Dạy học khái niệm hình học chủ đề “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” theo định hướng phát triển năng lực học sinh

19 ỨNG DỤNG THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC CÁC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG” THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC VÀ VẬN DỤNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

======

NGUYỄN PHƯƠNG THẢO

DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

======

NGUYỄN PHƯƠNG THẢO

DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học

ThS NGUYỄN VĂN HÀ

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được sự

giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp dạy học và các bạn sinh viên trong khoa Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy,

cô trong tổ phương pháp dạy học và đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Văn Hà -

người đã định hướng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp này

Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có những hạn chế và thiếu sót nhất định Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Phương Thảo

LỜI CAM ĐOAN

Tên em là: Nguyễn Phương Thảo

Sinh viên lớp: K41C - Sư phạm Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em dưới sự chỉ đạo của giáo viên hướng dẫn Và nó không trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Phương Thảo

MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

Chương 1: 3

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3

1.1 Năng lực và năng lực Toán học 3

1.1.1 Năng lực 3

1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh 5

1.2 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học 6

1.2.1 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh 6

1.2.2 Năng lực vận dụng Toán học 7

1.3 Dạy học khái niệm toán học ở trường phổ thông 8

1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm 8

1.3.2 Vị trí khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm 9

1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm ở phổ thông 10

1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm 11

1.3.5 Những con đường tiếp cận khái niệm 12

1.3.6 Hoạt động củng cố khái niệm 14

1.4 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học trong dạy học khái niệm hình học 15

1.4.1 Định hướng chung về phát triển năng lực Toán học của học sinh trong dạy học môn toán 15

1.4.2 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học 15

1.4.3 Phát triển năng lực vận dụng Toán học 17

Tiểu kết chương 1: 18

Chương 2: 19

ỨNG DỤNG THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC CÁC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG” THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC VÀ VẬN DỤNG TOÁN HỌC 19

2.1 Phân tích nội dung chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường phổ thông 19

2.1.1 Nội dung dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10 trường phổ thông 19

2.1.2 Nhiệm vụ dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10 19

2.2 Thiết kế các hoạt động tổ chức dạy học phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học 20

2.3 Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học các khái niệm chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 21

2.3.1 Phương trình tổng quát của đường thẳng 21

2.3.2 Phương trình tham số của đường thẳng 27

2.3.3 Khoảng cách 32

2.3.4 Góc 37

2.3.5 Đường tròn 41

2.3.6 Elip 48

Tiểu kết chương 2: 53

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

Để làm tốt nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới, đặc biệt là về tư duy giáo dục và phương pháp dạy học, trong đó phương pháp dạy học môn toán là một yếu tố quan trọng, bởi vì Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và liên quan đến mọi nghành khoa học khác có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và được coi

là chìa khóa của sự phát triển

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là nội dung quan trọng trong chương trình Toán 10 THPT, thường xuất hiện trong các kì thi quốc gia như tốt nghiệp THPT, tuyển sinh đại học, cao đẳng Tuy nhiên, phương pháp tọa

độ trong mặt phẳng là một trong những nội dung khá khó đối với nhiều học sinh, đôi khi việc tiếp cận các khái niệm của nhiều học sinh còn khó khăn và thụ động

Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: Dạy học khái niệm

hình học chủ đề: “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” theo định hướng phát triển năng lực học sinh

2 Mục đích nghiên cứu

Định hướng chung phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán

ở trường phổ thông

Thiết kế hoạt động dạy học khái niệm toán học thuộc chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10 trường THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh, góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học môn toán ở phổ thông hiện nay

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về lí luận:

+ Năng lực và năng lực toán học của học sinh

+ Định hướng phát triển năng lưc của học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông

+ Dạy học khái niệm toán học và nội dung dạy học khái niệm trong chủ

đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10 trường THPT

- Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10 theo định hướng phát triển

năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học của học sinh

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các khái niệm Toán học thuộc chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10 trường THPT

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học của học sinh, về phương pháp dạy học khái niệm môn toán

Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học của học sinh

Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán thuộc chủ

đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10 trường THPT

Theo quan điểm của những nhà tâm lý học năng lực là tổng hợp các

đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu, đặc trưng của một hoạt động, nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao

Năng lực của con người có đặc điểm sau:

+ Năng lực luôn gắn với một hoạt động cụ thể

+ Năng lực được hình thành và bộc lộ trong hoạt động

+ Năng lực chịu sự chi phối của các yếu tố bẩm sinh di truyền, môi trường và hoạt động của bản thân

Như vậy, năng lực của con người hình thành trên cơ sở chi phối nhiều bởi các yếu tố tư chất của cá nhân, nhưng năng lực của con người không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà hình thành phát triển năng lực

Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực chung và năng lực chuyên môn

+ Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhau như năng lực phán xét tư duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực luyện tập, năng lực tưởng tượng

+ Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trưng trong lĩnh vực nhất định của xã hội như năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội hoạ, năng lực toán học,

Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với nhau, năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng phát triển thì càng dễ thành đạt được năng lực chuyên môn Ngược lại sự phát triển của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hưởng đối với sự phát triển của năng lực chung Trong thực tế mọi hoạt động có kết

quả và hiệu quả cao thì mỗi người đều phải có năng lực chung phát triển ở trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tương ứng với lĩnh vực công việc của mình

Năng lực còn được hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm sinh lý của con người chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo tối thiểu là cái mà người đó có thể dùng khi hoạt động

Để nắm được cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực

ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau:

- Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân người này khác người kia, nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng như ai thì không thể nói về năng lực

- Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt chung chung nào

- Năng lực con người bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc vào sự tổ chức của hệ thống thần kinh trung ương, nhưng nó chỉ được phát triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con người Trong xã hội có bao nhiêu hình thức hoạt động của con người thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực,

có người có năng lực về quản lý kinh tế, có người có năng lực về Toán học,

có người có năng lực về kỹ thuật, có người có năng lực về thể thao

- Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là những hiểu biết thu nhận được từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc sống của mình Kỹ năng là sự vận dụng bước đầu những kiến thức thu lượm vào thực tế để tiến hành một hoạt động nào đó Kỹ xảo là những kỹ năng được lặp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần thục cho phép con người không phải tập trung nhiều ý thức vào việc mình đang làm Còn năng lực là một tổ hợp phầm chất tương đối ổn đinh, cơ bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện

có kết quả một hoạt động Như vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn

1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh

Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học được hiểu dưới hai bình diện sau:

Năng lực nghiên cứu Toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt động Toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và có ý nghĩa với nhân loại

Năng lực Toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình Toán học ở trường phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

- Năng lực Toán học của học sinh:

Từ khái niệm về năng lực ta có thể đi đến khái niệm về năng lực Toán học của học sinh: “Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng được yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong lĩnh vực Toán học tương đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những điều kiện như nhau”

- Trong quá trình tiếp thu tri thức, học sinh tham gia nhiều hình thức hoạt động Toán học Mỗi hoạt động Toán học phức hợp đặc trưng cho một dạng năng lực thành phần Các năng lực thành phần này có quan hệ chặt chẽ với nhau tạo thành một cấu trúc năng lực Toán học Cấu trúc năng lực Toán học bao gồm các dạng năng lực thành phần sau:

+ Năng lực tính toán, giải toán

+ Năng lực tư duy Toán học

+ Năng lực giao tiếp Toán học (Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học) + Năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn

+ Năng lực giải quyết vấn đề

+ Năng lực sáng tạo Toán học

1.2 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học

1.2.1 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh

- Tư duy là một qúa trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết

- Ngôn ngữ là một hệ thống phức tạp con người sử dụng để liên

lạc hay giao tiếp với nhau

- Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ:

Ngôn ngữ cố định lại kết quả của tư duy, là phương tiện biểu đạt kết quả tư duy, do đó có thể khách quan hóa kết quả tư duy cho người khác và cho bản thân chủ thể tư duy

Nhờ có ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức (quy tắc, khái niệm, công thức, quy luật…) và kinh nghiệm của bản thân vào quá trình tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát…) để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật hiện tượng

