Đột phá hình toán 11 quan hệ song song

Do đ ếu hai mặt phẳ phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đườ thẳ chung đi qua điểm chung ấy.. Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt

CH NG 4: Đ ỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG

SONGCHUYÊN ĐỀ 1: ĐẠI C NG VỀ Đ ỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

P Ầ 1: LÝ T UYẾT TRỌ TÂM

1 Các tính chất thừa nhận

� Có một và chỉ một đườ thẳ đi qua hai điểm phân biệt

� Có một và chỉ một mặt phẳ đi qua ba điểm không thẳ hàng

� Nếu một đườ thẳ có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳ thì mọi điểm củ đườ thẳ đều thuộc mặt phẳ đ

� Có bố điểm không cùng thuộc một mặt phẳ

� Nếu hai mặt phẳ phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác ữ

Do đ ếu hai mặt phẳ phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đườ thẳ chung đi qua điểm chung ấy Đườ thẳ đ được ọi là giao tuyế củ hai mặt phẳ

� Trên mỗi mặt phẳ các kết quả đã biết trong hình học phẳ đều đú

2 Cách xác định mặt phẳng

Một mặt phẳ hoàn toàn xác đị h khi biết:

� Mặt phẳ đ đi qua ba điểm không thẳ hàng A, B, C

P Ầ 2: CÁC DẠ BÀI TẬP

Dạng 1: Giao tuyến hai mặt phẳng

1 Phương pháp giải

Để xác đị h giao tuyế củ hai mặt phẳ và , ta tìm hai điểm chung củ chúng

Đườ thẳ đi qua hai điểm chung đ chính là giao tuyế

A AM (M là trung điểm củ AB) B AN (N là trung điểm củ CD)

C AH (H là hình chiếu củ B trên CD) D AK (K là hình chiếu củ C trên BD)

A là điểm chung thứ hất iữ hai mặt phẳ ACD và GAB

Gọi N là trung điểm củ CD

Vì G là t ọ tâm tam giác BCD nên BG CD NÇ =

ÌÌ

í

î

Do đ N ACD Ç GAB

N là điểm chung thứ hai iữ hai mặt phẳ ACD và GAB

Vậy AN= ACD Ç GAB với N là trung điểm củ CD

S là điểm chung thứ hất iữ hai mặt phẳ MSB và SAC

Gọi I là giao điểm củ AC và BM

I là điểm chung thứ hai iữ hai mặt phẳ MSB và SAC

Vậy MSB Ç SAC =SI với I là giao điểm củ AC và BM

Ìí

B Giao tuyế củ hai mặt phẳ SAC và SBD là SO (O là giao điểm củ AC và BD)

C Giao tuyế củ hai mặt phẳ SAD và SBC là SI (I là giao điểm củ AD và BC)

D Giao tuyế củ hai mặt phẳ SAB và SAD là đườ trung bình củ ABCD

C SO (O là giao điểm củ AC và BD) D SP (P là giao điểm củ AB và CD)

Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD Gọi I là trung điểm củ SD, J là điểm trên cạ h SC và J không trùng với trung điểm SC Giao tuyế củ 2 mặt phẳ ABCD và AIJ là:

A AK (K là giao điểm củ IJ và BC) B AH (H là giao điểm củ IJ và AB)

C AG (G là giao điểm củ IJ và AD) D AF (F là giao điểm củ IJ và CD)

Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB / /CD Gọi I là giao điểm củ AC và

BD Trên cạ h SB lấy điểm M Tìm giao tuyế củ hai mặt phẳ ADM và SAC

Đáp án:

1 - D 2 - D 3 - B

Dạng 2: Giao điểm đường thẳng và mặt phẳng

1 Phương pháp giải

Để tìm giao điểm củ đườ thẳ d và mặt phẳ P ta cầ lưu ý một số t ườ hợp sau:

ườ hợp 1 Nếu trong P có sẵ một đườ thẳ cắt d tại M, khi đ :d '

ườ hợp 2 Nếu trong P chư có sẵ cắt d thì ta thực d '

hiệ theo các bước sau:

Bước 1: họ một mặt phẳ Q chứ d

Bước 2: Tìm giao tuyế D = P Ç Q

Bước 3: Trong Q ọi M d= Ç D thì M chính là giao điểm

củ dÇ P

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho bố điểm A, B, C, D không đồ phẳ Gọi M, N lầ lượt là trung điểm củ AC và BC Trên đoạ BD lấy điểm p sao cho BP 2PD.= Giao điểm củ đườ thẳ CD và mặt phẳ MNP là giao điểm củ CD với đườ thẳ :

