Phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử thông qua đặt ẩn phụ trong chương trình toán 8

Lý do chọn đề tài Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy toán nói riêng trong t

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết

bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy toán nói riêng trong trường trung học cơ sở hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn

Qua thời gian giảng dạy môn Toán 8, tôi nhận thấy việc biến đổi đa thức thành nhân tử là một trong những nội dung cơ bản hết sức quan trọng Nó là cơ sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài tập khác nhau như: giải phương trình, bất phương trình, quy đồng mẫu các phân thức, rút gọn phân thức Nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh mới có khả năng giải quyết được nhiều vấn đề trong chương trình đại số ở các lớp tiếp theo Chúng ta thấy đối với đa thức có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp, nếu chỉ áp dụng những phương pháp đã được học trong sách giáo khoa thì việc phân tích nó thành nhân tử là rất khó khăn đối với cả thầy và trò

Chính vì vậy khi được giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 tôi đã tìm kiếm, nghiên cứu các nguồn tài đưa ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân

tử sao cho dễ hiểu, dễ nhớ và có hệ thống Vẫn biết, hiện nay trên thị trường có rất nhiều sách viết về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử và cũng đã có nhiều giáo viên đúc rút kinh nghiệm về việc phân tích đa thức thành nhân tử Song, tôi vẫn

mạnh dạn giới thiệu với các thầy cô và học sinh kinh nghiệm “Phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử thông qua đặt ẩn phụ trong chương trình Toán 8” Đề

tài này chỉ là một phần trong chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, việc phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử có vai trò quyết định trong giải phương trình một ẩn, bất phương trình một ẩn bậc cao, cực trị đại số… Về nội dung đề tài, sau khi giới thiệu những kiến thức cơ bản làm cơ sở, tôi sẽ giới thiệu tiếp một số dạng đa thức bậc bốn được phân tích thành nhân tử có kèm theo cách giải và các ví dụ minh họa, đồng thời đưa ra các bài tập tương tự Hy vọng đề tài này sẽ trở thành tài liệu tham khảo bổ ích cho thầy cô và các em học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở trường trung học cơ sơ

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Giúp học sinh lớp 8 phân tích thành thạo đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân

tử

- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh

- Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong việc giải các dạng toán khác nhau

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Chỉ ra những phương pháp dạy loại bài “Phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử thông qua đặt ẩn phụ trong chương trình Toán 8”

Đổi mới phương pháp và nâng cao chất lượng dạy học, cụ thể là chất lượng mũi nhọn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: là nghiên cứu thực trạng việc học sinh phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử hiện nay Từ đó giúp người nghiên cứu thu thập thông tin, làm nảy sinh các ý tưởng nghiên cứu và đề xuất sáng tạo

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: là thu thập thông tin thông qua đọc tài liệu nhằm mục đích tìm chọn những kiến thức mới, dựa vào đặc trưng của

đa thức bậc bốn một ẩn, phân loại và đưa ra cách phân tích thành nhân tử cho từng loại, nhằm xây dựng những mô hình lý thuyết hay thực nghiệm ban đầu

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Để phân tích đa thức thành nhân tử, cách thông thường là khéo léo phân tích đa thức đó thành các hạng tử có nhân tử chung Với cách làm như vậy thì quả là một khó khăn thách thức cho các em khi phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử

Trong khi đó việc phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử sau này chỉ là một phần cho việc thực hiện một số dạng toán như giải phương trình bậc bốn, giải bất đẳng thức, Do đó, giáo viên cần giúp các em học sinh khá, giỏi phân tích một số dạng đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử nhanh nhất, để từ đó các em còn có đủ thời gian hoàn thành nội dung chính của bài toán

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016-2017, tôi được giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 Khi dạy các dạng toán biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỷ, chứng minh quan hệ, giải một phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên của một phương trình, chứng minh một bất đẳng thức, giải một bất phương trình,…Thông thường trong các bài toán này hay xuất hiện phần phân tích đa thức thành nhân tử, là khâu then chốt để thực hiện bài toán Tuy nhiên, cả thầy và trò chỉ biết tách ghép, thêm bớt các hạng tử sao cho xuất hiện nhân tử chung, nếu là các đa thức bậc thấp thì đơn giản, nhưng bắt gặp đa thức bậc bốn một ẩn thì hiệu quả không cao, mất rất nhiều thời gian Thực tế tôi cũng đã kiểm tra học sinh khả năng phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử, với ba bài như sau:

