Khoá luận tốt nghiệp xây dựng hệ thống bài tập toán học dạy học chủ đề “phương pháp toạ độ trong không gian” ở lớp 12 trường THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh

ỨNG DỤNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ở LỚP 12 TRƯỜNG THPT THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH .... Ứng dụng xây dựng hệ

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2019

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học

ThS NGUYỄN VĂN HÀ

HÀ NỘI - 2019

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được

sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp dạy học và các bạn sinh viên trong khoa Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các

thầy, cô trong tổ phương pháp dạy học và đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Văn Hà- người đã định hướng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn

thiện khóa luận tốt nghiệp này

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy, cô trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có những hạn chế và thiếu sót nhất định Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện

LỜI CAM ĐOAN

Nếu sai em hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Trần Thị Uyên

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2.Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Năng lực và năng lực Toán học 4

1.1.1 Năng lực 4

1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh 6

1.2 Dạy học bài tập Toán học ở trường phổ thông 7

1.2.1 Bài toán và lời giải của bài toán 7

1.2.2 Ý nghĩa của việc giải toán 11

1.3 Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông 24

1.3.1 Dạy học theo hướng tiếp cận nội dung và hướng tiếp cận năng lực 24

1.3.2 Dạy học môn toán theo định hướng phát triển năng lực học sinh 25

Tiểu kết chương 1 29

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ở LỚP 12 TRƯỜNG THPT THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH 30

2.1 Phân tích nội dung dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian ở lớp 12 trường THPT 30

2.1.1 Nội dung chương trình dạy học phương pháp tọa độ trong không

gian 30

2.1.2 Nhiệm vụ dạy học nội dung phương pháp tọa độ trong không gian 30

2.2 Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề phương pháp toạ độ trong không gian theo định hướng phát triển năng lực học sinh 31

2.2.1 Hệ tọa độ trong không gian 32

2.2.2 Phương trình mặt phẳng 34

2.2.3 Phương trình đường thẳng 46

2.2.4 Bài tập tổng hợp chương 56

Tiểu kết chương 2 59

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 62

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Công cuộc đổi mới của đất nước ta, thực hiện công nghiệp hóa, hiện đại hóa gắn liền với phát triển tri thức, tích cực chủ động hội nhập quốc tế sâu rộng đã và đang đặt ra cho ngành giáo dục và đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề là đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao Để thực hiện được nhiệm vụ đó, sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới về cả mục tiêu, nội dung chương trình và phương pháp dạy học Phương pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, kĩ năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên Do đó, phương pháp dạy học cần xây dựng theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh

Trong đó, phương pháp dạy học môn toán giữ một vị trí quan trọng vì toán học là công cụ để học những môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau và là công cụ để hoạt đông trong thực tế Tuy nhiên, đối với học sinh đây là môn học có tính trừu tượng cao và là môn học khó, các khái niệm là nguồn gốc của những khó khăn trở ngại đó Trong việc dạy học Toán, điều quan trọng bậc nhất là hình thành cho học sinh thông hiểu một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng khả năng vận dụng những kiến thức đã học

Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: Xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề “Phương pháp toạ độ trong không gian” ở lớp

12 trường THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh

phổ thông hiện nay

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về cơ sở lí luận và thực tiễn:

+ Năng lực và năng lực toán học của học sinh

+ Định hướng phát triển năng lưc của học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông

+ Dạy học bài tập Toán học và nội dung dạy học bài tập Toán học trong chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian” ở lớp 12 trường THPT

- Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học của chủ đề “Phương pháp toạ độ trong không gian” ở lớp 12 trường THPT theo hướng phát triển

năng lực học sinh

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các bài tập Toán học theo hướng phát triển năng lực học sinh Toán học thuộc chủ đề của chủ đề “Phương pháp toạ độ trong không gian” ở lớp 12

trường THPT

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học của học sinh, về phương pháp dạy học khái niệm môn toán

Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học của học sinh

Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán thuộc chủ

đề của chủ đề “Phương pháp toạ độ trong không gian” ở lớp 12 trường THPT

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực và năng lực Toán học

1.1.1 Năng lực

Theo quan điểm của những nhà tâm lý học năng lực là tổng hợp các

đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu, đặc trưng của một hoạt động, nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao

Năng lực của con người có đặc điểm sau:

+ Năng lực luôn gắn với một hoạt động cụ thể

+ Năng lực được hình thành và bộc lộ trong hoạt động

+ Năng lực chịu sự chi phối của các yếu tố bẩm sinh di truyền, môi trường và hoạt động của bản thân

Như vậy, năng lực của con người hình thành trên cơ sở chi phối nhiều bởi các yếu tố tư chất của cá nhân, nhưng năng lực của con người không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà hình thành phát triển năng lực

Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực chung và năng lực chuyên môn

+ Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhau như năng lực phán xét tư duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực luyện tập

+ Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trưng trong lĩnh vực nhất định của xã hội như năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội hoạ, năng lực toán học

Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với nhau, năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng phát triển thì càng dễ thành đạt được năng lực chuyên môn Ngược lại sự phát triển của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hưởng đối với sự phát triển của năng lực chung Trong thực tế mọi hoạt động có kết

quả và hiệu quả cao thì mỗi người đều phải có năng lực chung phát triển ở trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tương ứng với lĩnh vực công việc của mình

Năng lực còn được hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm sinh lý của con người chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo tối thiểu là cái mà người đó có thể dùng khi hoạt động

Để nắm được cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực

ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau:

- Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân người này khác người kia, nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng như ai thì không thể nói về năng lực

- Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt chung chung nào

- Năng lực con người bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc vào sự tổ chức của hệ thống thần kinh trung ương, nhưng nó chỉ được phát triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con người Trong xã hội có bao nhiêu hình thức hoạt động của con người thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực,

có người có năng lực về quản lý kinh tế, có người có năng lực về Toán học,

có người có năng lực về kỹ thuật, có người có năng lực về thể thao

- Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là những hiểu biết thu nhân được từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc sống của mình Kỹ năng là sự vận dụng bước đầu những kiến thức thu lượm vào thực tế để tiến hành một hoạt động nào đó Kỹ xảo là những kỹ năng được lặp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần thục cho phép con người không phải tập trung nhiều ý thức vào việc mình đang làm Còn năng lực là một tổ hợp phẩm chất tương đối ổn định, cơ bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện

có kết quả một hoạt động Như vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn

1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh

Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học được hiểu dưới hai bình diện sau:

Năng lực nghiên cứu Toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt động Toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và có ý nghĩa với nhân loại

Năng lực Toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình Toán học ở trường phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

- Năng lực Toán học của học sinh:

Từ khái niệm về năng lực ta có thể đi đến khái niệm về năng lực Toán học của học sinh: “Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng được yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong lĩnh vực Toán học tương đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những điều kiện như nhau”

- Trong quá trình tiếp thu tri thức, học sinh tham gia nhiều hình thức hoạt động Toán học Mỗi hoạt động Toán học phức hợp đặc trưng cho một dạng năng lực thành phần Các năng lực thành phần này có quan hệ chặt chẽ với nhau tạo thành một cấu trúc năng lực Toán học Cấu trúc năng lực Toán học bao gồm các dạng năng lực thành phần sau:

+ Năng lực tính toán, giải toán

+ Năng lực tư duy Toán học

+ Năng lực giao tiếp Toán học (Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học) + Năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn

+ Năng lực giải quyết vấn đề

+ Năng lực sáng tạo Toán học

1.2 Dạy học bài tập Toán học ở trường phổ thông

1.2.1 Bài toán và lời giải của bài toán

a) Bài toán

Theo G.POLYA Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách

có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay

Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng Bài toán là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó Như vậy, bài toán có thể đồng nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán như đề toán, bài tập

Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp thành của một bài toán

- Bài toán luôn có mục đích xác định

- Sự đòi hỏi người khác thực hiện mục đích của bài toán (giao nhiệm vụ

hoặc yêu cầu người khác thực hiện mục đích của bài toán)

Ví dụ 1

“Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm A, B

Từ một điểm M bất kỳ trên d và nằm ở ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến

MP và MN (P, N là các tiếp điểm) Chứng minh rằng khi M di động trên đường thẳng d thì đường tròn ngoại tiếp MNP luôn đi qua hai điểm cố định.”

Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu tố cơ bản hợp thành sau đây

- Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ "Chứng minh rằng"

- Mục đích của bài toán thể hiện “Đường tròn ngoại tiếp MNP luôn đi

qua hai điểm cố định.”

Ví dụ 2

“Số tự nhiên n  N và n < 10.”

Đây không phải là bài toán vì thiếu sự đòi hỏi người khác thực hiện mục đích

Đây không phải là mệnh đề toán học vì không có giá trị chân lý đúng hay sai

Đây là một hàm mệnh đề vì đó là câu có chứa biến số n và khi thay

biến bởi hằng ta được mệnh đề

Ví dụ 3

“Tìm n  N và n < 10.” Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu tố

cơ bản sau;

- Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ “tìm”

- Mục đích của bài toán thể hiện “n  N và n < 10.”

b) Lời giải bài toán

- Lời giải của bài toán được hiểu là tập hợp hữu hạn, sắp thứ tự các

thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra trong bài toán

- Như vậy ta thống nhất các thuật ngữ bài giải, cách giải và đáp án của bài toán đều theo nghĩa lời giải ở trên

- Một bài toán có thể có lời giải như sau

+ Một lời giải;

+ Nhiều lời giải;

+ Không có lời giải

- Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải

được bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải

Ví dụ 4: Tìm các lời giải số học của bài toán cổ sau

“Vừa gà vừa chó,

Bó lại cho tròn,

Ba mươi sáu con,

Một trăm chân chẵn

Tính số gà, số chó?”

Cách 1 Giả thiết tạm

Giả sử tất cả 36 con vật đều là gà

Vậy số chân của 36 con vật là

2  36 = 72 (chân)

Tổng số chân hụt đi so với điều kiện thực tế của bài toán là

100 – 72 = 28 (chân)

Ta thấy 28 chân thiếu hụt so với điều kiện thực của bài toán là do ta giả

sử tất cả 36 con vật đều là gà cả Nhƣ vậy, ta đã bỏ đi ở mỗi con chó là 2 chân

Giả sử tất cả 36 con vật đều là chó

Vậy số chân của 36 con vật là

4  36 = 144 (chân)

Số chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là

144 – 100 = 44 (chân)

Ta thấy 44 chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là do ta giả

sử 36 con vật đều là chó cả Nhƣ vậy, ta đã thêm vào cho mỗi con gà 2 chân.Vậy số con gà là

44 : 2 = 22 (con gà)

và đồng thời bớt đi mỗi con chó 1 chân

Nếu số gà và chó bằng nhau thì số chân vừa đủ Nếu số chó nhiều hơn số

gà thì số chân phải thiếu hụt Ở đây số chân dƣ ra 8 chân, vậy số gà nhiều hơn

số chó Mà mỗi con gà ta thêm cho nó 1 chân, vậy số con gà nhiều hơn số con chó là

Giả sử số gà bằng số chó và đều bằng 18 con

Do đó tổng số chân của 36 con vật là

(2  18) + (4  18) = 108 (chân)

Số chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là

108 – 100 = 8 (chân)

Ta thấy 8 chân dư ra là do điều giả sử số gà bằng số chó và bằng 18 con Như vậy, ta đã chuyển một số con chó thành bằng ấy con gà hoặc ngược lại

Nếu chuyển một số con chó thành một số con gà thì tổng số chân phải thiếu hụt Ở đây tổng số chân tăng thêm 8 chân, nghĩa là ta đã chuyển một số con gà thành con chó Mà ta biết rằng khi chuyển một con gà thành một con chó thì số chân tăng thêm là 2 chân.Vậy số con gà được chuyển thành số con chó là

