Khai thác một số dạng toán ôn thi học sinh giỏi toán 9 từ một tính chất quen thuộc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỪ MỘT TÍNH CHẤT QUEN THUỘC Người thực hiện: Lê Văn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỪ MỘT TÍNH CHẤT QUEN THUỘC

Người thực hiện: Lê Văn Tú

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Thánh Tông

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong giảng dạy môn Toán, ngoài việc giúp HS nắm chắc kiến thức cơ bản,thì việc phát huy tính tích cực của HS thông qua việc khai thác thêm các bàitoán mới từ những bài toán điển hình cơ bản, đồng thời biết ứng dụng các bàitoán đơn giản vào việc giải các bài toán phức tạp là điều rất cần thiết cho côngtác bồi dưỡng học sinh giỏi

Chúng ta đều biết một bài toán dù có khó, phức tạp đến đâu thì lời giải của

nó cũng có thể đưa được về một chuỗi hữu hạn các bước suy luận đơn giản, việcgiải bài toán phức tạp đều có thể đưa về việc áp dụng, tiền đề là các bài toán cơbản Nên việc thường xuyên ứng dụng, khai thác các bài toán đơn giản để giảicác bài toán khó là một cách nâng cao dần khả năng suy luận, tư duy sâu cho

HS Qua một số năm giảng dạy, tôi đã học hỏi ở các đồng nghiệp và với kinhnghiệm của bản thân tôi luôn giúp học sinh khai thác, ứng dụng nhiều bài toán,trên cơ sở đó tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “Khai thác một số dạng toán ôn thihọc sinh giỏi Toán 9 từ một tính chất quen thuộc”

Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đưa ra một số bài tập đặctrưng cho từng dạng, giúp học sinh nắm bắt được dạng bài tập này, có kỹ nănggiải bài tập dễ dàng hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Với sáng kiến kinh nghiệm "Khai thác một số dạng toán ôn thi học sinh giỏi

Toán 9 từ một tính chất quen thuộc", tôi mong muốn giúp các em trong đội tuyểnhọc sinh giỏi Toán lớp 9 trước hết nắm vững cách chứng minh tính chất quenthuộc là:

“Với số tự nhiên x, nếu x là số hữu tỉ thì x cũng là số tự nhiên” (*) Sau đócác em biết vận dụng tính chất vào khai thác một số dạng toán ôn thi học sinhgiỏi Từ đó các em giải quyết được một số bài toán trong bài thi trong các đề thihọc sinh giỏi Cũng qua sáng kiến kinh nghiệm này, tôi muốn các em thấy đượcđằng sau những tính chất cơ bản quen thuộc tưởng chừng như đơn giản và khôkhan ấy là những điều mới mẻ, những khám phá bổ ích và lý thú Từ đó khơidậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo của mỗi học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Trong các đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7, 8 và lớp 9, thi vào các trườngchuyên trong toàn quốc ta thường xuyên bắt gặp các bài thi khai thác từ đẳngthức (*) Tuy nhiên, trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đưa ramột số dạng toán khai thác từ tính chất (*), hệ thống các dạng bài tập cũng nhưđịnh hướng giải cho mỗi dạng bài Với mỗi dạng bài tập tôi trình bày theo mức

độ từ dễ đến khó Từ đó giúp học sinh đội tuyển học sinh giỏi Toán 9 có thể sửdụng tài liệu này một cách hiệu quả

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Xây dựng đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp:

- Phương pháp phân tích và tổng hợp lí thuyết

- Phương pháp thực nghiệm khoa học

- Phương pháp điều tra.

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Gọi A B, là các biểu thức chứa biến x, khi đó :

2.1.6 Nếu UCLN m n ( , ) 1 và m n hoặc m n2  2 thì n 1

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Như chúng ta đã biết, trong công tác dạy học ngoài việc quan tâm đến chấtlượng đại trà, thì cần phải chú trọng đến chất lượng học sinh mũi nhọn, trong đócông tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 là rất quan trọng Muốn nâng cao chấtlượng bồi dưỡng học sinh giỏi thì giáo viên ngoài việc phải phân loại được cácchuyên đề và dạng toán cho từng chuyên đề đó thì khai thác các bài toán cơ bản

