điều khiển truy cập hình ảnh:
Hệ thống lưu trữ dữ liệu hình ảnh và điều khiển là hệ thống máy chủ cótính năng bảo mật và khả năng lưu trữ hình ảnh như: Các ổ đĩa cứng được cấuhình RAID cho phép sao lưu dữ liệu nhanh và đảm bảo an toàn; băng quangsố; DVD-ROM và hệ thống phần mềm điều khiển truy cập hình ảnh
Trang 31- Mạng máy tính phục vụ cho việc truyền, nhận hình ảnh và thông tin bệnh nhân:
Một mạng máy tính an toàn cho việc truyền tải thông tin bệnh nhân,mạng máy tính được xây dựng đảm bảo được các yêu cầu của nột hệ thốngmạng máy tính: Được tiêu chuẩn hóa; có kiến trúc mở rộng; có độ tin cậy vàtính bảo mật cao
1.2.3 Phát hiện bất thường trong gan dựa vào ảnh y tế
1.2.3.1.Phát biểu bài toán
Đối với các bác sỹ, việc phát hiện khối u, bất thường trong cơ thể đãđược hình dung trong kinh nghiệm có sẵn, hoặc được phát hiện trong quá trìnhthao tác Nhưng trong thị giác máy tính, các khối u sẽ được phát hiện vàkhoanh vùng Bài toán được phát biểu cụ thể như sau:
Cho trước một ảnh chụp lá gan, được trích xuất từ ảnh chụp cắt lớp hayảnh cộng hưởng từ Hãy tìm và xác định vùng khoanh tương ứng với các khối
u nếu có trong ảnh
1.2.3.2.Ý nghĩa thực tiễn
Hiện nay trên thế giới cũng như Việt Nam, giải quyết vấn đề thiếu cácbác sỹ giỏi là một bài toán rất cần thiết Một trong số các giải pháp là việc ứngdụng một số chương trình phần mềm hỗ trợ các bác sỹ có thể nhanh chónghơn trong quá trình chẩn đoán bệnh Bên cạnh đó, ứng dụng nói trên là mộtcông cụ hỗ trợ các bác sỹ trẻ, chưa có kinh nghiệm định hướng và đưa ra cácchẩn đoán cận lâm sàng
Trong việc chuẩn đoán bệnh, các kỹ thuật phát hiện khối u nhằm hỗ trợphát hiện ra những vùng được nghi vấn là khối u trong cơ thể người từ ảnhchụp CT là một hướng đi mang tính ứng dụng cao
Dựa trên các kỹ thuật xử lý ảnh để phát hiện khối u bất thường trong cơthể người từ ảnh chụp CT nhằm hỗ trợ các bệnh viện, các cơ sở y tế tuyến địaphương, không có đủ bác sỹ chẩn đoán hình ảnh vẫn có thể nhanh chóng đưa
ra các kết luận sau khi khám cận lâm sàng cho bệnh nhân
Trang 32Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÁT HIỆN KHỐI U TRONG GAN 2.1.Phát hiện khối u dựa vào phát hiện biên
2.1.1.Giới thiệu
2.1.1.1 Phương pháp phát hiện biên trực tiếp
Phương pháp này nhằm làm nổi biên dựa vào sự biến thiên mức xámcủa ảnh Kỹ thuật chủ yếu là dựa vào kỹ thuật đạo hàm Ở phương pháp này ta
có thể nhóm thành hai loại:
- Phương pháp Gradient là phương pháp dò biên cục bộ bằng cách lấyđạo hàm bậc nhất của ảnh.Phương pháp này bao gồm kỹ thuật Grafient và
kỹ thuật la bàn
- Phương pháp Laplace nếu lấy đạo hàm bậc hai của các tín hiệu và biên
độ đạo hàm là cực đại khi đạo hàm bậc hai bằng 0
2.1.1.2 Phương pháp phát hiện biên gián tiếp
Là quá trình phân được ảnh thành các vùng dựa vào phép xử lý kết cấu
bề mặt của ảnh, cụ thể là dựa vào sự biến thiên nhỏ và đồng đều độ sáng củacác điểm ảnh thuộc một đối tượng Nếu các vùng của ảnh được xác định thìđường phân ranh giữa các vùng đó chính là biên ảnh cần tìm Việc phát hiệnbiên và phân vùng đối tượng là hai bài toán đối ngẫu Từ phát hiện biên ta cóthể tiến hành phân lớp đối tượng, như vậy là đã phân vùng được ảnh Vàngược lại, khi đã phân vùng được ảnh nghĩa là đã phân lập được thành các đốitượng, từ đó có thể phát hiện được biên cần tìm
Tuy nhiên, phương pháp tìm biên trực tiếp thường sử dụng có hiệu quả
vì ít chịu ảnh hưởng của nhiễu Song nếu sự biến thiên độ sáng của ảnh làkhông cao thì khó có thể phát hiện được biên, trong trường hợp này việc tìmbiên theo phương pháp trực tiếp tỏ ra không đạt dược hiệu quả tốt Phươngpháp tìm biên gián tiếp dựa trên các vùng, đòi hỏi áp dụng lý thuyết về xử lýkết cấu đối tượng phức tạp, vì thế khó cài đặt, song đạt hiệu quả cao khi có sựbiến thiên về cường độ sáng là nhỏ
