Câu 1: ( 2 điểm) Một ô tô đang chạy thì đột ngột tắt máy. Từ thời điểm tắt máy, ô tô chuyển động theo phương trình sau 5400yy 8,276y2 2000. Biết y y(t) (métgiây) là vận tốc của ô tô và t (giây) là thời gian. Thời điểm bắt đầu tắt máy ô tô có vận tốc là y(0) 15. a. y tính theo y là (1). b. Dùng phương pháp Euler với h 0,5 tính gần đúng y(1,5) (2). Gia tốc của xe tại t 1,5 là y (1,5) (3). c. Dùng phương pháp Euler cải tiến với h 0,5 tính gần đúng y(1,5) (4). Câu 2: (2 điểm) Công của một lực f (Newton) dùng để dịch chuyển một vật từ x a (mét) đến x b (mét) được tính như sau ( ) b a W f x dx , trong đó x (mét) là vị trí, đơn vị của W là Joule. Cho một vật có lực tác động tại vị trí x là 15 x 5 . a. Công thực hiện để di chuyển vật đó từ x 1 đến x 4 tính bằng công thức hình thang 6 đoạn chia là (5) với sai số là (6). b. Công thực hiện để di chuyển vật đó từ x 1 đến x 4 bằng công thức Simpson 6 đoạn chia là (7). c. Nếu số đoạn chia là n thì sai số khi tính công thực hiện để di chuyển vật đó từ x 1 đến x 4 bằng công thức hình thang n đoạn chia là (8). Câu 3: (2 điểm) Cho phân thức 2 5 3 ( ) ( 1)( 2)( 3) D x x x x x x . a. Biểu diễn D(x) thành dạng ( 1)( 2) ( 1)( 3) ( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3) A x x B x x C x x x x x thì A (9), B (10). b. Biểu diễn D(x) thành dạng (x 1)(x 2)(x 3) (x 2)(x 3) (x 3) M N P thì P (11), N (12). Câu 4: (2 điểm) Cho phương trình f (x) x3 x 5 0 () có khoảng tách nghiệm là 2,1 Ta sẽ giải phương trình trên bằng phương pháp lặp đơn.
Trang 1Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN: TOÁN
-
ĐỀ THI CUỐI KỲ HK II NĂM HỌC 2014-2015 Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
Mã môn học: 1001030
Đề số/Mã đề: 1001030-15-2-01
Đề thi có 2 trang
Thời gian: 90 phút
Được phép sử dụng tài liệu
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM
Câu 1: ( 2 điểm)
Một ô tô đang chạy thì đột ngột tắt máy Từ thời điểm tắt máy, ô tô chuyển động theo phương trình sau
2
5400yy' 8, 276y 2000
Biết y y(t) (mét/giây) là vận tốc của ô tô và t (giây) là thời gian Thời điểm bắt đầu tắt
máy ô tô có vận tốc là y(0)15
a y' tính theo y là (1)
b Dùng phương pháp Euler với h 0,5 tính gần đúng y(1,5) (2) Gia tốc của xe tại
1,5
t là y'(1, 5) (3)
c Dùng phương pháp Euler cải tiến với h 0,5 tính gần đúng y(1,5) (4)
Câu 2: (2 điểm)
Công của một lực f (Newton) dùng để dịch chuyển một vật từ xa(mét) đến
xb(mét) được tính như sau
( )
b
a
W f x dx , trong đó x (mét) là vị trí, đơn vị của W là Joule
Cho một vật có lực tác động tại vị trí x là 15
5
x
a Công thực hiện để di chuyển vật đó từ x 1 đến x 4 tính bằng công thức hình thang 6
đoạn chia là (5) với sai số là (6)
b Công thực hiện để di chuyển vật đó từ x 1 đến x 4 bằng công thức Simpson 6 đoạn
chia là (7)
c Nếu số đoạn chia là n thì sai số khi tính công thực hiện để di chuyển vật đó từ x 1 đến 4
x bằng công thức hình thang n đoạn chia là (8)
Câu 3: (2 điểm)
Cho phân thức
2
( )
D x
a Biểu diễn D(x) thành dạng ( 1)( 2) ( 1)( 3) ( 2)( 3)
