Rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn hệ thức cho trước, cho học sinh lớp 9 bậc THCS

Nhưng đối với dạng bài tập có chứa tham số m, việc tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phânbiệt thỏa mãn điều kiện cho trước thực sự rất khó khăn.. Vì vậy,

Trang 1

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

Những năm gần đây, trong các đề thi vào lớp 10 môn toán đều có dạng bàitoán tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điềukiện cho trước Đây là một dạng toán khó trong chương trình toán lớp 9 Bởi vì,việc giải bài toán này đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt các kiến thức về phươngtrình bậc hai, hệ thức Vi-ét, quan hệ giữa đường thẳng và Parabol, những hằngđẳng thức đáng nhớ và nhiều phép biến đổi linh hoạt Tuy nhiên, trong sách giáo

Trang 2

khoa, sách bài tập không có 1 bài tập nào ở dạng trên Chính vì vậy, học sinh

thường hoang mang khi gặp dạng toán này Các em không biết phải bắt đầu từđâu, trình bày bài như thế nào, vận dụng những kiến thức gì, đặc biệt là đối vớihọc sinh trung bình, yếu Còn đối với học sinh khá giỏi, thì đây là một trong nhữngchuyên đề toán được các em yêu thích, say mê học tập

Trong quá trình giảng dạy môn toán 9 và ôn thi vào lớp 10 tôi nhận thấy rằng,việc tìm giao điểm của một đường thẳng và parabol không lấy gì làm khó, chỉ cầnthay vào công thức rồi tính toán là xong Nhưng đối với dạng bài tập có chứa tham

số m, việc tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phânbiệt thỏa mãn điều kiện cho trước thực sự rất khó khăn Vì vậy, tôi đã mạnh dạn

nghiên cứu đề tài: Rèn luyện kĩ năng giải dạng toán tìm điều kiện của tham số

để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước, cho học sinh lớp 9 bậc THCS, nhằm nâng cao chất lượng môn toán nói

chung và đặc biệt là nâng cao chất lượng thi vào lớp 10

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giáo viên tìm cách hướng dẫn dễ hiểu, dễ nhớ để giúp học sinh giải thành

thạo bài toán “Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước” với hi vọng nâng cao chất lượng

môn toán, đặc biệt là nâng cao chất lượng thi vào 10

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu về việc hướng dẫn như thế nào để học sinh lớp 9 ôn thi vàolớp 10 giải được dạng toán nêu trong đề tài

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu kĩ nội dung kiến thức, xây dựng cơ sở lí thuyết;

- Phương pháp điểu tra khảo sát thực tế.

- Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh;

- Nghiên cứu qua theo dõi, kiểm tra, đánh giá học sinh;

- Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy.

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của vấn đề:

+ Phương trình bậc hai một ẩn.

Định nghĩa:

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phươngtrình có dạng ax2 bxc 0 Trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi làcác hệ số và a 0

Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai Phương trình bậc hai ax2 bxc 0 (a  0)

ac

b2  4



  b 2 ac (b2b)

* Nếu   0 thì phương trình có hai

nghiệm phân biệt

* Nếu   0 thì phương trình có hai

nghiệm phân biệt

a

b

x1   ;

a b

x2   

Trang 3

* Nếu   0 thì phương trình có

nghiệm kép x x a b

2 2 1

a b x

x S

2 1

.

+ Một số điều kiện liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai:

- Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

P S

- Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu là P < 0 (Khi đó hiển nhiên   0)

+ Đồ thị hàm số y = a x b (a  0 )

Đồ thị của hàm số y = a x b (a  0 )là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm

có tung độ bằng b, song song với đường thẳng y = a x nếu b  0, trùng với đườngthẳng y = a x nếu b = 0

+ Đồ thị hàm số y = ax 2 (a  0 )

- Đồ thị của hàm số y = ax2 ( a  0 ) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhậntrục Oy làm trục đối xứng Đường cong đó gọi là một Parabol với đỉnh O

- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

- Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị + Mối quan hệ giữa đồ thị hàm số y = a x b (d) và đồ thị hàm số y = ax2 (P) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình

ax2 axb  ax2  ax b 0 (1)

- Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng (d) cắt (P) tại hai

điểm phân biệt;

- Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì đường thẳng (d) tiếp xúc với (P);

- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì đường thẳng (d) không cắt (P).

