Đề cương ôn tập tốt nghiệp toán ĐH

Cơ sở giáo dục học Dạy học phát hiện và GQVĐ phù hợp với nguyên tắc tính tự giác và tích cực, vì nó khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi động cơ trongquá trình

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN

b Cơ sở tâm lí học

Theo các nhà tâm lí học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhucầu tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, mộttình huống gợi vấn đề

c Cơ sở giáo dục học

Dạy học phát hiện và GQVĐ phù hợp với nguyên tắc tính tự giác và tích cực, vì

nó khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi động cơ trongquá trình phát hiện và GQVĐ

Dạy học phát hiện và GQVĐ cũng biểu hiện sự thống nhất giữa kiến tạo tri thức,phát triển năng lực trí tuệ và bồi dưỡng phầm chất Những tri thức mới (đối với HS)được kiến tạo nhờ quá trình phát hiện và GQVĐ

 Mục tiêu dạy học không phải chỉ là làm cho HS lĩnh hội kết quả của quá trình pháthiện và GQVĐ, mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những quátrình như vậy Nói cách khác, HS được học bản thân việc học

2 Trình bày những cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề, lấy ví dụ minh họa.

(i) Dự đoán nhờ NX trực quan và thực nghiệm (tính toán, đo đạc, )

VD 1 Từ KQ đo các góc của một số tam giác bằng thước đo góc và tính tổng củachúng, gợi ra VĐ phải chăng tổng các góc của một tam giác luôn bằng 180°

VD 2 Từ ĐN hbh, HS mới chỉ biết rằng các cạnh đối của hbh song song với nhau.Song, nhìn nhiều hình vẽ hbh bằng mắt thường và có thể đo đạc kiểm chứng, họ cònthấy rằng các cạnh đối của hbh cũng bằng nhau Từ đó gợi ra VĐ: Phải chăng trongmột hbh, các cạnh đối luôn luôn bằng nhau?

(ii) Lật ngược VĐ

VD Sau khi HS đã học định lí Pitago: “Trong một tam giác vuông, bình phương cạnhhuyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông”, có thể lật ngược VĐ: “Nếutrong một tam giác mà bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của haicạnh kia” thì tam giác đó có phải là một tam giác vuông hay không?

(iii) Xem xét tương tự

VD Từ điều đã biết là “Tổng các góc trong của một tam giác bằng 180° hay 2v” cóthể suy ra điều gì về tổng các góc trong của một tứ giác? Tổng các góc trong của mộttam giác luôn bằng một hăng số, vậy tổng các góc trong của một tứ giác (lồi) có phải

là một hằng số hay không?

(iv) Khái quát hóa

VD KQ các TH tam giác và tứ giacst, có thể gợi ra VĐ “Tổng các góc trong của một

đa giác (lồi) có phải là một hằng số hay không?”

(v) Giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải

Người học có thể đứng trước một tình huống gợi VĐ nếu được yêu cầu giảimột bài tập mà người đó chưa biết thuật giải để giải trực tiếp

Tình huống (v): Khi HS được giao một bài tập mà họ chưa biết thuật giải đểgiải trực tiếp thì tức là tình huống có bao hàm một VĐ VĐ này gợi nhu cầu nhậnthức và khơi dậy ở họ niềm tin vào khả năng huy động tri thức, kĩ năng của bản thânvào việc giải quyết VĐ, bởi vì kinh nghiệm từ quá trình học tập cho họ thấy rằng mỗibài tập thầy ra đều dẫn đến một kĩ năng naod đó, và họ cũng thấy rằng khi giải nhữngbài tập như vậy chỉ cần sử dụng những tri thức đã được học

(vi) Tìm sai lầm trong lời giải

GV đưa ra một lời giải (có thật hay hư cấu) để HS phát hiện sai lầm cũng tạo ramột tình huống gợi VĐ