Trả lời: 22 con gà, số chó là 14 con chó

1.2.2 Ý nghĩa của việc giải toán

a) Kiến thức

Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán học và các tính chất toán học Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân tích dữ kiện đã cho của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán

và các kiến thức đã biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới Và cứ như vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức

đã biết trước được phân tích, tổng hợp lại để đề ra các kiến thức mới nữa Cuối cùng chúng ta đi đến được lời giải của bài toán

Nhƣ vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng

đƣợc củng cố qua lại nhiều lần

Ví dụ 5 Hãy tìm các cách giải của bài toán sau

“Cho ba hình vuông có cạnh bằng nhau và bằng một đƣợc dựng liên tiếp nhau (Hình 1.1) Chứng minh rằng  +  = 45o ”

- Định nghĩa hàm số lƣợng giác của một góc, cách xác định giá trị một hàm số lƣợng giác của một góc

- Công thức biến đổi lƣợng giác của một tổng

Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau

Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau:

- Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng

- Tính chất của hai tam giác đồng dạng

- Tính chất của hai đường thẳng song song

- Hình vuông và các tính chất của nó

b) Tư duy

Đặc điểm nổi bật của Toán học cũng như của môn toán là một khoa học suy diễn, nó là môn khoa học được xây dựng bằng phương pháp tiên đề Do vậy, lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác, có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rõ rệt Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho học sinh năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: Suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn logic,

Chúng ta biết rằng không thể có một phương pháp chung nào để giải được mọi bài toán Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn tìm ra được lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích, biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hoá , biết cách suy đoán Như

vậy qua việc giải bài toán năng lực tư duy logic và tư duy sáng tạo của học

sinh được rèn luyện và phát triển

c) Kỹ năng

Một trong những yêu cầu của việc thông hiểu các kiến thức của bất cứ của bộ môn khoa học nào là biết, thông hiểu và vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết được các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó

Trong việc giảng dạy toán ta thấy rằng bài toán tham gia vào tất cả các tình huống điển hình của quá trình dạy học môn toán

- Trong giảng dạy khái niệm Toán học

Bài toán có thể được sử dụng để tổ chức gây tình huống, để dẫn dắt cho học sinh tiếp cạn đến định nghĩa khái niệm; bài toán được sử dụng làm các ví

dụ hoặc phản ví dụ minh hoạ cho khái niệm (hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm); bài toán được sử dụng để luyện tập củng cố và vận dụng khái niệm

- Trong giảng dạy định lý Toán học

Bài toán có thể được sử dụng để tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lý toán học; bài toán có thể được sử dụng trong hoạt động nhận dạng và thể hiện định lý ; bài toán có thể được sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lý; đặc biệt là việc tổ chức hướng dẫn học sinh tìm

ra đường lối chứng minh định lý chính là việc dạy cho học sinh cách phân tích tìm ra chứng minh toán học của bài toán không có angorit giải

- Trong luyện tập Toán học

Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập Toán học Trong

đó người giáo viên phải xây dựng được một hệ thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng cố vững chắc các kiến thức cơ

bản và hình thành một số kỹ năng cơ bản nào đó

d) Tư tưởng

Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là mọi hoạt động đều

có mục đích rõ ràng Khi giải một bài toán ta luôn có định hướng mục đích cụ thể, rõ ràng Vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của con người

Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán khó người giải phải vượt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại, và nhiều khi người ta phải

có quyết tâm, khát vọng lớn để giải bài toán đó Nói theo cách của G.POLIA

là “Khát vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán ” Do vậy ta thấy rằng hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con

người

1.2.3 Phân loại bài toán

Người ta có nhiều cách để phân loại các bài toán và người ta phân loại bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là

để sử dụng các bài toán một cách thuận lợi

a) Phân loại theo hình thức bài toán

Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán để phân chia bài toán ra thành hai loại như sau

- Bài toán chứng minh

Những bài toán mà trong kết luận của nó đã thể hiện rõ kết quả cuối

cùng của mục đích bài toán

Ví dụ 6:

“Cho tam giác ∆ABC, hai điểm M, N lần lượt là trung điểm các cạnh

AB, AC Chứng minh rằng diện tích của tam giác ∆AMN bằng 1

Ta ký hiệu diện tích của các tam giác ∆ABC, ∆AMN, ∆ABN lần lƣợt là

SABC, SAMN và SABN (Hình 1.4)

Ta thấy S A B   2 S A B N (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ B tới AC

và đáy AC = 2 × AN);

S A B N   2 S A M N (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ N tới

AB và đáy AB = 2 × AM)

Do đó suy ra S A B   4 S A M N Vậy ta có điều cần chứng minh

- Bài toán tìm tòi

Những bài toán mà trong kết luận của nó chƣa thể hiện rõ ràng kết quả

cuối cùng của mục đích bài toán

Ví dụ 7:

Cho tứ giác lồi ABCD và các điểm M, N, P, Q lần lƣợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA Tính diện tích của tứ giác ABCD biết rằng diện tích của MNPQ là 100 cm2

Vậy ta suy ra SABCD = 200 cm2

b) Phân loại theo phương pháp giải toán

Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán để phân loại bài toán: Bài toán này có thuật toán chung giải hay chưa để chia các bài toán thành hai loại

- Bài toán có angorit giải: Những bài toán mà phương pháp giải của nó

theo một thuật toán chung nào đó cho một lớp các bài toán chứa nó

Ví dụ 8:

+ Giải phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn số

+ Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

+ Thuật toán kiểm tra một số tự nhiên n có phải là nguyên tố hay không ?

+ Thuật toán liệt kê tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn số tự nhiên n cho trước

+ Thuật toán tìm ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số cho trước

+ Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số; tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số; tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số; dạng toán rút về đơn vị ; dạng toán tìm số trung bình cộng …

- Bài toán không có angorit giải: Những bài toán mà phương pháp giải của nó không theo một thuật toán chung nào đó cho một lớp các bài toán chứa

nó

Chú ý : Các bài toán không có angorit giải có số lượng là vô cùng lớn

hơn rất nhiều so với các bài toán có angorit giải

c) Phân loại theo nội dung bài toán

Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các loại khác nhau như sau

+ Bài toán số học Toán trồng cây ở hai đầu đường ; toán về tuổi ; toán chuyển động đều ; toán về phân số ; …

+ Bài toán đại số

+ Bài toán hình học

d) Phân loại theo ý nghĩa giải toán

Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào

đó, hay là bài toán nhằm phát triển tư duy Ta có hai loại bài toán như sau:

Bài toán cơ bản: Những bài bài toán sử dụng trực tiếp, đơn giản từng

kiến thức, kỹ năng mới vào việc giải quyết các tình huống phổ biến điển hình trong thực tiễn

Bài toán nâng cao: Những bài toán sử dụng nhiều kiến thức, kỹ năng

nào đó vào việc giải quyết các tình huống mới lạ hoặc đòi hỏi phải có một khả

năng tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo

1.2.4 Phương pháp tìm lời giải bài toán (Bốn bước giải toán của G.POLIA) Bước1.Tìm hiểu đề

Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích nội dung của bài toán, rồi tìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:

Những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán?

Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay đổi và biến thiên của bài toán

Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán

Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không?

Bước 2 Xây dựng chương trình giải

Để tìm được lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xây dựng chương trình giải là bước quyết định, đồng thời đây cũng là bước khó khăn nhất

Bước xây dựng chương trình giải đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến thức đã biết để xem xét, phân tích, so sánh, bác bỏ, tổng hợp Từ đó mới

có thể thiết lập được mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm

Đối với những bài toán không có angorit giải, chúng ta sẽ phải tiến

hành xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau:

a) Phương pháp đi xuôi

Xuất phát từ cái đã cho (giả thiết) của bài toán được lấy làm tiền đề và bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic mới Tiếp tục chọn lọc trong các hệ quả logic để làm tiền đề mới và bằng suy luận hợp logic chúng ta rút ra các hệ quả logic mới tiếp theo Cứ tiếp tục quá trình như thế cho đến khi chúng ta tìm ra được hệ quả logic trùng với kết luận của bài toán thì dừng Khi đó ta đã tìm được lời giải bài toán