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Đối với giáo viên:

+ Thuân lợi: Là một giáo viên trẻ, có trình độ chuyên môn vững, có 10 năm

trực tiếp giảng dạy môn toán 9 và ôn thi vào lớp 10 nên trong quá trình dạy, bảnthân nắm bắt được việc học sinh tiếp thu mảng kiến thức này như thế nào, học sinh

đã giải thành thạo dạng toán nào và ở dạng nào các em hay mắc sai lầm

+ Khó khăn: Dạng toán tìm điều kiện của tham số, để đường thẳng cắt Parabol

tại hai điểm thỏa mãn điều kiện cho trước là một trong những dạng toán khó trongcấu trúc ôn thi môn toán vào lớp 10 Với rất nhiều bài tập phong phú và đa dạng

nhưng trong sách giáo khoa toán 9 và SBT toán 9 không có một bài tập nào ở

dạng này, chỉ có một vài bài trong tài liệu ôn thi vào lớp 10, do đó học sinh ít đượctiếp cận dạng toán vừa nêu Chính vì vậy, đòi hỏi người giáo viên phải tự tìm tòi,nghiên cứu trong rất nhiều tài liệu, sắp xếp theo từng chủ đề, từng dạng để cungcấp cho học sinh

Trang 4

Đối với học sinh:

+ Thuận lợi: Đa số học sinh lớp 9 ở trường đều ngoan, có ý thức vươn lên trong

học tập Phụ huynh học sinh quan tâm tạo điều kiện mua đầy đủ sách giáo khoa,sách bài tập, sách tham khảo cho các em học

+ Khó khăn: Một bộ phận học sinh trung bình, yếu lười học, lười suy nghĩ, lười

tư duy, làm việc rập khuôn, khi giao bài tập về nhà các em thường sao chép sáchgiải, hoặc chép bài của bạn Vì thế, kĩ năng giải toán của các em rất hạn chế, nhiều

em chưa nắm vững kiến thức thì làm sao có thể vận dụng để giải bài tập được, màđây lại là một dạng bài tập khó, đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt các kiến thức, kĩnăng, phân tích tổng hợp, tư duy……

Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã khảo sát học sinh với các bài toán sau:

Bài 1 Tìm giá trị của m để đường thẳng y = 2x + m - 2 cắt Parabol y = x2 tại haiđiểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1 + x2 – 2x1x2 = 10

Bài 2 Tìm giá trị của m để đường thẳng y = 6x – m cắt Parabol y = x2 tại haiđiểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1 – x2 = 2

Bài 3 Tìm giá trị của m để đường thẳng y = 2(m - 2)x + 5 cắt Parabol y = x2 tạihai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn 2

2

1 x

x  =18

K t qu thu ết quả thu được: ả thu được: được:c:

Lớp Sĩ số SLGiỏi % SLKhá % Trung bìnhSL % SLYếu %

ý các sai lầm học sinh hay mắc phải Sau mỗi dạng đưa ra bài tập củng cố để họcsinh tự rèn luyện

Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm có hoành độ trái dấu, cùng dấu.

