Hướng dẫn học sinh lớp 9 tìm lời giải ba dạng phương trình vô tỷ thường gặp trong các đề thi chọn HSG cấp tỉnh hoặc thi vào THPT chuyên

Đến lớp 9 học sinh được học về phương trình vô tỷ - đây làmột trong những dạng phương trình hay và khó thường gặp trong đề thi chọnHSG cấp tỉnh hoặc thi vào lớp 10 THPT chuyên.. Học sinh

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Hầu như trong bất cứ kỳ thi nào của cấp THCS đều có bài giải phươngtrình trong đề thi Đến lớp 9 học sinh được học về phương trình vô tỷ - đây làmột trong những dạng phương trình hay và khó thường gặp trong đề thi chọnHSG cấp tỉnh hoặc thi vào lớp 10 THPT chuyên Trong sách giáo khoa môntoán lớp 9 chỉ nêu một số dạng phương trình cơ bản mà cách giải của chúng rất

rõ ràng, rành mạch Học sinh học toán ở mức trung bình đều có thể giải được.Tuy nhiên, trên thực tế bài giải phương trình trong đề thi chọn HSG cấp tỉnhhoặc đề thi vào lớp 10 THPT chuyên khó hơn rất nhiều Khó bởi cách giải củanhững phương trình ấy không có một quy luật nhất định mà tùy vào đặc điểmtừng phương trình, học sinh lựa chọn cách giải phù hợp Sau 7 năm học (Từ nămhọc 2011-2012 đến năm học 2018 - 2019) theo dõi đề thi tôi nhận thấy: bài giảiphương trình vô tỷ trong đề thi chọn HSG cấp tỉnh, thành phố và thi vào lớp 10THPT chuyên thường rơi vào một trong 3 dạng sau:

1 2

1x b x c dx e a x b x c III

Theo suy nghĩ thông thường với mỗi pt trên bình phương 2 vế để khử dấucăn bậc hai thì phương trình hệ quả thu được có bậc 4, trong khi đó pt bậc 4không phải khi nào cũng giải được Thêm nữa phép biến đổi sau khi bìnhphương tương đối cồng kềnh, học sinh dễ nhầm lẫn

Một trong những mục tiêu quan trọng của giáo dục hiện nay là giúpngười học hình thành và đạt được các kỹ năng tư duy khoa học như: kỹ năng tưduy phân tích, suy luận, tổng hợp, logic; kỹ năng tư duy sáng tạo, phản biện; kỹnăng tự học và tự học hiệu quả Do vậy để tìm được lời giải của 3 dạng phươngtrình trên, người thầy cần trăn trở, tìm tòi nhiều cách giải hay, từ đó có cáchtruyền đạt, gợi mở, định hướng để học sinh tìm được lời giải cho mỗi bài toán

Hơn nữa qua quá trình nghiên cứu, sưu tầm tài liệu bản thân chưa thấy cótài liệu nào viết chuyên sâu về cách giải 3 dạng phương trình trên Là mộtchuyên viên của Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện, được phân công phụ trách

công tác bồi dưỡng HSG cấp huyện, cấp tỉnh, bản thân tôi luôn trăn trở suy nghĩtìm tòi, nghiên cứu đề ra những biện pháp, giải pháp nhằm nâng cao chất lượngHSG cấp huyện, cấp tỉnh Để công tác bồi dưỡng HSG đạt hiệu quả ngoài việctham mưu cho lãnh đạo chỉ đạo kịp thời, chính xác bản thân phải say sưa chuyênmôn, am tường chuyên môn, đồng thời biết viết và truyền cảm hứng tới ngườikhác những điều mình tâm đắc Với những lý do đó tôi quyết định chọn đề tài

’’Hướng dẫn học sinh lớp 9 tìm lời giải ba dạng phương trình vô tỷ thường gặp trong các đề thi chọn HSG cấp tỉnh hoặc thi THPT chuyên’’ để nghiên

cứu

1.2 Mục đích nghiên cứu

Qua sáng kiến kinh nghiệm tác giả mong muốn các thầy cô giáo có cáchđịnh hướng, hướng dẫn học sinh biết phân tích, tìm tòi lời giải 3 dạng phươnghay và khó thường gặp trong đề thi chọn HSG cấp tỉnh, thành phố hoặc đề thituyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên trên toàn quốc