Hướ dẫCách 1:

Xét mặt phẳ BCD chứ CD

Do NP không song song CD nên NP cắt CD tại E

Điểm E NP, NPÌ MNP E MNP

Vậy CDÇ MNP tại E

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳ

Trên đoạ SC lấy một điểm M không trùng với S và C Giao điểm củ đườ thẳ SD với ABCD

mặt phẳ ABM là:

A Giao điểm củ SD và AB

B Giao điểm củ SD và AM

C Giao điểm củ SD và BK (với K SO= ÇAM)

D Giao điểm củ SD và MK (với K SO= ÇAM)

B là điểm chung thứ hất iữ hai mặt phẳ SBD và ABM

Trong mặt phẳ SAC , ọi K AM SO= Ç

î

Do đ N SD= Ç ABM

Vậy giao điểm củ đườ thẳ SD với mặt phẳ ABM là giao điểm củ SD và BK (với

23Hướ dẫ

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ hật tâm O Gọi M là trung điểm củ SB, N

là điểm thuộc đoạ SD sao cho SN 2ND.= E là giao điểm củ đườ thẳ MN và mặt phẳ ABCD Tính EN

EM

3

12

Hướ dẫTrong mp SBD ọi E MN BD,= Ç

Xác đị h lầ lượt các giao tuyế củ P với các mặt củ hình chóp theo các bước sau:

� ừ điểm chung có sẵ , xác đị h giao tuyế đầu tiên củ P với một mặt củ hình chóp (Có thể là mặt trung gian)

� Cho giao tuyế này cắt các cạ h củ mặt đ củ hình chóp ta sẽ được các điểm chung mới củ P với các mặt khác ừ đ xác đị h được các giao tuyế mới với các mặt này

� iếp tục hư thế cho tới khi các giao tuyế khép kín ta được thiết diệ

Chú ý:

Mặt phẳ có thể chỉ cắt một số mặt củ hình chóp

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớ và P là một điểm trên

cạ h SD hiết diệ củ hình chóp cắt bởi mặt phẳ PAB là hình gì?

Hướ dẫTrong mặt phẳ ABCD , ọi E AB CD.= Ç

Trong mặt phẳ SCD , ọi Q SC EP.= Ç

Ta có E AB nên EÌ ABP Q ABP

Do đ Q SC= Ç ABP

hiết diệ là tứ giác ABQP

họ B

®

Ví dụ 2: Cho tứ diệ ABCD Gọi M, N lầ lượt là trung điểm các cạ h AB và AC, E là điểm trên cạ h

CD với ED 3EC.= hiết diệ tạo bởi mặt phẳ MNE và tứ diệ ABCD là:

A Tam giác MNE

B ứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạ h BD

C Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạ h BD mà EF / /BC

D Hình thang MNEF với F là điểm trên cạ h BD mà EF / /BC

Hướ dẫTam giác ABC có M, N lầ lượt là trung điểm củ AB, AC

Suy ra MN là đườ trung bình củ tam giác ABC MN / /BC

ừ E kẻ đườ thẳ d song song với BC và cắt BD tại F EF / /BC

Do đ MN / /EF suy ra bố điểm M, N, E, F đồ phẳ và MNEF là hình

2

a 26

2

a 34Hướ dẫ

Gọi M, N lầ lượt là trung điểm củ AB, BC suy ra AN MC G.Ç =

Dễ thấy mặt phẳ GCD cắt đườ thẳ AB tại điểm M

Suy ra tam giác MCD là thiết diệ củ mặt phẳ GCD và tứ diệ

Gọi H là trung điểm củ CD MH CD S MCD 1.MH.CD

C Tam giác HKL với L KM BD= Ç

D Tam giác HKL với L HM AD= Ç

Câu 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạ h đáy bằ a a 0 > Các điểm M, N, P lầ lượt là trung điểm củ SA, SB, SC Mặt phẳ MNP cắt hình chóp theo một thiết diệ có diệ tích bằ :

2

2

a4

2

a16Đáp án:

Ví dụ 1: Cho tứ diệ SABC Trên SA, SB và SC lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt

BC tại J, FD cắt CA tại K Khẳ đị h nào sau đây đú ?

