ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT NGẪU NHIÊN TRONG HIỆN TƯỢNG HUỲNH QUANG CỘNG HƯỞNG

34 2.5 Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào độ lệch cộng hưởng Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào các giá trị khác nhau của tần số Rabi trong cộng hưởng chính xác   0 với 01... Sự phụ thuộc của ph

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

BÙI ĐÌNH NAM

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT NGẪU NHIÊN ĐỂ KHẢO SÁT HIỆN TƯỢNG HUỲNH QUANG CỘNG HƯỞNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

THANH HÓA, NĂM 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

BÙI ĐÌNH NAM

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT NGẪU NHIÊN ĐỂ KHẢO SÁT HIỆN

TƯỢNG HUỲNH QUANG CỘNG HƯỞNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 60.44.01.03

Người hướng dẫn khoa học: TS ĐOÀN QUỐC KHOA

THANH HÓA, NĂM 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố.

Tác giả

Bùi Đình Nam

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình củathầy giáo TS ĐOÀN QUỐC KHOA Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhấtđối với thầy – Người đã đặt vấn đề, trực tiếp hướng dẫn và giúp đỡ tôi về mọimặt cả kiến thức cũng như phương pháp nghiên cứu để hoàn thành luận vănnày

Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trường Đại họcHồng Đức đã tạo điều kiện và truyền thụ kiến thức giúp tôi hoàn thành khóahọc

Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến GS.TSKH CAO LONG VÂN đã

có nhiều đóng góp và chỉ dẫn quý báu giúp tôi hoàn thành luận văn của mình

Cuối cùng tôi xin cảm ơn tập thể lớp K1 Vật lý lý thuyết và vật lý toántrường Đại học Hồng Đức đã giúp đỡ tôi một số lĩnh vực trong quá trình hoànthành luận văn

Thanh hóa, tháng 9 năm 2015

Tác giả

Bùi Đình Nam

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN TRONG QUANG HỌC LƯỢNG TỬ 5

1.1 Các mô hình ngẫu nhiên của laser 5

1.1.1 Laser đơn mốt với thăng giáng pha và biên độ 5

1.1.2 Mô hình laser với thăng giáng bơm 8

1.1.3 Laser đa mốt và ánh sáng hỗn loạn 9

1.2 Nhiễu tiền Gauss và ứng dụng 10

1.2.1 Các khái niệm cơ bản 10

1.2.2 Nhiễu tiền Gauss, phương trình Chapman-Komogorow-Smoluchowski .13

1.2.3 Phương trình Burshtein cho trung bình phụ 18

1.2.4 Trường hợp tuyến tính 19

1.3 Kết luận 22

Chương 2 PHỔ HUỲNH QUANG CỘNG HƯỞNG VỚI VẬN TỐC KHÍ ĐỆM CÓ GIÁ TRỊ KHÔNG ĐỔI 23

2.1 Lý thuyết cơ sở của huỳnh quang cộng hưởng 23

2.2 Phổ Mollow ảnh hưởng bởi thăng giáng va chạm được mô hình hóa bằng nhiễu tiền Gauss một điện tín 26

2.2.1 Phương trình Bloch quang học với thăng giáng va chạm 27

2.2.2 Phổ huỳnh quang cộng hưởng với vận tốc khí đệm không đổi 29

2.3 Kết luận 38

Chương 3 PHỔ HUỲNH QUANG CỘNG HƯỞNG VỚI VẬN TỐC KHÍ ĐỆM TUÂN THEO PHÂN BỐ MAXWELL-BOLTZMANN 39

3.1 Phổ huỳnh quang cộng hưởng 39

3.2 Kết luận 46

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ 56

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

1.1 Sơ đồ các mô hình mô tả độ rộng đồng nhất 61.2 Các đường đi khác nhau của một quá trình ngẫu nhiêncho trước z(t). 11

2.1 Đo cường độ tổng của ánh sáng huỳnh quang 242.2 Ghi lại sự phân bố phổ của ánh sáng huỳnh quang 24