Bước đầu rèn luyện cho các em học sinh kỹ năng tư duy sáng tạo, chỉ chocác em thấy được nét đẹp, sự độc đáo trong mỗi lời giải Từ đó khơi dậy niềmđam mêm nghiên cứu khoa học của các em

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu các cách giải 3 dạng phương trình:

1 2

1x b x c (dx e). a x b x c

Trong đó x là ẩn, k a b c d e, , , , , , a1 ;b1 ;c1 ;a2 ;b2 ;c2 là các hằng số

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp chuyên gia

- Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp quan sát:

- Phương pháp lịch sử

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Gọi A, B là các biểu thức chứa biến x , khi đó

B A B

A

B A B A B A

)(

(

với AB 0(Biểu thức A  B

gọi là biểu thức liên hợp của biểu thức A  B)

2.1.6 Nếu phương trình A(x)  0 có 1 nghiệm x  x0(Với

n n

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm

Trong những năm gần do áp lực thi cử nên đa số học sinh học thêm quánhiều do đó không còn thời gian và sức lực để nghiên cứu, tìm tòi, thưởng thứccái hay, cái đẹp của bộ môn Toán Nhiều dạng toán, bài toán thầy, cô giáo đãbày sẵn cách giải học sinh chỉ việc áp dụng Điều này đã triệt tiêu óc sáng tạocủa các em

Hơn nữa, phương trình vô tỷ không mẫu mực là dạng phương trình khó và

vô cùng đa dạng, để giải phương trình vô tỷ cần biết kết nối nhiều kiến thức, kỹnăng Ba dạng phương trình kể trên là ba dạng khó, chắc chắn nhiều học sinhkhông giải được nếu chưa có sự gợi ý của thầy cô giáo

Khi được phòng Giáo dục và Đào tạo giao nhiệm vụ dạy hỗ trợ một sốchuyên đề cho đội tuyển HSG của huyện tham dự kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh nămhọc 2018 - 2019 Tôi đã nghiên cứu và lựa chọn 5 chuyên đề, trong có chuyên

đề về phương trình vô tỷ Để bước đầu đánh giá được khả năng của học sinh, từ

đó có phương án tối ưu trong việc truyền đạt tới học sinh, tôi đã ra một đề kiểmtra thời gian 45 phút cho 10 em học sinh trong đội tuyển của huyện như sau:Bài 1: ( 4,0 điểm ) Giải phương trình 1 2 4 5

K t qu thu ết quả thu được như sau: ả thu được như sau: được như sau: c nh sau: ư

Tổng Dưới điểm 5 Điểm 5 - 7 Điểm 7 - 8

2.3 Các giải pháp:

Qua một thời gian dài thực hiện công việc sưu tầm, tổng hợp, phân tích

nghiên cứu tôi thấy rằng: Để giải 3 dạng phương trình (I), (II), (III) ta thường sử

1 axbc  c xc 

k

Cách 5: Biến đổi phương trình về dạng ( ) ( ) 2 0

3 2 2 1

1 axbc  c xc 

k

Cách 6: Biến đổi phương trình về dạng A k A B2 k1B

1 2





b ax B

Phân tích: Dễ dàng nhẩm được nghiệmx  1 Sau khi đặt điều kiện, bình

phương 2 vế để khử dấu căn bậc hai, chuyển vế ta được phương bậc 4 Do đã nhẩm đưỡ nghiệm x  1 nên biến đổi vế trái của pt xuất hiện nhân tử x 1 Cụ thể lời giải như sau:

) 1 3 ( 1 8

2

2 2

x x

x x x

PT , Biến đổi pt đầu của hệ cho ta pt:

0 14 7

x Phương trình x2 + 7x + 14 = 0 vô nghiệm

Thay x 0 và x  1 vào bất pt sau của hệ kết luận chỉ x  1 là nghiệm của phương trình (1)

Mặt khác: Nhẩm thấy x = 1 là nghiệm, do đó có thể biến đổi và nhân với biểu thức liên hợp tương ứng để làm xuất hiện nhân tử ( x 1 ), cụ thể:

Cách 2:

4 3 3

1 8 1 3 1

1 ( 3

1 8

) 3 1 8 )(

3 1

8 8

0 1 0

) 3 1 8

8 4

3 1 8

Nhận xét: Phương trình ( a1 ) không thể giải tiếp theo cách biến đổi thông

thường, mà cần có sự nhận xét, đánh giá một cách khéo léo Để ý: một giá trị x

nào đó là nghiệm của pt (1) thì nó phải thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện

8 4

0 3 1 8

8

x

x x

x thì VT(1b)  4, VP(1b)  2, dẫn tới pt(1b) vô nghiệm, hay pt(1a)

vô nghiệm Kết luận: PT ban đầu có nghiệm duy nhất x 1

Bình luận:

- Khi giải theo cách 1 phương trình hệ quả thu được sau khi bình phương

là phương trình bậc 4, nếu phương trình bậc 4 không đặc biệt hoặc không nhẩmđược nghiệm việc giải tiếp sẽ bế tắc

- Cách 2 nên sử dụng khi nhẩm được nghiệm x  x0(ở đây nhẩm được

1



x là nghiệm), khi đó ta có cơ sở để biến đổi và nhân liên hợp làm xuất hiện nhân tử x  x0

Vậy trong trường hợp phương trình ban đầu không nhẩm được nghiệm thì

sẽ giải quyết như thế nào ? Hãy xét ví dụ 2

năm học: 2016 – 2017)

Phân tích: Do không nhẩm được nghiệm nên cách 1 và cách 2 không còn hiệu

quả ta cần nghĩ tới cách khác Nếu sử dụng cách 3, trước hết ta nhân hai vế củaphương trình với 4 để tiện cho việc hình thành bình phương đúng của một tổnghay hiệu Sau đó biến đổi khéo léo để đưa về dạng 2 2

( ax b c  )  (c x c ) , cụthể lời giải:

Lời giải: ĐK: x  3, Nhân 2 vế của pt với 4 PT  4 x 3  16x2  20x 4 ( 2a), đến đây phân tích 4 x 3  2 2 x 3 1, suy ra thừa số thứ nhất là 2 x 3, thừa

số thứ 2 là 1, do vậy vế trái của pt(a) cộng thêm với 4 (x 3 )  1 sẽ vừa đủ một bình phương đúng là ( 2 x 3  1 ) 2 Khi đó vế phải của PT(a) còn lại là:

1 3 4

3

 x x hoặc 2 x 3  1   4x 3, Tương đương với 2 x 3  4x 2

hoặc 2 x 3   4x 4, giải từng phương trình và so sánh với điều kiện suy ra

Phân tích: Nếu theo lối suy nghĩ của cách 3, để vế trái là bình phương đúng của

một tổng ta phải cộng thêm biểu thức ( 3x 10 )  1, khi đó biểu thức vế phải là

Lời giải: Điều kiệnx  103

1 10 3 2 )

) 1 2 3 )(

1 2

1 3 1 3 ) 2 2 ( )

Bình luận: Các em sẽ đặt câu hỏi căn cứ nào để biến đổi từ pt (5a) về pt (5b)?

Lý do như sau: Giả sử pt (5a) biến đổi đưa về dạng

1 3 1 3 ) (

4 2

2

n n

m mn

m

, suy ra m 2 ,n  2 Vậy pt(5d) lúc này là: ( 2 2 ) 2 ( 2 2 ) 3 1 3 1

biến đổi từ pt (5a) về pt(5b)

Phát triển, mở rộng: Lời giải của ví dụ 5 đã mở ra một hướng để xây dựng các

phương trình mới cùng dạng, ví dụ :

- Từ đẳng thức u2 + 2u = v2 + 2v, cho u 2x 1;v 4x 1, ta được pt mới

là 2

2x  2x  1 4x 1 (5e) Nghiệm của pt (5e) là x = 0

- Từ đẳng thức u2 + 4u = v2 + 4v, cho u 2x 1;v 8x 1, ta được pt mới

k ax b cx  dx e Sau đây ta xét tiếp các ví dụ minh họa cho 2 dạng pt:

2 2 1

1 2

(Câu 2a đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên THPT TP Hồ Chí Minh

năm học 2017 – 2018 )

Phân tích: Ta xem 2 (x 2 ) 3x 1  2 (x 2 ) 3x 1, thừa số thứ nhất là ( x 2 ), thừa số thứ hai là 3 x 1, như vậy nếu cộng thêm vế trái của pt với 2