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau

Y C AD B

   (trong đó A, B là giả thiết còn Y là kết luận) Chú ý: Thông thường trong nhiều trường hợp để tìm được lời giải của bài toán ta thường kết hợp cả hai phương pháp đi xuôi và phương pháp đi

ngược

c) Phương pháp sử dụng các phép suy đoán

Trong Toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có rất nhiều phương pháp Tuy nhiên không phải phương pháp nào cũng có thể đi tới lời giải của bài toán

Thực tế có những bài toán mà ta đã sử dụng nhiều phương pháp Phương pháp đi xuôi, phương pháp đi ngược, thậm chí kết hợp cả hai phương pháp đó

mà vẫn chưa tìm được lời giải của bài toán đó Lúc này ta cần chuyển hướng suy nghĩ theo một hướng khác, tạm gọi hướng suy nghĩ này là phương pháp

sử dụng các phép suy đoán Nghĩa là suy nghĩ đến bài toán liên quan, bài toán

có gần giống với bài toán ta cần giải - Có thể là bài toán con, bài toán tương

tự, bài toán đặc biệt, đôi khi là bài toán khái quát

Từ sự phân tích lời giải của các bài toán có liên quan với bài toán cần giải hoặc sử dụng kết quả của nó, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải của bài toán đã cho

Theo G.POLIA chúng ta thường phải đặt ra các câu hỏi gợi ý sau: “Anh

có biết một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?”; “Đây là một bài toán gần giống với bài toán của anh đã giải được rồi Anh có thể dùng được

nó làm gì không?”; “Nếu anh không giải được bài toán đã cho, thì trước hết

hãy giải bài toán gần giống với nó.”

Bước 3 Thực hiện chương trình giải

Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của bài toán hay các mệnh đề Toán học đã biết ta suy dần ra đi tới kết luận của bài toán

Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ý phân biệt

sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra được -

chính là điều chứng minh được

Bước 4 Kiểm tra lời giải và khai thác bài toán

Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm được của bài toán

Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán

Nghiên cứu các bài toán có liên quan: Bài toán tương tự, bài toán khái

quát, …

Ví dụ 9: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau

“Chứng minh rằng nếu ABC thoả mãn điều kiện s in A s in Cc o s2B

Ở đây ta thấy giả thiết của bài toán cho biết đẳng thức liên hệ về góc, ta

sẽ chứng minh tam giác đó có hai góc nào đó bằng nhau

Hơn nữa ta thấy trong đẳng thức đã cho có vai trò của hai góc A và C

là bình đẳng nhau Vậy ta sẽ chứng minh rằng trong ABC có các góc A  C

Biến đổi tương đương đẳng thức đã cho bằng cách ta làm mất sự có mặt của góc B bởi 180o  A C, và sau đó sử dụng công thức biến đổi lượng giác

 cos A C 1  

Vì góc A, C là các góc của tam giác nên 0 Ao , C 1  8o Do đó có

A  C Vậy suy ra ABC là cân

- Tính diện tích của tam giác ICD (Hình 1.6):

Xét hai tam giác ∆BEC và ∆CFD ta có

BE = CF = 10 cm; BC = CD = 20 cm; o

B C 90   Vậy suy ra ∆BEC = ∆CFD (c.g.c)

Do đó ta có B C E C  D F Mặt khác ta dễ thấy rằng o

C D FC  F D9  0, nên ta suy ra C D FD  C I 9  0o Nhƣ vậy ta có CI  DI

Áp dụng định lý hệ thức lƣợng trong tam giác vuông ta có

- Tính diện tích của tứ giác AEID:

Dựa vào hình vẽ ta có diện tích của tứ giác AEID là

- Tính diện tích của tam giác ICD

Xét tỷ số diện tích của hai tam giác ICF và ICD

I C D

S 1  0 0 : ( 41  )48 0 (cm2

)

- Tính diện tích của tứ giác AEID

Dựa vào hình vẽ ta có diện tích của tứ giác AEID là

“Tính tổng P = 1 + a + a2

+ a3 + + an.”