2.3

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào tần số Rabi trong

cộng hưởng chính xác khi không có thăng giáng va

chạm b1  0 0

33

2.4 Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào thăng giáng va chạm

1

b với b1  5 0, E  0 2 trong cộng hưởng chính xác 34

2.5 Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào độ lệch cộng hưởng

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào các giá trị khác nhau

của tần số Rabi trong cộng hưởng chính xác (  0) với

01 0

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào các giá trị khác nhau

của tần số Rabi trong cộng hưởng chính xác (  0) với

01 0

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào các giá trị khác nhau

của độ lệch cộng hưởng  với k e  0 01, n r  0 9,

2 0

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào các giá trị khác nhau

của độ lệch cộng hưởng  với k e  0 2, n r  0 9, E  0 2

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào các giá trị khác nhau

của độ lệch cộng hưởng  với k e  0 2, n r  0 9, E  0 4

  , k  e 0.01, n r  0 9,  E 0.2 và V 2 443.8

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào các giá trị khác nhau

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các hiện tượng cộng hưởng của một hệ dao động chính là sự tăng rõ rệtcủa một số đại lượng đặc trưng khi hệ chịu tác động của một kích thích cócùng tần số hoặc có tần số rất gần với tần số riêng của hệ Cộng hưởng quanghọc là một trong những vấn đề quan trọng của quang lượng tử Trong đó, vấn

đề được nhiều nhà khoa học quan tâm là hiện tượng huỳnh quang cộng hưởng(HQCH)

Hiện tượng HQCH đã được nghiên cứu từ rất sớm cả trong lý thuyếtlẫn thực nghiệm Một thí nghiệm mở đầu được thực hiện bởi Wood năm

1913 Nhiều thông tin phổ học như: Cấu trúc tinh tế, cấu trúc siêu tinh tế, thờigian sống bức xạ, đã thu được bởi các thí nghiệm HQCH của Corney [11]

Có thể tưởng tượng HQCH là bức xạ của các nguyên tử đặt trongtrường của ánh sáng đơn sắc Đầu tiên HQCH được nghiên cứu ở giới hạntrường điện từ yếu, tức cường độ của trường kích thích thấp Trong trườnghợp này, phổ huỳnh quang có dạng hàm delta [27]

Vào đầu thập niên 60 của thế kỷ XX, với sự ra đời của laser và sự pháttriển không ngừng của nó đã tạo ra những laser có công suất lớn và độ đơnsắc cao ở trong hầu hết các vùng của phổ quang học Các tính chất đặc biệtcủa bức xạ laser đảm bảo cho những điều kiện thực nghiệm mới trong việcnghiên cứu HQCH ở các vùng tần số khác nhau của sóng tới trong giới hạntrường mạnh [9] Hiện tượng HQCH trong giới hạn trường mạnh đã đượcnghiên cứu bằng lý thuyết lần đầu tiên vào năm 1969 bởi Mollow [40] Dướitác dụng của trường mạnh, trong phổ huỳnh quang của nguyên tử ngoài vạchtrung tâm có cường độ mạnh nhất còn xuất hiện hai vạch phụ Vấn đề đượcquan tâm liên quan đến hiện tượng này là việc xác định độ rộng của ba vạch

và độ cao tương ứng của chúng Tỉ lệ đúng giữa độ cao của vạch trung tâm vàhai vạch bên này là 1:3:1 đã được tìm ra bằng lý thuyết bởi Mollow [40]

Schuda và các cộng sự lần đầu tiên quan sát được phổ Mollow [45] và kết quảthực nghiệm đầu tiên đã được xác nhận bởi [60] Việc nghiên cứu phổ ba đỉnhtrong khuôn khổ điện động lực học lượng tử cũng đã được thực hiện Cáccông trình nghiên cứu này đều dùng phương pháp gần đúng sóng quay, tức làdịch chuyển Bloch-Siegert đã được bỏ qua Khi ta để ý đến dịch chuyển nàythì phổ huỳnh quang sẽ bất đối xứng Sau đó, một số nhà vật lý đã sử dụngcác phương pháp khác nhau và phép gần đúng dựa trên sự lượng tử hoátrường để nghiên cứu lý thuyết HQCH [8],[32],[39],[42],[48],[49].