Ngược lại, nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là những chuỗi âm thanh vô nghĩa Tuy nhiên, ngôn ngữ không phải là tư duy mà chỉ là phương tiện của tư duy

Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh thể hiện qua hai

hoạt động chỉ báo tương ứng:

- Diễn đạt nội dung các kiến thức Toán học, các tình huống Toán học

bằng ngôn ngữ kí hiệu Toán học Ngôn ngữ kí hiệu Toán học là ngôn ngữ

được sử dụng tối đa các kí hiệu Toán học cho các đối tượng tương ứng, đồng thời giảm thiểu ngôn ngữ thông thường - Ngôn ngữ kí hiệu Toán học là ngôn ngữ sử dụng khi viết về nội dung các kiến thức Toán học

- Diễn đạt nội dung các kiến thức Toán học, các tình huống Toán học

bằng ngôn ngữ thông thường Trong ngôn ngữ này không sử dụng kí hiệu

Toán học cho các đối tượng trong đó - Ngôn ngữ thông thường được sử dụng khi nói về nội dung các kiến thức Toán học

+ Vận dụng cấp độ cao (sáng tạo):

Phân tích nhận ra các xu hướng, cấu trúc, những ẩn ý, những bộ phận cấu thành

Yêu cầu là sử dụng khái niệm đã học để giải quyết các vấn đề mới, không giống với những điều đó được học hoặc trình bày trong sách giáo khoa nhưng phù hợp khi được giải quyết với kỹ năng và kiến thức được giảng dạy

ở mức độ nhận thức này

Như vậy, năng lực vận dụng là cấp độ tư duy cao nhất trong lĩnh vực nhận thức các tri thức của học sinh trong học tập

Năng lực vận dụng Toán học của học sinh thể hiện qua các hoạt động

chỉ báo tương ứng sau:

+ Toán học hóa các tình huống của thực tiễn

+ Sử dụng các kiến thức, quy tắc, khái niệm vào giải quyết vấn đề khác tương tự với những điều đã biết trong cuộc sống, trong học tập

+ Sử dụng các kiến thức, quy tắc, khái niệm vào giải quyết vấn đề mới không giống với những điều được học hoặc đã được biết trước

1.3 Dạy học khái niệm toán học ở trường phổ thông

1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm

a) Khái niệm

Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh những tư tưởng chung, đặc trưng, bản chất của lớp đối tượng hoặc quan hệ giữa các đối tượng vào trong

bộ não con người

Như vậy có hai loại khái niệm:

- Khái niệm về lớp đối tượng:

+ Hình chữ nhật: “Hình chữ nhật là hình bình hành và có một góc vuông”

+ Số nguyên tố: “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước

số là 1 và chính nó”

- Khái niệm về quan hệ giữa các đối tượng:

+ Hai tam giác bằng nhau: “Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các góc và các cạnh tương ứng bằng nhau”

+ Hai tam giác đồng dạng: “Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có các góc bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ”

 Nội hàm và ngoại diên của khái niệm

Ngoại diên của khái niệm: Tập hợp các đối tượng hoặc lớp đối tượng phản ánh trong định nghĩa khái niệm

Nội hàm của khái niệm: Tập hợp các thuộc tính chung của lớp đối tượng tương đương hoặc quan hệ đối tượng

Ví dụ 1: Xét khái niệm “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước số là 1 và chính nó”

Ta thấy rằng ngoại diên của khái niệm trên là tập hợp tất cả các số nguyên tố, nội hàm của khái niệm trên là “số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước số là 1 và chính nó”

Giữa nội hàm và ngoại diên có mối quan hệ mang tính quy luật, nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại

 Định nghĩa khái niệm

Định nghĩa một khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác

Ví dụ: “Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau”

 Khái niệm không định nghĩa

Định nghĩa khái niệm mới thường dựa vào khái niệm đã biết Tuy nhiên, quá trình này không thể kéo dài vô hạn, tức là phải có khái niệm được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thủy trong Toán học