A (9), B (10)
b Biểu diễn D x( ) thành dạng
(x 1)(x 2)(x 3) (x 2)(x 3) (x 3)
N (12)
Câu 4: (2 điểm)
Cho phương trình
3
f x x có khoảng tách nghiệm là 2, 1
Ta sẽ giải phương trình trên bằng phương pháp lặp đơn
Trang 2Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/1
a Biểu diễn phương trình (*) thành một trong hai dạng
3
x x (B)
Phương pháp lặp đơn luôn hội tụ với dạng phương trình (13) (chọn A hoặc B) Với dạng
phương trình đã cho, chọn giá trị khởi đầu x 0 1.5
b Tính x (14) 3
c Nghiệm của phương trình đã cho với điều kiện hai bước lặp liên tiếp khác nhau không quá 105 là (15)
d Nghiệm của phương trình đã cho với sai số không quá 105 là (16)
PHẦN II: TỰ LUẬN
Câu 5: (2 điểm)
Độ cao h của một quả bóng theo thời gian t được ghi nhận trong bảng sau
a Áp dụng phương pháp bình phương bé nhất với dạng phương trình h At2 Bt cho bảng số liệu trên, hãy tìm các hệ số ,A B
b Từ phương trình đã tìm, hãy cho biết thời điểm quả bóng chạm đất
c Từ phương trình đã tìm, hãy tính độ cao tối đa của quả bóng
Lưu ý: Các kết quả được làm tròn đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung kiểm tra
[CĐR 1.1]: Có khả năng vận dụng các phương pháp Euler,
Euler cải tiến vào giải các phương trình vi phân thường với
điều kiện đầu
Câu 1
[CĐR 1.1, 1.2]: Có khả năng áp dụng công thức hình thang
và công thức Simpson vào tính gần đúng và đánh giá sai số
các tích phân xác định cụ thể
Câu 2
[CĐR 1.1, 1.2]: Nắm được ý nghĩa và phương pháp sử
dụng đa thức nội suy trong xấp xỉ hàm số cụ thể
Câu 3
[CĐR 1.1, 1.2]: Có khả năng áp dụng các phương pháp lặp
đơn, phương pháp Newton vào giải gần đúng và đánh giá
sai số các phương trình đại số cụ thể
Câu 4
[CĐR 1.1, 1.2]: Nắm bắt ý nghĩa phương pháp bình
phương bé nhất và vận dụng tìm một số đường cong cụ thể
Câu 5
Ngày 02 tháng 06 năm 2015
Thông qua bộ môn
(ký và ghi rõ họ tên)
Trang 3Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN: TOÁN
-
ĐỀ THI CUỐI KỲ HK II NĂM HỌC 2014-2015 Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
Mã môn học: 1001030
Đề số/Mã đề: 1001030-15-2-02
Đề thi có 2 trang
Thời gian: 90 phút
Được phép sử dụng tài liệu
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM
Câu 1: ( 2 điểm)
Một ô tô đang chạy thì đột ngột tắt máy Từ thời điểm tắt máy, ô tô chuyển động theo phương trình sau
2
5200yy' 8, 276y 2200
Biết y y(t) (mét/giây) là vận tốc của ô tô và t (giây) là thời gian Thời điểm bắt đầu tắt
máy ô tô có vận tốc là y(0)15
a y' tính theo y là (1)
b Dùng phương pháp Euler với h 0,5 tính gần đúng y(1,5) (2) Gia tốc của xe tại
1,5
t là y'(1, 5) (3)
b Dùng phương pháp Euler cải tiến với h 0,5 tính gần đúng y(1,5)(4)
Câu 2: (2 điểm)
Công của một lực f dùng để dịch chuyển một vật từ xa (mét) đến xb (mét) được tính như sau
( )
b
a
W f x dx , trong đó x (mét) là vị trí, đơn vị của W là Joule
Cho một vật có lực tác động tại vị trí x là 18
3
x
a Công thực hiện để di chuyển vật đó từ x 1 đến x 4 tính bằng công thức hình thang 6
