Tìm hiểu về bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN ——————–o0o——————— Vũ Ngọc Anh TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA HỆ SONG TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Chuyên ngành: Toán Ứng dụng KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giáo v

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

——————–o0o———————

VŨ NGỌC ANH

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN

ỔN ĐỊNH HÓA HỆ SONG TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

HÀ NỘI - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

——————–o0o———————

Vũ Ngọc Anh

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN

ỔN ĐỊNH HÓA HỆ SONG TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Chuyên ngành: Toán Ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giáo viên hướng dẫn:

TS NGUYỄN TRUNG DŨNG

HÀ NỘI - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là bài viết tôi, được hoàn thành dưới sự hướngdẫn của TS Nguyễn Trung Dũng Các nội dung nghiên cứu trong khóa luận

là hoàn toàn trung thực, mọi thông tin trích dẫn đều được ghi rõ nguồn gốctrong mục tài liệu tham khảo

Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào, tôi xin chịu hoàn toàn tráchnhiệm

Sinh viên thực hiện

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp này được thực hiện tại khoa Toán, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Trung Dũng

Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Trung Dũng đã địnhhướng và chỉ dẫn sát sao trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài nghiêncứu Sự ân cần, nhiệt tình của thầy khi truyền đạt những kiến thức và kinhnghiệm quý báu là tiền đề quan trọng giúp tôi có được những kết quả trìnhbày trong khóa luận tốt nghiệp này

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô trong khoa Toán, trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình truyền đạt kiến thức trong những nămtôi học tập Những kiến thức đó không chỉ là nền tảng trong quá trình thựchiện khóa luận mà còn là hành trang vững chắc cho tôi trong tương lai.Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới bố mẹ và những người thân tronggia đình Những người luôn ở bên và động viên tôi vượt qua những khó khăntrong cuộc sống cũng như học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên thực hiện

MỤC LỤC

Trang

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Kí hiệu 3

MỞ ĐẦU 5

1 BỔ ĐỀ PETERSEN 7

1.1 Bổ đề Petersen 7

1.2 Bổ đề Petersen mở rộng 9

1.2.1 Các kết quả bổ trợ 9

1.2.2 Bổ đề Petersen mở rộng 11

2 ỔN ĐỊNH HÓA HỆ SONG TUYẾN TÍNH RỜI RẠC 13

2.1 Đặt bài toán 13

2.2 Kết quả chính 14

2.3 Miền ổn định hóa của hệ song tuyến tính rời rạc 18

2.4 Trường hợp có nhiễu 19

KẾT LUẬN 25

TÀI LIỆU THAM KHẢO 25

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về đề tài nghiên cứu

Ngày nay, với sự phát triển không ngừng của công nghệ, thế giới đangthay đổi một cách mạnh mẽ và nhanh chóng Vai trò của tự động hóa trongvấn đề phát triển kinh tế là vô cùng to lớn, đóng góp một phần không thểthiếu trong cuộc sống, giúp cuộc sống được tiện nghi và thoải mái hơn Ngànhđiều khiển tự động có cơ sở từ cuối thế kỷ XIX đến đầu thế kỷ XX, thực sựphát triển mạnh vào nửa cuối thế kỷ XX và có xu thế ngày càng phát triểnhơn nữa với những kỹ thuật mới, những thuật toán điều khiển mới Ngàynay, hệ thống điều khiển tự động đã phổ biến trong hầu hết các lĩnh vực côngnghệ và phát triển song song với các kỹ thuật tiên tiến như điện tử và máytính