Các công trình ở trên được xem xét với trường hợp laser đơn sắc, màlaser thực không bao giờ đơn sắc hoàn toàn Vì vậy, việc xem xét các hiệntượng quang học với giả thiết này là hoàn toàn mang tính học thuật Trong thực

tế, người ta cần nghiên cứu ảnh hưởng của độ rộng phổ laser đến các hiệntượng khác nhau Nếu nghiên cứu cơ chế hiện tượng trong khuôn khổ lý thuyếtlượng tử, tính toán sẽ phức tạp, thường làm lu mờ bản chất vật lý của hiệntượng Vì vậy các trường laser thường được mô hình hóa bằng các quá trìnhngẫu nhiên Đối với hầu hết các bài toán trong quang học lượng tử, laser đượcnghiên cứu như một nguồn ngoài đối với hệ nguyên tử Khi đó các phươngtrình động lực học chứa các tham số trường như pha, biên độ hoặc mật độ trởthành các phương trình vi phân ngẫu nhiên Việc lấy trung bình các phươngtrình vi phân ngẫu nhiên cho chúng ta cơ hội để phản ánh sự ảnh hưởng cácthăng giáng laser vào các đại lượng của nguyên tử mà chúng ta xem xét Đây làmột trong những bài toán trung tâm của quang học lượng tử xuất phát từ cáccông trình nghiên cứu đầu tiên của Eberly [16] và Agarwal [2]

Chúng ta biết rằng, việc tìm nghiệm chính xác cho các phương trìnhngẫu nhiên tổng quát thường là bất khả thi Tuy nhiên, có thể sử dụng mộttrong những mô hình ngẫu nhiên hữu ích nhất, đó là quá trình tiền Gauss [18],[59],[66] Nhiễu tiền Gauss được định nghĩa là tổng của một số hữu hạn cácnhiễu điện tín Phương pháp này có khả năng tìm được trung bình giải tíchchính xác ngay cả trường hợp bài toán có độ phi tuyến cao Hơn nữa, nhiễu

tiền Gauss tiệm cận rất tốt với nhiễu Gauss Trong những ứng dụng cụ thể củaquang học lượng tử, nhiễu tiền Gauss chỉ cần chứa một vài nhiễu điện tíncũng gần đúng hoàn toàn với nhiễu Gauss [31],[56],[57],[58],[59] Như vậy,nhiễu tiền Gauss cho chúng ta triển vọng để xem xét ảnh hưởng của nhiễuGauss khi các phương pháp gần đúng khác không thực hiện được Hơn nữa

do tính hội tụ nhanh của nhiễu này đến nhiễu Gauss, chúng tôi mong đợi rằngphương pháp này cho kết quả chính xác hơn các phương pháp gần đúng khác.Phương pháp nhiễu tiền Gauss một điện tín đã được sử dụng để nghiên cứuphổ HQCH đối xứng và bất đối xứng [31],[57] Với mong muốn mở rộng phổHQCH cho trường hợp bất đối xứng dưới ảnh hưởng của các va chạm được

mô hình hoá bởi nhiễu điện tín và sau này có thể tiếp tục đi sâu vào lĩnh vực

quang lượng tử hay vật lý laser, chúng tôi đã chọn "Ứng dụng lý thuyết ngẫu nhiên để khảo sát hiện tượng huỳnh quang cộng hưởng" làm đề tài luận văn

thạc sĩ Hy vọng rằng chúng tôi sẽ đưa ra được các kết quả mới mang tínhtổng quát đối với sự phụ thuộc của các đại lượng khảo sát vào cường độ cũngnhư vào thông số nhiễu của trường ngoài

2 Mục đích nghiên cứu

Thu được biểu thức giải tích chính xác của phổ HQCH phụ thuộc vào

độ lệch cộng hưởng với vận tốc của khí đệm có giá trị không đổi trong trườnghợp các va chạm trong hệ nguyên tử được mô hình hóa bởi nhiễu tiền Gaussmột điện tín

Thu được biểu thức giải tích chính xác của phổ HQCH phụ thuộc vào

độ lệch cộng hưởng với vận tốc của khí đệm tuân theo phân bố Boltzmann trong trường hợp các va chạm trong hệ nguyên tử được mô hìnhhóa bởi nhiễu tiền Gauss một điện tín

Maxwell-Khảo sát sự phụ thuộc của các phổ HQCH vào các thăng giáng vachạm

3 Phương pháp nghiên cứu

Để thu được biểu thức giải tích chính xác của phổ HQCH tác giả sửdụng phương pháp nhiễu tiền Gauss Phương pháp này có ưu điểm là có khảnăng tìm được trung bình giải tích chính xác ngay cả trường hợp bài toán có

độ phi tuyến cao Hơn nữa, nhiễu tiền Gauss tiệm cận rất tốt với nhiễu Gauss.Nhiễu tiền Gauss chỉ cần chứa một vài nhiễu điện tín cũng gần đúng hoàntoàn với nhiễu Gauss

Để thực hiện tính số và vẽ đồ thị tác giả sử dụng một số phềm mềmchuyên dụng như: Maple, Mathematica hoặc Matlab

Chương 1.

CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN TRONG QUANG HỌC LƯỢNG TỬ

1.1 Các mô hình ngẫu nhiên của laser

1.1.1 Laser đơn mốt với thăng giáng pha và biên độ

Lý thuyết laser được xây dựng trong khuôn khổ lý thuyết lượng tử vềtương tác của trường điện từ với hệ vật chất Xuất phát từ bức tranh vi mô cóthể dẫn đến mô hình ngẫu nhiên của ánh sáng laser Tất cả các tham số đặctrưng của các quá trình ngẫu nhiên mô tả trường laser có thể được xác địnhbởi một lý thuyết vi mô đầy đủ Việc xem xét chi tiết hơn lý thuyết này cho ta

mô hình trong đó trường bức xạ phát ra bởi laser được mô tả bằng một biên

độ phức:

      i  t

e t





  0  , (1.1)trong đó  0 là hằng số,  t và  t là các quá trình ngẫu nhiên độc lập nhau

Lý thuyết mô tả độ rộng phổ đồng nhất dựa trên lược đồ hình 1.1 [44].Bây giờ ta giả thiết rằng trong khuôn khổ lý thuyết lượng tử, hệ mà ta quantâm được mô tả bằng tập hợp các toán tử  l l1,l2, ,l,  Chẳng hạn, đối vớitrường bức xạ đơn mốt  l l,l với l và l tương ứng là toán tử hủy và toán

tử sinh photon Còn đối với nguyên tử hai mức là mô hình của nguyên tửtrong môi trường hoạt, ta có  l  ,   , z

 , trong đó  và 

 là tổ hợp củacác ma trận Pauli [3] Bây giờ chúng ta đưa vào một tập các toán tử mô tả bểnhiệt  m  m1,m2, ,m,  Lấy ví dụ cho trường hợp bức xạ nhiệt, m có thể

là các toán tử hủy và sinh của các lượng tử trường với năng lượng    NếuHamilton tương tác chỉ chứa các số hạng lưỡng tuyến tính, thì các phươngtrình Heisenberg mô tả tiến triển của hệ là tuyến tính đối với các biến  l ,  m Lúc đó ta có thể bỏ qua  m và các phương trình thu được chỉ chứa các toán

tử  l và các giá trị ban đầu của các toán tử  m :

 

 l G  m 0 

f dt

dl

i i

Hình 1.1 Sơ đồ các mô hình mô tả độ rộng đồng nhất.

Các giá trị cụ thể của các toán tử m i 0 không được biết trước, song từ cáctính chất của hệ bể nhiệt cho trước ta có thể biết được các tính chất thống kêcủa chúng và từ đó ta có các tính chất thống kê của các lực G i Nói chungviệc phân tích chính xác các tính chất thống kê này không thực hiện được.Song thời gian tương quan thực của các hàm G i t thường nhỏ so với tất cảcác thời gian đặc trưng khác của hệ được xét Vì vậy ta giả thiết rằng hàmtương quan hai thời gian đối với các lực có dạng:

   t G t' 2 t t'

BơmPumping

Khi đó phương trình (1.2) tương tự với phương trình Langevin của lý thuyếtchuyển động Brown [50] Phương pháp trên đã được Haken dùng trong lýthuyết laser với sự mở rộng đồng nhất [26].

Bằng các phương pháp gần đúng tiếp theo ta thu được phương trình chotrường laser phức (1.1) Với sự tuyến tính hóa lời giải dừng dẫn đến cácphương trình kiểu Langevin không phụ thuộc vào nhau đối với pha và biên độ:

 t G

   ' 2 exp '

t x t

x      (1.6)Trên cơ sở (1.6) và tính chất Gauss của x t ta có thể chỉ ra rằng quá trìnhOrnstein–Uhlenbeck là một quá trình Markov [14] Thông thường các thănggiáng của biên độ rất nhỏ so với những thăng giáng pha Do đó, trong mô tảlaser đơn mốt người ta thường bỏ qua các thăng giáng biên độ Mô hình nhưvậy được gọi là mô hình khuếch tán pha [14]

