Một số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebra (Luận văn thạc sĩ)

Một số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebraMột số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebraMột số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebraMột số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebraMột số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebraMột số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebraMột số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebraMột số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebraMột số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebraMột số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebraMột số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebraMột số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebraMột số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebraMột số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebraMột số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebra

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS TẠ DUY PHƢỢNG

THÁI NGUYÊN - 2019

Möc löc

Ch÷ìng 1 MËT SÈ L›NH

CÌ BƒN CÕA GEOGEBRA TRONG TNH TON SÈ HÅC,

1.1 C i °t v  sû döng ph¦n m·m Geogebra 5

1.1.1 Giîi thi»u ph¦n m·mGeogebra 5

1.1.2 C i °t ph¦n m·m 6

1.1.3 Mët sè chùc n«ng ch½nh 7

1.1.4 Mët sè h m to¡n håc trong Geogebra 8

1.2 Mët sè l»nh cì b£n cõa Geogebra trong sè håc v  lþ thuy¸t sè 9 1.2.1 C¡c l»nh li¶n quan ¸n sè nguy¶n tè 9

1.2.2 C¡c l»nh li¶n quan ¸n ph²p chia v  sè d÷ 11

1.2.3 C¡c l»nh v· ¤i l÷ñng trung b¼nh 21

1.2.4 C¡c c¥u l»nh Lægic 22

1.2.5 Geogebra vîi ¤i sè 23

1.2.6 Geogebra vîi Gi£i t½ch 33

Ch÷ìng 2 SÛ DÖNG GEOGEBRA TRONG MËT SÈ CHUY–N — LÞ THUY˜T SÈ, „I SÈ, GIƒI TCH 40 2.1 Ph¥n t½ch mët sè ra thøa sè nguy¶n tè 40

2.1.1 T¼m sè nguy¶n tè d¤ng 1000 01 40

2.1.2 Kiºm tra sè nguy¶n tè Mersenne d¤ng 2p− 1 51

2.1.3 Kiºm tra sè nguy¶n tè Fermat d¤ng 22n+ 1 55

2.1.4 Ph¥n t½ch c¡c sè d¤ng An = p2p3 pn − 2 ra thøa sè nguy¶n tè 57

2.2 Ph¥n t½ch a thùc th nh nh¥n tû 60

2.3 V³ ç thà h m sè 67

2.4 T½nh t½ch ph¥n 83

2.4.1 T½nh t½ch ph¥n tr¶n Geogebra 83

2.4.2 V· mët ph÷ìng ¡n d¤y t½ch ph¥n x¡c ành 91

LÍI NÂI †U

Do nhúng ÷u iºm v÷ñt trëi (mi¹n ph½, câ c i °t ti¸ng Vi»t, phõ h¦uh¸t ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng v  ¤i håc, giao di»n th¥n thi»n, ), Geoge-bra trong kho£ng 10 n«m trð l¤i ¥y ¢ ÷ñc phê bi¸n t¤i Vi»t Nam Nhi·ugi¡o vi¶n ¢ sû döng Geogebra trong thi¸t k¸ b i gi£ng, vi¸t c¡c s¡ng ki¸nkinh nghi»m v  c¡c chuy¶n · Tuy nhi¶n, ch÷a câ mët cuèn s¡ch n o vi¸tv· Geogebra, c¡c t i li»u tr¶n m¤ng th÷íng tªp trung v o h÷îng d¨n sû döngGeogebra, ch÷a câ nhi·u b i vi¸t v  t i li»u mang t½nh chuy¶n s¥u

Möc ½ch cõa Luªn v«n n y l  thuy¸t minh t½nh hi»u qu£ cõa Geogebra tronggi£i quy¸t mët sè v§n · cõa Sè håc v  L½ thuy¸t sè, ¤i sè v  Gi£i t½ch.Luªn v«n gçm hai Ch÷ìng