Ví dụ 2: Cho tứ diệ ABCD Gọi M, N lầ lượt là trung điểm AB và CD Mặt phẳ qua MN cắt

AD và BC lầ lượt tại P, Q Biết MP cắt NQ tại I Ba điểm nào sau đây thẳ hàng?

A Các đườ thẳ MP, NQ, SO đồ quy B Các đườ thẳ MP, NQ, SO chéo nhau

C Các đườ thẳ MP, NQ, SO song song D Các đườ thẳ MP, NQ, SO trùng nhau

Hướ dẫTrong mặt phẳ MNPQ ọi I MP NQ.= Ç

họ A

®

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD Mặt phẳng qua MN cắt

AD, BC lần lượt tại P và Q Biết MP cắt NQ tại I Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

Câu 2 Cho tứ diệ ABCD G là t ọ tâmDBCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở trên đoạ thẳ AG,

BI cắt mặt phẳ ACD tại J Khẳ đị h nào sau đây sai?

C Đườ thẳ BG (G là t ọ tâm DACD)

D Đườ thẳ AH (H là t ực tâm DACD)

Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lầ lượt là trung điểm AD và

BC Giao tuyế củ hai mặt phẳ SMN và SAC là:

C SG (G là trung điểm AB) D SF (F là trung điểm CD)

Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm SB; N là trọng tâm Gọi E trung điểm của CD G là giao của AC và BE H là giao của MN và SG K là giao SC và SCD

D

AH Chọn đáp án đúng?

A H là giao điểm củ MN và ABCD B K là giao điểm củ SC và AMN

C K là giao điểm củ SA và CMN D E là giao điểm củ MN và SAC

Câu 6 Cho tứ diệ SABC Gọi K, N lầ lượt là trung điểm SA và BC M là điểm thuôc đoạ SC sao cho

A Hình bình hành B Hình thang C Hình thoi D Hình chữ hật

Câu 8 Cho tứ diệ SABC Lấy điểm E, F lầ lượt trên đoạ SA, SB và điểm G t ọ tâm tam giác ABC

H là giao điểm củ EF và AB J là giao điểm củ HG và BC Tìm giao tuyế củ EFG và SBC ?

Câu 9 Cho tứ diệ ABCD Trên AC và AD lầ lượt lấy các điểm M, N sao cho M, N không song song với CD Gọi O là một điểm thuộc miề trong tam giác BCD K là giao điểm củ BO và CD L là giao điểm củ MN và AK E là giao điểm AO và BL Tìm giao điểm củ AO và BMN

Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi I, J lầ lượt là trung điểm SA, SB Khẳ đị h nào sau đây sai?

Câu 11 Cho tứ diện đều ABCD cỏ độ dài các cạnh bằng 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh

AC, BC; P là trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng MNP cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:

2

2

a 24

2

a 114

2

a 34Câu 12 Cho tứ diệ SABC Gọi L, M, N lầ lượt là các điểm trên các cạ h SA, SB và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC Mặt phẳ LMN cắt các cạ h AB, BC, SC lầ lượt tại K, I, J Ba điểm nào sau đây thẳ hàng?

CH NG 4: Đường thẳng và mặt phẳng TKG QH song song

CHUYÊN ĐỀ 2: QUAN HỆ SONG SONG

P Ầ 1: LÝ T UYẾT TRỌ TÂM

1 Hai đường thẳng chéo nhau Hai đường thẳng song song

trí tươ đối củ hai đườ thẳ trong không gian

Cho hai đườ thẳ a và b trong không gian Khi đó có thể xảy ra một trong các t ườ hợp sau:

Đ h lý 1: Nếu ba mặt phẳ đôi một cắt nhau theo ba giao tuyế phân biệt thì ba giao tuyế ấy hoặc

đồ quy hoặc đôi một song song với nhau

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳ phân biệt lầ lượt chứ hai đườ thẳ song song thì giao tuyế củ hai mặt phẳ đó ( ếu có) cũ song song với hai đườ thẳ đó (hoặc trùng với một trong hai đườ thẳ đó)

2 Hai mặt phẳng song song

Đ h hĩ : Hai mặt phẳ được ọi là song song ếu chúng không có điểm chung

Đ h lý:

Nếu mặt phẳ (α) chứ hai đườ thẳ cắt nhau a, b và hai đườ

thẳ này cùng song song với mặt phẳ (β) thì //

Hệ quả 2: Hai mặt phẳ phân biệt cùng song song với mặt phẳ thứ ba thì chúng song song với nhau

Hệ quả 3: Cho điểm A không ằm trên mặt phẳ (α) Mọi đườ thẳ đi qua A và song song với (α) đều ằm trong mặt phẳ đi qua A song song với (α)

ậy

A d

dd//

Cho hai đườ thẳ d1, d2 chéo nhau và các điểm A1, B1, C1 ằm trên

d1; các điểm A2, B2, C2 ằm trên d2 sao cho 1 1 2 2 Lúc đó, các

A B A B

B C B Cđườ thẳ A1A2, B1B2, C1C2 cùng song song với một mặt phẳ

3 Phép chiếu song song

Cho đườ thẳ ∆ cắt mặt phẳ (α) Lấy một điểm M trong không gian

ừ M dự đườ thẳ d (d//∆ hoặc d ≡ ∆) Đườ thẳ d { }M¢

Ta nói M¢ là hình chiếu củ M theo phép chiếu song song là đườ thẳ ∆

Ta kí hiệu ChD M M¢

Tính chất:

Bảo toàn sự thẳ hàng và thứ tự các điểm

Biế đườ thẳ thành đườ thẳ , biế tia thành tia, biế đoạ thẳ thành đoạ thẳ

Biế hai đườ thẳ song song thành hai đườ thẳ song song hoặc trùng nhau

Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài củ hai đoạ thẳ ằm trên hai đườ thẳ song song hoặc cùng ằm trên một đườ thẳ

Hình biểu diễ củ một hình không gian trên mặt phẳ

Hình biểu diễ củ một hình trong không gian là chiếu song song củ hình đó lên mặt phẳ theo một phươ chiều nào đó hoặc hình đồ dạ với hình chiếu đó

Hình biểu diễ củ tam giác cân, tam giác vuông, tam giác đều thườ là một tam giác bất kỳ

Hình biểu diễ củ hình bình hành, hình thoi, hình chữ hật, hình vuông thườ là hình bình hành

Hình biểu diễ củ hình thang là một hình thang

Hình biểu diễ củ hình tròn là hình elip hay hình tròn

P Ầ 2: CÁC DẠ BÀI TẬP

Dạng 1: Hai đường thẳng chéo nhau Hai đường thẳng song song

1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong các mệ h đề sau, mệ h đề nào sai?

A Hai đườ thẳ không có điểm chung thì chéo nhau

B Hai đườ thẳ chéo nhau thì không có điểm chung

C Hai đườ thẳ phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau

D Hai đườ thẳ phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau, hoặc song song

Hướ dẫHai đườ thẳ không có điểm chung thì chúng có thể song song với nhau (khi chúng đồ phẳ ) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồ phẳ )

® Chọ A

Ví dụ 2: Chọ khẳ đ h sai trong các khẳ đ h sau:

A Hai mặt phẳ có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác ữ

B Hai mặt phẳ có một điểm chung thì chúng có một đườ thẳ chung duy hất

C Hai mặt phẳ phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đườ thẳ chung duy hất

D Nếu ba điểm phân biệt M, N, P cùng thuộc hai mặt phẳ phân biệt thì chúng thẳ hàng

Hướ dẫKhẳ đ h sai là B vì hai mặt phẳ có một điểm chung thì chúng có thể trùng nhau, tức là có vô số đườ thẳ chung

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi I, J, E, F lầ lượt là trung điểm

SA, SB, SC, SD Trong các đườ thẳ sau, đườ thẳ nào không song song với IJ?

Hướ dẫ

Ta có IJ là đườ trung bình tam giác SAB nên IJ//AB

ABCD là hình bình hành nên AB//CD Suy ra IJ//CD

EF là đườ trung bình tam giác SCD nên EF//CD Suy ra IJ//EF

® Chọ C

Ví dụ 4: Cho tứ diệ ABCD Gọi M, N, P, Q lầ lượt là trung điểm củ các cạ h AB, AD, CD, BC Mệ h

đề nào sau đây sai?

Dễ thấy thiết diệ là tứ giác MNJI

Do G là t ọ tâm tam giác SAB và MN//AB

nên MN SG 2 ( E là trung điểm củ AB)

A Có thể song song hoặc cắt nhau B Cắt nhau

Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi d là giao tuyế củ hai mặt phẳ (SAD) và (SBC) Khẳ đ h nào sau đây đú ?