để giải các bài toán khó là một việc làm rất cần thiết để giúp các em nâng caodần khả năng suy luận, tư duy sâu Tuy nhiên, thời gian đầu khi mới ôn thi họcsinh giỏi Toán 7, 8, 9,các bài tập tôi cung cấp cho học sinh chưa có hệ thống,chưa có sự khai thác, liên hệ Vì vậy khi học sinh làm bài tập, hoặc bài thi mà có

sự liên quan thì các em thường tỏ ra lúng túng, nhiều em không định hướngđược cách giải Chính vì vậy,các em chưa thực sự say mê học tập vì chưa thấyđược những điều thú vị ẩn sau các bài toán cơ bản quen thuộc Sau một vài năm,bản thân tôi cũng có nhiều kinh nghiệm hơn trong công tác bồi dưỡng HSG, tôinghĩ rằng mình phải làm thế nào để kiến thức mình truyền đạt đến học sinh phảiđược hệ thống thành các chủ đề, giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, và đặc biệt làgiúp các em thấy được mối liên hệ giữa các kiến thức để kích thích sự tìm tòi,sáng tạo Do đó tôi đã dần dần hình thành nội dung sáng kiến kinh nghiệm này

và hôm nay xin được chia sẻ cùng các đồng nghiệp

Ta đã biết một tính chất rất quen thuộc với các học sinh là:

“Với số tự nhiên x, nếu x là số hữu tỉ thì x cũng là số tự nhiên” (*) Khi ônđội tuyển HSG Toán 9 tôi có đưa ra cho HS làm bài toán sau trong 30 phút:

a) Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức  12

2

x x





có giá trị là số nguyênb) Tìm các số tự nhiên x thỏa mãn :  x 1  y2 4

c) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (a,b,c) thỏa mãn a, b, c là độ dài ba

a b c   b c a   c a b  là số tự nhiên lẻ khác 1 Hãy nhận dạng tam giác này

Thì tôi thấy đa số các em lúng túng, chưa đưa ra được lời giải nh mong mu n.ư mong muốn ốn

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng

Để thực hiện tốt đề tài, tôi đã đưa ra các giải pháp thực hiện sau:

- Khảo sát chất lượng học sinh: Tôi đã đưa các vấn đề mình cần nghiên cứu

để kiểm tra các em dưới những hình thức khác nhau để biết được các em

“hổng” ở chỗ nào?

- Tìm nguyên nhân vì sao các em “hổng”: Tôi đã tìm ra nguyên nhân dẫnđến một số học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi chưa làm được là do các

em chưa định ra được cách giải và phương pháp hợp lí cho từng dạng

- Tự học, nghiên cứu các tài liệu, tham khảo các đề thi học sinh giỏi Toán

8, 9 để phân loại, đưa ra các bài tập điển hình

- Có kế hoạch dạy bồi dưỡng học sinh giỏi phù hợp

Trong quá trình học trên lớp, học sinh đã được biết tính chất quen thuộc

cơ bản là:

“Với số tự nhiên x, nếu x là số hữu tỉ thì xcũng là số tự nhiên ” Để chứngminh tính chất này, học sinh có thể vận dụng kiến thức liên quan đến phân số tốigiản, định nghĩa phép chia hết lớp 6 và định nghĩa số hữu tỉ lớp 7

Thật vậy : vì x Q nên x m ( ,m n N n, 0,UCLN m n( , ) 1)

Với tính chất này, ta để ý tới điều kiện x là số tự nhiên, x là số hữu tỉ

tức là khi x được cho dưới dạng phân số hoặc từ một điều kiên nào đó giúp ta

có thể biến đổi được x dưới dạng phân số thì ta nhớ ngay rằng xcũng là số tựnhiên Do vậy, nếu biến đổi đề bài, hoặc cho thêm giả thiết thì ta sẽ khai thác

được một số dạng toán mà học sinh hay gặp trong quá trình ôn thi học sinh giỏiToán.

Trong quá trình ôn thi học sinh giỏi, giáo viên phải phân kiến thức thành cácchủ đề, giới thiệu đường lối chung từng loại, các công thức, các kiến thức cóliên quan từng loại bài Khi ôn học sinh giỏi về phần này, tôi phân ra các loạitoán áp dụng sau:

- Dạng 1: Chứng minh một biểu thức chứa dấu căn thức luôn có giá trị là

số nguyên

- Dạng 2: Tìm điều kiện của biến để biểu thức chứa biến đó có giá trị là sốnguyên

- Dạng 3: Giải các phương trình nghiệm nguyên có chứa dấu căn thức

- Dạng 4: Chứng minh xlà số vô tỉ :

- Dạng 5: Giải các bài toán có chứa x, trong đó x là số hữu tỉ

Khi bắt tay vào giải bài tập, một công việc hết sức quan trọng là đọc kĩ đề vànhận biết được bài toán thuộc dạng toán nào Từ đó, tôi đưa ra các dạng toán và

hệ thống bài tập cho học sinh

Dạng 1: Chứng minh một biểu thức chứa dấu căn thức luôn có giá trị là số nguyên :

