Bài tập toán lớp 8 có lời giải

M C L C Ụ Ụ

CH ƯƠ NG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA TH C Ứ Trang 2

CH ƯƠ NG 3: PH ƯƠ NG TRÌNH B C NH T M T N Ậ Ấ Ộ Ẩ Trang 31

CH ƯƠ NG 4: B T PH Ấ ƯƠ NG TRÌNH B C NH T M T N Ậ Ấ Ộ Ẩ Trang 42

CH ƯƠ NG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA TH C Ứ

BÀI 1 NHÂN Đ N TH C V I ĐA TH C Ơ Ứ Ớ Ứ

LÝ THUY T Ế

Ch ng khác gì nhân m t s v i m t t ng: ẳ ộ ố ớ ộ ổ

* Quy t c ắ

Mu n nhân m t đ n th c v i m t đa th c, ta nhân đ n th c v i t ng h ng t c a đa th c r i c ngố ộ ơ ứ ớ ộ ứ ơ ứ ớ ừ ạ ử ủ ứ ồ ộ các tích v i nhauớ

Ví d : ụ −2xy2(x3y−2x2y2 +5xy3)

5 2 4 3 3 4

3 2 2

2 2 3

2

y 10x y 4x y 2x

.5xy 2xy y

.2x 2xy y x 2xy

− +

−

=

− +

−

=

BÀI 2 NHÂN ĐA TH C V I ĐA TH C Ứ Ớ Ứ

LÝ THUY T Ế

Các phép tính v i đa th c đ u quy v các phép tính v i đ n th c ớ ứ ề ề ớ ơ ứ

1 Quy t c ắ

(A−B)(C−D)=AC−AD−BC+BD

Mu n nhân m t đa th c v i m t đa th c, ta nhân m i h ng t c a đa th c này v i t ng h ng t c aố ộ ứ ớ ộ ứ ỗ ạ ử ủ ứ ớ ừ ạ ử ủ

đa th c kia r i c ng các tích v i nhauứ ồ ộ ớ

* L u ý ư

- Thu g n các h ng t đ ng d ng (n u có) trọ ạ ử ồ ạ ế ước khi nhân và sau khi nhân

- N u ph i nhân nhi u đa th c, m i l n ch nhân t ng hai đa th c ế ả ề ứ ỗ ầ ỉ ừ ứ

Ví d : ụ (2x−3y)(2x+3y)(3x+4y)(4x−3y)

4 2

2 2 3

4

4 3

2 2 2

2 3

4

2 2

2 2

2 2

2 2

108y 63xy

y 156x y

28x 48x

108y 63xy

y 108x y

48x y 28x 48x

12y 7xy 12x

9y 4x

12y 16xy 9xy 12x

9y 6xy 6xy 4x

+

−

− +

=

+

−

−

− +

=

− +

−

=

− +

−

−

− +

=

2 Nhân hai đa th c đã s p x p ứ ắ ế

Các bước th c hi n: ự ệ

- Đa th c n vi t dứ ọ ế ưới đa th c kia, hai đa th c cùng vi t theo lũy th a gi m d n ho c tăng d n c aứ ứ ế ừ ả ầ ặ ầ ủ

bi nế

- K t qu c a phép nhân m i h ng t c a đa th c th hai v i đa th c th nh t đế ả ủ ỗ ạ ử ủ ứ ứ ớ ứ ứ ấ ược vi t riêngế trong m t dòngộ

- Các đ n th c đ ng d ng đơ ứ ồ ạ ượ ếc x p vào cùng m t c tộ ộ

* L u ý ư

- N u đa th c có nhi u bi n, ta ch n m t bi n làm bi n chính và s p x p các đa th c theo bi nế ứ ề ế ọ ộ ế ế ắ ế ứ ế chính đó

- V i đa th c nhi u bi n, tr trớ ứ ề ế ừ ường h p đ bài ch đ nh, ngợ ề ỉ ị ười ta ít dùng cách nhân này

BÀI T P Ậ

Bài 1 Cho các đ n th cơ ứ

2y ax 4

3

;

x a 9

2

;

3y

C=− Tính:

3

2C A.B

Bài 2 Cho các đa th c: ứ

1 3x C 2;

3y B x;

2y

Tính:

a) B−A+C

b) 6x2A−[4x2B−2xC]

Bài 3 Th c hi n các phép tính: ự ệ

a) x(1−3x)(4−3x) (− x−4)(3x+5)

b) (4x2 +2x−1)(12x3 −6x2 +3x−3)

c) (x2y−xy2)(x4y2+x3y3+x2y4)