Tình huống (vi): Khi HS được yêu cầu tìm sai lầm trong một lời giải (có thậthoặc hư cấu) do thầy đưa ra thì tức là tình huống bao hàm một VĐ, bởi vì nói chungkhông có thuật giải để phát hiện sai lầm Tình huống này gợi nhu cầu nhận thức bởi

lẽ bản thân HS cũng rất muốn tìm ra sai lầm của lời giải, không thể chấp nhận một lờigiải sai Nó cũng gây cho người học niềm tin ở khả năng huy động tri thức, kĩ năngsẵn có của bản thân mình vì họ hiểu rõ lời giả có sai lầm chỉ liên quan tới những trithức đã học

(vii) Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm

Sau khi thấy được một sai lầm khi giải toán, HS cũng được đặt vào một tìnhhuống gợi VĐ với nhiệm vụ mới là phát hiện nguyên nhân và sửa chữa sai lầm

Tình huống (vii): Sau khi phát hiện thấy một sai lầm, HS đứng trước một nhiệm

vụ nhận thức: tìm nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm Đó là một tình huống gợi

VĐ bởi vì đối chiếu với ba ĐK của tình huống gợi VĐ, ta thấy:

 HS chưa có sẵn câu trả lời và cũng không biết một thuật giải nào để có câu trả lời;

 HS có nhu cầu giải quyết VĐ, họ không thể chấp nhận để nguyên sai lầm màkhông sửa chữa;

 VĐ này liên quan tới tri thức sẵn có của học, không có gì vượt quá yêu cầu, họthấy nếu tích cực suy nghĩ vận dụng tri thức đã học thì có thể tìm ra nguyên nhânsai lầm và sửa được sai lầm

3 Trình bày khái quát về phương pháp dạy học hợp tác theo nhóm

3.1 Khái niệm

Dạy học hợp tác theo nhóm là một thuật ngữ để chỉ cách dạy học trong đó HStrong lớp được tổ chức thành các nhóm một cách thích hợp, được giao nhiệm vụ và

được khuyến khích thảo luận, hướng dẫn hợp tác làm việc với nhau giữa các thànhviên để cùng đạt được KQ chung là hoàn thành nhiệm vụ của cả nhóm.

Hoạt động dạy học hợp tác theo nhóm thường bao gồm các bước sau:

 Bước 1: Làm việc chung cả lớp

GV nêu VĐ, XĐ nhiệm vụ nhận thức; tổ chức nhóm, giao nhiệm vụ cho từngnhóm và HD cách làm việc cho các nhóm

 Bước 2: Hoạt động nhóm

Từng nhóm làm việc riêng trong không khí thi đua với các nhóm khác Các thànhviên trong mỗi nhóm trao đổi ý kiến, phân công nhóm sau đó từng thành vienn làmviệc theo sự phân công đó và có thể trao đổi, bàn bạc với nhau khi cần thiết GV giámsát sự hoạt động của nhóm và của từng cá nhân HS

 Bước 3: Thảo luận, tổng kết trước cả lớp

Các nhóm lần lượt báo cáo KQ, Gv tổ chức cho HS ở các nhóm khác NX, đánhgiá và GV xác nhận lại khi cần thiết GV tổng kết, chốt lại những điểm quan trọngsau khi tất cả các nhóm đã báo cáo xong Cuối cùng, GV động viên, khen ngợi cácnhóm cũng như các cá nhân hoàn thành tốt nhiệm vụ, phê phán những cá nhân vànhóm chưa hoạt động tích cực

3.2 Đặc điểm

 Về phía HS

 Thông qua hoạt động nhóm, HS có thể cùng làm với nhau và hoàn thành nhữngcông việc mà một mình không thể tự hoàn thành được trong một thời gian nhấtđịnh

 HS có cơ hội bộc lộ, thể hiện mình về các mặt giao tiếp, làm việc hợp tác,

 Tạo ĐK cho HS học hỏi lẫn nhau, hình thành và phát triển các mqh qua lại trongcác em, góp phần đem lại bầu không khí đoàn kết, giúp đỡ, tin tưởng lẫn nhautrong học tập