) 2 ( x và

x x x

x , Phương trình sau vô nghiệm Đối chiếu với

điều kiện suy ra: pt (6) có nghiệm duy nhất

) 3 4 3 )(

3

4

(x x x x   x x  hoặc 3x 4x 3  0 Giải phương trình đầu cho nghiệm x 1 ; x 3, phương trình sau vô nghiệm Kết hợp với đk kết luận pt đã cho có 2 nghiệm x 1 ; x 3

Bình luận: Trong lời giải của ví dụ 7, sau khi đặt ẩn phụ 4x 3 t, ta không

rút x theo t hoàn toàn mà chỉ thay ( 4x 3 ) t2 để được pt có cả ẩn mới t lẫn

ẩn cũ x , đây chính là điểm độc đáo của lời giải.

Phân tích: Nhìn vào đề bài ta liên tưởng tới việc biến đổi pt về dạng A 2 B2hoặc A2 B2  0 Thật vậy để tiện cho việc biến đổi biểu thức thành một bình phương đúng của tổng hay hiệu ta nhân 2 vế của pt(8) với 8, ta được phương trình: 16x2  16x 8  8 ( 4x 1 ). x2  1  8 ( 4 1 ) 2 1 16 2 16 8

1 4 ( 8 8

2 2

2 2

2 1 ) ( 4 3 ) 4

(Câu 2a đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh năm học 2015 – 2016)

Phân tích: Nhìn vào đề bài ta thấy ngay 3 cách giải:

Cách 1: Nhẩm được nghiệm x 1, biến đổi nhân với biểu thức liên hợp để làm xuất hiện nhân tử ( x 1 )

Cách 2 Đặt x 3 t x 3 t2, khi đó pt trở thành pt bậc 2 ẩn t (x là tham số)

0 2

năm học 2018 – 2019)

Phân tích: Ban đầu ta thấy rằng pt (9) chưa phải là một trong 3 dạng pt đã nêu,

nhưng sau khi đặt điều kiện và khử mẫu pt trở thành:4 2 2 4 3

đây tìm cách biến đổi để đưa pt (9a) về dạng: A 2 B2

Lời giải: ĐK x 3,x 0, Quy đồng mẫu thức ta được pt: 4x x   3 x 4x2  2

Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2 với cả ẩn phụ và ẩn cũ Lời giải: ĐK:  2 x 2 Đặt 2 2 ( 0 ) 2 2 2 ( 2 )

2

5 1 2

Hướng dẫn: Sau khi đặt điều kiện, biến đổi đưa pt về dạng A2 B2  A B

(Báo TH&TT Số 436 tháng 10 năm 2013 trang 2)

Phân tích: Đề bài gợi ý cho ta nghĩ tới việc biến đổi pt về dạng A 2 B2

Tuy nhiên hệ số gắn với

Hướng dẫn giải: ĐK x  49

9 4 28 196

63 28 2 196

1 63 28 (

(k axbc  c xc Thật vậy ta có lời giải:

Cách 1: Nhân 2 vế của pt(15) với 4 ta có 4 2 4 4 4 8 1

; 1 2 ( 4 4

1 8 4 ) 1 8 ( ) 1 2 ( 4 )

) 15 ( 1

2 1 8

a x

x B

1 2 2 1 8 )

2 1 8 ( )

1

2

x x

x x

x x

Đến đây ta quy về việc giải pt (15a) và (15b) Kết luận pt(15) có đúng 2 nghiệm

x = 1 và x = 3

Nhận xét: Qua Cách giải 1, Cách giải 2 của Ví dụ 15 ta rút ra được một

kết luận rất quan trọng sau đây: Nếu pt k ax b cx  2 dx e biến đổi được vềdạngA k A B2 k1B

2.4 Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục

Bản thân đã tham gia giảng dạy hỗ trợ đội tuyển học sinh cấp tỉnh năm học 2018 – 2019, Sau khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy, tôi đã tiến hành kiểm tra 10 học sinh trong đội tuyển môn toán để kiểm nghiệm quá trình nhận thức của học sinh ở mảng kiến thức này bằng một đề kiểm tra 45 phút như sau: Bài 1 (4,0 điểm) Giải phương trình: 2x2  2x  1 4x 1

Bài 2 (3,0 điểm) Giải phương trình: 2 2 3 ( 1 ) 2 3 3

số Dưới điểm 5 Điểm 5 - 7 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10