Bài 4 Th c hi n phép nhân b ng hai cách: ự ệ ằ

a) (5x2−3x3+4x−1)(−2x2+3−6x)

b) (2x2−3x+2x4−5)(−5x−x2 −4+3x4)

c) (x3−y3−2xy2)(y3−2x2y+x3)

Bài 5 Thu g n r i tính giá tr các bi u th c sau: ọ ồ ị ể ứ

a) A=(x2 −x+3)(−2x2+3x+5)

v i ớ

2

b) B=(4a2−2ab+b2) (2a+b)

1 b

; 2

1

c) C=(x2+y2)(x2y+y3) (− x4+y4)y

v i ớ

2 y 1,5;

Bài 6 Ch ng t các bi u th c sau: ứ ỏ ể ứ

a) Không ph thu c vào bi n x: ụ ộ ế

i) (3x+7)(2x+3) (− 3x−5)(2x+11)

ii) (3x2−2x+1)(x2+2x+3) (−4xx2 −1)−3x2(x2 +2)

b) Không ph thu c vào bi n x, y: ụ ộ ế

i) (x−1) (x2 +y) (− x2−y) (x−2) (−x x+2y) (+3 y−5)

ii) 6(x3y+x−3) (−6x2xy3+1)−3x2y(2x−4y2)

c) Không ph thu c vào bi n y:ụ ộ ế









 −

−

− +

2

y 3

4 2

1 6 2y x 4y 2xy x

Bài 7 Ch ng minh các đ ng th c sau: ứ ẳ ứ

a) acx3+bc=ax(dx−c)−bx(cx−d) (+ ax+b) (cx2−dx+c)

b) (a+b+c) (a2+b2+c2−ab−bc−ca)=a3+b3+c3−3abc

c) (a+b+c)3 =a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)

Bài 8 Tìm x:

a) 4(x+3)(3x−2) (−3x−1)(4x−1)=−27

b)

(x+1) (3x2 −x+1)+x2(4−3x)=52

c) 2(x−2)(x+2) (+4 x−2)(x+1) (+ x+2)(8−5x)=0

d) (2x+1)(5x−1)=20x2−16x−1

e) 4x(2x2−1)+27=(4x2+6x+9) (2x+3)

Bài 9

a) Cho A=x(2x−3)−2x(x+1)

Ch ng minh r ng A luôn chia h t cho 5 v i m i s nguyên x ứ ằ ế ớ ọ ố b) Cho B=(3x−4)(4y−3) (− 4x−3)(3y−4)

Ch ng minh r ng B chia h t cho 7 v i m i s nguyên x, yứ ằ ế ớ ọ ố

Bài 10

a) Tìm 4 s t nhiên liên ti p Bi t r ng tích c a hai s đ u nh h n tích c a hai s cu i là 38 ố ự ế ế ằ ủ ố ầ ỏ ơ ủ ố ố

b) Cho a, b là hai s t nhiên Bi t a chia cho 3 d 1, b chia cho 3 d 2 Ch ng minh r ng: a.b chia choố ự ế ư ư ứ ằ

3 d 2ư

c) Cho hai s a và b, bi t: ố ế

999 91

a=

(có 2005 ch s mà 2004 ch s đ u đ u b ng 9)ữ ố ữ ố ầ ề ằ

222 22

b=

(có 2005 ch s đ u b ng 2)ữ ố ề ằ

Ch ng minh r ng: ab – 5 chia h t cho 3 ứ ằ ế

Bài 11 Tính (v i ớ

* N

n∈ ):

a) A=2x(3xn − 1+1)+6xn(x2−1)

b) B=3xn − 2(xn + 1−yn + 2)+yn + 2(3xn − 2−yn − 2)

c) C=yn+1(2xn−1−yn−1)+2xn−1(xn+1−yn+1)

Bài 12 Tính giá tr c a bi u th c: ị ủ ể ứ

a) A b c ab ac abc

2 2 3

3+ + + −

=

, bi t ế a+b+c=0

b) B x 5x 5x 5x 5x 1

2 3 4

=

v i ớ x=4

c) C x 80x 80x 80x 80x 15

4 5

6

=

v i ớ x=79

4 2003.2005

5 2005

4 2003

2002 4 2005

1 3 2003

1

1 1113

5 1113

1112 5 1111

1110 1 1113

1 4 1111

1 3

Bài 13 So sánh A và B, bi t: ế

2225 2218.2223

2226 2219.2221

3001 3003.2996

2997 3004.2999

BÀI 3, 4, 5 NH NG H NG Đ NG TH C ĐÁNG NH Ữ Ằ Ẳ Ứ Ớ

LÝ THUY T Ế

I Các h ng đ ng th c đáng nh ằ ẳ ứ ớ

1) Bình phương c a m t t ng: ủ ộ ổ

B 2AB A

B

2) Bình phương c a m t hi u:ủ ộ ệ

B 2AB A

B

3) Hi u hai bình phệ ương:

(A B)(A B)

B

A2 − 2 = − + 4) L p phậ ương c a m t t ng: ủ ộ ổ

B 3AB B

3A A B

5) L p phậ ương c a m t hi u:ủ ộ ệ

B 3AB B 3A A B

6) T ng hai l p phổ ậ ương:

3

3 B A B A AB B

7) Hi u hai l p phệ ậ ương:

3

3 B A B A AB B

8) Bình phương m t t ng 3 h ng t : ộ ổ ạ ử

(A+B−C)2 =A2 +B2+C2 +2AB+2BC+2CA

(A−B−C)2 =A2+B2+C2−2AB+2BC−2CA

II M t s d ng th ộ ố ạ ườ ng ng d ng ứ ụ

1) A2 +B2 =(A+B)2− =(A−B)2 +

2) A3+B3 =(A+B)3−3AB( + )

3) A3−B3 =(A−B)3+3AB( − )

4) A4 +B4 =(A2+B2)2− =(A2−B2)2+

III M t s ng d ng ộ ố ứ ụ

1) Tính nh m: ẩ 992 =(100−1)2 =1002−2.100.1+12 =9801

2) Vi t bi u th c sau dế ể ứ ướ ại d ng tích 2 bi u th c: ể ứ

3 3

2

2 4b 20ab;B 8x 27y 25a

* A 25a 4b 20ab

2

2 + −

b 2 a 5 b 2 b 2 a 2.5 a

=

* B=8x3+27y3 =( ) ( ) (2x 3+ 3y3 = 2x+3y) ( ) [ 2x 2−2x.3y+( )3y2]=(2x+3y) (4x2−6xy+9y2)

3) Ch ng minh: ứ A x 4x 5

2+ +

=

luôn có giá tr dị ương và B 2x 12x 20

2 + −

−

=

luôn có giá tr âm ị ∀x∈R

* A=x2+2.x.2+22 +1=(x+2)2+1

(x 2) 0 A (x 2) 1 1 0 R,

∀

(đpcm)

* B=−2(x2−6x+10)=−2[x2 −2.x.3+32+1]=−2[ (x−3)2+1]=−2(x−3)2−2

(x 3) 0 2(x 3) 0 B 2(x 3) 2 2 0 R,

∀

(đpcm) 4) Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ M x 2x 8

2+ −

=

và tìm giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủ N 4x 4x 3

2+ +

−

=

* M=x2 +2x−8=x2+2.x.1+12−9=(x+1)2−9

( )







−

=

⇔

= +

⇔

= +

⇔

−

=

−

≥

− +

=

⇒

≥ +

∈

∀

1 x 0 1 x 0 1 x 9 M

9 9 1 x M 0 1 x R, x

2

2 2

V y GTNN c a M là ậ ủ −9

khi x=−1

(ho c ặ minM=−9⇔x=−1

)

* N=−4x2 +4x+3=−(4x2 −4x−3)=−[ ( )2x 2−2.2x.1+12−4]=−[ (2x−1)2−4]=−(2x−1)2+4









−

=

⇔

= +

⇔

= +

−

⇔

=

≤ + +

−

=

⇒

≤ +

−

∈

∀

2

1 x 0 1 2x 0 1 2x 4

N

4 4 1 2x N

0 1 2x R, x

2

2 2

V y GTLN c a N là 4 khi ậ ủ 2

1

x=−

1 x 4

)

BÀI T P Ậ

Bài 14 Dùng h ng đ ng th c đ khai tri n và thu g n: ẳ ẳ ứ ể ể ọ

a) ( )2

5 3x+

b)

2 2 3

1









 +

c) ( )2

4y 5x−

d) ( 2 3 )2

x 3y y 2x −

e) (5x−3)(5x+3)

f) (6x+5y)(6x−5y)

g) (−4xy−5)(5−4xy)

h) (a2b+ab2)(ab2 −a2b)

i) ( )2 ( )( ) ( )2

x 4 x 4 4 3x 2 4

j) ( )2 ( 2 ) ( )2

1 3a 1 9a 2 1

k) (a2+ab+b2)(a2−ab+b2) (− a4+b4)

Bài 15 Vi t các bi u th c sau dế ể ứ ướ ại d ng bình phương c a m t t ng ho c m t hi u:ủ ộ ổ ặ ộ ệ

a) x 2x 1

2+ +

b)