 Hiệu quả của hoạt động nhóm phụ thuộc vào hoạt động của từng thành viên trongnhóm

 Yêu cầu về kĩ năng sư phạm của GV cũng mở rộng hơn so với các phương phápdạy học truyền thống

 Yêu cầu về đánh giá, xử lí thông tin từ phía HS của GV cũng cao hơn vì trong mộtthời gian ngắn, GV thu nhận được nhiều thông tin đa dạng từ các nhóm, các cánhân HS và những thông tin này đều phải xử lí, đưa ra những kết luận phản hồingay

→ Trong dạy học hợp tác ttheo nhóm, với trường hợp lớp quá đông HS dẫn đến sốcác nhóm là nhiều, việc bao quát, kiểm soát các nhóm, giúp đỡ từng nhóm hoạt động

hiệu quả cũng như trình bày, phản ánh tốt kết quả hoạt động của nhóm sẽ là khó khănlớn đối với GV.

4 Trình bày phương pháp dạy học khái niệm phương trình, bất phương trình,

hệ phương trình trong chương trình Toán THCS.

Trong dạy học các khái niệm về PT, BPT, GV cần chú ý một số VĐ sau đây

 Các KN PT, BPT được HS lĩnh hội không phải qua diễn giảng về nội hàm của

KN mà chủ yếu là nhận dạng KN qua các VD và thường được KH giới thiệu KN vềnghiệm của PT, BPT Bởi vậy, các VD cần lựa chọn đa dạng, như với PT phải gồm cả

PT có 1 nghiệm, 2 nghiệm, vô nghiệm và vô số nghiệm

 Trong cách viết PT A(x) = B(x), cần từng bước lưu ý cho HS dấu “=” ở đây có

ý nghĩa khác với dấu “=” trong cách viết hai biểu thức đồng nhất bằng nhau, như dấu

“=” nối hai vế của một hằng đẳng thức đáng nhớ Dấu “=” trong PT thuần túy có tínhhình thức, không cần có ĐK gì về giá trị của hai biểu thức ở hai vế Để thực hiệnđiềulưu ý này, khi giới thiệu về nghiệm của PT, GV có thể KH nói thêm “ với một giátrị của x không là nghiệm của PT, khi thay vào hai vế của PT ta luôn có hai vế sẽnhận hai giá trị khác nhau” và khi đưa VD về PT vô nghiệm như PT x = x + 1, GV cóthể khắc sâu thêm là “không có giá trị nào của x để hai biểu thức ở hai vế nhận giá trịbằng nhau” Trong thực tế vẫn thường xảy ra tình huống khi mới học về giải PT, cónhững HS viết liên tiếp các dấu “=” trong một dòng Các dấu “=” đó có lúc là dấunối hai vế của phương trình, có lúc là dấu chỉ hai biểu thức đồng nhất như trong VDsau

Ví dụ Giải PT: 2x + 3 = 24 : 6 + 5

Khi giải PT này, có HS viết là: 2x + 3 = 24 : 6 + 5 = 4 + 5 = 9,

Với tình huống này, GV cần chấn chỉnh, không cho phép HS viết như vậy mà yêucầu các em phải viết tách thành nhiều dòng như cách viết dưới đây:

2x + 3 = 24 : 6 + 5

2x + 3 = 4 + 5

2x + 3 = 9

GV có thể chủ động tạo ra tình huống trên bằng cách yêu cầu HS nêu một PT có

vế phải là một biểu thức số chưa được rút gọn như PT đã nêu trong Ví dụ trên

 Với KN nghiệm của BPT, có hai cách viết như “{x/x < 1,5}” và “x > 3” Cáchviết “x > 3” là ngắn gọn nhưng do lối nói “nghiệm của BPT là x > 3” nên HS thườngquan niệm đó là “một nghiệm” của BPT, tương tự như với PT khi nói “nghiệm của