Ở trường phổ thông, chúng ta thấy có một số khái niệm cũng không được định nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thể được định nghĩa trong Toán học Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mô tả giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được những khái niệm này và hiểu được chúng một cách trực giác

1.3.2 Vị trí khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm

a) Vị trí khái niệm

Trong vệc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ một khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách

vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Việc hình thành một hệ thống khái niệm Toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức Toán, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm Toán học

b) Yêu cầu dạy học khái niệm

Thông hiểu các dấu hiệu đặc trưng, bản chất của khái niệm

Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm

Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một khái niệm

Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn

Biết phân loại khái niệm và nhận biết được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong hệ thống khái niệm

1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm ở phổ thông

a) Định nghĩa theo phương pháp loại- chủng

- Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp loại - chủng là định nghĩa khái niệm mới bằng cách nêu lên khái niệm loại và chỉ rõ đặc tính của chủng

- Cấu trúc: Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loại + Dấu hiệu đặc trưng của chủng

- Ví dụ: Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau

Trong đó: Hình vuông: Khái niệm được định nghĩa

Hình chữ nhật: Khái niệm loại

Hai cạnh kề bằng nhau: Dấu hiệu đặc trưng của chủng

b) Định nghĩa bằng quy ước

- Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho đối tượng cần định nghĩa một tên gọi hay một đối tượng đã biết nào đó

- Ví dụ: a0 =1 (a  0) Định nghĩa a0

bằng cách gán cho a0 giá trị là số 1

c) Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề

1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm

a) Quy tắc 1: Định nghĩa phải tương xứng

Định nghĩa phải tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm định nghĩa và khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau

Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm quá hẹp hay qúa rộng so với khái niệm được định nghĩa

Ví dụ: Số vô tỉ là số thập phân vô hạn

Ta thấy phạm vi của khái niệm được định nghĩa (Số vô tỉ) nhỏ hơn phạm vi của khái niệm định nghĩa (Số thập phân vô hạn) Vậy định nghĩa khái niệm trên không tương xứng

b) Quy tắc 2: Định nghĩa phải xác định

Định nghĩa xác định là khi định nghĩa một khái niệm mới phải dựa vào khái niệm đã biết trước đó

Ví dụ: Số vô tỉ là số thực không hữu tỷ

Ta thấy định nghĩa số vô tỷ dựa vào khái niệm số thực chưa biết Như yậy định nghĩa khái niệm trên đã vi phạm quy tắc định nghĩa phải xác định

c) Quy tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu

Định nghĩa phải tối thiểu là trong nội dung của khái niệm định nghĩa không chứa những thuộc tính có thể suy ra được những thuộc tính còn lại

Ví dụ: Hình bình hành là tứ giác phẳng có các cạnh đối diện song song

và bằng nhau

Ta thấy, tính chất “các cạnh đối diện song song” đã bao gồm tính chất

“tứ giác phẳng” và có các cạnh đối diện “bằng nhau” Vậy định nghĩa trên vi

phạm quy tắc định nghĩa phải tối thiểu

d) Quy tắc 4: Định nghĩa không dùng lối phủ định

Định nghĩa khái niệm không dùng lối phủ định khái niệm đã biết nào

đó khi khái niệm đã biết và khái niệm cần định nghĩa không phải là hai khái niệm loại trừ nhau (Hai khái niệm là loại trừ nhau nhau nếu chúng có chung khái niệm loài và phạm vi của chúng giao với nhau bằng rỗng, hợp với nhau bằng phạm vi của khái niệm loài)

1.3.5 Những con đường tiếp cận khái niệm

Con đường tiếp cận khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và tư duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh nhờ

mô tả, nhờ trực giác.Trong dạy học, người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm: Con đường quy nạp, con đường suy diễn và con đường kiến thiết

a) Tiếp cận khái niệm theo con đường quy nạp

- Nội dung: Xuất phát từ các trường hợp riêng lẻ, mô hình vẽ, vật

thật,… Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, khái quát hóa,… Tìm ra dấu hiệu đặc trưng của khái niệm và thể hiện ra các trường hợp cụ thể đó, từ

đó đi đến định nghĩa tường minh hay hiểu biết trực giác của khái niệm

- Ưu - Nhược điểm:

Ưu điểm: Rèn luyện được thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp và phát huy được tính tích cực, chủ động, của học sinh

Nhược điểm: Tốn nhiều thời gian

- Điều kiện sử dụng:

a) Tiếp cận khái niệm theo con đường suy diễn

- Nội dung: Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm khái

niệm đó một số đặc điểm mà ta quan tâm để được khái niệm mới

- Quy trình:

+ Bước 1: Chọn một khái niệm đã biết và thêm vào nội hàm của một số thuộc tính nào đó

+ Bước 2: Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới

và định nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hóa hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó

+ Bước 3: Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa

- Ưu - Nhược điểm

Ưu điểm: Tiết kiệm thời gian và thuận lợi cho việc tập dượt cho học sinh tự học những khái niệm Toán học thông qua sách và tài liệu, hoặc nghe những báo cáo trên lĩnh vực Toán học

Nhược điểm: Hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển những năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, trìu tượng hóa và khái quát hóa

- Điều kiện sử dụng:

Khi có thể gọi cho học sinh quan tâm tới một khái niệm làm điểm xuất phát và một đặc điểm có thể bổ sung vào nội hàm của khái niệm đó để định nghĩa một khái niệm khác hẹp hơn

b) Tiếp cận khái niệm theo con đường kiến thiết

- Nội dung: Tiếp cận khái niệm bằng con đường kiến thiết là chỉ rõ quy

trình xây dựng những đối tượng đại diện cho lớp đối tượng riêng lẻ

- Quy trình:

+ Bước 1: Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ Toán học hay từ thực tiễn

+ Bước 2: Khái quát hóa quy trình xây dựng những đối tượng đại diện,

đi tới đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành

+ Bước 3: Phát biểu định nghĩa

- Ưu - Nhược điểm:

Ưu điểm: Thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự giác, tích cực của học sinh và rèn luyện khả năng giải quyết vấn đề

Nhược điểm: Tốn nhiều thời gian

1.3.6 Hoạt động củng cố khái niệm

a) Nhận dạng và thể hiện khái niệm

Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tượng cho trước có

thỏa mãn định nghĩa đó hay không Thể hiện một khái niệm là tạo một đối tượng thỏa mãn định nghĩa đó Nhận dạng và thể hiện khái niệm là hai dạng

hoạt động theo chiều hướng trái ngược nhau, có tác dụng củng cố khái niệm

Thực hiện hoạt động nhận dạng và thể hiện một khái niệm cần lưu ý:

Thứ nhất, cần sử dụng cả những đối tượng thuộc ngoại diên lẫn những

đối tượng không thuộc ngoại diên khái niệm đó

Thứ hai, đối với những đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm đang

c) Hoạt động luyện tập, vận dung

Luyện tập khái niệm là học sinh được tập sử dụng trực tiếp các kiến thức định nghĩa khái niệm giải quyết các vấn đề cơ bản, điển hình trong thực

tế, trong Toán học

Do đó, định hướng phát triển năng lực học sinh trong dạy học kiến thức

mới về môn toán là “Tăng cường cho học sinh được trải nghiệm qua các hoạt

động tư duy trong quá trình hình thành, kiến tạo tri thức; đồng thời chú trọng các hoạt động vận dụng tri thức để giải quyết được vấn đề đặt ra trong các tình huống của thực tiễn” [3]

1.4.2 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh thể hiện qua hai

hoạt động chỉ báo: Diễn tả nội dung các kiến thức, tình huống Toán học bằng

cả n gôn ngữ thông thường và ngôn ngữ kí hiệu Toán học

Do vậy, phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học trong dạy học toán bao gồm phát triển đồng thời cả ngôn ngữ thông thường (Ngôn ngữ nói) và ngôn ngữ kí hiệu Toán học (Ngôn ngữ viết)

- Ngôn ngữ kí hiệu Toán học: (Ngôn ngữ viết)

+ Diễn tả nội dung kiến thức Toán học, tình huống Toán học bằng việc chủ yếu sử dụng các kí hiệu Toán học, trong đó kí hiệu Toán học là tên gọi gán cho từng đối tượng cụ thể trong tình huống đó