Nhân tổng P với a và ta có a.P = a + a2

+ a3 + a4 + + an+1 Vậy suy ra P – a.P = 1 – an+1

Do đó ta có

n+1

1 a P

( 1 a )

  



Nhận xét cách giải Để tính tổng S (hoặc P) là các tổng hữu hạn gồm n

số hạng ta nhân tổng đó với a, rồi xét hiệu aS – S hoặc S – aS, từ đây ta tính được S Bằng phương pháp tương tự ta có thể tính được các tổng sau

A = a + 2a2 + 3a3 + + nan

B = 1 + 2a + 3a2 + + (n + 1)an

1.3 Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông

1.3.1 Dạy học theo hướng tiếp cận nội dung và hướng tiếp cận năng lực

Tiếp cận nội dung là cách nêu ra một danh mục đề tài, chủ đề của một

lĩnh vực/môn học nào đó Tức là tập trung xác định và trả lời câu hỏi: Chúng

ta muốn người học cần biết cái gì? Cách tiếp cận này người giáo viên chủ yếu

dựa vào yêu cầu nội dung học vấn của một khoa học bộ môn để thiết kế nội dung dạy học Vì vậy nội dung dạy học thường mang tính "hàn lâm", nặng về

lý thuyết và ít chú trọng đến vận dụng vào thực tiễn cuộc sống, nhất là khi người thiết kế ít chú đến tiềm năng, các giai đoạn phát triển, nhu cầu, hứng

thú và điều kiện của người học

Tiếp cận năng lực là cách tiếp cận nêu rõ kết quả - những khả năng hoặc

kĩ năng mà người học mong muốn đạt được vào cuối mỗi giai đoạn học tập trong nhà trường ở một môn học cụ thể Nói cách khác, cách tiếp cận này

nhằm trả lời câu hỏi: Chúng ta muốn người học biết và có thể làm được những gì? Theo cách tiếp cận này thì người giáo viên phải thiết kế nội dung

dạy học đảm bảo "tinh giản, cơ bản, hiện đại, giảm tính hàn lâm, tăng tính thực hành và vận dụng kiến thức và kĩ năng vào thực tiễn"[2] Định hướng trên cũng hạn chế được tính hàn lâm, xa rời cuộc sống

Khác với chương trình định hướng nội dung, chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực tập trung vào việc mô tả chất lượng đầu ra, có thể coi là ”sản phẩm cuối cùng” của quá trình dạy học Việc quản lý chất lượng dạy học chuyển từ việc điều khiển “đầu vào” sang điều khiển “đầu ra”, tức là kết quả học tập của HS

Chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực không quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định những kết quả đầu ra mong muốn của quá trình giáo dục, trên cở sở đó đưa ra những hướng dẫn chung về việc lựa chọn nội dung, phương pháp, tổ chức và đánh giá kết quả dạy học nhằm đảm bảo thực hiện được mục tiêu dạy học tức là đạt được kết quả đầu ra mong muốn Trong chương trình định hướng phát triển năng lực, mục tiêu học tập, tức là kết quả học tập mong muốn thường được mô tả thông qua hệ thống các năng lực (Competency) Kết quả học tập mong muốn được mô tả chi tiết

và có thể quan sát, đánh giá được HS cần đạt được những kết quả yêu cầu đã quy định trong chương trình Việc đưa ra các chuẩn đào tạo cũng là nhằm đảm bảo quản lý chất lượng giáo dục theo định hướng kết quả đầu ra

