Đề thi + Đáp án Toán Ứng Dụng CKM UTE, Phương pháp tính

Đề thi và đáp án toán ứng dụng khoa Cơ khí Chế tạo máy, trường đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh. Môn Phương pháp tính các năm học. Đây là đề sưu tầm được nên có thể không đầy đủ. Bài 1 (3đ): Cho bài toán Côsi     2 1 0 1.5 y x x y y         1. Áp dụng phương pháp Ơle, h=0.1 ta được y(0.2)(1) và y(0.5)(2). Từ đó suy ra giá trị gần đúng y0.5  3 2. Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến, h=0.2 ta được y(0.2)(4) và y(0.4)(5) 3. Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến hai vòng lặp, h=0.3 ta được y(0.3)(6) Bài 2(3đ): Cho phương trình x2  3x 1 ex , trên khoảng tách nghiệm 5;2 1. Áp dụng phương pháp Newton, x0= 4.1, chúng ta tính được 1 2 x  (7); x  (8) và sai số   2 x  x  9 2. Áp dụng phương pháp lặp đơn, theo điều kiện của phương pháp, hãy cho biết  x  10 . Khi đó với x0= 4.5 thì khi đó x1=(11) và x2=(12).

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN TOÁN

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ THI MÔN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Mã môn học: MATH 121101

Thời gian 90 phút Được sử dụng tài liệu

Bài 1 (3đ): Cho bài toán Côsi  

 

2 1

0 1.5

y x x y y











1 Áp dụng phương pháp Ơle, h=0.1 ta được y(0.2)(1) và y(0.5)(2) Từ đó suy ra giá trị gần đúng y0.5   3

2 Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến, h=0.2 ta được y(0.2)(4) và y(0.4)(5)

3 Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến hai vòng lặp, h=0.3 ta được y(0.3)(6)

Bài 2(3đ): Cho phương trình 2

x  x e , trên khoảng tách nghiệm [-5;-2]

1 Áp dụng phương pháp Newton, x0= -4.1, chúng ta tính được x1 (7);x2 (8) và sai

số xx2  9

2 Áp dụng phương pháp lặp đơn, theo điều kiện của phương pháp, hãy cho biết

   x  10

 Khi đó với x0= -4.5 thì khi đó x1=(11) và x2=(12)

Bài 3(2đ): Áp dụng phương pháp Bình phương bé nhất với số liệu:

1 Đặt y a b x ta có a=(13), b=(14) Áp dụng khi x=0.8 tính gần đúng y(15)

2 Đặt x B

y A e  , suy ra B=(16)

Bài 4 (tự luận, 2đ): Cho các đa thức bậc 2 và bậc 3 lần lượt ký hiệu là P2(x) và P3(x) Giả

sử P2(xi) = P3(xi) tại ba mốc cách đều phân biệt x i x0ih h, 0,i0,1, 2

Chứng minh rằng khi đó    

P x dx P x dx

  (Hướng dẫn: dung công thức Simpson)

- Giám thị không giải thích đề thi Bộ môn duyệt

- Dấu chấm là dấu thập phân

Họ và tên

MSSV:

Phòng thi STT:

Chữ ký GT 1: GT2:

Điểm số: Điểm chữ:

Chữ ký giáo viên chấm: BẢNG TRẢ LỜI BÀI 1, 2, 3

  

Bài 4: (mỗi ý 0.5đ)

- Đặt f x P x3  , theo công thức Simpson 2 đoạn chia    

P x dx P x dx

- Sai số phép toán trên là

4 2 180

M hh

- Trong đó (4) 

3

M  P x 

- Vậy   0 nên ta có điều cần chứng minh

*Lưu ý: câu (10) có nhiều đáp án, ví dụ 1 3

x e x



 ,… Khi đó (11), (12) sẽ thay đổi tương ứng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN TOÁN

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ THI MÔN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Mã môn học: MATH 121101

Thời gian 90 phút Được sử dụng tài liệu Bài 1 (3đ): Cho bài toán Côsi  

 

2 1

0 3.5

y x x y y











1 Áp dụng phương pháp Ơle, h=0.1 ta được y(0.2)(1) và y(0.5)(2) Từ đó suy ra giá trị gần đúng y0.5   3