+ Kiến thức khi diễn tả bằng ngôn ngữ kí hiệu Toán học sẽ được trình bày một cách ngắn gọn, súc tích Điều đó thuận tiện cho việc ghi chép, lưu

giữ các tri thức dưới dạng thông tin vật chất tồn tại ở bên ngoài trí não của con người Các thông tin đó được ghi lại dưới dạng văn bản tồn tại một cách lâu bền và có thể lưu truyền từ người này sang người khác Tuy nhiên, việc ghi nhớ, lưu giữ các tri thức trong trí não con người là khó khăn, dẫn đến không thể nhanh chóng tái hiện các tri thức trong trí não và không thuận tiện cho việc sử dụng các tri thức trong vận dụng

+ Sử dụng ngôn ngữ kí hiệu Toán học diễn tả tình huống giúp học sinh nhanh chóng nhận rõ nhiệm vụ Toán học của vấn đề cần phải giải quyết và phân biệt rõ ràng cấu trúc trong chứng minh Toán học

- Ngôn ngữ thông thường: (Ngôn ngữ nói)

+ Diễn tả nội dung kiến thức Toán học, tình huống Toán học bằng ngôn ngữ thông thường, không chứa các kí hiệu Toán học là tên gọi gán cho từng đối tượng cụ thể trong tình huống đó Trong ngôn ngữ thông thường, người ta

sử dụng danh từ chung chỉ một loại đối tượng, còn việc phân biệt từng đối tượng cụ thể trong loại đối tượng đó sẽ sử dụng các từ “này”, “khác”, “kia” đi kèm danh từ chung chỉ loại đối tượng chung đó

+ Nội dung kiến thức Toán học mang tính khái quát cao vì trong đó không lệ thuộc vào các kí hiệu cụ thể là tên gọi gán cho các đối tượng trong tình huống

+ Kiến thức diễn tả bằng ngôn ngữ thông thường giúp học sinh dễ dàng ghi nhớ trong trí não, nhanh chóng tái hiện và sử dụng kiến thức để giải quyết các tình huống đặt ra trong thực tiễn

Trong dạy học môn Toán, phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán

học là cho học sinh thường xuyên diễn tả nội dung các kiến thức Toán học,

các tình huống Toán học đồng thời bằng cả ngôn ngữ thông thường (Ngôn

ngữ nói) và ngôn ngữ kí hiệu Toán học (Ngôn ngữ viết)

Trong dạy học khái niệm Toán học, phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học là cho học sinh thường xuyên được trải nghiệm các hoạt động

diễn tả nội dung các kiến thức về khái niệm đồng thời bằng cả ngôn ngữ nói

và ngôn ngữ viết trong quá trình hình thành, củng cố khái niệm Toán học

- Nêu định nghĩa khái niệm:

+ Đồng thời sử dụng ngôn ngữ nói (Ngôn ngữ thông thường) và ngôn ngữ viết (Ngôn ngữ kí hiệu Toán học) để diễn tả khái quát nội dung định nghĩa khái niệm Toán học

- Nêu phương pháp chung để chứng minh một đối tượng thỏa mãn hoặc không thỏa mãn định nghĩa khái niệm

+ Đồng thời sử dụng ngôn ngữ nói (Ngôn ngữ thông thường) và ngôn ngữ viết (Ngôn ngữ kí hiệu Toán học) để nêu phương pháp chung để chứng minh đối tượng thỏa mãn hoặc không thỏa mãn định nghĩa khái niệm

- Nêu tình huống để luyện tập, vận dụng khái niệm:

+ Sử dụng ngôn ngữ nói (Ngôn ngữ thông thường) để diễn tả tình huống có vấn đề cho học sinh thực hiện; tiếp theo sử dụng ngôn ngữ viết (Ngôn ngữ kí hiệu Toán học) để học sinh toán học hóa tình huống đó và giải quyết vấn đề đó