Phần trên đã trình bày hình thức luận dẫn đến sự mở rộng đồng nhấtcủa laser Khi tính đến cả sự mở rộng không đồng nhất, cần phải lấy trungbình các kết quả cuối cùng theo phân bố thống kê của tham số tương ứng cótrong các phương trình động lực học liên quan đến tính không đồng nhất củamôi trường hoạt tính Trong việc mô tả laser khí, tham số này là vận tốcnguyên tử với phân bố Maxwell

1.1.2 Mô hình laser với thăng giáng bơm

Trong những năm 70 của thế kỷ trước người ta vẫn nghĩ rằng lý thuyếtlaser được phát triển đồng thời tại ba địa điểm: Trường phái Lamb [26], BellTelephone Laboratories [38] ở Mỹ và Nhóm Haken [44] ở Stuttgart (Đức) mô

tả rất tốt các tính chất kết hợp của ánh sáng laser Tuy nhiên năm 1981Mandel và các cộng sự [29],[46] đã chỉ ra rằng, trong thực nghiệm với lasermàu đơn mốt các hiện tượng thăng giáng quan sát thấy có những đặc điểmkhác biệt so với những tiên đoán của các mô hình chuẩn [38],[44] Kaminishi

và cộng sự [29] đã dùng lý thuyết Haken để mô tả các kết quả thực nghiệmcủa họ Lý thuyết Haken dẫn đến phương trình cho biên độ phức của trường:

 t  t G    t

   1 2  , (1.7)với  là tham số bơm, G1  0 là tham số bảo hòa của môi trường hoạt tính, môitrường này gây ra sự ổn định của laser hoạt động trên ngưỡng và  t là nhiễutrắng, mô tả các thăng giáng chân không hay phát xạ tự phát (hình 1.1) Mặc

dù, phương trình (1.7) không phù hợp để giải thích các kết quả thực nghiệm[29] Tuy vậy, đây là lần đầu tiên người ta đã đề xuất rằng các thăng giáng bơm(hình 1.1) có thể đóng một vai trò quan trọng trong laser màu đơn mốt Thựchiện những ý tưởng này Graham và những cộng sự [25] đã giả thiết rằng tham

số bơm  là nhiễu trắng và bỏ qua  t trong phương trình (1.7) Từ giả thiếtnày, thay cho quá trình cộng ta có quá trình nhân [20] Khi đó các phương trìnhnày có thể giải được chính xác bằng phương pháp giải tích Bằng cách nàyngười ta đã giải thích tốt các kết quả thực nghiệm trong [29]

Như đã trình bày trong [46], lý thuyết này vẫn chưa mô tả tốt một sốkết quả thực nghiệm khác Họ đã thay nhiễu trắng bằng nhiễu màu, vì thờigian hồi phục của nhiễu bơm có thể không đủ nhỏ khi so với các thời gian đặctrưng khác của hệ laser màu Song lúc đó phương trình:

     

 t  t  G1 2 , (1.8)

không giải được bằng giải tích Lý thuyết về nhiễu màu được phát triển tốt[35], nhưng chỉ trong trường hợp đặc biệt nó mang lại những lời giải chínhxác bằng giải tích Dixit và Sahmi [12] đã giải lặp trên máy tính nhiễu màu vàthu được các kết quả hợp với thí nghiệm của Short và cộng sự.

1.1.3 Laser đa mốt và ánh sáng hỗn loạn

Chúng ta xem xét một cơ chế dẫn đến sự mở rộng của ánh sáng laser.Trong laser đa mốt, biên độ phức của trường bức xạ có dạng [69]:

t i

k e k k t

, k là các biên độ không đổi và k là các pha ngẫu nhiên độc lập nhau Tachấp nhận một giả thiết tự nhiên là các pha này được phân bố đồng đều trongđoạn 0 , 2  Từ các tính chất của pha k ta có

t t i

k e k t

dt t v t i dt t v t i

t t

I

1

2 2

'

z J

z J

z , (1.13)khi k  0 ta tìm được

   

            

dtdt t v t t t v t

v t

Vậy, ở giới hạn vô cùng của số mốt, v t ,v* t  là hàm đặc trưng của quátrình Gauss, (t) là quá trình Gauss Chúng ta không biết được dạng tườngminh của hàm tương quan  * (t)  (t' ) Để tính toán nó ta phải biết được mốiliên hệ giữa k và k Nó thường được giả thiết rằng [22],[23],[68]

1.2 Nhiễu tiền Gauss và ứng dụng

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản

Trước khi giới thiệu khái niệm về nhiễu tiền Gauss, chúng ta trình bàymột số khái niệm cơ bản đã được trình bày chi tiết trong các sách chuyênkhảo [4],[15]

Chúng ta hãy xem xét biến ngẫu nhiên z với phân bố xác suất P z

trong một không gian trạng thái [52] Các đại lượng

 z z dz P

z

n   (1.16)được gọi là các mômen Còn biến đổi Fourier của phân bố P z

n n

iJ

x

F (1.18)Cumulant được định nghĩa như sau

n n

iJ

J X

j n j

j n j

n F

!