2 Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến, h=0.2 ta được y(0.2)(4) và y(0.4)(5)

3 Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến hai vòng lặp, h=0.3 ta được y(0.3)(6)

Bài 2(3đ): Cho phương trình 2

x  x e , trên khoảng tách nghiệm [-5;-2]

1 Áp dụng phương pháp Newton, x0= -4.2, chúng ta tính được x1 (7);x2 (8) và sai

số xx2  9

2 Áp dụng phương pháp lặp đơn, theo điều kiện của phương pháp, hãy cho biết

   x  10

 Khi đó với x0= -4.8 thì khi đó x1=(11) và x2=(12)

Bài 3(2đ): Áp dụng phương pháp Bình phương bé nhất với số liệu:

1 Đặt y a b x ta có a=(13), b=(14) Áp dụng khi x=1.8 tính gần đúng y(15)

2 Đặt x B

y A e  , suy ra B=(16)

Bài 4 (tự luận, 2đ): Cho các đa thức bậc 2 và bậc 3 lần lượt ký hiệu là P2(x) và P3(x) Giả

sử P2(xi) = P3(xi) tại ba mốc cách đều phân biệt x i x0ih h, 0,i0,1, 2

Chứng minh rằng khi đó    

P x dx P x dx

  (Hướng dẫn: dung công thức Simpson)

- Giám thị không giải thích đề thi Bộ môn duyệt

- Dấu chấm là dấu thập phân

Họ và tên

MSSV:

Phòng thi STT:

Chữ ký GT 1: GT2:

Điểm số: Điểm chữ:

Chữ ký giáo viên chấm: BẢNG TRẢ LỜI BÀI 1, 2, 3

  

Bài 4: (mỗi ý 0.5đ)

- Đặt f x P x3  , theo công thức Simpson 2 đoạn chia    

P x dx P x dx

- Sai số phép toán trên là

4 2 180

M hh

- Trong đó (4) 

3

M  P x 

- Vậy   0 nên ta có điều cần chứng minh

Mã đề: 121101-2015-02-001 1/2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN TOÁN

-

ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-15 Môn: Phương pháp tính

Mã môn học: MATH121101 Ngày thi: 19/06/2015 Thời gian: 90 phút

Đề thi có 2 trang Mã đề: 121101-2015-02-001

SV được phép sử dụng tài liệu

SV không nộp lại đề thi

I PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: (2,0 điểm)

Cho phương trình f x( ) x 1, 6 3, 6 cos(2 )  x  0 trên khoảng tách nghiệm 0;1 (Lưu ý: dùng đơn vị radian khi tính hàm lượng giác.)

a Nghiệm gần đúng của phương trình trên tính bằng phương pháp Newton với 3 bước lặp, với giá trị khởi đầu x 0 0,8 là x  (1)

b Trong khoảng tách nghiệm 0;1 thì | f '( ) |x  (2) >0 và | f"( ) |x (3) Dùng phương pháp

Newton với giá trị khởi đầu x 0 0,8, để nghiệm gần đúng x n có sai số tuyệt đối không quá 5

10 thì |x nx n1|(4)

Câu 2: (1,5 điểm)

( ) ln

( )

P x abxcx là đa thức nội suy của f x( ) với 3 mốc nội suy 1,2,3 thì a  (5), b  (6) và sai số tuyệt đối của giá trị nội suy P(2.5) là   (7)

Câu 3: (2,0 điểm)

Dân số P của một thành phố được cho trong bảng sau (lấy mốc t 0 ứng với năm 1850)

t P (ngàn người)

120 1 999,3

Áp dụng phương pháp bình phương bé nhất với dạng phương trình ( ) kt

P t Ce , suy ra

C (8) và k  (9)

Từ phương trình này ước tính dân số năm 1920 là P  (10) (ngàn người)

Cũng từ phương trình này ước tính thời gian tăng gấp đôi dân số, tức là thời gian T sao cho ( ) 2 ( )

P tT  P t , là T (11)

Câu 4: (2,0 điểm)

Cho F x( ) (Newton) là một lực tác dụng phụ thuộc vào vị trí x(mét) Công W(Joule) của lực đó đã thực hiện dùng để dịch chuyển một vật từ a đến b được tính như sau