1.4.3 Phát triển năng lực vận dụng Toán học

Phát triển năng lực vận dụng Toán học cho học sinh đòi hỏi quán triệt quan điểm “dạy học thông qua hoạt động và bằng hoạt động” [1] Do vậy, trong dạy học khái niệm hình học chúng ta cần tổ chức cho học sinh được trải nghiệm qua các hoạt động củng cố khái niệm:

- Lưu ý học sinh về hoạt động liên hệ tới các hình ảnh khái niệm được thể hiện trong đời sống thực tế

- Chú trọng các hoạt động sử dụng trực tiếp định nghĩa khái niệm vào giải quyết nhiều tình huống đa dạng, điển hình của môn học ở trường THPT

Tiểu kết chương 1:

- Định hướng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học:

Học sinh thường xuyên được trải nghiệm các hoạt động diễn tả nội

dung kiến thức về khái niệm đồng thời bằng cả ngôn ngữ thông thường và

ngôn ngữ kí hiệu Toán học trong quá trình hình thành khái niệm Toán học

(Khi phát biểu bằng lời nói về nội dung khái niệm thì sử dụng ngôn ngữ thông thường, nhưng khi viết về nó thì sử dụng ngôn ngữ kí hiệu Toán học)

- Định hướng phát triển năng lực vận dụng Toán học:

Học sinh được tăng cường trải nghiệm qua hoạt động liên hệ tới các hình ảnh về khái niệm được thể hiện trong đời sống thực tế; đồng thời chú trọng các hoạt động sử dụng trực tiếp định nghĩa khái niệm vào giải quyết nhiều tình huống đa dạng, điển hình của môn học ở trường THPT

Chương 2:

ỨNG DỤNG THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC CÁC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG” THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC VÀ VẬN DỤNG TOÁN HỌC 2.1 Phân tích nội dung chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường phổ thông

2.1.1 Nội dung dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp

10 trường phổ thông

- Phương trình tổng quát của đường thẳng: Vectơ pháp tuyến, xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng, các dạng đặc biệt của phương trình

tổng quát đường thẳng, vị trí tương đối của hai đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng; phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng

- Khoảng cách và góc: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng,

vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng

- Đường tròn: Phương trình đường tròn, nhận dạng phương trình đường tròn, phương trình tiếp tuyến của đường tròn

- Ba đường cônic: Elip, hypebol, parabol

2.1.2 Nhiệm vụ dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp

- Nhận biết được vị trí tương đối của hai đường thẳng qua các phương

- Học sinh nhận biết được khái niệm và nhận dạng được ba đường cônic: Elip, hypebol, parabol

- Hình thành cho học sinh kĩ năng vận dụng phương pháp tọa độ để giải

toán hình học phẳng

2.2 Thiết kế các hoạt động tổ chức dạy học phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học

- Định hướng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học:

Thường xuyên cho học sinh được trải nghiệm các hoạt động ngôn ngữ

khi diễn tả nội dung kiến thức khái niệm đồng thời bằng cả ngôn ngữ thông thường và ngôn ngữ kí hiệu Toán học trong quá trình hình thành, củng cố

khái niệm Toán học

- Thiết kế các hoạt động tổ chức dạy học khái niệm hình học theo

hướng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học:

Chú trọng thiết kế các hoạt động ngôn ngữ khi diễn tả nội dung kiến

thức khái niệm đồng thời bằng cả ngôn ngữ thông thường và ngôn ngữ kí hiệu Toán học trong quá trình hình thành, củng cố khái niệm:

+ Khái quát hóa diễn dạt định nghĩa khái niệm

+ Phát biểu các định nghĩa tương đương của khái niệm

+ Nêu phương pháp chứng minh chung một đối tượng thỏa mãn hoặc không thỏa mãn định nghĩa khái niệm

+ Nêu tình huống vấn đề cho học sinh vận dụng bằng ngôn ngữ thông thường và yêu cầu học sinh Toán học hóa tình huống đó, từ đó tìm cách giải quyết vấn đề đã đặt ra