1 x4 - 13x2 +36

2 (x2 + 8x +12)(x2 + 12x + 32) +16

3 x4 + x3 - 4x2 + x + 1

Kết quả

Số học sinh

tham gia

kiểm tra

Điểm dưới 5 Điểm từ 5 đến

dưới 6,5

Điểm từ 6,5 đến dưới 8

Điểm từ 8 trở lên

Rõ ràng với kết quả như trên là quá thấp, chưa đạt yêu cầu Từ đó, tôi thấy cần phải nghiên cứu các nguồn tài liệu, tìm ra phương pháp giải các bài toán phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử nhanh và hiệu quả

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện

2.3.1 Giải pháp

Sử dụng việc đặt ẩn phụ một lần hoặc nhiều lần và áp dụng hằng đẳng thức(*) sau:

Xét đa thức Q(y) = ay2 + by + c Nếu có các số m, n sao cho: m n a.c và b

n

m 

a

mn y n m ay c by

ay2   2  

a

n m ay y a

mn ny my

) )(

(

) )(

( ) (

) (

a

n y a

m y

a

a

n y m ay m ay a

n m ay

y





















































a

n y a

m y a c by

Khi a = 1 thì y2bycymyn

Trong trường hợp a, b, c nguyên thì trước hết phân tích số nguyên a.c thành tích hai số nguyên m.n sao cho m b,n b sau đó chọn m, n thỏa mãn m + n = b

Chú ý rằng phương pháp này có thể áp dụng cho lớp 7 và lớp 8 khi các em chưa biết cách giải phương trình bậc hai Chính vì vậy ta cần phải biết hằng đẳng thức cơ

sở (*)

2.3.2 Tổ chức thực hiện

a Đa thức dạng P(x) = ax 4 + bx 2 + c

Cách giải Đặt biến phụ y = x2 và áp dụng hằng đẳng thức (*)

Ví dụ 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = 6x4 + 19x2 +15

Lời giải

Đặt y = x2 ta có Q(y) = 6y2 + 19y +15

Hệ số a = 6, b = 19, c = 15 Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 90 và m + n = b = 19 với m

< 19, n < 19 Do đó ta chọn được m = 9, n = 10

Từ đó 6y2 + 19y +15

= 6y2 + 9y + 10y + 15

= 3y(2y + 3) + 5(2y + 3)

= (2y + 3)(3y + 5)

Từ đó suy ra: P(x) = 6x4 + 19x2 +15 = (2x2 + 3)(3x2 + 5)

Ví dụ 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x2 +3x)2 + 7 x2 + 21x +10

Lời giải

Biến đổi P(x) = (x2 +3x)2 + 7(x2 + 3x) +10

Đặt y = x2 +3x, ta có Q(y) = y2 +7 y + 10

Hệ số a = 1, b = 7, c = 10 Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 10 và m + n = b =7 Do đó ta chọn được m = 2, n = 5 Suy ra

Q(y) = y2 + 7 y + 10 = y2 + 2y +5y + 10

= y(y + 2) + 5(y + 2) = (y + 2)(y + 5)

Từ đó suy ra: P(x) = (x2 + 3x + 2)(x2 + 3x+5) = (x + 1)(x + 2)(x2 + 3x+5)

b Đa thức dạng P(x) = a(a 1 x 2 + b 1 x +c 1 ) 2 +bx(a 1 x 2 + b 1 x +c 1 ) + cx 2

Cách giải Đặt biến phụ y = a1x2 + b1x +c1 và áp dụng hằng đẳng thức (*)

Ví dụ 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

P(x) = 4(x2 + x +1)2 +5x(x2 + x +1) + x2

Lời giải

Đặt y = x2 + x +1 Khi đó P(x) trở thành Q(y) = 4y2 + 5xy + x2

Hệ số a = 4, b = 5x, c = x2 Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 4x2 và m + n = b = 5x

Do đó ta chọn được m = 4x, n = x

Từ đó Q(y) = 4y2 + (4x + x)y + x2

= (4y2 + 4xy ) + (xy + x2)