Ch÷ìng 1 tªp hñp mët sè l»nh cì b£n cõa Geogebra trong Sè håc v  L½ thuy¸t

sè, ¤i sè v  Gi£i t½ch, nh¬m thuªn ti»n cho Ch÷ìng 2 M°c dò ch÷a li»t k¶

¦y õ c¡c l»nh v  ch÷a minh håa h¸t c¡c kh£ n«ng sû döng Geogebra trong

Sè håc v  L½ thuy¸t sè, ¤i sè v  Gi£i t½ch, chóng tæi công hi vång Ch÷ìng 1 l 

t i li»u câ ½ch v  thuªn ti»n cho nhúng ai mîi b­t ¦u l m quen vîi Geogebra.Ch÷ìng 2 gçm bèn chuy¶n ·

Chuy¶n · 1 minh håa kh£ n«ng sû döng ch¿ mët l»nh ifactor cõa Geogebratrong t¼m hiºu v  gi£i quy¸t mët sè gi£ thuy¸t v· sè nguy¶n tè

Chuy¶n · 2 minh håa kh£ n«ng sû döng ch¿ mët l»nh factor cõa Geogebratrong ph¥n t½ch a thùc ra thøa sè

Câ thº coi Geogebra nh÷ mët cæng cö th½ nghi»m º t¼m ra quy luªt trongph¥n t½ch mët sè ra thøa sè nguy¶n tè ho°c ph¥n t½ch mët a thùc ra thøa sè.Chuy¶n · 3 minh håa kh£ n«ng sû döng Geogebra trong d¤y v  håc ph¦n

H m sè v  ç thà, mët ph¦n quan trång trong Ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng.Chuy¶n · 4 minh håa kh£ n«ng t½nh c¡c t½ch ph¥n khâ ch¿ b¬ng mët l»nh

TichPh¥n cõa Geogebra çng thíi chóng tæi công n¶u kh£ n«ng khai th¡cGeogebra v  Maple trong d¤y kh¡i ni»m t½ch ph¥n x¡c ành.

Trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n, tæi ¢nhªn ÷ñc nhi·u sü gióp ï cõa c¡c th¦y cæ, c¡c anh chà v  gia ¼nh Vîi t§t c£t§m láng ch¥n th nh, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi PGS TS T¤ DuyPh÷ñng ng÷íi ¢ tªn t¼nh gióp ï, ch¿ b£o, h÷îng d¨n tæi thüc hi»n nghi¶ncùu, gâp þ v  sûa chúa º tæi ho n thi»n luªn v«n n y

Tæi xin ch¥n th nh c¡m ìn c¡c Th¦y, Cæ gi¡o Tr÷íng ¤i håc Khoa håc

-¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t cho tæi ki¸n thùc trong suèt hain«m håc tªp, l  n·n t£ng cho tæi trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu luªn v«n, l  h nhtrang quþ b¡u theo tæi trong suèt cuëc íi

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c nh§t ¸n gia ¼nh th¥n y¶u cõa tæi,nhúng ng÷íi ¢ luæn ð b¶n tæi, õng hë ëng vi¶n v  l  ché düa vúng ch­c ºtæi y¶n t¥m håc tªp ho n th nh khâa håc n y

Cuèi còng tæi xin k½nh chóc quþ Th¦y, Cæ, Anh, Chà v  gia ¼nh dçi d osùc khäe, th nh cæng trong sü nghi»p!

Tæi xin ch¥n th nh c¡m ìn!

1.1.1 Giîi thi»u ph¦n m·mGeogebra

Geogebra l  ph¦n m·m ­c lüc trñ gióp gi£ng d¤y, håc tªp v  nghi¶n cùuto¡n håc Geogebra câ thº thüc hi»n ÷ñc h¦u h¸t c¡c t½nh to¡n to¡n håc trongch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng v  ¤i håc (sè håc, ¤i sè, gi£i t½ch, h¼nh håc,to¡n thèng k¶, .), do â r§t ti»n dòng trong gi£ng d¤y v  håc tªp, °c bi»ttrong gi£ng d¤y v  håc tªp theo ch÷ìng tr¼nh v  s¡ch gi¡o khoa mîi vîi ànhh÷îng ph¡t triºn n«ng lüc, khuy¸n kh½ch håc sinh tü håc, tü nghi¶n cùu.Mët trong nhúng ÷u iºm nêi trëi cõa Geogebra l  ph¦n m·m mi¹n ph½, v  câthº chuyºn êi ngæn ngú, th½ dö, tø ti¸ng Anh sang ti¸ng Vi»t ho°c ng÷ñc l¤i,