Học sinh được tăng cường trải nghiệm qua hoạt động liên hệ tới các hình ảnh về khái niệm được thể hiện trong đời sống thực tế, đồng thời chú trọng các hoạt động sử dụng trực tiếp định nghĩa khái niệm vào giải quyết nhiều tình huống đa dạng, điển hình của môn học ở trường THPT

- Thiết kế các hoạt động tổ chức dạy học khái niệm hình học theo

hướng phát triển năng lực vận dụng Toán học

+ Lưu ý học sinh về hoạt động liên hệ tới các hình ảnh khái niệm được thể hiện trong đời sống thực tế

+ Chú trọng các hoạt động sử dụng trực tiếp định nghĩa khái niệm vào giải quyết nhiều tình huống đa dạng, điển hình của hình học phẳng (Ứng dụng vào giải toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ)

2.3 Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học các khái niệm chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

2.3.1 Phương trình tổng quát của đường thẳng

giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn Bây

giờ, cô kiểm tra lại kiến thức đó qua bài

II Giới thiệu bài

Qua 2 cách giải của hệ phương trình ở

trên chúng ta thấy rằng: Khi đưa vào

trong mặt phẳng 1 hệ trục tọa độ, ta thấy

mối liên hệ chặt chẽ giữa phương pháp

đại số với phương pháp đồ thị

Tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng

chính là nghiệm của hệ phương trình

đại số

Vấn đề đặt ra là liệu có thể xem xét 2

đường thẳng (đồ thị của 2 hàm số) có

vuông góc với nhau hay không mà

không cần đo đạc trực tiếp

Vì vậy trong chương 3 chúng ta nghiên

cứu hình học nhờ công cụ đại số Đó là

chương III “Phương pháp tọa độ trong

- Học sinh quan sát hình vẽ trên máy

chiếu và có nhận xét gì về giá của các

vectơ n , n , n1 2 3so với đường thẳng  ?

- Dẫn dắt học sinh đi tới định nghĩa vectơ

pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa: Vectơ n khác 0, có giá

vuông góc với đường thẳng  gọi là

vectơ pháp tuyến của đường thẳng 

- Chúng ta có nhận xét gì về vectơ pháp

tuyến của đường thẳng 

+ Mỗi đường thẳng có bao nhiêu vectơ

pháp tuyến? Chúng liên hệ với nhau thế

“Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm

I(x 0 ; y 0 ) và vectơ n a b( ; )  0 Gọi  là

đường thẳng đi qua I, có vectơ pháp

tuyến là n Tìm điều kiện của x và y để

phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa: Trong mặt phẳng tọa độ, mọi

đường thẳng đều có phương trình tổng

+ Có duy nhất  qua I và n0 là VTPT

b Bài toán

“Trong Oxy, I(x0; y0), vectơ n(a; b)  0 Gọi ∆: I  ∆ & n- VTPT Tìm điều kiện x, y để M(x; y)  ”

Lời giải:

M IM n IM.n0

Ta có: IM(x  x ; y0  y )0 và n(a; b)Nên (*)a(xx ) b(y y )0   0 0

Mỗi phương trình sau có phải là phương

trình tổng quát của đường thẳng không?

Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của

phải là phương trình tổng quát của đường

hẳng hay không ta đi kiểm tra điều kiện

a) 7x   5 0 b) mx  (m 1)y 3    0 c) kx  2ky 1   0

Lời giải:

a) Có, một VTPT n (7;0)1 ; b) Có, một VTPT n (m; m 1)2  ; c) Có, khi k  0, một VTPT

a)+ Đường cao  đi qua điểm nào ?

+ Vectơ pháp tuyến của ?

b) Tìm tọa độ trực tâm của ABC

+ Viết phương trình  ' đường cao kẻ từ





d Các dạng đặc biệt của của phương

b) Đường cao ' đi qua điểm B(-1;3)

và nhận AC  (3; 3)  làm VTPT nên

có phương trình là  ' : x – y + 4 = 0 Tọa độ trực tâm H cần tìm :



 Lời giải:

Gọi n , n1 2lần lượt là vectơ pháp tuyến của  1, 2

Do n n1 2   0 n1 n2    1 2

d Các dạng đặc biệt của của phương trình tổng quát