2 4x 4x

1− +

c) a 9 6a

2 + − d)

2

2 60ab 25b

e) 4x 4x 1

2

4− +

f)

3 2 6

4 16y 24x y

Bài 16 Vi t các bi u th c sau dế ể ứ ướ ại d ng m t tích các đa th c:ộ ứ

a) 16x 9

2−

b)

4

2 25b 9a −

c)

4 y

81−

d) (2x+y)2−1

e) ( ) (2 )2

z y x z y

Bài 17 Tính nhanh:

a) 99 2.99 1

2+ +

b)

2

2 128.36 36

c)

2

2 288.14 28

d) (123+1)(123−1)−36.46

e) (202 +182+162+ +42 +22) (−192+172+152 + +32 +12)

Bài 18 Dùng h ng đ ng th c đ khai tri n và thu g n: ằ ẳ ứ ể ể ọ

a)

3 2 3

1









 +

b) ( 2 )3

3xy y 2x −

c)

3 2 2

4 x y 2

1









− +

d)

3 3

2 2a b ab

3

1











− −

e) (x+1) (3− x−1)3−6(x−1)(x+1)

f) x(x−1)(x+1) (− x+1) (x2−x+1)

g) (x 1) (3 x 2) (x2 2x 4) 3(x 4)(x 4)

− + + +

− +

−

−

h) 3x2(x+1)(x−1)+(x2 −1) (3− x2 −1)(x4+x2 +1) k) (x4−3x2+9)(x2+3) (+ 3−x2)3−9x2(x2−3)

l) (4x+6y) (4x2−6xy+9y2)−54y3

Bài 19 Bi n đ i các bi u th c sau thành tích các đa th c: ế ổ ể ứ ứ

a) x 8

3+

b)

3 8y

27−

c)

1

y6+

d)

3

3 y 8

1

e)

9

6 27y 125x −

f) 64

y 125

x6 3

−

g) 16x2(4x−y)−8y2(x+y)+xy(16x+8y)

Bài 20 Đi n h ng t thích h p vào ch có d u * đ có h ng đ ng th c: ề ạ ử ợ ỗ ấ ể ằ ẳ ứ

*

*

* 4x

*

* 4

*

c) 2 ( )2

*

*

* x

*

* 4 2a

e) 4y2−*=(*−3x)(*+*)

f)

(3y *)(* *)

4

1

g) 8x3+*=(*+2a) (4x2−*+*)

h) *−27y3 =(4x−*) (9y2 +*+*)

i)

y 2

1

*

*









 +

= +

j) *−*=(4y−*)(*+y+*)

k) 64a3+*+*+27b3 =(*+*)3

l) 8x3 −*+*−*=(*−3y)3 m) (*−*)3 =x3−*+12xy2−*

n) (*+*)3 =*+108x2y+144xy2+*

Bài 21 Tìm x, bi t:ế

a) x 2x 1 25

2− + =

b) (5x+1) (2 − 5x−3)(5x+3)=30

c) (x−1) (x2+x+1)−x(x+2)(x−2)=5

d) (x 2) (3 x 3) (x2 3x 9) 6(x 1)2 15

= + + + +

−

−

−

e) 6(x 1)2 2(x 1)3 2(x 1) (x2 x 1) 1

= + +

− + +

− +

Bài 22 Tính giá tr c a các bi u th c: ị ủ ể ứ

a) A 4x 8x 5

2+ +

=

v i x = 49 ớ b) B x 3x 3x 1

2

3+ + +

=

v i x = 99ớ c) C x 9x 27x 26

2

3− + −

=

v i x = 23 ớ d) ( ) (2 )( ) ( )2

5 2x 5 2x 6 4x 3

2x

v i x = 99 ớ

Bài 23 Tìm x, y bi t: ế

a)

0 5 4y 2x y

x2+ 2− + + =

b)

0 18 12y 6x 4y

x2+ 2+ − + =

c)

0 9 6x 12xy 9y

5x2 + 2− − + =

d)

0 41 8y 10x 2xy 2y

Bài 24 Ch ng minh các đa th c sau luôn luôn dứ ứ ương v i m i x, y: ớ ọ

a) x 2x 2

2+ +

b) 4x 12x 11

2 − + c) x x 1

2 − +

d)