Qua quá trình giảng dạy, chấm chữa bài cho học sinh tôi nhận thấy rằng,

từ những pt trong các đề thi chọn HSG, thi vào lớp 10 THPT chuyên, hoặc dobản thân sáng tác không có trong sách giáo khoa, tôi đã giúp học sinh huy độngđược nhiều kiến thức, linh hoạt trong tư duy, đồng thời khơi gợi khả năng phánđoán, lựa chọn cách giải phù hợp với từng loại phương trình Qua đó học sinhthấy được những nét độc đáo, thú vị ẩn sau những bài toán mà các em được học.Bồi đắp, nuôi dưỡng hứng thú học tập, rèn luyện óc sáng tạo, trau dồi tư duylinh hoạt, từ đó thắp sáng niềm say mê bộ môn toán học

Đề tài này có thể áp dụng một cách hiệu quả đối với việc bồi dưỡng họcsinh giỏi lớp 9 dự thi cấp huyện, cấp tỉnh ở tất cả các trường THCS trên địa bànhuyện, thị xã

Với góc độ nhìn nhận, đánh giá của bản thân thì đề tài có thể mở rộngphạm vi nghiên cứu sang 2 dạng pt khác là:

3 2

3 bx cx d k. e x f

f ex k x k d cx

3.2 Kiến nghị

Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo:

Sau khi có Quyết định công nhận, Sở Giáo dục và Đào tạo đưa trang Webcủa Sở những SKKN đạt giải để mọi người có cơ hội được học hỏi những sángsáng kiến hay, cách làm tốt Những SKKN đạt loại A, B, C sẽ là những tài liệuhữu ích cho mỗi cán bộ, giáo viên, nhân viên trong ngành giáo dục

Đối với Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện:

Hằng năm gửi về hòm thư các trường những SKKN đạt giải, từ đó tạo ramột ngân hàng SKKN khổng lồ, nguồn kiến thức vô tận Do ở phạm vi hẹp nêncán bộ, giáo viên, nhân viên trong huyện có cơ hội học hỏi trực tiếp, gián tiếpthông qua SKKN của đồng nghiệp, tạo nên phong trào nghiên cứu khoa học sôinổi, rộng khắp trên toàn huyện Đồng thời phê bình, nhắc nhở những cá nhânsao chép SKKN của người khác

Đối với cốt cán chuyên môn trên toàn huyện:

Tích cực trau dồi kiến thức chuyên môn, tham gia tích cực và có hiệu quảphong trào viết SKKN Có ý kiến phản hồi về hướng mở rộng đề tài mà tác giải

đã nêu trong phân cuối của mục 3.1

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 tỉnh Phú Thọ năm học 2011 –

2012

[2] Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hưng Yên năm học: 2016 – 2017.

[3] Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 436 tháng 10 năm 2013

[4] Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Phổ thông năng khiếu, ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh năm học: 2016 – 2017

[5] Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thông chuyên Hùng Vương, tỉnhPhú Thọ năm học 2017 – 2018

[6] Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thông chuyên Thành phố Hồ ChíMinh năm học 2017 – 2018

[7] Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc năm học 2016 – 2017

[8] Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên TP Hồ Chí Minh năm học 2015 – 2016.

[9] Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Thành Phố Hồ Chí Minh năm học

2018 – 2019

[10] Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Hà Tĩnh, năm học 2018 – 2019.

[11] Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 459 tháng 9 năm 2015

[12] Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 481 tháng 7 năm 2017

DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH HOẶC

CẤP CAO HƠN XẾP TỪ LOẠI C TRỞ LÊN

TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá

xếp loại

Kết quảđánh giáxếp loại

Năm học đánhgiá xếp loại

1 Một số ứng dụng của

việc sắp thứ tự các số

hạng

Sở Giáo dục vàĐào tạo tỉnhThanh Hóa

CTheo Quyếtđịnh số59/QĐ-SGDĐT ngày24/2/2006

2004 -2005

2 Hướng dẫn hs lớp 10

áp dụng Định lý đảo

về dấu của tam thức

bậc hai trong giải

toán

Sở Giáo dục vàĐào tạo tỉnhThanh Hóa

CTheo Quyếtđịnh số462/QĐ-SGDĐT ngày19/12/2007

CTheo Quyếtđịnh số

2008 - 2009