Tìm x để AM và CN vuông góc với nhau.. 2 điểm.Cho tam giác ABC.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm... Vậy không có giá trị nào của mthỏa mãn bài toán đã cho... Tìm x để AM và CN vu
Trang 1THPT YÊN PHONG 2 – BẮC NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (4 điểm).Cho hàm số 2
yx m x m 1) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 khi m0
2) Xác định m để đồ thị hàm số 1 cắt đường thẳng y3x1 tại hai điểm A B,
phân biệt sao cho OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ )
Câu 2 (2 điểm).Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 2
2
x
y x m
x m
xác định trên khoảng 1;3
Câu 3 (5 điểm).Giải phương trình:
1) x23x 1 7 2x
2) 3x 1 4x 3 5x4
3) 3x 3 5 2 x x3 3x210x260
Câu 4: (2 điểm).Giải hệ phương trình:
1
x x y xy xy y
x y xy x
Câu 5 (3 điểm). Cho tam giác ABC có AB1, ACx và BAC 60 Các điểm M , N được xác
định bởi MC 2MB và NB 2NA Tìm x để AM và CN vuông góc với nhau
Câu 6 (2 điểm).Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC , ta có
1
6
GA GB GB GC GC GA AB BC CA
Câu 7 (2 điểm) Cho x y z, , 2018;2019 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2018.2019 2018.2019 2018.2019 f( , , )
x y z
- HẾT -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2( http://tailieugiangday.com – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết)
Quý thầy cô liên hệ đặt mua word: 03338.222.55
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
yx m x m 1) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 khi m0
2) Xác định m để đồ thị hàm số 1 cắt đường thẳng y3x1 tại hai điểm A B,
phân biệt sao cho OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ )
Lời giải
1) Khi m0 ta được hàm số 2
3 2
yx x
*) Tập xác định: D
*) Tọa độ đỉnh: 3; 1
2 4
I
*) Sự biến thiên: Vì a 1 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng 3;
2
, nghịch biến
trên khoảng ; 3
2
*) Bảng biến thiên
*) Điểm đặc biệt
Trang 3*) Đồ thị : Đồ thị là 1 đường parabol có đỉnh 3; 1
2 4
I
, hướng bề lõm lên trên và nhận
đường thẳng 3
2
x
làm trục đối xứng
2) Phương trình hoành độ giao điểm của ĐTHS 1 và đường thẳng y3x1là:
2
x m x m x
2
Để ĐTHS 1 cắt đường thẳng y3x1tại 2 điểm phân biệt A B, phương trình * có 2
nghiệm phân biệt 0 3
1
m m
Gọi x x là các nghiệm của phương trình 1, 2 * ,ta có 1 2
1 2
2
ĐặtA x 1;3x11 , B x2;3x21
OAB
vuông tại O OA OB 0 10x x1 23x1x2 1 0
26m 31 0
31 26
m
( thỏa mãn)
Vậy 31
26
m
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 2
2
x
y x m
x m
xác định trên khoảng 1;3
Lời giải
Hàm số xác định khi 1 0
2 0
x m
x m
1 2
x m
x m
Với điều kiện m 1 2m m 1 thì hàm số có tập xác định là Dm1; 2m
Trang 4Vậy hàm số 1 2
2
x
y x m
x m
xác định trên khoảng 1;3 1;3 1; 2
1
m
1 1 3 2 1
m
0 3 2 1
m m m
Hệ vô nghiệm
Vậy không có giá trị nào của mthỏa mãn bài toán đã cho
Câu 3. Giải phương trình
1) 2
3 1 7 2
x x x
Lời giải
Ta có 2
3 1 7 2
x x x
2 7 0
3 1 (2 7)
x
2
2 7 0
3 25 50 0