1.3.2 Dạy học môn toán theo định hướng phát triển năng lực học sinh

Phương pháp dạy học (PPDH) theo định hướng tiếp cận nội dung chủ yếu

yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: Biết cái gì (know-what) Nghĩa là yêu cầu học sinh chỉ cần ghi nhớ tri thức và hiểu tri thức, chưa chú ý tới yêu cầu vận dụng tri

thức đó

PPDH theo định hướng phát triển năng lực luôn đặt ra câu hỏi: Biết làm

gì từ những điều đã biết Nói cách khác, nói đến năng lực là phải nói đến khả năng thực hiện, là phải biết làm (know-how), chứ không chỉ biết và hiểu (know-what) Như vậy, tiếp cận năng lực chủ trương giúp người học

không chỉ biết học thuộc, ghi nhớ mà còn phải biết làm thông qua các hoạt động cụ thể, sử dụng những tri thức học được để giải quyết các tình huống do cuộc sống đặt ra Nói cách khác, tiếp cận năng lực là dạy cho học sinh không

chỉ biết và hiểu kiến thức mà phải biết làm gì từ những điều đã biết về kiến

thức đó

Như vậy, việc dạy học toán theo định hướng phát triển năng lực học sinh

là phù hợp với quan điểm “dạy học thông qua hoạt động và bằng hoạt động”

[1], đồng thời chú ý gắn hoạt động học với thực tiễn đời sống Phương pháp dạy và học sẽ khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học, tập trung dạy cách học, cách nghĩ và tự học, theo phương châm

"giảng ít, học nhiều" Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học; đa dạng hoá các hình thức tổ chức giáo dục… Như vậy, trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện hiện nay, người giáo viên toán trước tiên cần có nhận thức rõ ràng về sự khác biệt của PPDH theo hướng truyền thụ nội dung và PPDH theo hướng phát triển năng lực của học sinh

 PPDH theo hướng truyền thụ nội dung là chú trọng vào việc truyền đạt nội dung kiến thức và truyền đạt chứng minh Toán học

 PPDH theo hướng phát triển năng lực là coi trọng việc dạy cho HS

cách tìm ra kiến thức, tìm ra chứng minh Toán học, đồng thời chú trọng vào các hoạt động vận dụng kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống đặt ra trong thực tiễn và trong đời sống

Như theo nhà giáo dục người Đức A.Đixtecvec đã viết: “người thầy giáo tồi mang chân lí đến sẵn, còn người thầy giáo giỏi dạy đi tìm chân lí”

DH khái

niệm

Toán

học

 Nêu định nghĩa khái niệm:

- Hoạt động gợi động cơ học tập

- Công bố định nghĩa khái niệm

- Hoạt động gợi động cơ học tập

- Phân tích tìm các dấu hiệu đặc trƣng, bản chất khái niệm

- Khái quát hóa nêu định nghĩa khái niệm

 Hoạt động củng cố, ứng dụng: Hoạt động ngôn ngữ; Hoạt động nhận dạng thể hiên; Hoạt động luyện tập, vân dụng; Hoạt động hệ thống hóa

- Hoạt động gợi động cơ học tập

- Hoạt động suy đoán nội dung tính chất, quy tắc

- Nêu nội dung tính chất, quy tắc

động hệ thống hóa động nhận dạng thể hiên; Hoạt

động luyện tập, vân dụng; Hoạt động hệ thống hóa

 Hoạt động chứng minh Toán

học của bài toán.

 Hoạt động kiểm tra và khai

thác bài toán

Tóm tắt nội dung bài toán

 Hoạt động chứng minh Toán học của bài toán

Theo trên ta thấy rằng PPDH bài tập Toán học theo định hướng tiếp cận

nội dung là chú trọng vào việc truyền thụ cho học sinh chứng minh Toán học của nó PPDH bài tập Toán học theo hướng phát triển năng lực học sinh là coi trọng việc phân tích tìm đường lối chứng minh Toán học không chỉ chú trọng vào việc truyền thụ cho học sinh chứng minh Toán học của nó

Như vậy, PPDH bài tập Toán học theo hướng phát triển năng lực học sinh thực chất là phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học của học sinh

Do đó ta có thể dựa vào các bước trong quy trình của PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề để chọn ra các chỉ báo của PPDH bài tập Toán học theo hướng phát triển năng lực học sinh:

- Tạo tình huống gợi vấn đề

- Tìm giải pháp giải quyết vấn đề

- Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề

- Nghiên cứu sâu giải pháp giải quyết vấn đề