Đối với hệ thống điều khiển tự động, các đặc tính điều khiển được, quansát được, ổn định, v.v đóng vai trò quyết định sự vận hành của hệ thống.Trong đó, tính ổn định của hệ thống đóng vai trò rất quan trọng Có thể thấykhi hệ thống không ổn định sẽ gây ra những bất lợi nhất định làm sai lệchtrong quá trình vận hành, thậm chí gây hỏng hóc hoặc tai nạn Một ví dụ về

hệ thống mất ổn định là khi biên độ trạng thái của hệ tăng lên đến vô cùngmặc dù đầu vào đã được khống chế, điều này rất nguy hiểm bởi có thể gây

ra cháy, nổ, hỏng hóc thiết bị, v.v Do đó, duy trì sự vận hành ổn định của

hệ thống là rất cần thiết

Được sự gợi ý và giúp đỡ của thầy Nguyễn Trung Dũng, tôi chọn đề tài

“Tìm hiểu bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc” làm đề tài khóaluận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của khóa luận là tìm hiểu bài toán ổn định hóa hệ songtuyến tính rời rạc Cụ thể hơn, khóa luận tìm hiểu về:

1 Bổ đề Petersen và bổ đề Petersen mở rộng

2 Bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc

4 Phương pháp nghiên cứu

Khóa luận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov; bất đẳng thức ma trậntuyến tính, giải tích ma trận, các kỹ thuật ước lượng và biến đổi bất đẳngthức ma trận

6 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, khóa luậngồm 2 chương

G + M ∆N + N>∆>M> 4 0 (1.3)đúng khi và chỉ khi tồn tại ε > 0 sao cho

Chứng minh Giả sử bất đẳng thức

G + M ∆N + N>∆>M> 4 0 (1.5)đúng với mọi k∆k ≤ 1 Khi đó, bất đẳng thức tương đương với

x>Gx + 2x>M ∆N x ≤ 0với mọi x ∈ Rn và mọi k∆k ≤ 1 Đặt x>M ∆ = y. >, ta viết bất đẳng thứctrên dưới dạng

x>Gx + 2y>N x ≤ 0với mọi x ∈ Rn và y ∈ Rq sao cho

!,

ở đó I và 0 lần lượt là kí hiệu của ma trận đơn vị và ma trận không có sốchiều thích hợp Khi đó, bất đẳng thức (1.5) tương đương với

z>A0z ≤ 0 với mọi z sao cho z>A1z ≤ 0 (1.6)

Áp dụng bổ đề S−procedure, bất đẳng thức (1.6) tương đương với điềukiện: tồn tại ε ≥ 0 sao cho A0 4εA1, tức là

Nhận xét 1.1.2 Bổ đề Petersen cho một tiêu chuẩn kiểm tra tính xác địnhdấu của họ ma trận G + M ∆N + N>∆>M> Lưu ý rằng ở dạng tươngđương, điều kiện (1.4) có thể được viết như LMI (1.7) đối với đại lượng vôhướng ε Dạng điều kiện này sẽ được sử dụng thường xuyên trong phần tiếptheo.

Giá trị lớn nhất đạt được với ma trận

˜

∆ = ab

>

kak kbk;2

max

−I 4 ∆ 4 Ia>∆b = kak kbk ;nếu các vectơ a và b là phụ thuộc tuyến tính, giá trị lớn nhất đạt được với matrận

˜

∆ = ab

>

kak kbk;nếu trái lại, giá trị lớn nhất đạt được với ma trận

˜

∆ = e2e>2 − e1e>1,trong đó e1 và e2 là các vectơ riêng của ma trận ab>+ ba> tương ứng với cácgiá trị riêng 0 < λ1 < λ2

Chứng minh Khẳng định đầu tiên là hiển nhiên vì các ma trận có hạng 1các chuẩn phổ và chuẩn Frobenius như nhau

Theo kết quả của khẳng định đầu tiên, chúng ta có

max

−I 4 ∆ 4 Ia>∆b ≤ kak kbk Trong trường hợp phụ thuộc tuyến tính của các vectơ a và b, khẳng định làhiển nhiên

Ta xét trường hợp ngược lại, các vectơ a và b là độc lập tuyến tính.