Phương pháp giải:

- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị ax2 = a x b (1)

- Tìm điều kiện của tham số để phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm trái

dấu, cùng dấu

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 4x + m và Parabol

(P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có:a) hoành độ trái dấu

b) hoành độ đều dương

Giải:

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

x2 = 4x + m  x2 - 4x - m = 0 (1)

Ta có: = 4 + m

Trang 5

a) Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu thì phươngtrình (1) có 2 nghiệm trái dấu Khi đó: P m 0  m 0 (Hiển nhiên   0 )

Vậy với m > 0 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu.b) Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ đều dươngthì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đều dương

P

0 0 4 0 4

Vậy với  4 m 0 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm có hoành độ đều

dương

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y= -2x + m - 6 và

Parabol (P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt

có hoành độ đều âm

0 0

2 1

x x x

6 5 0

6 2 0 5

m m

Dạng 2 này, được chia thành các dạng nhỏ để học sinh dễ dàng tiếp cận kiếnthức, các dạng toán ở đây được sắp xếp từ dễ đến khó theo hệ thức chứa hoành độgiao điểm Sau mỗi dạng toán có thể có những lưu ý về cách giải hoặc sai lầm họcsinh mắc phải…

Dạng 2.1 Hệ thức chứa sẵn tổng và tích hai nghiệm của phương trình hoành

độ.

Phương pháp giải:

- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị ax2 = a x b (1)

- Tìm điều kiện của tham số để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 và x2

- Tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét

- Thay tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm vào hệ thức đã cho rồi giải phương

trình với ẩn là m

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm rồi kết

luận

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = x – 2m và Parabol

(P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt cóhoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn:

Trang 6

Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt

là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

x x x

2

1

2 1 2 1a) Theo đề bài: x1x2 x1x2   5  2m 1   5  2m  6  m  3 (TMĐK *)Vậy với m = -3 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành

Sai lầm học sinh hay mắc phải

Ở câu (d) học sinh quên mất điều kiện để đường thẳng cắt parabol tại haiđiểm phân biệt, nên khi tìm được m 23 là kết luận Vậy m  23 là các giá trị cầntìm Giáo viên cần lưu ý học sinh, sau khi tìm được giá trị của m ta phải đối chiếuvới điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm rồi mới kết luận

Dạng 2.2 Hệ thức không chứa sẵn tổng và tích hai nghiệm và có hệ số của

1

x ;x2hoặc 2

1

x ; 2 2

x hoặc 3

1

x ; 3 2

- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: ax2 = a x b (1)

- Tìm điều kiện cho tham số để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 và x2

- Biến đổi hệ thức đã cho về dạng chứa tổng và tích hai nghiệm (Đây là bước khác

với dạng 2.1)

Trang 7

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2mx + 1 và

Parabol (P): y = -2x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phânbiệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 2 4 ( 1 2) 4 0

2 1 2 1

x x

m x

 m m nên khi tìm được m = 1 (KTMĐ)

VÝ dô 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 4x + m + 1 và

Parabol (P): y = - x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phânbiệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn

3 2

2 1 2 1

m x

x x x

Trang 8

b)Theo đề bài 1 1 1 2 4 0

2 1

Ta có: 1 1 1 2 4 0

2 1

 2 4 0

2

1 2

x x

( Điều kiện m +1 0  m  1 (**))  x1x2  x1x22 4x x x2  0 4 ( 1 ) 2 4 ( 1 ) 0

x1, x2 thỏa mãn 1 1 1 2 4 0

2 1

3 2

x hoặc 3

1

x ; 3 2

- Từ tổng hai nghiệm, ta biểu diễn nghiệm này theo nghiệm kia rồi thay vào hệ

thức đã cho tìm nghiệm kia Sau đó thay hai nghiệm tìm được theo m vào tích hainghiệm rồi tìm m

- Đối chiếu điều kiện rồi kết luận

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 6x - m và Parabol

(P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt cóhoành độ lần lượt làx1,x2 thỏa mãn: x1 x2  4

Giải:

Trang 9

Cách 1: Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

x

x x

2 1

.

