Đề thi HSG toán 10 năm 2018 – 2019 cụm thanh xuân cầu giấy có lời giải

Cho tam giác ABC.. Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác ABC và diện tích tam giác ABC.. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD.. Gọi H là hình chiếu của A lên BD; Ilà trung

CỤM TRƯỜNG THANH XUÂN – CẦU

GIẤY – THƯỜNG TÍN – HÀ NỘI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1. Cho hàm số 2

yx  x  1 a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị  P của hàm số  1

b) Tìm m để phương trình 2

     có hai nghiệm x và 1 x thỏa mãn 2

1 1 3 2

x    x

Câu 2.

a) Giải bất phương trình sau:  2  2

x  x x  x  b) Giải hệ phương trình sau :

2 2

4 0





c) Tìm m để bất phương trình

2 2

4

  nghiệm đúng  x ?

Câu 3. Cho tam giác ABC Đặt aBC , bAC , cAB Gọi M là điểm tùy ý

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

PMA MB MC theo a , b , c

b) Giả sử a 6 cm, b2 cm, c 1 3 cm Tính số đo góc nhỏ nhất của

tam giác ABC và diện tích tam giác ABC

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu của A lên

BD; Ilà trung điểm của BH Biết đỉnhA 2;1 , phương trình đường chéo BD

là:x5y190, điểm 42 41;

13 13

a) Viết phương trình tham số của đường thẳngAH Tìm tọa độ điểmH?

b) Viết phương trình tổng quát của cạnh AD

Câu 5. Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a2b2 c2 1 Chứng minh rằng

3 3 2

- HẾT -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

( http://tailieugiangday.com – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết)

Quý thầy cô liên hệ đặt mua word: 03338.222.55

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Cho hàm số 2

yx  x 1 a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị  P của hàm số 1

b) Tìm m để phương trình 2

     có hai nghiệm x và 1 x thỏa mãn 2

1 1 3 2

x    x

Lời giải

a) Tập xác định: D

Tọa độ đỉnh I 1;1

Hệ số a 1 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 và đồng biến trên khoảng

1;

Bảng biến thiên:

Đồ thị:  P có tọa độ đỉnh I 1;1 ; trục đối xứng là đường thẳng x1  P đi qua các điểm

 0; 2

A ; B 2; 2

b) Tìm m để phương trình  x2 2x  2 m 0 có hai nghiệm x và 1 x thỏa mãn 2

1 1 3 2

x    x

Lời giải Cách 1:

Để phương trình 2

     có hai nghiệm x và 1 x thỏa mãn 2 x1   1 3 x2

m



1

5

m

m

m m

  



 





             



Vậy m 5

Cách 2:

Số nghiệm của phương trình  * bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số:

 

2

yx  x P với đường thẳng y m

ĐKXĐ: 2

3

2

x

x

 





 



  2 2

4 0

1 2

x x

x x

x

x x

x

 



 



 



So sánh điều kiện, suy ra tập nghiệm của bất phương trình

2

S       



b) Giải hệ phương trình sau :

2 2

4 0 (2)

x xy y x y

x y x y





Lời giải

Tác giả ; Trần Dung ; Fb: Dung Chang

2x xyy 5x  y 2 0 2 2

2x 2xy xy y x 4x 2y y 2 0

(2x xy x) (2xy y y) (2y 4x 2) 0

(2x y 1)(x y 2) 0

2 0 (4)

x y

x y

  





Kết hợp (2) và (3) hoặc (2) và (4) ta có hệ :

2 2

2 2

4 0

4 0

2 0

x y

x y

     



  





     



   



2 2

2 2

4 0

4 0 2

     









  



2









  



4

5

1

1

x

y

x

y

  





















Vậy nghiệm của hệ     4 13

S x y    

c) Tìm m để bất phương trình

2 2

4

  nghiệm đúng  x ?

Lời giải +/ Ta có 2  2

x  x  x    x nên :

2 2 2 2

4

+/ Yêu cầu bài toán trở thành tìm mđể mỗi bất phương trình  1 và  2 nghiệm đúng với mọi x thuộc

Ta thấy :  1 nghiệm đúng với mọi x thuộc 2  

1

2

3



 2 nghiệm đúng với mọi x thuộc 2  

2

17

2



Vậy 2 17;

3 2

m  

Câu 3. a) Cho tam giác ABC Đặt aBC , b AC , cAB Gọi M là điểm tùy ý Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức PMA2MB2MC2 theo a , b , c

Lời giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra GA GB GC  0

PMA MB MC MA MB MC

Với

2 2 2

2

2

2

2

2

2











3

3

Mặt khác

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a

b

c

b c a

a c b

a b c







min

1 3

P GA GB GC  a b c Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi



2 2 2 cos

2

a c b B

ac

 

2

2 6 1 3





2 2

 Vậy góc B có số đo là 45

Diện tích tam giác ABC là: 1 sin

2

6 1 3 sin 45 2



cm 2



Hoặc: Gọi plà nửa chu vi của tam giác ABC Ta có:

2

a b c

p   3 6 3

2

2

p a   

2

2

p c   

Diện tích tam giác ABC là: S p p ap b p c  3 3  2

cm 2



Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu của A lên

BD; I là trung điểm của BH Biết đỉnhA 2;1 , phương trình đường chéo BD

là:x5y 19 0, điểm 42 41;

13 13

I 

a) Viết phương trình tham số đường thẳngAH Tìm tọa độ điểmH?

Lời giải

BD: x5y 19 0 có một véc tơ pháp tuyến là n BD  1;5

AHBD nên AH nhận n BD  1;5 làm véc tơ chỉ phương

 1;5

+ Đường thẳngAH đi quaA 2;1 và có một véc tơ chỉ phương u AH  1;5 nên có phương trình tham số là: 2  

1 5

t

 





  

 + H là giao điểm củaAHvàBD nên tọa độ củaHthỏa mãn hệ phương trình:

2 2

32 43

13 13

13

x y

t











b) Viết phương trình tổng quát cạnh AD

Lời giải

I

H

C

A

D

B

Theo câu a) ta có 32 43;

13 13

  mà I là trung điểm của BH nên suy ra B 4;3 nên tọa độ của véctơ là AB   2; 2 2 1;1

Đường thẳng AD đi qua điểm A 2;1 , nhận n 1;1 làm một vectơ pháp tuyến, có phương trình tổng quát là: x 2 y     1 0 x y 3 0

Câu 5. Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a2 b2 c2 1 Chứng minh rằng

3 3 2

Lời giải

Do , ,a b c dương và a2 b2 c2 1 nên 0a b c, , 1 và 1a2,1b2,1c2 0

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm 2 2 2

2a ,1a ,1a , ta được:

2a  1 a  1 a 3 2a 1a 1a

 

2

c a  b b b

2

1

2

b



3

3 3 2

1 2

2 27





2

a b  c c c

2

1

2

c



3

3 3 2

1 2

2 27





Cộng      1 , 2 , 3 vế theo vế ta được:

3 3 2

3 3 2

   (đpcm) Dấu " " xảy ra

3 3