! 1

! 1

, 1

(1.20)

Chúng ta có thể mở rộng các định nghĩa trên cho các quá trình phức đa chiều.

Quá trình ngẫu nhiên thực (phức) là tập hợp các biến số ngẫu nhiên với

các giá trị thực (phức) được đánh số bằng một tham số liên tục t Nếu chia

thời gian ra các khoảng nhỏ, ta sẽ thu được các đường đi khác nhau cho quátrình này (hình 1.2)

Hình 1.2 Các đường đi khác nhau của một quá trình ngẫu nhiên cho trước z(t).

 

z t  Dz t Pz t Gz t 

trong đó tích phân ở vế phải được lấy theo tất cả các đường đi của quá trình

Để mô tả đầy đủ quá trình z t ta chỉ cần biết phiếm hàm đặc trưng [21]

t J J i J s z s ds i J s z s ds X

0

*

* 0

với J t là một hàm bất kỳ Tương tự với (1.18) mômen tương ứng của quátrình này là

 1   01

n n

n n

t iJ t iJ

J X t

z t z t t F

n n

n

t iJ t iJ

t J t

t O







, (1.27)với

 J  J t  

X exp  (1.28) Như một ví dụ của quá trình ngẫu nhiên, chúng ta xem xét trường hợp nhiễuđiện tín [33], trong đó x có thể nhận hai giá trị l và  l, và xác suất đổi dấutrong khoảng thời gian t,t t bằng t/ 2    t:

n n n

1

2

1 t t

e l t z t

z    (1.31)Đối với các mômen bậc cao chúng ta có công thức hồi quy như sau

t t

t ile J t l e J t J s X J ds t

J X

0

/ 2

, (1.33)phương trình này tương đương với phương trình vi phân bậc hai

t

X t J dt

d t

X

với các điều kiện đầu

 0 ,

    0  0 

2

1

l l l l l

P       (1.36)Khi đó l  0, 2

e l t

X

s

t s t t

0



, (1.37)còn phương trình (1.34) không thay đổi, chỉ có điều kiện ban đầu là khácnhau:

t J t

X

t s

t s t

n t

0

0

/ 2

1

2 1

Trong phần đầu của chương này ta thấy rằng phiếm hàm đặc trưng củaphân bố xác suất Pz t  tương đương với vô số các hàm phân bố

j

j t t J t

1

Hình 1.3 Nhiễu tiền Gauss gồm ba điện tín.

Khái quát hóa công thức (1.17) cho trường hợp đa chiều, chúng ta thấyrằng P n là biến đổi nghịch đảo Fourier của hàm (1.45)

; ;

;

2 2 1

1

1 1

2 2 1 1

1

n n

n J

i n n

n n

t z t

z t

z

dJ dJ e

J J X t

t t

P

n j j j

2 1 1

;

t P

t t P t

t P

cho t 1 t2 Khái quát hóa định nghĩa này cho trường hợp tổng quát ta có

n n n

n

t t

P

t t

t P t t

t P

2 2

2 2 1 1 2

2 1

Hàm tương quan tùy ý có dạng:

 , , 

1

1 2

2 1 1 2

1 1

n n n n

n

n n

n n

n

t t P d d

z P t

z t

z t

z d

d d Dz t

Bây giờ chúng ta quay trở lại trường hợp nhiễu điện tín Để phân biệttrường hợp này đối với quá trình liên tục, ta thay đổi ký hiệu  i i Sử dụngđịnh lý [33]

 

          z t

l

l f l f l f l f t z f

2 2

J l J t

z iJ t

z iJ J

1 4 1

, 2

2

;