4

Giải hệ gồm hai phương trình (2) và (3) ta được: x1  5; x2  1

Thay x1  5; x2  1 vào (4) ta được: m 5  1 5 (TMĐK *)

1x  x x 

x

 4m 36  16  m  5 TM( )

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (m – 1)x + 5m - 6

và Parabol (P): y = - x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phânbiệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 4x1  3x2  1

2 1 2 1

m x

x

m x

4

1

2 1

x x

m x

4 3

2 3

2 1

(4) Thay (4) vào (3) ta được: 3m 23  4m  5m 6  9m 12m2  6  8m 5m 6

 12m(m 1 )  0 0

1

m m





  

 (TMĐK *)Vậy m 0 ; 1 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độlần lượt là x1, x2 thỏa mãn 4x1  3x2  1

Cách 2: Ta có thể biến đổi hệ thức 4x1  3x2  1về dạng chứa tổng và tích hai

nghiệm như sau:

4x1  3x2  1  x1 3x1 3x2  1  x1  1  3x1x2 (5)

4x1  3x2  1  4x1 4x2 x2  1  x2  4x1x2 1 (6)

Nhân vế với vế (5) và (6) ta được:

(2)(3)(4)

(2)(3)

Trang 10

x1x2 1 3x1 x2 .4x1 x2 1 7  12 2 1

2 1 2

1 2

 x x x x x x  5 6 7 ( 1 ) 12 ( 1 ) 2 1

Lưu ý: Trong trường hợp tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có

nghiệm mà phức tạp, ta không cần giải cụ thể, ta chỉ cần tìm giá trị của m thỏamãn hệ thức chứa 2 nghiệm Sau đó thay giá trị m tìm được vào điều kiện phươngtrình có nghiệm và kết luận

Ở bài toán trên, việc giải bất phương trình m2 - 22m + 25 > 0 (*) thật sự rất khókhăn với học trung bình khá Vì vậy, trong quá trình giải bài toán, giáo viên khôngyêu cầu học sinh tìm m thỏa mãn điều kiện (*), chỉ cần học sinh tìm m thỏa mãn

1 2

4x  3x  1, rồi thay giá trị tìm được vào (*), nếu thỏa mãn thì giá trị đó là giá trịcần tìm, nếu không thỏa mãn thì loại

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 5x + m - 7 và

có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: 2 4 2 1

3

4m   m (*)Theo hệ thức Vi – ét, ta có : 

2 1 2 1

m x

x x x

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 3 và

có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: 2 2 2 1 2 12

Trang 11

2 1 2 1

m x x x x

- Biến đổi hệ thức đã cho về dạng chứa tổng và tích hai nghiệm

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = mx - 3 và Parabol

(P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt cóhoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1  x2  2

3 2 12

2 1 2 1

x x

m x

x

Theo đề bài: x1  x2  2  x1x22  4 2 2 4

2 2 1

Trang 12

Đến đây bài toán được giải như Ví dụ 1, 2 dạng 2.3

Nhận xét: Cách biến đổi sau dài dòng hơn.

Sai lầm học sinh hay mắc phải:

- Khi giải điều kiện: 0 2 12 2 3

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) y = 2(m + 2)x – m2 + 9

và Parabol (P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phânbiệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1  x2 x1 x2

13 4

2 2 1 2 1

m x x

m x

x

Theo đề bài : x1  x2 x1 x2 (Điều kiện: x 1 x2  0  2m 4  0  m  2 (**))

Ta có : x1  x2 x1 x2  2

2 1 2 2

2 1

2 2 2 1

Với m = - 3 không thỏa mãn điều kiện (**) nên loại

Vậy với m = 3 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành

độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1  x2 x1 x2

Lưu ý: Vì x1  x2  0 mà x1  x2 x1 x2 nên cần phải có điều kiện x1 +x2  0

Sai lầm học sinh mắc phải trong ví dụ này là thiếu điều kiện x1 +x2  0 nên giá trị

m = -3 cũng là giá trị cần tìm:

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2(m - 1)x + 3 và

Parabol (P): y = x2 Tìm m để đường thẳng d cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt

có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1  x2  4

2 1 2 1

x x

m x

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	1,18 MB