c i °t v  thao t¡c ìn gi£n, thuªn ti»n Câ thº l¶n m¤ng t£i Geogebra, t¼mhiºu c i °t v  sû döng qua c¡c b i vi¸t (ti¸ng Vi»t ho°c ti¸ng Anh) ho°c quac¡c t i li»u tr½ch d¨n ð cuèi luªn v«n

Geogebra ¢ ÷ñc giîi thi»u ð Vi»t Nam kho£ng 10 n«m trð l¤i ¥y, v  ¢ ÷ñcnhi·u gi¡o vi¶n (tø lîp 6 ¸n lîp 12 v  ¤i håc) sû döng trong b i gi£ng, trong

thüc hi»n c¡c s¡ng ki¸n kinh nghi»m gi£ng d¤y, ¤t hi»u qu£ tèt Câ thº sûdöng Geogebra º v³ h¼nh ëng, v³ ç thà, t½nh to¡n ho°c thüc hi»n c¡c thaot¡c to¡n håc phùc t¤p (ph¥n t½ch mët sè ra thøa sè nguy¶n tè, ph¥n t½ch athùc ra thøa sè, ìn gi£n biºu thùc, t½nh ¤o h m, t½ch ph¥n, lªp b£ng thèngk¶, .) m  khæng m§t nhi·u thíi gian.

Geogebra công ¢ ÷ñc ÷a v o Ch÷ìng tr¼nh Tin håc Trung håc Cì sð.Vîi Geogebra, câ thº h÷îng d¨n håc sinh l m c¡c nghi¶n cùu nhä nh÷ t¼m hiºumët sè gi£ thuy¸t v· sè nguy¶n tè, ho°c c¡c tr£i nghi»m quan h» giúa to¡n håc

v  thüc t¸ Th½ dö, câ thº sû döng gâi l»nh thèng k¶ º kh£o s¡t tr¼nh ë håctªp cõa håc sinh mët tr÷íng, ë tuêi trung b¼nh cõa d¥n sè mët x¢, vîinhúng dú li»u thüc v  b£ng dú li»u lîn,

1.1.2 C i °t ph¦n m·m

• V o http://www.geogebra.org/download º t£i ph¦n m·m v· m¡y.Sau khi c i °t, chån Run, GeoGebra s³ khði ëng ch÷ìng tr¼nh v  hi»n giaodi»n nh÷ h¼nh d÷îi

• Chuyºn sang ngæn ngú kh¡c, v½ dö, tø ti¸ng Anh sang ti¸ng Vi»t: nh¡y

v o Options tr¶n thanh cæng cö (menu), chån Language, chån R-Z, chånVietnamese/Ti¸ng Vi»t ÷ñc giao di»n ti¸ng Vi»t nh÷ h¼nh d÷îi

1.1.3 Mët sè chùc n«ng ch½nh

• Chån mæi tr÷íng l m vi»c: Khi khði ëng ch÷ìng tr¼nh s³ xu§t hi»nb£ng phèi c£nh dòng º lüa chån mæi tr÷íng l m vi»c gçm: ¤i sè v  çthà; H¼nh håc; V³ ç håa 3D; X¡c su§t thèng k¶, Mæi tr÷íng l m vi»c

÷ñc m°c ành trong luªn v«n l  ¤i sè v  ç thà Ta câ thº cho ©n/hi»n b£ngphèi c£nh b¬ng c¡ch click chuët v o biºu t÷ñng môi t¶n ð c¤nh ph£i cõa cûa

sê º chån l¤i mët mæi tr÷íng l m vi»c kh¡c Trong ch¸ ë ¤i sè v  ç thà

câ thanh Nhªp l»nh ð d÷îi còng cõa cûa sê dòng º nhªp l»nh trüc ti¸p khiv³ h¼nh, t½nh to¡n (H¼nh d÷îi)