PT là x = 3” (thực ra, quan niệm sai này thường chỉ bộc lộ ở lớp 10, khi học về BPTbậc hai, như các em nói là: “BPT x2 2x 3 0  có hai nghiệm: x < 1 và x > 3” Đểtránh quan niệm sai đó, GV nên sử dụng cả hai cách viết nghiệm, lúc dùng cách này,lúc dùng cách kia

Việc biểu diễn nghiệm của BPT lên trục số (gạch bỏ phần không là nghiệm) là cầnthiết để HS dễ hình dung về tập hợp nghiệm Tuy nhiên đây không phải là yêu cầu bắtbuộc, luôn phải thực hiện khi giải một BPT Cần tránh choHS sau này máy móc ápdụng cho cả các BPT khác Chẳng hạn với một số BPT bậc hai như x2 2x 3 0 

thì lại không thể thuwcjhieenj việc biểu diễn nghiệm bằng cách gạch bỏ phần không

là nghiệm trên một trục số như vậy

5 Trình bày phương pháp dạy học giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong chương trình Toán THCS.

Trong dạy học giải PT, BPT, HPT, cần chú ý một số VĐ sau đây:

 Các quy tắc biến đổi PT, BPT là căn cứ chủ yếu để thực hiện các bước giải PT,BPT và trong quá trình luyện tập, GV phải từng bước làm cho HS ý thức được điều

đó Một trong những biện pháp thực hiện nhằm mục đích này là thỉnh thoảng, khi HSđang thực hiện một bước biến đổi, GV yêu cầu giải thích tại sao lại thực hiện đượcbước đó HS phải trả lời được lí doáp dụng quy tắc nào Với các PT, trước khi học cácquy tắc biến đổi, HS đã làm nhiều bài tập, thực chất là giải các bài tập trong chươngtrình lớp 8, Với chính các PT như vậy, sau khi đã học quy tắc biến đổi, lời giải thích

về căn cứ biến đổi phải khác trước khi học các quy tắc này

VD Giải PT 2x + 3 = 5

Bước biến đổi từ 2x + 3 = 5 suy ra 2x = 5 – 3, trước khi có quy tắc sẽ được giảithích là “hai biểu thức bằng nhau cùng bớt đi 3” nhưng sau khi có quy tắc thì câu trảlời như vậy là chưa thỏa đáng mà sẽ phải trả lời là “vì chuyển vế và đổi dấu số 3”

 Trong luyện tập về giải PT, cần XĐ yêu cầu chủ yếu đối với HS trước hết làgiải thành thạo các loại PT đã có công thức nghiệm (cách giải chính là một thuật giải)như trong PT bậc nhất một ẩn dạng ax + b = 0, PT bậc hai một ẩn cùng một số loại đãđịnh được các bước giải (thực chất là các quy tắc tựa thuật giải) như PT có ẩn ở mẫu,

PT đưa được về dạng ax + b = 0, Tuy nhiên, cùng với việc cho HS giải các PT đó

GV cần KH khai thác, cho các em giải một số PT khác Với các PT này, để giải thànhcông, HS phải phối hợp được một số cách giải PT đã biết hay phải khai thác về mặtngữ nghĩa của những kí hiệu có trong PT để đưa ra cách giải hợp lí

VD Giải HPT:

3x 5y 132x 4y 6

�

�  

�

Có thể cộng PT thứ nhất với PT thứ hai để có x + 9y = 19, suy ra x = 19 – 9y rồithế tiếp vào PT thứ nhất (nghiệm của hệ là x = 1; y = 2).