Ta thấy rằng ab> + ba> là ma trận hạng 2 với các giá trị riêng khác không

λ1 < λ2 sao cho

λ1+ λ2 = 2a>b,

λ2− λ1 = 2 kak kbk ,với các vectơ riêng tương ứng e1 và e2 là trực giao Khi đó

ab>+ ba>
e1 = λ1e1,

từ đó ta có

λ1 = e>1 ab>+ ba>

e1 = 2e>1ab>e1.Tương tự, ta có

λ2 = e>2 ab>+ ba>
e2 = 2e>2ab>e2

Ta chứng minh giá trị lớn nhất đạt được với ma trận ∆˜ Thật vậy, ∆˜ làmột ma trận đối xứng có hạng 2 với các giá trị riêng khác không là ±1 Vìthế, −I 4 ∆˜ 4I và

a>∆b = a˜ >(e2e>2 − e1e>1)b = a>e2e>2b − a>e1e>1b

= e>2ab>e2 − e>1ab>e1 = λ2− λ1

2 = kak kbk Cuối cùng, ta thấy rằng vectơ riêng của ma trận ab>+ ba> được cho bởi

G + M ∆N + N>∆>M> 4 0 ∀∆ : k∆kF ≤ 1 (1.9)

G + M ∆N + N>∆>M> 40 ∀∆ : −I 4 ∆4 I (1.10)Chứng minh Điều kiện (1.9) tương đương với bất đẳng thức sau

x>Gx + 2x>M ∆N x ≤ 0 ∀x ∈ Rn

với mọi ∆ : k∆kF ≤ 1 hoặc

x>Gx ≤ −2 max

k∆kF≤1x>M ∆N x ∀x ∈ Rn.Theo khẳng định thứ nhất của Hệ quả 1.2.3, chúng ta có

Sử dụng Bổ đề 1.2.1 ta thu được điều kiện (1.8)

Khẳng định thứ hai của Bổ đề 1.2.4 được chứng minh tương tự đối vớiphần thứ hai của Hệ quả 1.2.3, do đó Bổ đề 1.2.4 được chứng minh

Nhận xét 1.2.1 Từ chứng minh Bổ đề 1.2.4 ta thấy rằng bổ đề Petersenvẫn đúng cho tất cả các lớp nhiễu ∆ ∈ ∆ thỏa mãn điều kiện

max

∆∈∆(∆a, b) = kak kbktrong đó a và b là các vectơ tùy ý với số chiều thích hợp

Sử dụng bổ đề Schur, chúng ta thu được kết quả như sau

Bổ đề 1.2.5 Cho G = G> ∈ Rn×n, M ∈ Rn×q, N ∈ Rn, 0 ≺ Q = Q> ∈

Rq×q Bất đẳng thức ma trận

G + M δN> + N δ>M> ≺ 0đúng với mọi δ ∈ Rq : δ>Qδ ≤ 1 khi và chỉ khi tồn tại số thực ε sao cho

Chương 2

ỔN ĐỊNH HÓA HỆ SONG TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Nội dung chương này tìm hiểu về bài toán ổn định hóa hệ song tuyếntính rời rạc

2.1 Đặt bài toán

Xét hệ điều khiển song tuyến thời gian rời rạc như sau

xk+1 = Axk + buk + Dxkuk, x0 ∈ R, (2.1)trong đó xk ∈ Rn là vectơ trạng thái, uk ∈ R là vector điều khiển đầu vào,

Định nghĩa 2.1.1 Hệ (2.1) được gọi là ổn định hóa được trong ellipsoid

E = {x ∈ Rn : x>P−1x ≤ 1}, P  0,nếu tồn tại bộ điều khiển có dạng (2.2) sao cho với mọi quỹ đạo nghiệm của

hệ đóng (2.3) với điều kiện ban đầu x0 ∈ E ổn định tiệm cận và tiến đến 0.Ellipsoid E được gọi là ellipsoid ổn định hóa tương ứng với điều khiển(2.2)

x>k(A>c QAc + A>cQDxkkT + kx>kD>QAc+ kx>kD>QDxkkT)xk < x>kQxk.

Do đó, nếu điều kiện

Để mọi quỹ đạo nghiệm xk của hệ đóng nằm bên trong ellipsoid, ta phải

Nhận xét 2.2.1 Theo [?] nếu bất đẳng thức ma trận (2.6) đúng kéo theo

sự ổn định Schur của ma trận Ac , điều này có nghĩa là bộ điều khiển (2.2)

với biến ma trận P, biến vector y và tham số ε.