Geogebra câ thº l m ÷ñc kh¡ nhi·u vi»c: sè håc, gi£i t½ch, h¼nh håc, thèng k¶

v  x¡c su§t °c bi»t, ÷u iºm nêi trëi cõa Geogebra l  vai trá cõa nâ trongtrñ gióp gi£ng d¤y h¼nh håc mët c¡ch trüc quan, h¼nh håc ëng, cho ph²p v³h¼nh, v³ thi¸t di»n v  xoay, t¼m quÿ t½ch,

Luªn v«n tªp trung tr¼nh b y c¡c l»nh cì b£n cõa Geogebra trong Sè håc, Lþthuy¸t sè, ¤i sè v  Gi£i t½ch Sû döng Geogebra trong h¼nh håc ho°c x¡c su§tthèng k¶ câ thº xem trong c¡c t i li»u tr½ch d¨n ð cuèi luªn v«n

1.1.4 Mët sè h m to¡n håc trong Geogebra

1 sqrt(x) : C«n bªc hai cõa x (√x)

2 abs(x) : Trà tuy»t èi cõa x (|x|)

3 floor(x) : H m s n, h m ph¦n nguy¶n (sè nguy¶n lîn nh§t khæng v÷ñt qu¡

7a lg(x) : lægarit thªp ph¥n (l  log10x )

7b ln(x) : Lægarit tü nhi¶n (l  lægarit cì sè e)

8 H m sè l÷ñng gi¡c: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x)

Nhªn x²t: N¸u dòng l»nh

ifactor (123456789987654321123456789987654321123456789987654321123456789987654433)th¼ Geogebra khæng ph¥n t½ch ÷ñc do sè qu¡ lîn Nh÷ng Geogebra v¨n t¼m

÷ñc sè nguy¶n tè ùng sau nâ

c Kiºm tra mët sè câ l  sè nguy¶n tè khæng

C¥u l»nh: CâPh£iNguy¶nTè(<Sè>) ho°c Isprime(<number>)

V½ dö 1.4: Sû döng l»nh CâPh£iNguy¶nTè(<Sè>) kiºm tra sè 290324022019

câ ph£i l  sè nguy¶n tè khæng

Sû döng l»nh ifactor ta ÷ñc:

V½ dö 1.5 : Sû döng l»nh Isprime(<number>) kiºm tra sè 121499449 câ

ph£i l  sè nguy¶n tè khæng

V½ dö 1.6: Sû döng l»nh Isprime(<number>) kiºm tra sè 290324022019

câ ph£i l  sè nguy¶n tè khæng

1.2.2 C¡c l»nh li¶n quan ¸n ph²p chia v  sè d÷

a T¼m th÷ìng v  d÷ cõa ph²p chia mët sè a cho mët sè b

C¥u l»nh: Ph²pChia(<Sè bà chia>,<Sè chia>) ho°c division(,).V½ dö 1.7: Sû döng l»nh division(,) t¼m th÷ìng v  d÷ cõa ph²p chia sè

Vªy th÷ìng v  ph¦n d÷ cõa ph²p chia 2017201820192020 cho sè 2021 l 

998120643340 v  1880

V½ dö 1.9 : Sû döng l»nh Ph²pChia(<Sè bà chia>,<Sè chia>) t¼mth÷ìng v  d÷ cõa ph²p chia sè 1000000001 cho sè 11

Vªy 1000000001 chia h¸t cho 11, ÷ñc th÷ìng l  90909091

b T¼m sè d÷ khi chia mët sè a cho mët sè b

C¥u l»nh: SoDu(<Sè bà chia>,<Sè chia>)