6 Trình bày phương pháp dạy học giải bài tập hình học phẳng trong chương trình Toán THCS.

Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và khôngthể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy,hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn

Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán

ở trường phổ thông, được thể hiện thông qua các chức năng của bài tập toán là: chứcnăng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển và chức năng kiểm tra GVcần khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của mỗi bài tậptrong SGK

GV cần chuẩn bị cả ba loại bài tập là: loại chứng minh, loại tìm tòi và loại toánthực tiễn (theo quan điểm của G.Pôlya)

 Loại toán chứng minh với hai phần chính là giả thiết và kết luận Giải toánthuộc loại này là tìm ra bằng suy diễn, con đường từ giả thiết đến lết luận Với loạitoán chứng minh thì nổi hơn cả là tính lôgic

 Loại toán tìm tòi: chẳng hạn tìm tập hợp điểm (quỹ tích), dựng hình, tínhtoán, với ba phần chính là: ẩn, dữ kiện, điều kiện ràng buộc ẩn với dữ kiện Giảitoán thuộc loại này là tìm ra ẩn thỏa mãn điều kiện ràng buộc ẩn với các dữ kiện.Loại toán này vừa thể hiện tính lôgic, vừa thể hiện tính trừu tượng

 Loại toán có nội dung thực tiễn: Với loại toán này, khi qua giai đoạn toán họchóa sẽ trở về một trong hai loại nêu trên Loại này nổi bật bởi tính thực tiễn

Chú ý rằng bài tập tổng hợp sẽ bao gồm cả ba loại nêu trên Bên cạnh việc phânloại, GV cần phân bậc bài tập theo mức độ khó, dễ để phục vụ cả ba loại đối tượng

HS (khá, trung bình, yếu)

Với cách chuẩn bị bài tập như trên, việc dạy giải bài tập hình học sẽ thể hiện rõtính lôgic, tính trừu tượng và tính thực tiễn Muốn chú trọng khâu nào ta lựa chọn bàitập theo mục đích đó Muốn rèn luyện chung, việc lựa chọn bài tập tổng hợp sẽ thíchhợp

Căn cứ vào phương pháp giải, người ta thường xếp bài tập hình học phổ thôngthành bài tập chứng minh, dựng hình, quỹ tích, tính toán, cực trị,

II Đại số - Hình học

Bài 1 Cho vành số nguyên ( , ,.)�

a Chứng minh tập 6�{6t / t�� cùng với hai phép toán cộng và nhân thông}thường là một vành con của ( , ,.)� .

b Chứng minh tập / 6� � với phép toán cộng:

Bài 2 Cho vành số nguyên ( , ,.)�

a Chứng minh tập 5�{5t / t�� cùng với hai phép toán cộng và nhân thông}thường là một vành con của ( , ,.)� .

b Chứng minh tập các lớp thặng dư môđun 5: �5 0,1,2,3,4

với hai phép toáncộng, nhân được định nghĩa như sau là một trường:

a b c a.b c a.(b c) a.b a.c a.b a.c a.b a.c        

b c a b c.a (b c).a b.a c.a a.b a.c b.a c.a           

Cách 2: Vì 5 là số nguyên tố nên trong �5 0,1,2,3,4

không có ước của không nên

nó là trường

Bài 3 Chứng minh A {a b 2 / a,b  ��} là một trường con của trường số thực �

cùng với hai phép toán cộng và nhân thông thường

Vậy A là một trường con của trường số thực �

Bài 4 Cho X  �� � cùng với hai phép toán:

(a ,b ) (a ,b ) (a  a ,b b )

1 1 2 2 1 2 1 2

(a ,b ).(a ,b ) (a a ,b b )

là một vành giao hoán, có đơn vị

Hãy tìm tất cả các ước của không của vành

Vậy phép cộng là giao hoán

Phần tử không là (0, 0) vì: (0, 0) + (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b)

Vậy phép nhân phân phối đối với phép cộng

Phần tử đơn vị (1, 1) vì (1, 1)(a, b) = (1.a, 1.b) = (a, b)

Các ước của không trong vành X  �� � là A {(0,b) / b � ��} {(a,0) / a��}

Bài 5 Giả sử X là vành tuỳ ý và � là vành các số nguyên Trong tập X �� ta định nghĩa các phép toán :

Vậy ta cần kiểm tra ( X ��, ) có tính chất kết hợp, phép nhân phân phối với phépcộng, và có đơn vị