Hệ quả 2.2.2 [5] Gọi bP, yb là nghiệm của bài toán tối ưu lồi

max log det P

Nhận xét 2.2.2 Kết hợp các ràng buộc của bài toán tối ưu trong Hệ quả2.2.2 với bất đẳng thức ma trận tuyến tính

1 x>0

x0 P

!

 0

(tương đương với điều kiệnx>0P−1x0 ≤ 1) đảm bảo điều kiện ban đầu x(0) =

x0 thuộc ellipsoid ổn định hóa của hệ

Ví dụ 2.2.1 Xét hệ song tuyến tính rời rạc (2.1) với các ma trận như sau

−0.3 0.5

! (2.8)Theo Hệ quả 2.2.2, ta tìm được

b

P = 1.4062 0.5314

0.5314 0.4248

!, k =b −1

1.6209

!

Bán kính phổ của ma trận Ac của hệ đóng (2.3) là ρ(Ac) = 0.6209 trong khiρ(A) = 1.618

Ellipsoid ổn định hóa được mô tả trong hình 2.1 như sau

Hình 2.1: Ellipsoid ổn định hóa trong Ví dụ 2.2.1

2.3 Miền ổn định hóa của hệ song tuyến tính rời rạc

Trong mục trước chúng ta đã xây dựng ellipsoid E ổn định hóa hệ (1.8),trong mục này chúng ta xây dựng miền ổn định hóa hệ (1.8) như sau

Từ Nhận xét 2.2.2, miền ổn định A được xây dựng như sau: cho trướcvectơ định hướng c và cực đại hóa giá trị tham số γ với điều kiện điểm γcthuộc ellipsoid ổn định Thật vậy, điều kiện

(γc)>P−1(γc) ≤ 1,theo bổ đề Schur, tương đương với bất đẳng thức ma trận tuyến tính

Định lí 2.3.1 [5] Cho vector c và γb là nghiệm của bài toán quy hoạch

max γvới các điều kiện

trong đó các biến P = P ∈ Rn×n, y ∈ Rn và các tham số γ, ε

Khi đó điểm bγc thuộc miền ổn định hóa A của hệ song tuyến tính (2.1)theo hướng c

Trong mục này, chúng ta sẽ thiết kế bộ điều khiển phản hồi tuyến tính

có dạng (2.2) ổn định hóa hệ (2.10) bên trong ellipsoid

E = {x ∈ Rn : x>P−1x ≤ 1}, P  0,

với mọi nhiễu chấp nhận được ∆.

Nói cách khác, quỹ đạo của hệ (2.10) với điều khiển (2.2), xuất phát ra

từ điểm bất kỳ x0 bên trong ellipsoid E hội tụ về 0 với mọi nhiễu chấp nhậnđược ∆ Ellipsoid E được gọi là ellipsoid ổn định hóa vững ứng với bộ điềukhiển (2.2)

Kết quả dưới đây tương ứng với Định lí 2.2.1

Định lí 2.4.1 [5] Cho ma trận P và vectơ y thỏa mãn bất đẳng thức matrận

với mọi nhiễu chấp nhận được

Chứng minh Sử dụng lập luận như trong chứng minh Định lí 2.2.1, với hàmLyapunov V (x) = x>Qx, Q  0, ta có