V½ dö 1.10 : Sû döng l»nh SoDu(<Sè bà chia>,<×îc sè>) t¼m sè d÷cõa ph²p chia sè 2017201820192020 cho sè 2021

Vªy sè d÷ cõa ph²p chia sè 2017201820192020 cho sè 2021 l  1880

c1 ×îc sè

C¥u l»nh: UocSo(<Sè>)

L»nh UocSo(<Sè>) cho ph²p t½nh t§t c£ c¡c ÷îc sè cõa sè ¢ cho

V½ dö 1.11: Sû döng l»nh UocSo(<Sè>) t¼m sè ÷îc sè cõa sè 1000000001

L»nh Têng×îcSè(<Sè>) cho t§t c£ c¡c têng cõa ×îc sè ¢ cho.

V½ dö 1.13: Sû döng l»nh Têng×îcSè( <Sè> ) t¼m têng ÷îc sè cõa sè

C¡ch 2:

Muèn kiºm tra k¸t qu£ tr¶n, ta t½nh

Hai sè 24101995 v  01091995 câ USCLN=1.

Muèn kiºm tra k¸t qu£, ta ph¥n t½ch ra thøa sè:

Muèn t¼m USCLN cõa ba sè 2000, 1975, 1910 ta câ thº t¼m USCLN cõa hai sè

2000, 1975 b¬ng 25 sau â t¼m USCLN cõa 25 v  1910

Muèn kiºm tra k¸t qu£, ta t½nh:

V½ dö 1.19: Sû döng l»nh gcd(,) t¼m ÷îc sè chung lîn nh§t cõa hai sè

24101995, 01091995

V½ dö 1.20: Sû döng l»nh gcd(,) t¼m ÷îc sè chung lîn nh§t cõa ba sè

2000, 1975, 1910

f M¨u sè chung cõa hai biºu thùc

C¥u l»nh:MauSoChung( <Biºu thùc>, <Biºu thùc> )

V½ dö 1.21: Sû döng l»nh MauSoChung( <Biºu thùc>, <Biºu thùc>) t¼m m¨u sè chung cõa hai biºu thùc 1

Ð ¥y,"<Sè d¤ng v«n b£n>" l  biºu di¹n cõa sè trong h» cì sè ¢ cho, <Cìsè> l  cì sè m  sè d¤ng v«n b£n ÷ñc vi¸t, k¸t qu£ l  sè trong h» thªp ph¥n.V½ dö 1.22: Sû döng l»nh ChuyºnSangH»ThªpPh¥n( "<Sè d¤ng v«nb£n>",<Cì sè>) chuyºn sè 1000001 tø h» cì sè 2 sang h» thªp ph¥n

Muèn kiºm tra k¸t qu£ ta l m nh÷ sau:

10000012 = 1.26+ 0.25+ 0.24+ 0.23+ 0.22+ 0.21+ 1.20

M¡y °t d§u ? v¼ trong h» cì sè 3 khæng câ sè 10004.

g2 Chuyºn biºu di¹n cõa mët sè trong h» thªp ph¥n sang h» cì sè bC¥u l»nh: ChuyºnH»¸m(<Sè>,<Cì sè>)

Ð ¥y, <Sè> l  biºu cõa sè trong h» thªp ph¥n, <Cì sè> l  cì sè m  ta c¦nchuyºn sè ¢ cho sang

V½ dö 1.25: Sû döng l»nh ChuyºnH»¸m(<Sè>,<Cì sè>) chuyºn

sè 10001 tø h» cì sè 10 sang h» cì sè 2

√

x1, x2 xnC¥u l»nh: TrungBinhHinhHoc(<Danh s¡ch c¡c sè>)

V½ dö 1.29: Sû döng l»nh TrungBinhHinhHoc(<Danh s¡ch c¡c sè>)t¼m trung b¼nh nh¥n cõa c¡c sè 15, 17, 19, 21

Kiºm tra tr¶n Casio fx-580VNX:

Kiºm tra tr¶n Geogebra:

L÷u þ r¬ng ¡p sè câ thº ch¿ l  g¦n óng

b Trung b¼nh i·u háa

ành ngh¾a: Trung b¼nh i·u háa cõa n sè thüc kh¡c khæng x1, x2, , xn

V½ dö 1.30: Sû döng l»nh TrungBinhDieuHoa(<Danh s¡ch c¡c sè>)t¼m trung b¼nh i·u háa cõa c¡c sè 14, 17, 29, 56

Kiºm tra tr¶n Casio fx-580VNX:

Kiºm tra tr¶n Geogebra:

c Trung b¼nh c«n thùc

C¥u l»nh: TrungBinhCanThuc(<Danh s¡ch c¡c sè>)

V½ dö 1.31: Sû döng l»nh TrungBinhCanThuc(<Danh s¡ch c¡c sè>)t¼m trung b¼nh c«n thùc cõa hai sè 1 v  3

1.2.4 C¡c c¥u l»nh Lægic

Hai èi t÷ñng câ b¬ng nhau khæng

C¥u l»nh: B¬ngNhauKhæng(<èi t÷ñng>,<èi t÷ñng>)

L»nh B¬ngNhauKhæng cho ph²p so s¡nh hai èi t÷ñng câ b¬ng nhau haykhæng

V½ dö 1.32: Sû döng l»nh B¬ngNhauKhæng(<èi t÷ñng>,<èi t÷ñng>)

so s¡nh 3, 14 v  π

b ìn gi£n biºu thùc

C¥u l»nh: simplify ho°c RótGån( <H m sè> )

V½ dö 1.35 (Thi tuyºn sinh v o lîp 10 THPT chuy¶n V¾nh Phóc, 2016 2017)

-Sû döng l»nh simplify rót gån biºu thùc sau:

2√

x −

√x2

2√

x −

√x2

2

= −4√x

x − 1 .

(1 − x)24x

= 1 − x√x

= (1 − x)

√x

Vªy A = (1 − x)

√x

√

x − 1 − √ 1

x + 1

x − 1 − √ 1

x + 1

= (a − b)(a + b)(a + b)(a2− ab + b2).

V½ dö 1.37:

V½ dö 1.38: Sû döng l»nh DaThuc(<H m sè>,<Bi¸n sè>) s­p x¸p

h m sè x2+ y3 theo bi¸n y

x + 1 .

L»nh TachHamPhanThuc r§t ti»n dòng trong t¼m ti»m cªn xi¶n cõa h mbªc hai tr¶n bªc nh§t, ti»m cªn cong (parabol) cõa h m bªc ba tr¶n bªc nh§t.V½ dö 1.41: Sû döng l»nh TachHamPhanThuc(<H m sè>,<Bi¸n sè>)t¡ch h m ph¥n thùc x2y + 1

y theo bi¸n y

V½ dö 1.42: Sû döng l»nh TachHamPhanThuc(<H m sè>,<Bi¸n sè>)t¡ch h m ph¥n thùc x2y + 1

y theo bi¸n x

e C¡c l»nh li¶n quan ¸n th÷ìng v  d÷

e1 T¼m th÷ìng v  d÷ cõa ph²p chia mët a thùc cho mët a thùcC¥u l»nh: Ph²pChia(<a thùc bà chia>,<a thùc chia h¸t>)V½ dö 1.43:

Sû döng l»nh Ph²pChia(<a thùc bà chia>,<a thùc chia h¸t>) t¼mth÷ìng v  d÷ cõa ph²p chia a thùc x3+ 1 cho a thùc x2+ 1 :

Vªy th÷ìng v  ph¦n d÷ cõa ph²p chia a thùc x3+ 1 cho a thùc x2+ 1 l  x

v  −x + 1

Kiºm tra: x3+ 1 = (x2+ 1)x − x + 1

e2 T¼m ph¦n d÷ khi chia mët a thùc cho mët a thùc

C¥u l»nh: SoDu(<a thùc bà chia>,<a thùc chia>)

V½ dö 1.44:

Sû döng l»nh (<a thùc bà chia>,<a thùc chia>) t¼m sè d÷ cõa ph²pchia a thùc x3+ 1 cho a thùc x2+ 1.