= 4y(y + x) + x( y + x)

= (x + y)(4y + x)

Vậy P(x) = (x + x2 + x +1)(4x2 + 4x +4 + x)

= (x2 + 2x +1)(4x2 + 5x + 4)

= (x + 1)2(4x2 + 5x + 4)

Ví dụ 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

P(x) = (x2 -1)2 - x(x2 -1) - 2x2

Lời giải

Đặt y = x2 -1 Khi đó P(x) trở thành Q(y) = y2 - xy - 2x2

Hệ số a = 1, b = -x, c = -2x2 Tìm m, n sao cho m.n = a.c = - 2x2 và m + n = b = - x

Do đó ta chọn được m = -2x, n = x

Từ đó Q(y) = y2 - (-2x + x)y - 2x2

= (y2 - xy ) + (2xy - 2x2)

= y(y - x) + 2x( y - x)

= (y -x)( y + 2x)

Vậy P(x) = (x2 - 1- x)( x2 - 1+ 2x)

= (x2 - x -1)(x2 + 2x -1)

Trường hợp đa thức có bậc là 8

P(x) = a(a 1 x 2 + b 1 x +c 1 ) 4 +bx 2 (a 1 x 2 + b 1 x +c 1 ) 2 + cx 4

Ta xử lý tương tự như bậc là 4

Cách giải Đặt y = (a1x2 + b1x +c1)2 và áp dụng hằng đẳng thức(*)

Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

P(x) = 10(x2 - 2x +3)4 - 9x2(x2 - 2x +3)2 - x4

Lời giải

Đặt y = (x2 - 2x +3)2 Khi đó P(x) trở thành Q(y) = 10y2 - 9x2y – x4

Hệ số a = 10, b = - 9x2, c = -x4 Tìm m, n sao cho m.n = a.c = - 10x4

và m + n = b = - 9x2 Do đó ta chọn được m = - 10x2, n = x2

Từ đó Q(y) = 10y2 + (-10x2 + x2)y – x4

= (10y2 - 10x2y ) + (x2y - x4)

= 10y(y – x2) + x2( y – x2)

= (y – x2) (10y + x2)

Vậy P(x) = (x 2 - 2x  3) 2 - x 2  10 (x 2 - 2x  3) 2 x2

= (x2 - 2x + 3 – x)( x2 - 2x + 3 +x)10x4  4x2  9  8x3  12x 6x2x2

= ( x2 - 3x + 3)( x2 - x + 3)(10x4- 80x3 + 101x2– 120 x + 90)

c Đa thức dạng P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d

Cách giải Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) và áp dụng hằng đẳng thức (*)

Có thể đặt y = (x + c)(x + d) hoặc y = x2 + (a+b)x

Ví dụ 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

P(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 15

Lời giải

Với a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 thì a + d = 5 = b + c

Biến đổi P(x) = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 15

= (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) – 15 Đặt y = (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành

Q(y) = y(y +2) – 15 = y2 + 2y -15

Hệ số a = 1, b = 2, c = -15 Tìm m, n sao cho m.n = a.c = - 15 và m + n = b = 2 Do đó

ta chọn được m = 5, n = -3

Từ đó Q(y) = (y2 + 5y) - (3y +15) =y (y+ 5) - 3(y +5) = (y+ 5)(y - 3)

Suy ra P(x) = (x2 + 5x + 9)( x2 + 5x + 1)

Ví dụ 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

P(x) = (x -1)(x - 3)(x - 5)(x - 7) - 20

Lời giải

Với a = -1, b = -3, c = -5, d = -7 thì a + d = -8 = b + c

Biến đổi P(x) = (x - 1)(x - 7)(x - 3)(x - 5) – 20

= (x2 - 8x + 7)( x2 - 8x + 15) – 20 Đặt y = (x - 1)(x - 7) = x2 - 8x + 7 thì P(x) trở thành

Q(y) = y(y +8) – 20 = y2 + 8y - 20

Hệ số a = 1, b = 8, c = -20 Tìm m, n sao cho m.n = a.c = - 20 và m + n = b = 8 Do đó

ta chọn được m = 10, n = -2

Từ đó Q(y) = y2 + 8y – 20 = (y2 + 10y) - (2y + 20) = (y+ 10)(y - 2)