/ 2

2 1

1 2

2 2

1 1

2 1 2

1 2

2 1

1

2 1

2 2 1

J J i

e l

l l

l i

l l

l l

J J X e

dJ dJ t

e e

t t

2 1 1 1

2 2 1

2

1 2

1

t t P t

t P t

t t P

 n P  P n

P1, 2, ,   1  (1.58)Phương trình (1.57) dẫn đến

, , , , ,

2

1 , ,

2

, ,

1 2

1 1

1

ở đây để đơn giản chúng ta bỏ qua một phần các tham số Sử dụng sự tương tựgiữa nhiễu tiền Gauss (1.39) và hệ spin 1 / 2, chúng ta có thể viết lại phương trình(1.59) theo một cách khác thuận lợi hơn Chúng ta hãy ký hiệu  là độ dài của

! 2 2

n P

Lúc đó dựa vào (1.59) ta có

 0 0  0 0  0 0  2 , 0 0  0 0

2 ,

2 2

2

n t t P n

n n t t P n t

1.2.3 Phương trình Burshtein cho trung bình phụ

Bây giờ chúng ta xét phương trình

0

1 exp i dsM z s t T

0

1 1 1

1 1

   ds G t t

dt

s t dG ds

s t G dt

,

, ,

số bài toán quang học lượng tử Hình thức luận này được phát triển một cáchđầy đủ ở các công trình [18],[66] Khi xét trạng thái suy biến  , ta có thể địnhnghĩa trung bình phụ dưới dạng:

n t n

n T

n t T

n iM

t

2 , 2 2

, ,

1 1

nó có một số phần tử bị triệt tiêu Bằng cách lấy các tổ hợp thích hợp cho cácđại lượng trung bình phụ, chúng ta có thể giảm đáng kể số chiều của ma trậntrong những trường hợp cụ thể

Như được nhấn mạnh trong các phần trước, ánh sáng laser có thể được

mô tả bởi quá trình Ornstein-Uhlenbeck Lúc đó người ta có thể xấp xỉ quátrình này bởi nhiễu tiền Gauss Đối với nhiễu tiền Gauss, chỉ cần lấy một vàinhiễu điện tín cũng hoàn toàn tiệm cận với quá trình Ornstein-Uhlenbeck Lúc

đó phương trình (1.69) sẽ giải được giải tích chính xác Như vậy nhiễu tiềnGauss cho ta khả năng nghiên cứu một cách giải tích ảnh hưởng của các nhiễuGauss lên các hệ động lực học, ngay cả khi chúng phụ thuộc phi tuyến vàocác nhiễu này

và G2 không thỏa mãn các quy tắc giao hoán Một phương pháp rất hiệu quả

để giải quyết vấn đề này là phương pháp đại số Lie được đưa ra bởi Kus' [35].Một quy trình gần đúng đối xứng được biểu diễn trong khuôn khổ của phươngpháp cumulant, được phát triển bởi Van Kampen, Fox và Kubo [21],[34],[52].Với sự trợ giúp của khai triển cumulant, ta có thể tìm được dạng của phươngtrình vi phân cho giá trị trung bình:

 t G O t O  t   t dt

ở đây số hạng riêng O i t có bậc là  i

C

 Nếu chúng ta giả thiết rằng z t làmột quá trình Markov [13], khi đó dựa vào phương trình Chapman-Komogorow-Smoluchowski, người ta có thể chuyển bài toán trung bình bất

kỳ thành hệ ma trận vô hạn của các phương trình vi phân thường, chúng cóthể giải bằng phương pháp phân số chuỗi Dạng nghiệm của phương trình chođại lượng trung bình  t là:

G dt

2 0 2

1

2 0 2

2

2 1

~

G G G x

G G x

G x O

dt

dG t z G t z G

t z

dt

k t k t



1

, (1.74)trong đó G t là một hàm phụ thuộc thời gian bất kỳ của z k t Sự áp dụng nhiềulần tính đồng nhất này dẫn đến phương trình

 

  



 G1 iz t G2dt

, (1.75)cùng việc sử dụng các tính chất của quá trình điện tín z k l  2 /n L/n

0

2 0 2







dẫn đến quan hệ hồi quy sau

1 2

j dt

  2

2 1

2 1

2

2

1 2

1

/

~

G G G x

G n

n G

x

G x O

L L

Bằng cách so sánh công thức (1.78) với (1.73) chúng ta thấy được sự tương

đồng lớn giữa hai kết quả, mặc dù chúng khác nhau các thừa số dạng

n

j

n 

,xuất hiện trong (1.77) trước số hạng tiếp theo trong phân số chuỗi Khi





M những thừa số này dẫn đến phần tử đơn vị, giải thích cho sự hội tụcủa nhiễu tiền Gauss đến quá trình Ornstein-Uhlenbeck Như đã được trìnhbày trong [13], chỉ cần lấy một vài số hạng đầu tiên của phân số chuỗi cũng