x
7 2 5 10 3
x x x
5
x
Kết luận:Tập nghiệm của phương trình là S 5
2) 3x 1 4x 3 5x4
Lời giải
Ta có 3x 1 4x 3 5x4
3 1 0
4 3 0
3 1 4 3 2 (3 1)(4 3) 5 4
x x
3 4 (3 1)(4 3) 3
x
2
3
3 4
x
x x
3 4 1 12
x x
Trang 5x
Kết luận:Tập nghiệm của phương trình là S 1
3) Giải phương trình: 3x 3 5 2 x x3 3x210x260
Lời giải
ĐKXĐ: 3 3 0 1 5
x
x x
Với ĐKXĐ ở trên ta có:
3x 3 5 2 x x 3x 10x260
2
2
2
2
3 3 3 5 2 1
3 3 3 5 2 1 2
12 0 *
3 3 3 5 2 1
x
x x
2
x , do 2 12 0, 1;5
2
x x x nên phương trình * vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2
Câu 4: Giải hệ phương trình:
1
x x y xy xy y
x y xy x
Lời giải
+ Ta có:
1 (1) *
2 1 1 (2)
x x y xy xy y
x y xy x
2 2
1 1
x y xy x y xy
x y xy
+ Đặt
2
a x y
b xy Hệ trở thành 2 1 **
1
a ab b
a b
+ Hệ
2
2 0
(**)
a a a
Từ đó ta tìm ra ; a b { 0; 1 ; 1; 0 ; 2; 3 }
Với ; a b 0; 1 ta có hệ
2
0
1 1
x y
x y xy
Với ; a b 1; 0 ta có hệ
2
1
; 0; 1 ; 1; 0 ; 1; 0 0
x y
x y xy
Với ; a b 2; 3 ta có hệ
Trang 62 3
3 3
2
1; 3 3
2 3 0
y y
x y
x xy
Vậy hệ có 5 nghiệm ; x y { 1; 1 ; 0; 1 ; 1; 0 : 1; 0 ; 1; 3 }
Câu 5 (3 điểm). Cho tam giác ABC có AB1, ACx và BAC 60 Các điểm M , N được xác
định bởi MC 2MB và NB 2NA Tìm x để AM và CN vuông góc với nhau
Lời giải
Điều kiện: x0
Ta có:
+) MC 2MB MA AC 2MAAB 3MA AC2AB3AMAC2AB
+) NB 2NA NC CB 2NCCA
3NC CA AB 2CA
3NC3ACAB
Vậy: AM CN AM NC 0 AC2AB3ACAB0
3AC 2AB 5AB AC 0
3AC 2AB 5 AB AC cos AB AC, 0
2
1
2
4 ( ) 3
x
x x
x
Tháa m·n
Lo¹i
Vậy 1
2
x thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 6. Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC , ta có
1
6
GA GB GB GC GC GA AB BC CA
Lời giải
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:
os( , )
GA GBGA GB c GA GB
os
GA GB c AGB
2
GA GB AB
GA GB
GA GB
2
GA GB AB
2
2
AB
Trang 72 2 2 2 2 2
2
2
AB
4
(1) 2
AC BC
AB AB
Tương tự ta có:
4
2
BA CA
BC BC
GB GC
4
2
CB AB
AC AC
GC GA
Từ (1), (2) và (3), ta có:
4
2
GA GB GB GC GC GA
CB AB
2
AB BC CA
2
3
2
AB BA CA AB BA CA
1 3
2
AB BC CA
1
6 AB BC CA
Câu 7 (2 điểm) Cho x y z, , 2018;2019 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2018.2019 2018.2019 2018.2019 f( , , )
x y z
Lời giải Cách 1:
Ta đi chứng minh với: x y z, , a;b ,(a 0) ta luôn có
2 4(ab xy) (x y) (b a)
2 2 (x y)(b a) 2 2 (x y)(b a) 0
ab xy b a
x y
Trang 8
b(2a x y) x(a y) y(a x) a(2 b x y) x(b y) y(b x) 0 (đúng)
Vậy ta có
ab xy b a b a
Dấu bằng xảy ra khi x y a z, a hay x y z a
Áp dụng ta có: f( , , ) 3( )
b a b a b a b a
x y z
Dấu bằng xảy ra khi x y z a
Thay a 2018,b 2019, ta được max (x,y,z) 3 khi 2018
4036
Cách 2:
2018.2019 2018.2019
(Theo BDT AM-GM)
Đặt t xy,(2018 t 2019), do gt ,x y2018;2019
Xét hàm g(t) 2018.2019t2 2018.2019t
t t , liên tục trên 2018;2019và nghịch biến trên
2018;2019 do đó
2018;2019
2018;2019 2018;2019
Maxg(t) (2018) 1
Max g(t) (2019) (2018) 1 Ming(t) (2019) 1
g
z
z , dấu bằng xảy ra khi x y z 2018 Đánh giá tương tư cho 2 biểu thức còn lại
Tóm lại max (x,y,z) 3 khi 2018
4036