Trang 332.1.1.3 Quy trình phát hiện biên
Bước 1:Khử nhiễu do ảnh thu nhận thường có nhiễu
Bước 2:Tiếp theo là tiến hành làm nổi biên bởi các toán tử đạo hàm.Bước 3: Định vịđiểm biên Vì các kỹ thuật làm nổi biên cóhiệu ứng phụ
là tăng nhiễu, do vậy sẽ có xuất hiện một số điểm biên giả cần loại bỏ
Bước 4: Liên kết và trích chọn biên
2.1.2 Kỹ thuật phát hiện biên Gradient
Kỹ thuật Gradient là kỹ thuật dò biên cục bộ dựa vào cực đại của đạohàm Theo định nghĩa, Gradient là một véctơ có các thành phần biểu thị tốc độthay đổi giá trị của điểm ảnh theo hai hướng x và y Các thành phần củagradient
Theo định nghĩa về Gradient, nếu áp dụng nó vào xử lý ảnh, việc tínhtoán sẽ rất phức tạp Để đơn giản mà không mất tính chất của phương phápGradient, người ta sử dụng kỹ thuật Gradient dùng cặp mặt nạ H1, H2 trực giao(theo 2 hướng vuônggóc) Nếu định nghĩa g1, g2 là Gradient theo hai hướng x,
y tướng ứng thì biên độ g(m,n) tại điểm (m,n) được tính:
22
A0 =g(m,n)=√�1 ( ,� �) + �2 (�, �) (2.3)
��𝑟 (�, � = 𝑡��−1�2(�, �)/�1(�, �) (2.4)
Trang 34Để giảm độ phức tạp tính toán, A0 được tính gần đúng như sau:
A0 = |�1(�, �)| + |�2(�, �)|(2.5)
Trang 35Việc xấp xỉ đạo hàm bậc nhất theo các hướng x và y được thực hiệnthông qua 2 mặt nạ nhân chập tương ứng sẽ cho ta các kỹ thuật phát hiện biênkhác nhau.
2.1.2.1 Toán tử Robert(1965)
Toán tử này do Robert đề xuất vào năm 1965 Nó áp dụng trực tiếp cáccông thức đạo hàm tại điểm (x,y) Với mỗi điểm ảnh I(x,y) đạo hàm theo x,theo y được ký hiệu tương ứng bởi gx, gy được tính:
gx = I(x +1,y) - I(x,y) (2.6)
gy =I(x,y+1) - I(x,y) (2.7)điều này tương đương với việc chập ảnh với 2 mặt nạ H1 và H2:
H1 = 0 1 H2 = -1 0
-1 0 0 -1
Ta gọi H1,H2 là mặt nạ Robert
Trong trường hợp tổng quát, giá trị gradient biên độ g và gradient hướng
r được tính bởi công thức 2.3 và 2.4 Thường để giảm thời gian tính toán,người ta còn tính gradient theo các chuẩn sau:
A1 = | g1(m,n) + g2(m,n) |(2.8)hoặc A2 = max( | g1(m,n) | , | g2(m,n) |) (2.9)
Cần lưu ý rằng, do lạm dụng về ngôn từ, tuy ta lấy đạo hàm của ảnhnhưng thực ra chỉ là mô phỏng và xấp xỉ đạo hàm bằng kỹ thuật nhân chập doảnh số là tín hiệu rời rạc, do vậy đạo hàm không tồn tại
2.1.2.2.Toán tử Prewitt
Toán tử được Prewitt đưa ra vào năm 1970 có dạng:
−1 01
Hx = [−2 0 2]
Hy = [
−1 01
−1 −2
−1
0 0 0 ]
1 2 1
Trang 36Hướng ngang(x) Hướng dọc(y)
Trang 37�
2.1.2.3 Toán Tử Sobel
Toán tử Sobel được Duda và Hart đặt ra năm 1973 với các mặt nạ tương
tự như của Robert nhưng khác cấu hình:
−1 01
Hx = [−1 0 1]
Hy = [
−1 01
Gradient theo tám hướng ngược chiều kim đồng hồ, mỗi hướng cách nhau 450
theo ngược chiều kim đồng hồ.Toán tử la bànKirsh sử dụng mặt nạ 3x3 :
H1 = [−3
−3 −30 −3]−3cho hướng gốc (hướng 00) Trên cơ sở đó định nghĩa thêm 7 mặt nạ khác nhau
từ H2 đến H8 cho 7 hướng còn lại 450 ,900 ,1350 ,1800,2250,2700,3150
Trang 398 mặt nạ kể trên, khi đó biên độ Gradient tại điểm ảnh (x,y) được tính theo công thức:
A(x,y) = MAX (|�𝑖 (�, �)|) i=1,2,…,8(2.10)
2.1.3 Kỹ thuật phát hiện biên Laplace
Các phương pháp đánh giá Gradient làm việc khá tốt khi mà độ sángthay đổi rõ nét Khi mức xám thay đổi chậm, miền chuyển tiếp trải rộng,phương pháp cho hiệu quả hơn đó là phương pháp sử dụng đạo hàm bậc haihay toán tử Laplace
Toán tử Laplace được xác định như sau:
= 2f(x,y) - f(x-1,y) - f(x+1,y) (2.12)
= 2f(x,y) - f(x,y-1) - f(x,y+1) (2.13)