Suy ra P(x) = (x2 - 8x +7+ 10)( x2 - 8x + 7 - 2)= (x2 - 8x +17)( x2 - 8x +5)

d Đa thức dạng P(x) = (a 1 x + a 2 )(b 1 x + b 2 )(c 1 x + c 2 )(d 1 x + d 2 ) + ex 2

với a 1 b 1 = c 1 d 1 và a 2 b 2 = c 2 d 2

Cách giải Đặt biến phụ y = (a1x + a2)(b1x + b2) và áp dụng hằng đẳng thức (*)

Có thể đặt y = (c1x + c2)(d1x + d2)

Ví dụ 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

P(x) = (3x + 2)(3x - 5)(x – 1)(9x + 10) + 24x2

Lời giải.

Dễ thấy a1b1 = 3.3 = 1.9 = c1d1 và a2b2 = 2.(-5) = (-1).10 = c2d2

P(x) = (9x2 - 9x - 10)(9x2 + x - 10) +24x2

Đặt y = (3x + 2)(3x - 5) = (9x2 - 9x - 10), thì P(x) trở thành

Q(y) = y(y + 10x) + 24x2 = y2 + 10xy + 24x2

Hệ số a = 1, b = 10x, c = 24x2 Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 24x2 và m + n = b = 10x

Do đó ta chọn được m = 6x, n = 4x

Áp dụng hằng đẳng thức (*) ta được:

Q(y) = (y + 6x)(y + 4x)

Vậy, suy ra P(x) = (9x2 - 3x - 10)(9x2 - 5x - 10)

Ví dụ 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

P(x) = (x - 3)(x - 10)(x - 5)(x - 6) - 24x2

Lời giải.

Dễ thấy a1b1 = 1.1 = 1.1 = c1d1 và a2b2 = (-3).(-10) = (-5).(-6) = c2d2

P(x) = (x2 - 13x + 30)(x2 -11x + 30) - 24x2

Đặt y = (x - 3)(x - 10) = (x2 - 13x + 30), thì P(x) trở thành

Q(y) = y(y + 2x) - 24x2 = y2 + 2xy - 24x2

Hệ số a = 1, b = 2x, c = - 24x2 Tìm m, n sao cho m.n = a.c = - 24x2 và m+ n = b = 2x

Do đó ta chọn được m = 6x, n = - 4x

Áp dụng hằng đẳng thức (*) ta được:

Q(y) = (y + 6x)(y - 4x)

Vậy, suy ra P(x) = (x2 - 13x + 30 + 6x)( x2 - 13x + 30 - 4x)

= (x2 - 7x + 30)( x2 - 17x + 30)

e Đa thức dạng P(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = -1

Cách giải Đặt biến phụ y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay2 + bxy rồi sử dụng hằng đẳng thức (*)

Ví dụ 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1

Lời giải

Đặt y = x2 + 1 => y2 = x4 + 2x2 + 1

Biến đổi P(x) = (x4 + 2x2 + 1) + 6x3 +5x2 +6x

= (x2 + 1)2 + 6x(x2 + 1) + 5x2

Từ đó Q(y) = y2 + 6xy + 5x2

Hệ số a = 1, b = 6x, c = 5x2 Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 5x2 và m + n = b = 6x

Do đó ta chọn được m = 5x, n = x ta có

Q(y) = y2 + (5x + x)y + 5x2

= y2 + 5xy + xy + 5x2

= y(y + 5x) + x(y + 5x)

= (y +x)(y + 5x)

Từ đó suy ra P(x) = (x2 + 1+ x)(x2 +1 + 5x) =(x2 + x + 1)(x2 + 5x + 1)

Ví dụ 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = 2x4 + 3x3 - 9x2 - 3x + 2

Lời giải

Đặt y = x2 - 1 => y2 = x4 - 2x2 + 1

Biến đổi P(x) = 2(x4 - 2x2 + 1) + 3x3 - 5x2 - 3x

= 2(x2 - 1)2 + 3x(x2 - 1) - 5x2

Từ đó Q(y) = 2y2 + 3xy - 5x2

Hệ số a = 2, b = 3x, c = -5x2 Tìm m, n sao cho m.n = a.c = -10x2 và m + n = b = 3x