- Từ điều kiện vế trái của đẳng thức x m là một biểu thức chứa một dấu căn thức, ta nghĩ đến các đẳng thức mà vế trái có chứa nhiều dấu căn thức

Ví dụ 1.1: Cho các số tự nhiên x, y Chứng minh rằng nếu x  y có giá trị là

Ví dụ 1.2: Cho các số tự nhiên x, y Chứng minh rằng nếu 3

Vì m N n N ,  và m n 2 nên m0;1;2 T ó ta có b ng các giá tr ừ đó ta có bảng các giá trị đó ta có bảng các giá trị ảng các giá trị ị

tư mong muốn.ơng ứng.ng ng.ứng

b) Nếu

2

314

y x x





có giá trị là số hữu tỉ thì x, y đều là số tự nhiên

2) Cho các số tự nhiên x, y, z Chứng minh rằng :

y

x y

có giá trị là số hữu tỉ thì x, y, z đều là số tự

nhiên

3) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) sao cho x  y  2012

4) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) sao cho 2 x 3 y  2012

5) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) sao cho 2 x 3 y  25p ( với

A x

x x

 có giá trịnguyên



 có giá trịnguyên

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức A = 3 4

2

x x



 có giá trị nguyên.Bài 2: Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức



 có giá trịnguyên

Bài 3: Tìm các số tự nhiên x sao cho biểu thức 2 12

A =

3 2

x x





có giá trị

nguyên

Dạng 3: Giải các phương trình nghiệm nguyên có chứa dấu căn thức :

- Đối với các phương trình bậc 1, 2, 3, đối với hai biến x, y Nhờ có tính chất (1) mà ta có thể thay các biến x, y bởi x, y

Ví dụ 3.1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3 x17 y 159

Thay b = 3k vào (1) ta tìm được a53 17 k

Suy ra nghiệm của phương trình là :  2  

2

53 179

2016 4034

Vì x  1 Z, y  1 Z nên x 1, y 1 là các ước của 2017

Vì 2017 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp :

2018

1 2017

x x

y y

Ví dụ 3.4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

2 3

- Nếu k = 0 thì ta tìm được b = - 13 ( loại)

- Nếu k 0, ta coi (3) là phương trình bâc hai ẩn b

- Xét các trường hợp : k 0;1;2;3 , rồi thử trực tiếp ta được k = 1 thỏa mãn Khi đó a 3,b1, suy ra : x9,y1

Bài tập áp dụng:

Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5 x17 y 155

Bài 2 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy  x y  1 0

Bài 3 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

3 1 3

x  x x   y

Dạng 4: Chứng minh x là số vô tỉ :

- Ta biết rằng, với một số thực a bất kì thì hoặc a là số hữu tỉ hoặc a là số

vô tỉ Theo tính chất (*), với x là số tự nhiên mà x là số hữu tỉ thì x là số tự nhiên Nhưng khi x là số tự nhiên thì x là số chính phương Điều này làm ta

nghỉ tới tính chất “ Nếu x là số tự nhiên nhưng không phải là số chính phương

minh x không phải là số chính phương Dưới đây là một số ví dụ

Ví dụ 4.1: Chứng minh rằng 3 là số vô tỉ:

( vì UCLN a b  )( , ) 1  a2  ( vô lí ) Vậy 3 là số vô tỉ.3

Ví dụ 4.2: Chứng minh rằng n  là số vô tỉ với mọi số nguyên n.2 2

Vậy n  là số vô tỉ.2 2

Ví dụ 4.3:Chứng minh rằng n33n2 2n là số vô tỉ với mọi số tự nhiên n.2

Hướng dẫn giải:

- Ta có : n3 3n2 2n 2 n n( 1)(n2) 2

- Vì tích của ba số tự nhiên n n( 1)(n2) chia hết cho 3 nên n3 3n2 2n2Chia cho 3 dư 2

- Mặt khác, ta dễ dàng chứng minh được số chính phương chia cho 3 chỉ có dư

là 0 hoặc 1 Suy ra n33n2 2n2 không là số chính phương

Vậy n33n2 2n là số vô tỉ.2

Ví dụ 4.4: Tìm các số tự nhiên n sao cho n  là số vô tỉ 2 9

Hướng dẫn giải:

- Trước hết ta tìm các giá trị của n để n 2 9 là số hữu tỉ.