A d qua S và song song với BC B d qua S và song song với DC

C d qua S và song song với AB D d qua S và song song với BD

Câu 3 Cho hai đườ thẳ a và b chéo nhau Có bao nhiêu mặt phẳ chứ a và song song với b?

Câu 4 Hãy chọ câu đú :

A Hai đườ thẳ cùng song song với một đườ thẳ thứ ba thì song song với nhau

B Hai đườ thẳ song song với nhau ếu chúng không có điểm chung

C Hai đườ thẳ cùng song song với một mặt phẳ thì song song với nhau

D Không có mặt phẳ nào chứ cả hai đườ thẳ a và b thì ta nói a và b chéo nhau

Đáp án:

1 – D 2 – A 3 – B 4 – D

Dạng 2: Đường thẳng song song với mặt phẳng

1 Phương pháp giải

Để chứ minh đườ thẳ song song với mặt phẳ d ( ) ta chứ

minh song song với một đườ thẳ ằm trong d d' ( )

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi H và K lầ lượt là trung điểm củ

SA và SC, G là t ọ tâm củ tam giác ABC Kẻ Gx song song với AC, Gx là giao tuyế củ hai mặt phẳ nào?

A (ABCD) và (GSC) B (GHK) và (ABCD) C (ABCD) và (GSB) D (GHA) và (ABCD)

Ví dụ 2: Cho tứ diệ ABCD Gọi G là t ọ tâm tam giác ABD, Q thuộc cạ h AB sao cho AQ = 2QB,

P là trung điểm củ AB Khẳ đ h nào sau đây đú ?

Hướ dẫGọi M là trung điểm củ BD

Vì G là t ọ tâm tam giác ABD AG 2

AM 3Þ

ĐiểQ ABÎ sao cho AQ 2QB AQ 2

AB 3Þ

Suy ra AG AQ Do đó GQ//BD

AM AB

Mặt khác BD ằm trong mặt phẳ (BCD) suy ra GQ // (BDC)

® Chọ B

Ví dụ 3: Cho tứ diệ ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm củ các cạ h AC, BD, AB,

CD, AD, BC Bố điểm nào sau đây không đồ phẳ ?

A P Q, R, S B M, P, R, S C M, R, S, N D M, N, P, Q

Hướ dẫTheo tính chất củ đườ trung bình củ tam giác ta có PS AC QR// //

A hiết diệ là hình vuông B hiết diệ là hình thang cân

C hiết diệ là hình bình hành D hiết diệ là hình chữ hật

Hướ dẫQua H kẻ đườ thẳ (d) song song AB và cắt BC, AC lầ lượt

tại M, N

ừ N kẻ NP song song với CD P ADÎ

ừ P kẻ PQ song song với AB Q BDÎ

Ta có MN PQ AB// // suy ra M, N, P Q đồ phẳ và

AB MNPQ//

Suy ra MNPQ là thiết diệ củ (α) và tứ diệ

ậy tứ thiết diệ là hình bình hành

® Chọ C

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và O là giao điểm hai đườ chéo AC

và BD Lấy điểm E trên cạ h SC sao cho EC = 2ES M là giao điểm củ hai đườ thẳ AE và mặt phẳ (SBD) Tính tỉ lệ SO ?

SM

2Hướ dẫ

Chọ mp(SAC) chứ AM

Ta tìm giao tuyế củ mp(SAC) và mp(SBD):

Có S và O là 2 điểm chung củ hai mặt phẳ (SAC) và (SBD)

nên giao tuyế củ chúng là đườ thẳ SO

Điểm M cầ tìm là giao điểm củ SO và AE

Trong (SAC) dự OI SC,I AM// Î ,

ừ đó suy ra OI là đườ trung bình củ tam giác ACE

Như vậy tứ giác SEOI là hình bình hành

Þ M trung điểm củ SO Do đó SO 2

SM

® Chọ B

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M, N lầ lượt là trung điểm củ

AB, CD Xác đ h thiết diệ củ hình chóp cắt bởi (α) đi qua MN và song song với mặt phẳ (SAD) hiết diệ là hình gì?

A Tam giác B Hình thang C ứ giác D Hình bình hành

Hướ dẫ