đoạn chia là (5) với sai số là (6)
b Công thực hiện để di chuyển vật đó từ x 1 đến x 4 bằng công thức Simpson 6 đoạn
chia là (7)
c Nếu số đoạn chia là n thì sai số khi tính công thực hiện để di chuyển vật đó từ x 1 đến 4
x bằng công thức hình thang n đoạn chia là (8)
Câu 3: (2 điểm)
Cho phân thức
2
( )
D x
a Biểu diễn D(x) thành dạng ( 1)( 2) ( 1)( 3) ( 2)( 3)
A (9), B (10)
b Biểu diễn D(x) thành dạng
(x 1)(x 2)(x 3) (x 2)(x 3) (x 3)
N (12)
Câu 4: (2 điểm)
Cho phương trình
3 (x) 2 10 0 (*)
f x x có khoảng tách nghiệm là 2, 1
Ta sẽ giải phương trình trên bằng phương pháp lặp đơn
Trang 4Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/1
a Biểu diễn phương trình (*) thành một trong hai dạng
3
2
10 (x)
2
x
x (B)
Phương pháp lặp đơn luôn hội tụ với dạng phương trình (13) (chọn A hoặc B) Với dạng phương trình đã cho, chọn giá trị khởi đầu x 0 1.5
b Tính x (14) 3
c Nghiệm của phương trình đã cho với điều kiện hai bước lặp liên tiếp khác nhau không quá 105 là (15)
d Nghiệm của phương trình đã cho với sai số không quá 105 là (16)
PHẦN II: TỰ LUẬN
Câu 5: (2 điểm)
Độ cao h của một quả bóng theo thời gian t được ghi nhận trong bảng sau
a Áp dụng phương pháp bình phương bé nhất với dạng phương trình h At2 Bt cho bảng số liệu trên, hãy tìm các hệ số ,A B
b Từ phương trình đã tìm, hãy cho biết thời điểm quả bóng chạm đất
c Từ phương trình đã tìm, hãy tính độ cao tối đa của quả bóng
Lưu ý: Các kết quả được làm tròn đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung kiểm tra
[CĐR 1.1]: Có khả năng vận dụng các phương pháp Euler,
Euler cải tiến vào giải các phương trình vi phân thường với
điều kiện đầu
Câu 1
[CĐR 1.1, 1.2]: Có khả năng áp dụng công thức hình thang
và công thức Simpson vào tính gần đúng và đánh giá sai số
các tích phân xác định cụ thể
Câu 2
[CĐR 1.1, 1.2]: Nắm được ý nghĩa và phương pháp sử
dụng đa thức nội suy trong xấp xỉ hàm số cụ thể
Câu 3
[CĐR 1.1, 1.2]: Có khả năng áp dụng các phương pháp lặp
đơn, phương pháp Newton vào giải gần đúng và đánh giá
sai số các phương trình đại số cụ thể
Câu 4
[CĐR 1.1, 1.2]: Nắm bắt ý nghĩa phương pháp bình
phương bé nhất và vận dụng tìm một số đường cong cụ thể
Câu 5
Ngày 02 tháng 06 năm 2015
Thông qua bộ môn
(ký và ghi rõ họ tên)
Trang 5Số hiệu: BM2/QT-PĐBCL-RĐTV 1/4
ĐÁP ÁN PHƯƠNG PHÁP TÍNH (ngày 3/6/2015)
Đề 1
I PHẦN TRẮC NGHIỆM
0, 00153y
y
10
(8) 0, 287052
0,5
II PHẦN TỰ LUẬN (câu 5)
Cách 1:
a) Đặt
7
1
( i i i)
i
thì S nhỏ nhất khi S và 'A 0 S Ta được hệ phương trình 'B 0
Thay số liệu đã cho ta được
142,1875 55,125 260,75
55,125 22, 75 142,5
0,5 đ
Giải hệ này ta được A=-9,8125 (0,25 đ), B=30,04018 (0,25 đ), do đó phương trình cần tìm là
2
9,8125t 30, 04018
b) Thời điểm quả bóng chạm đất tương ứng với giá trị của t làm cho h=0 trong phương trình đã tìm Giải
ra ta được hai nghiệm t=0 (loại) và t=3,06142 (nhận) 0,5 đ
Trang 6Số hiệu: BM2/QT-PĐBCL-RĐTV 2/4