Do đó ta chọn được m = 5x, n = -2x ta có

Q(y) = 2y2 + (5x - 2x)y - 5x2

= 2y2 - 2xy + 5xy - 5x2

= 2y(y - x) + 5x(y - x)

= (y - x)(2y + 5x)

Từ đó suy ra P(x) = (x2 - 1- x)(2x2 - 2 + 5x) = (x2 - x- 1)(2x2 + 5x - 2)

f Đa thức dạng P(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + ak 2 , với k  1

Cách giải Đặt biến phụ y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay2 + bxy rồi sử dụng hằng đẳng thức (*)

Ví dụ 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = x4 + 7x3 + 14x2 + 14x + 4

Lời giải

Ta nhận thấy k = 2, nên ta đặt y = x2 + 2 => y2 = x4 + 4x2 + 4

Biến đổi P(x) = (x4 + 4x2 + 4) + 7x3 + 10x2 + 14x

= (x2 + 2)2 + 7x(x2 + 2) + 10x2

Từ đó Q(y) = y2 + 7xy + 10x2

Hệ số a = 1, b = 7x, c = 10x2 Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 10x2 và m + n = b = 7x

Do đó ta chọn được m = 5x và n = 2x ta có

Q(y) = y2 + (5x + 2x)y + 10x2

= y2 + 5xy + 2xy + 10x2

= y(y + 5x) + 2x(y + 5x)

= (y + 2x)(y + 5x)

Từ đó suy ra P(x) = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 + 3x)

= (x2 + 2x + 2)(x2 + 3x + 3)

Ví dụ 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = 2x4 - 5x3 - 27x2 + 25x + 50

Lời giải

Ta nhận thấy k = - 5, nên ta đặt y = x2 - 5 => y2 = x4 - 10x2 + 25

Biến đổi P(x) = 2(x4 - 10x2 + 25) - 5x3 - 7x2 + 25x

= 2(x2 - 5)2 - 5x(x2 - 5) - 7x2

Từ đó Q(y) = 2y2 - 5xy - 7x2

Hệ số a = 2, b = -5x, c = -7x2 Tìm m, n sao cho m.n = a.c = -14x2 và m + n = b = - 5x

Do đó ta chọn được m = -7x và n = 2x ta có

Q(y) = 2y2 + (-7x + 2x)y - 7x2

= 2y2 - 7xy + 2xy - 7x2

= y(2y - 7x) + x(2y - 7x)

= (2y - 7x)(y +x)

Từ đó suy ra P(x) =  2(x2 - 5) -7x) (x2 - 5 + x)

= (2x2 - 7x - 10)(x2 + x - 5)

g Đa thức dạng P(x) = x 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e với 22

b

d

e 

Cách giải Đặt biến phụ

b

d x

y 2  và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử y2 + bxy rồi sử dụng hằng đẳng thức(*)

Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = x4 - x3 - 10x2 + 2x + 4

Lời giải

Dễ thấy b = -1, d = 2, e = 4 Đặt y = x2 - 2 => y2 = x4 - 4x2 + 4

Biến đổi P(x) = x4 - x3 - 10x2 + 2x + 4

= (x4 - 4x2 + 4) - x(x2 - 2) - 6x2

= (x2 -2)2 - x(x2 - 2) - 6x2

Từ đó Q(y) = y2 - xy - 6x2

Hệ số a = 1, b = -x, c = -6x2 Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 1.(-6x2) và m + n = b = -x

Do đó ta chọn m = 2x và n = - 3x, ta có

Q(y) = y2 + (2x - 3x)y - 6x2

= y2 + 2xy - 3xy - 6x2

= y(y + 2x) - 3x(y + 2x)

= (y + 2x)(y - 3x)

Vậy P(x) = (x2 - 2 + 2x)( x2 - 2 - 3x) = (x2 + 2x -2)( x2 - 3x - 2)

hiện theo cách trên

h Đa thức dạng P(x) = (x + a) 4 + (x + b) 4 + c

Cách giải Đặt biến phụ yxa2b và biến đổi P(x) về dạng mx4 + nx2 + p

Ví dụ 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x +2)4 + (x+8)4 – 272

Lời giải.