 

b

a

W F x dx Cho lực tác động lên một vật là   2

9 (5 )

Mã đề: 121101-2015-02-001 2/2

a Công thực hiện khi di chuyển vật đó từ vị trí x 0 đến x 3 tính bằng công thức hình thang 6 đoạn chia là W  (12) với sai số tuyệt đối W  (13) Để sai số W không vượt quá 5

10 thì cần dùng công thức hình thang với số đoạn chia là n  (14)

b Công thực hiện khi di chuyển vật đó từ vị trí x 0 đến x 3 bằng công thức Simpson

6 đoạn chia là W  (15)

II PHẦN TỰ LUẬN

Câu 5: ( 2,5 điểm)

Cho phương trình vi phân sau

 

' 0, 02( 25)

0 95

y









, trong đó y y x 

a Dùng phương pháp Ơ-le với h 1 để tính gần đúng y 3

b Dùng phương pháp Ơ-le cải tiến với h 1 để tính gần đúng y 3

c Từ câu a suy ra giá trị gần đúng của y' 3 

( ) 25 (95 25) x

   là nghiệm của phương trình vi phân đã cho Tính sai số của hai giá trị gần đúng ở câu a và b

Lưu ý: Các kết quả được làm tròn đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy

Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi

Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung kiểm tra

[CĐR 1.1, 1.2] Có khả năng áp dụng các phương pháp lặp

vào giải gần đúng các phương trình cụ thể, đánh giá sai số

Câu 1

[CĐR 1.1, 1.2]: Có khả năng áp dụng các phương pháp tìm

đa thức nội suy cho một hàm cụ thể

Câu 2

[CĐR 1.1, 1.2]:Nắm bắt ý nghĩa phương pháp bình phương

bé nhất và vận dụng tìm một số đường cong cụ thể

Câu 3

[CĐR 1.1, 1.2]: Có khả năng áp dụng công thức hình thang,

công thức Simpson tính gần đúng tích phân

Câu 4

[CĐR 1.1]: Có khả năng vận dụng các phương pháp Ơ-le,

Ơ-le cải tiến giải phương trình vi phân với điều kiện đầu

Câu 5

Ngày 17 tháng 6 năm 2015

Thông qua bộ môn

Mã đề: 121101-2015-02-002 1/2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN TOÁN

-

ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-15 Môn: Phương pháp tính

Mã môn học: MATH121101 Ngày thi: 19/06/2015 Thời gian: 90 phút

Đề thi có 2 trang Mã đề: 121101-2015-02-002

SV được phép sử dụng tài liệu

SV không nộp lại đề thi

I PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: (2,0 điểm)

Cho phương trình f x( )  2x  2 3cos(2 )x  0 trên khoảng tách nghiệm 0;1 (Lưu ý: dùng đơn vị radian khi tính hàm lượng giác.)

a Nghiệm gần đúng của phương trình trên tính bằng phương pháp Newton với 3 bước lặp, với giá trị khởi đầu x 0 0,8 là x  (1)

b Trong khoảng tách nghiệm 0;1 thì | f '( ) |x  (2) >0 và | f"( ) |x (3) Dùng phương pháp

Newton với giá trị khởi đầu x 0 0,8, để nghiệm gần đúng x n có sai số tuyệt đối không quá 5

10 thì |x nx n1|(4)

Câu 2: (1,5 điểm)

Cho ( )

x e

f x

x

( )

P x abxcx là đa thức nội suy của f x( ) với 3 mốc nội suy 1,2,3 thì a  (5), b  (6) và sai số tuyệt đối của giá trị nội suy P(2.5) là   (7)

Câu 3: (2,0 điểm)

Dân số P của một thành phố được cho trong bảng sau (lấy mốc t 0 ứng với năm 1850)

t P (ngàn người)

Áp dụng phương pháp bình phương bé nhất với dạng phương trình P t( )Ce kt, suy ra

C (8) và k  (9)

Từ phương trình này ước tính dân số năm 1920 là P  (10) (ngàn người)

Cũng từ phương trình này ước tính thời gian tăng gấp đôi dân số, tức là thời gian T sao cho ( ) 2 ( )

P tT  P t , là T (11)

