Tính ổn định của hệ thống tuyến tính

3.1 Khái niệm3.2 Mối quan hệ giữa nghiệm phương trình đặc tính và tính ổn định 3.3 Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz 3.4 Phân tích quỹ đạo nghiệm số... = Đáp ứng toàn phần = Đáp ứng trạ

3.1 Khái niệm

3.2 Mối quan hệ giữa nghiệm phương trình đặc tính và tính ổn định

3.3 Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz

3.4 Phân tích quỹ đạo nghiệm số

Cho quả cầu một vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé thì quả cầu sẽ tiến tới trạng

thái cân bằng mới:

- Vị trí a  vị trí cân bằng ở biên giới ổn định

- Dao động quanh vị trí cân bằng vị trí b hoặc d  vị trí cân bằng ổn định

- Không về trạng thái ban đầu vị trí c  vị trí cân bằng không ổn định

a

Nếu quả cầu dao động với vận tốc lớn thì cũng sẽ không trở về vị trí cân

= ( ) Đáp ứng toàn phần = Đáp ứng trạng thái không + Đáp ứng đầu vào không

Đáp ứng trạng thái không: Đáp ứng của hệ thống chỉ phụ thuộc vào đầu vào,

tất cả các điều kiện ban đầu đều bằng 0

Đáp ứng đầu vào không: Đáp ứng của hệ thống theo các điều kiện ban đầu tác

động vào hệ thống, các đầu vào đều bằng 0.

Phương trình đặc tính: Phương trình đa thức của mẫu số hàm truyền đạt

= ( )

Đáp ứng xung: tín hiệu đầu ra thu được khi đầu vào là một xung đơn vị (t)

 Hệ thống có thể đặc trưng bởi đáp ứng xung của nó.

Hàm truyền đạt: Biến đổi Laplace của đáp ứng xung của hê thống, với điều kiện

ban đầu bằng 0.

= ℒ( ( ))

= ( − ) ( )

2 Ổn định đầu vào không (hay ổn định tiệm cận)

Một hệ thống bất biến theo thời gian là ổn định đầu vào không,nếu với mỗi giá trị

xác định y (k) (t 0 ), luôn tồn tại giá trị dương M, phụ thuộc vào y (k) (t 0 ), sao cho

| y(t) | < M <  for all t > t 0 với = ∑ ( ) ( )

Và lim | y(t) | = 0

t 

1 Ổn định BIBO (Bounded Input, Bounded Output):

Bỏ qua các điều kiện ban đầu, một hệ thống tuyến tính gọi là ổn định BIBO, hay

đơn giản là ổn định khi và chỉ khi với mọi đầu vào là tín hiệu bị chặn u(t) thì tín

hiệu đầu ra bị chặn

If | u(t) | < M <  then | y(t) | < N < 

Đáp ứng toàn phần = Đáp ứng trạng thái không + Đáp ứng đầu vào không

Đối với hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian, các điều kiện ổn định BIBO, ổn định đầu vào không và ổn định tiệm cận đều có chung điều kiện là nghiệm của

phương trình đặc tính phải nằm nửa bên trái mặt phẳng phức s.

Nếu một hệ thống là ổn định BIBO, nó cũng phải ổn định đầu vào không và ổn

định tiệm cận.

= ( )

Xét biểu thức hàm truyền đạt:

= ( ) = ( )

= ( )

Điều kiện ổn định Giá trị nghiệm của A(s) = 0

Ổn định tiệm cận hay ổn

định

|si| < 0 i=1,2…n (Tất cả các nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức)

Giới hạn ổn định Re(si)=0 với si là nghiệm đơn, và |si| < 0 i=1,2…n

Không ổn định  I thỏa:|si| > 0 hay Re(si)=0 với si là nghiệm kép

Xét phương trình đặc tính của hệ thống

Điều kiện cần:

1 Tất cả các hệ số của phương trình phải có cùng dấu

2 Không có hệ số nào bị triệt tiêu

Điều kiện đủ:

Tất cả các định thức Hurwitz đều dương

Các định thức bậc i:

0

Xét phương trình đặc tính của hệ thống

Điều kiện cần:

1 Tất cả các hệ số của phương trình phải có cùng dấu

2 Không có hệ số nào bị triệt tiêu

Điều kiện đủ:

Tất cả các số hạng của cột đầu tiên của bảng Routh có cùng dấu

Số lần đổi dấu trong các số hạng ở cột đầu tiên bằng số nghiệm có phần

thực dương.