Vªy ph¦n d÷ cõa ph²p chia a thùc x3+ 1 cho a thùc x2+ 1 l  −x + 1

f T¼m bëi chung nhä nh§t cõa hai a thùc mët bi¸n

Sû döng l»nh factor kiºm tra

Hai a thùc khæng câ ÷îc chung Vªy BSCNN

(x5− 5x + 4, x3− 3x2) = (x − 1)2× (x3+ 2x2+ 3x + 4) × (x2− 2x − 2).V½ dö 1.46: Sû döng l»nh BSCNN(<danh s¡ch c¡c a thùc>) t¼m bëichung nhä nh§t cõa c¡c a thùc x3+ x2, x + 1, x2

N¸u ta dòng l»nh BSCNN(, ,) th¼ Geogebra b¡o gi¡ trà nhªp v o khæng hñpl», l m nh÷ sau: T¼m BCNN cõa ba a thùc x3 + x2, x + 1, x2, nh÷ l  BCNNcõa BCNN cõa hai a thùc vîi a thùc thù ba:

Sû döng l»nh factor kiºm tra:

V½ dö 1.49(Thi OLYMPIC truy·n thèng 30/4 l¦n XXIV, 2018, tr÷íng THPTchuy¶n Huýnh M¨n ¤t - Ki¶n Giang) Gi£i ph÷ìng tr¼nh:

D¹ th§y: 8(x2 + xy + y2) + 6 > 0 n¶n x = y Thay v o (1)

Ta câ: 6y = 8x3+√

3 hay 4x3− 3x = −

√32Vªy ph÷ìng tr¼nh câ 3 nghi»m l  x = cos5π

= lim

x→0

1cos2x− 1

1 − cos x

= lim

x→0

1 − cos2x(1 − cos x) cos2x

= lim

x→0

(1 − cos x)(1 + cos x)(1 − cos x) cos2x

= 1 + cos xcos2x =

L»nh DaoHam(<Biºu thùc>,<Bi¸n sè>) s³ ÷u ti¶n coi f l  h m cõa bi¸n

sè, cán c¡c k½ hi»u kh¡c coi l  tham sè (h¬ng sè)

V½ dö 1.55 Sû döng l»nh DaoHam(<Biºu thùc>,<Bi¸n sè>) t½nh ¤o

h m cõa h m sè f(x) = x3y

L»nh DaoHam(<Biºu thùc>,<Bi¸n sè>,<Bi¸n sè>) cho ph²p t½nh ¤o

h m

V½ dö 1.57 Sû döng l»nh DaoHam(<Biºu thùc>,<Bi¸n sè>,<Bi¸nsè>) t½nh ¤o h m bªc hai cõa h m sè f(x, y) = x3y

Trong b£ng tr¶n, ¦u ti¶n l§y ¤o h m theo x ∂

∂x Sau â l§y ¤o h m theo y

T½chPh¥nGiúaHaiH mSè(<H m sè>,<H m sè>,<Bi¸n>,<Cªn x>,<Cªn tr¶n-x>)

Z

0

cos5xdx −

π 2

Z

0

cos5xdx =

π 2

1 0

15.

I2 =

π 2

Z

0

(1 + cos 2x)dx

= 12

π 2

π2

0

= π

4.

3 0

2× t

3 2

3 2

25 16

= 61

Vªy I = I1+ I2 = 27 + 61 = 88

V½ dö 1.60: Sû döng l»nh T½chPh¥n(<H m sè>) t½nh nguy¶n h m

I =Z(2x − 1) sinxdx

L»nh T½chPh¥n(<H m sè>,<Bi¸n>) coi f l  h m cõa bi¸n x.

= (1 − 2x) cosx + 2

Zcos xdx

Z3x2ydx = x2+ x3y + c

Z3x2ydy = 2xy + 3

2x

2y2+ c

I =Z(2x 1) sinxdx

Lằnh TẵchPhƠn(<Hm số& gt;,<Bián>)