Nhận xét 2.4.1 Bất đẳng thức (2.12) cũng đảm bảo sự ổn định Schur của

ma trận Ac = A + F ∆H + bk> của hệ đóng của (2.10) với mọi nhiễu chấpnhận được ∆

Kết quả dưới đây tương ứng với Hệ quả 2.2.2

Hệ quả 2.4.2 [5] Giả sử bP, yb là nghiệm của bài toán tối ưu hóa lồi

max log det P

Định lí 2.4.3 [5] Cho vectơ c và bγ là nghiệm của bài toán quy hoạch sau

max γvới các ràng buộc

−0.3 0.5

!, (2.14)trong đó k(δ1 δ2)k ≤ 0.2, và các ma trận

F = 0

1

!, H = 0.2I

Theo Hệ quả 2.4.2 ta tìm được ma trận

Ellipsoid ổn định hóa vững và miền ổn định hóa vững cho bởi các hìnhsau

Hình 2.2: Ellipsoid ổn định hóa vững từ Ví dụ 2.4.1

Hình 2.3: Miền ổn định hóa vững từ Ví dụ 2.4.1

KẾT LUẬN

Khóa luận “Tìm hiểu bài toán ổn đinh hóa hệ song tuyến tính rời rạc”trình bày về bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc Kết quả đạtđược của khóa luận bao gồm:

1 Đã tìm hiểu về bổ đề Petersen - một bổ đề quan trọng trong việc thiết

kế bộ điều khiển ổn định hóa hệ song tuyến tính cũng như các bổ đề mởrộng của bổ đề Petersen

2 Đã tìm hiểu một cách hệ thống bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tínhrời rạc dựa trên bổ đề Petersen và phương pháp hàm Lyapunov

Tôi xin chân thành cảm ơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] T Alamo, R Tempo, D.R Ramirez, E.F Camacho, A New Vertex Resultfor Robustness Problems with Interval Matrix Uncertainty, in Proc Eur.Control Conf, Kos, Greece, 2007, paper ThC07.3

[2] F Amato, C Cosentino, A Merola, Stabilization of Bilinear Systems viaLinear State Feedback Control, IEEE Trans Circuits Syst II ExpressBriefs, 56 (2009) 76–80

[3] L Brickman, On the Field of Values of a Matrix, Proc Am Math Soc., 12(1961) 61 – 66

[4] S Boyd, L E Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities

in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia, 1994

[5] M.V Khlebnikov, Quadratic Stabilization of Discrete-Time Bilinear tems, Automation and Remote Control, 79 (2018) 1222–1239

Sys-[6] M V Khlebnikov, P S Shcherbakov, Petersen’s Lemma on Matrix tainty and Its Generalizations, Autom Remote Control, 69 (2008) 1932–1945

Uncer-[7] M.V Khlebnikov, New Generalizations of the Petersen Lemma, Autom.Remote Control, 75 (2014) 917–921

[8] M.V Khlebnikov, B.T Polyak, V.M Kuntsevich, Optimization of LinearSystems Subject to Bounded Exogenous Disturbances: The Invariant Ellip-soid Technique, Autom Remote Control, 72 (2011) 2227 – 2275

[9] M.V Khlebnikov, P.S Shcherbakov, Petersen’s Lemma on Matrix tainty and Its Generalization, Autom Remote Control, 69 (2008) 1932 –1945

Uncer-[10] L Xie, Output Feedback H∞ Control of Systems with Parameter tainty, Int J Control, 63 (1996) 741–750

Uncer-[11] P P Khargonekar, I.R Petersen, K Zhou, Robust Stabilization of certain Linear Systems: Quadratic Stabilizability and H∞ Control Theory,IEEE Trans Autom Control, 35 (1990) 356–361

Un-[12] W.-J Mao, J.Chu, Quadratic Stability and Stabilization of Dynamic val Systems, IEEE Trans Autom Control , 48 (2003) 1007–1012.

Inter-[13] W.-J Mao, J Chu, Correction to "Quadratic Stability and Stabilization ofDynamic Interval Systems," IEEE Trans Autom Control, 51 (2006) 1404– 1405

[14] Petersen, I., A Stabilization Algorithm for a Class of Uncertain Systems,Syst Control Lett., 8 (1987) 351 - 357

[15] B.T Polyak, P.S Shcherbakov, The D-decoposition Technique for LinearMatrix Inequalities, Avtom Telemekh., 11 (2006) 159 – 174

[16] J Rohn, Positive Definiteness and Stability of Interval Matrices, SIAM J.Matrix Anal Appl., 15 (1994) 175 – 184