• Tử số là định thức bậc 2, mang dấu âm Cột thứ nhất của định thức là cộtthứ nhất của 2 hàng đứng sát trên hàng có số hạng đang tính; cột thứ 2 của định thức là cột đứng sát bên phải số hạng đang tính cũng của 2 hàngtrên

• Mẫu số: Tất cả các số hạng trên cùng một hàng có cùng mẫu số là số hạngcủa cột thứ nhất của hàng sát trên hàng có số hạng đang tính

Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc tính

• Có thể nhân hoặc chia tất cả các số hạng trên cùng một hàng của bảng

Routh với một số dương

• Số lần đổi dấu của các số hạng trong cột thứ nhất của bảng Routh bằng sốnghiệm của phương trình có phần thực dương

• Nếu cột thứ nhất của bảng Routh có một số hạng bằng 0, thì hệ thống

cũng không ổn định Để xác định số nghiệm âm, có thể thay số 0 bằng số

1 Trường hợp 1: Số hạng đầu tiên trên dòng nào đó của bảng Routh

2 Trường hợp 2: Tất cả các số hạng trên cùng một dòng của bảng

Routh bằng 0

 Phương trình đặc tính có ít nhất một cặp nghiệm cùng độ lớn

nhưng trái dấu

 Phương trình đặc tính có một hoặc nhiều cặp nghiệm thuần ảo

 Phương trình đặc tính có các cặp nghiệm phức liên hợp đối xứng

qua gốc tọa độ

+ 3 + ( + ) + = 0

= ( + 5)( + 2)(1 + )

Xác định vùng giá trị của K theo T (tương ứng hàm K=f(T)) sao cho hệ thống kín tương ứng trên ổn định Xác định các đường biên giới giữa miền ổn định

và không ổn định của hệ thống kín.

Biết rằng: f t = +

H(s) _

động cơ như sau

Xác định dải giá trị hằng số tốc độ góc Kt để hệ thống kín ổn định

Xác định vùng giá trị của  theo K để hệ thống ổn định

Bài toán quỹ đạo nghiệm tổng quát có thể được tạo ra bằng cách đưa về phương trình đại số của biến phức s, sau đây:

Xét hệ thống có sơ đồ khối sau:

Điều kiện về biên độ

11 quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số của hệ thống có phương trình đặc tính có dạng

trình đặc tính 1+G(s).H(s)=0

Quy tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực

Quy tắc 4: Góc tạo bởi đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm sốvới trục thực xác định bởi:

Quy tắc 8: Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xác định bằng một trong hai cáh sau đây:

- Áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz : tìm được Kgh, thayvào pt đặc tính để xác định các giá trị giao điểm

- Thay s = j vào phương trình đặc tính, cân bằng phần thực

và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với trục ảo và giá trị K.

được xác định bởi:

Dạng hình học của công thức trên

j = 1800 + ( góc từ các zero đến cực p j) - ( góc từ các cực

còn lại đến cực p j)

Quy tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0  +

Quy tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số có thể xác định từ điều kiện biên độ

( )( ) =

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  +

) 3 )(

2 (

s

K s

G

G0 (s)

(1)

0 )

3 )(

2 (

1 0

) (

s

K s

G

) 3 )(

2 (

s

K s

G

Phương trình đặc trưng của hệ thống:

G0 (s)

 QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.

Các zero: không có

Khi K  +, ba nhánh của quỹ đạo nghiệm số sẽ tiến đến vô

cùng theo các tiệm cận xác định bởi:

5 0

3

-0 )

3 ( ) 2 ( 0 [

cùc

Ta có (1)  k   s ( s  2 )( s  3 )   ( s3  5 s2  6 s )

) 6 10

3 ( 2  





ds dK

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình  0

ds dK

trong hai cách sau đây:

5 K



0 0

0 5

1 6

K

Vậy, hệ số khuếch đại giới hạn là K gh = 30.

Thay giá trị K gh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình

ta được giao điểm của QĐNS với trục ảo

30 6

1 2

3

j s

s s

s s

0 )

( 6 )

( 5 )

( j  3  j  2  j   K 

Cách 2:

Giao điểm (nếu có) của QĐNS và trục ảo phải có dạng s = j

Thay s = j vào phương trình (1) ta được:

0 6

0

6 2

K

K





Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền hở là:

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  +

) 20 8

s

K s

G

- j2

Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền hở là:

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  +

) 20 8

)(

3 (

) 1

( )

s s

s

K s

G

Re

893,5

j

-1 -4

+j2

- j2

-2 -3

893,5

j



o

7,33