Câu 4: (2,0 điểm)

Cho F x( ) (Newton) là một lực tác dụng phụ thuộc vào vị trí x(mét) Công W(Joule) của lực đó đã thực hiện dùng để dịch chuyển một vật từ a đến b được tính như sau

 

b

a

W F x dx

Mã đề: 121101-2015-02-002 2/2

Cho lực tác động lên một vật là F x 6x (6x)

a Công thực hiện khi di chuyển vật đó từ vị trí x 0 đến x 3 tính bằng công thức hình thang 6 đoạn chia là W  (12) với sai số tuyệt đối W  (13) Để sai số W không vượt quá 5

10 thì cần dùng công thức hình thang với số đoạn chia là n  (14)

b Công thực hiện khi di chuyển vật đó từ vị trí x 0 đến x 3 bằng công thức Simpson

6 đoạn chia là W  (15)

II PHẦN TỰ LUẬN

Câu 5: ( 2,5 điểm)

Cho phương trình vi phân sau

 

' 0, 02( 25)

0 95

y









, trong đó y y x 

a Dùng phương pháp Ơ-le với h 1 để tính gần đúng y 3

b Dùng phương pháp Ơ-le cải tiến với h 1 để tính gần đúng y 3

c Từ câu a suy ra giá trị gần đúng của y' 3 

( ) 25 (95 25) x

y x    e là nghiệm của phương trình vi phân đã cho Tính sai số của hai giá trị gần đúng ở câu a và b

Lưu ý: Các kết quả được làm tròn đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy

Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi

Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung kiểm tra

[CĐR 1.1, 1.2] Có khả năng áp dụng các phương pháp lặp

vào giải gần đúng các phương trình cụ thể, đánh giá sai số

Câu 1

[CĐR 1.1, 1.2]: Có khả năng áp dụng các phương pháp tìm

đa thức nội suy cho một hàm cụ thể

Câu 2

[CĐR 1.1, 1.2]:Nắm bắt ý nghĩa phương pháp bình phương

bé nhất và vận dụng tìm một số đường cong cụ thể

Câu 3

[CĐR 1.1, 1.2]: Có khả năng áp dụng công thức hình thang,

công thức Simpson tính gần đúng tích phân

Câu 4

[CĐR 1.1]: Có khả năng vận dụng các phương pháp Ơ-le,

Ơ-le cải tiến giải phương trình vi phân với điều kiện đầu

Câu 5

Ngày 17 tháng 6 năm 2015

Thông qua bộ môn

Số hiệu: BM2/QT-PĐBCL-RĐTV 1/4

ĐÁP ÁN MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

(Thi ngày 19/6/2015)

I PHẦN TRẮC NGHIỆM

Đề 1

Đề 2

II PHẦN TỰ LUẬN (câu 5)

a Các giá trị gần đúng được tính theo sơ đồ sau

( ) [ 0, 02( ( ) 25)]

Từ đó ta tính lần lượt và được y(3)  90,88344 (1,0đ)

Số hiệu: BM2/QT-PĐBCL-RĐTV 2/4

b Các giá trị gần đúng theo sơ đồ sau

( ) [ 0, 02( ( ) 25) 0, 02( 25)]

2

h

Trong đó y(x + h) được giải chính xác từ phương trình trên hoặc giải bằng PP lặp đơn 1 bước lặp theo sơ đồ

0

( ) [ 0,02( ( ) 25)]

y x h  y x 

y (x + h) =

( ) [ 0,02( ( ) 25) 0, 02( 25)]

2

h

Từ đó ta tính lần lượt và được y(3)  90, 92379 (0,5đ)

c y'(3)   0, 02(90,88344  25)   1, 31767 (0,5đ)

( ) 25 (95 25) x

'( ) 0, 02 (95 25) x 0, 02 ( 25)

y x     e    y

( ) 25 (95 25) x

y x    e là nghiệm của phương trình vi phân đã cho (0,25đ)

Tính sai số: (0,25đ)

0,06 (3) 25 (95 25) 90, 92352

Sai số của kết quả câu a là | 90, 92352  90,88344 | 0, 04008 

Sai số của kết quả câu b là | 90, 92352  90, 92379 | 0, 00027 