đủ để hội tụ tốt đến quá trình Ornstein-Uhlenbeck Do đó đối với bài toántuyến tính này, chỉ cần một vài nhiễu điện tín cũng có thể gần đúng rất tốt vớiquá trình Ornstein-Uhlenbeck

Đối với nhiễu một điện tín (1.78) cho ta

G x

1

~

2 1

2 0 2 1

l G G x

2 1

 (1.83)

Ở đây chúng ta đi đến một kết quả quan trọng trong lý thuyết của quá trìnhngẫu nhiên:

 t G G   t dt

a z t M z t M M

dt

d

, (1.85)trong đó M 0, M 1, M 2 là các ma trận xác định Khi đó ta có [53],[62]:

M dt

Chương tiếp theo, chúng tôi sẽ nghiên cứu chi tiết hiện tượng HQCHvới các va chạm của khí đệm được mô hình hóa bởi nhiễu điện tín

Chương 2.

PHỔ HUỲNH QUANG CỘNG HƯỞNG VỚI VẬN TỐC KHÍ

ĐỆM CÓ GIÁ TRỊ KHÔNG ĐỔI

Như đã được nhấn mạnh trong các phần trước, để tìm được lời giảichính xác cho các phương trình vi phân ngẫu nhiên tổng quát là một nhiệm vụrất khó khăn Vì vậy, để tìm được lời giải chính xác cho các phương trình này,chúng ta phải sử dụng các phương pháp gần đúng Một trong những phươngpháp gần đúng hữu ích nhất là phương pháp tiền Gauss Nhiễu tiền Gauss baogồm một số hữu hạn các nhiễu điện tín ngẫu nhiên Sử dụng hình thức luậnnhiễu tiền Gauss có thể tìm được nghiệm chính xác của một lớp rộng cácphương trình vi phân ngẫu nhiên Ở đây, chúng tôi sử dụng trường hợp nhiễutiền Gauss một điện tín để khảo sát phổ HQCH dưới ảnh hưởng của va chạmđược mô hình hóa bởi nhiễu một điện tín với vận tốc khí đệm là hằng

2.1 Lý thuyết cơ sở của huỳnh quang cộng hưởng

Hiện tượng HQCH cung cấp cho ta những vấn đề thú vị của lý thuyếtlượng tử về ánh sáng tương tác với vật chất Các vấn đề của HQCH đã đượcnghiên cứu cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm Thực nghiệm đầu tiên được thựchiện bởi Wood vào năm 1913 Nhiều thông tin phổ học ví dụ hệ số g, cấutrúc tinh tế hoặc siêu tinh tế, thời gian sống bức xạ, đã thu được từ các thựcnghiệm HQCH [11]

Đầu tiên, HQCH được nghiên cứu trong giới hạn của trường điện từyếu tức cường độ của chùm kích thích thấp [27] Với sự phát triển của lasercho ta một động lực mới trong việc nghiên cứu các vấn đề này Các tính chấtđặc biệt của laser như tính đơn sắc, cường độ lớn, đảm bảo các điều kiệnthực nghiệm mới cho việc nghiên cứu về HQCH trong các vùng khác nhaucủa tần số sóng tới và trong giới hạn của trường điện từ mạnh [9] Thôngthường các thí nghiệm được trình bày theo hai kiểu sau đây:

• Các nguyên tử được chứa trong một ô, đặt trong một trường tĩnh B0

và được chiếu xạ bằng chùm laser phân cực vuông góc với trường này Dùngmột bộ nhân quang để đo ánh sáng huỳnh quang, có cường độ tổng L F phát raphân cực theo một hướng xác định (hình 2.1)

Hình 2.1 Đo cường độ tổng của ánh sáng huỳnh quang.

• Một chùm nguyên tử được chiếu xạ vào góc phải bởi một chùm laser.Dùng một quang phổ kế để ghi lại sự phân bố phổ J( )  của ánh sáng huỳnhquang theo hướng vuông góc với mặt phẳng chứa các chùm nguyên tử vàlaser (hình 2.2)