6 4y y 2x

x2− + 2+ +

Bài 25 Ch ng minh các đa th c sau luôn âm v i m i x: ứ ứ ớ ọ

a) x 6x 15

2 + −

−

b) 9x 24x 18

2 + −

−

c) (x−3)(1−x)−2

d) (x+4)(2−x)−10

Bài 26 V i giá tr nào c a bi n, các đa th c sau có giá tr nh nh t? Tìm giá tr nh nh t đóớ ị ủ ế ứ ị ỏ ấ ị ỏ ấ

a) 4x 12x 11

2 − +

b)

7 4x y 2x

x2− + 2− +

c) x x 1

2 + +

d) (x−1)(x+2)(x+3)(x+6)

Bài 27 V i giá tr nào c a bi n, các đa th c sau có giá tr l n nh t? Tìm giá tr l n nh t đóớ ị ủ ế ứ ị ớ ấ ị ớ ấ

a) x 4x 4

2 + −

−

b) x x 6

2 + +

− c) x 6x 15

2+ −

−

d)

5 4y 4y 2x

x2+ − 2− +

−

Bài 28 So sánh:

a) A=1997.1999

và

2 1998

B=

b)

2 1998 1994.1996

C=

và D 1995 .1997.1999

2

=

c) E=( )3+1(32+1)(34+1)( )(38+1 316+1)

và F 3 1

32−

=

Bài 29 Ch ng minh các đ ng th c sau: ứ ẳ ứ

a) N u a + b + c = 2p thì ế 4p(p−a)=b2 +c2−a2+2bc

b) N u x + y = a và xy = b thì ế

2b a y

x2 + 2 = 2 −

và

3ab a

y

x3+ 3 = 3−

c) (a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd) (2+ ad−bc)2

d) N u a + b + c = 0 thì ế a b c 3abc

3 3

3+ + =

e) N u ế

0 c

1 b

1 a

thì (a+b) (a2 +b2)(a4+b4)(a8+b8) ( a32+b32)=a64−b64 g) N u a = b + c thì ế a c

b a c a

b a 3 3

3 3

+

+

= + +

Bài 30

a) Áp d ng đ nh lý Pytago Ch ng minh r ng n u ta có a, b, c > 0 sao cho ụ ị ứ ằ ế

2 2 2

2 n ;b m n m

;

2mn

c=

thì các s đó 3 c nh c a m t tam giác vuôngố ạ ủ ộ b) Các c nh góc vuông c a m t tam giác vuông có đ dài a, b và di n tích b ng S Tính các góc c aạ ủ ộ ộ ệ ằ ủ

tam giác vuông đó n u bi t ế ế (a+b)2 =8S

c) Ch ng minh r ng n u a, b, c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác vuông (v i a là đ dài c nh huy n)ứ ằ ế ộ ạ ủ ộ ớ ộ ạ ề thì các s x, y, z sau đây cũng là đ dài các c nh c a tam giác vuông: ố ộ ạ ủ

4c b 4a y 8c;

4b 9a

;

7c 4b 8a

BÀI 6, 7, 8 PHÂN TÍCH ĐA TH C THÀNH NHÂN T Ứ Ử

LÝ THUY T Ế

Phân tích đa th c thành nhân t là vi t đa th c đó dứ ử ế ứ ướ ại d ng tích các đ n th c và đa th c khácơ ứ ứ

1 Ph ươ ng pháp đ t nhân t chung ặ ử

Khi các h ng t c a m t đa th c có chung m t nhân t , ta có th đ t nhân t chung đó ra ngoài d uạ ử ủ ộ ứ ộ ử ể ặ ử ấ ngo c d a vào công th c: ặ ự ứ

A AD AC

[A là nhân t chung]ử

Ví d 1 Phân tích các đa th c sau thành nhân t : ụ ứ ử

a) 9x4y3−18xy2z3+27x2y2z2 =9xy2(x3y−2z3+3xz2)

[nhân t chung là 9xyử 2] b) 25x3y(x−y)−5x2y(x−y)=5x2y(x−y)(5x−1)

[nhân t chung là: 5xử 2y(x – y)]

* Có khi ph i đ i d u đ làm xu t hi n nhân t chungả ổ ấ ể ấ ệ ử

Ví d 2 Phân tích các đa th c sau thành nhân t : ụ ứ ử

a) 2x(x−y) (− y−x)=2x(x−y) (+ x−y) (= x−y)(2x+1)

[nhân t chung là x – y]ử b) 5x(x−2) (+32−x)2 =5x(x−2) (+3x−2) (2 = x−2) [5x+3(x−2) ]=(x−2)(8x−6) (=2 x−2)(4x−3)

c)

(x 1) (1 x) 3x(1 x) (1 x) (1 x) [3x (1 x) ] (1 x) (4x 1)

i24h.net //giaideth

: https