c) Tìm độ cao tối đa của quả bóng là tìm giá trị lớn nhất của hàm sốh 9,8125t230, 04018t Đạo hàm bậc nhất của hàm số này và giải phương trình h’=0 ta được t=1,53071 Thay vào phương trình ta được max 22, 99140
h 0,5 đ
Cách 2:
a) Chia cả 2 vế của phương trình 2
h At Bt cho t ta được
h
At B
t 0,5 đ
Ta dùng bảng dữ liệu mới cho h/t và t (bỏ điểm h=0 và t=0) và dùng máy tính bỏ túi ta tìm được
A=-9,82705 (0,25 đ) và B=30,07289 (0,25 đ)
b) t=3,06022 0,5 đ
c) hmax 23,00738 0,5 đ
Đề 2
I PHẦN TRẮC NGHIỆM
0, 00159 y
y
(8) 0, 949222
0,5
II PHẦN TỰ LUẬN (câu 5)
Cách 1:
a) Đặt
7
1
( i i i)
i
thì S nhỏ nhất khi S và 'A 0 S Ta được hệ phương trình 'B 0
Trang 7Số hiệu: BM2/QT-PĐBCL-RĐTV 3/4
Thay số liệu đã cho ta được
142,1875 55,125 535,05
55,125 22, 75 255, 7
0,5 đ
Giải hệ này ta được A=-9,81161 (0,25 đ), B=35,01384 (0,25 đ), do đó phương trình cần tìm là
2 9,81161 35, 01384
b) Thời điểm quả bóng chạm đất tương ứng với giá trị của t làm cho h=0 trong phương trình đã tìm Giải
ra ta được hai nghiệm t=0 (loại) và t=3,56861 (nhận) 0,5 đ
c) Tìm độ cao tối đa của quả bóng là tìm giá trị lớn nhất của hàm số h 9,81161t2 35, 01384t Đạo hàm bậc nhất của hàm số này và giải phương trình h’=0 ta được t=1,78431 Thay vào phương trình ta được hmax 31, 23771 0,5 đ
Cách 2:
d) Chia cả 2 vế của phương trình 2
h At Bt cho t ta được
h
At B
t 0,5 đ
Ta dùng bảng dữ liệu mới cho h/t và t (bỏ điểm h=0 và t=0) và dùng máy tính bỏ túi ta tìm được
A=-9,78229 (0,25 đ) và B=34,94733 (0,25 đ)
e) t=3,57251 0,5 đ
f) hmax 31, 21242 0,5 đ
Trang 15ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM ĐỀ THI MÔN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Mã môn học: MATH121101
BỘ MÔN TOÁN Thời gian: 75 phút
Đề số 01 Đề thi có 01 trang
Ngày thi: 05/11/2014
Sinh viên được phép sử dụng tài liệu
Bài 1: (2,5 điểm) Xét hệ phương trình
a) Ta có T
(1)
b) Áp dụng phương pháp lặp đơn, X( 0) C, ta được nghiệm gần đúng X D(2) (2) với sai số
D
(3)
c) Áp dụng phương pháp lặp Seidel, X( 0) C, ta được nghiệm gần đúng X S( 2) (4) với sai số
S
(5)
Bài 2: (2,5 điểm) Cho bài toán Cauchy
2
(2) 0, 5
y
a) Áp dụng công thức Euler với h = 0,1 ta có y(2,2) ≈ (6) và y(2,5) ≈ (7)
b) Áp dụng công thức RK2 với h = 0,2 ta có y(2,2) ≈ (8) và y(2,4) ≈ (9)
c) Áp dụng công thức Euler cải tiến 2 vòng lặp với h = 0,2 ta có y(2,2) ≈ (10)
Bài 3: (4 điểm) Cho bảng giá trị của hàm y = f(x) như sau
( ) 0, 5; 0, 2;0, 6
( ) 0,8; 0;1, 2
a) Sai phân cấp 1 và cấp 2 của hàm f(x) tại x = 0,2 lần lượt là ∆1 = (11) và ∆2 = (12)
b) Áp dụng nội suy bậc 2 tại 3 mốc 0,2; 0,4; 0,6 ta có f(0,25) ≈ (13) và sai số ∆ ≤ (14)
c) Áp dụng công thức SimpSon ta có
1,2
0 ( )
f x dx
(15) với sai số không quá (16)
d) Áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất với công thức xấp xỉ dạng 3
( )
f x ax b cho
bảng số liệu trên ta được a = (17) và b = (18)
Bài 4: (1 điểm) Tự luận Biết phương trình 2 2
4x e x 5 0 có 1 nghiệm x* nằm trong (1; 2) Chứng minh rằng với x 0 (1; 2) tùy ý, dãy lặp 2
1
1
ln 4 5 2
x x sẽ hội tụ về nghiệm x* của phương trình trên
HẾT
Ghi chú:
1 Trong các tính toán lấy kết quả với 4 chữ số thập phân
2 Nghiệm của hệ phương trình trong bài 1 được viết dưới dạng vector dòng
3 Cán bộ coi thi không giải thích đề thi.
Trang 16ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM ĐỀ THI MÔN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Mã môn học: MATH121101
BỘ MÔN TOÁN Thời gian: 75 phút
Đề số 02 Đề thi có 01 trang
Ngày thi: 05/11/2014
Sinh viên được phép sử dụng tài liệu
Bài 1: (2,5 điểm) Xét hệ phương trình
a) Ta có T
(1)
b) Áp dụng phương pháp lặp đơn, X( 0) C, ta được nghiệm gần đúng X D(2) (2) với sai số
D
(3)
c) Áp dụng phương pháp lặp Seidel, X( 0) C, ta được nghiệm gần đúng X S( 2) (4) với sai số
S
(5)
Bài 2: (2,5 điểm) Cho bài toán Cauchy
2
(2) 0, 5
y
a) Áp dụng công thức Euler với h = 0,1 ta có y(2,2) ≈ (6) và y(2,5) ≈ (7)
b) Áp dụng công thức RK2 với h = 0,2 ta có y(2,2) ≈ (8) và y(2,4) ≈ (9)
c) Áp dụng công thức Euler cải tiến 2 vòng lặp với h = 0,2 ta có y(2,2) ≈ (10)
Bài 3: (4 điểm) Cho bảng giá trị của hàm y = f(x) như sau
( ) 0, 2; 0, 2;0, 6
( ) 0, 5; 0;1, 2
a) Sai phân cấp 1 và cấp 2 của hàm f(x) tại x = 0,2 lần lượt là ∆1 = (11) và ∆2 = (12)
b) Áp dụng nội suy bậc 2 tại 3 mốc 0,2; 0,4; 0,6 ta có f(0,25) ≈ (13) và sai số ∆ ≤ (14)
c) Áp dụng công thức SimpSon ta có
1,2
0 ( )
f x dx
(15) với sai số không quá (16)
d) Áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất với công thức xấp xỉ dạng 3
( )
f x ax b cho
bảng số liệu trên ta được a = (17) và b = (18)
Bài 4: (1 điểm) Tự luận Biết phương trình 2 2
4x e x 5 0 có 1 nghiệm x* nằm trong (1; 2) Chứng minh rằng với x 0 (1; 2) tùy ý, dãy lặp 2
1
1
ln 4 5 2
x x sẽ hội tụ về nghiệm x* của phương trình trên
HẾT
Ghi chú:
1 Trong các tính toán lấy kết quả với 4 chữ số thập phân
2 Nghiệm của hệ phương trình trong bài 1 được viết dưới dạng vector dòng
3 Cán bộ coi thi không giải thích đề thi.
Trang 17Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.HCM Đáp án môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
Ngày thi: 05/11/2014
A – PHẦN TRẮC NGHIỆM (9 điểm)
BẢNG TRẢ LỜI - ĐỀ 1
(4) (0,6185; 10,6546; -2,9968) (13) 1,7581
BẢNG TRẢ LỜI - ĐỀ 2
Trang 18B– PHẦN TỰ LUẬN (1 điểm)
điểm
4
2
x
x e x x x
4 '( )
x x
x
0,5
2 2 2
4
x
x
1; 2
x
1;2
5
4
1
1
ln 4 5 2
x x sẽ hội tụ về nghiệm x* của phương trình với x 0 (1; 2) tùy ý
0,5