- Giả sử n  là số hữu tỉ Khi đó, 2 9 n  là số tự nhiên 2 9

- Đặt n2 9k (k Z ) n2  9 k2  (k n k n )(  ) 9

Suy ra k - n là ước nguyên của 9

Ta có bảng các giá trị tương ứng của n – k, n + k và n, k

-5 ( loại)

5( thỏa mãn)

3( thỏa mãn)

5( thỏa mãn)

- Từ bảng các giá trị tương ứng trên suy ra : n2  9 Q n  4;0;4

Vậy để n  là số vô tỉ thì 2 9 n   4;0;4 .

Ví dụ 4.5: Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn : x2 3  y  z (1)

Vậy các số nguyên dương x, y, z cần tìm là ( , , ) (4;1;3)x y z  ; ( , , ) (4;3;1)x y z 

Ví dụ 4.6: Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

Bài 1 : Chứng minh rằng 5 là số vô tỉ:

Bài 2 : Chứng minh rằng 4n  là số vô tỉ với mọi số nguyên n.2

Bài 3 : Chứng minh rằng n3 n là số vô tỉ với mọi số tự nhiên n.2

Bài 4 : Tìm các số tự nhiên n sao cho n  là số vô tỉ 2 4

Bài 5 : Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn : x2 5  y  z (1)

Bài 6 : Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

 là số hữu tỉ và a2 b2 c2là số nguyên tố

Bài 7 : Với những giá trị nào của a thì các số a  15và 1 15

a  đều là các số

nguyên

Dạng 5: Giải các bài toán có chứa x , với x là số hữu tỉ:

- Từ điều kiện của biến x là số tự nhiên ta nghỉ đến điều kiện x là số hữu

tỉ Theo đó ta cũng nghỉ đến các trường hợp vế trái là một biểu thức chứa nhiều dấu căn thức Trước hết ta có tính chất “ Nếu x là số hữu tỉ và x cũng là số hữu tỉ thì x viết được dưới dạng x a22

Ví dụ 5.2: Cho x, y, z là hai số hữu tỉ Chứng minh rằng nếu x y z là sốhữu tỉ thì x, y, z cũng là số hữu tỉ.

Ví dụ 5.3: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (a,b,c) thỏa mãn a, b, c là độ

a b c   b c a   c a b  là số tự nhiên lẻ khác 1.

Vậy có duy nhất bộ ba số nguyên dương (a, b, c) = (49, 12, 42) thỏa mãn.

Ví dụ 5 4 : Cho x, y là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức :

x y 3 xy x(3 3y2) Chứng minh rằng 1 xy là một số hữu tỉ

Bài 3 : Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (a,b,c) thỏa mãn a, b, c là độ dài ba

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Sau nhiều năm ôn thi học sinh giỏi cấp huyện,sau mỗi năm tôi lại tích luỹthêm các bài tập lí thú về phần này Từ một bài toán cơ bản quen thuộc, tôi đãgiúp học sinh hệ thống được các dạng bài tập thường gặp trong các đề thi, củng

cố được phương pháp giải mỗi dạng bài tập Các em thấy được những sự liênquan, khai thác vô cùng thú vị ẩn sau những bài toán cơ bản mà các em đượchọc Đây chính là một trong những nội dung tạo được hứng thú học tập, rènluyện óc sáng tạo, trau dồi tư duy linh hoạt cho học sinh, nhất là với học sinhgiỏi

Sau khi truyền đạt nội dung này tới học sinh, các học sinh tôi dạy đều ghinhớ kiến thức và phương pháp giải rất tốt Mỗi khi gặp những bài tập dạng nàycác em rất tự tin và vận dụng được các kiến thức mà mình đã được lĩnh hội Qua các năm bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh của tôi thi có nhiều em đạtgiải cao, có nhiều giải nhất, giải nhì Kết quả đó giúp tôi khẳng định rằng sángkiến kinh nghiệm của mình thực sự đem lại hiệu quả trong việc bồi dưỡngHSG

Trong năm nay, sau khi đã dạy cho HS thì khi các em gặp các bài toán tương tựtrong các đề thi đa số các em đã làm tốt, điều đó được thể hiện qua các bài kiểmtra khảo sát:

Để giúp học sinh có được những kĩ năng tư duy sáng tạo, nhạy bén tronghọc tập và thực hành đòi hỏi giáo viên phải sử dụng nhiều phương pháp sư

phạm, tuy nhiên không có phương pháp nào là tối ưu để đạt được một kết quảtốt trong các kì thi mà đó là sự tổng hợp của nhiều phương pháp khác nhau Sau một thời gian vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào bồi dưỡng HSGtôi nhận thấy rằng những kinh nghiệm này phù hợp với nội dung chuẩn kiếnthức kĩ năng và bám sát cấu trúc đề thi học sinh giỏi, học sinh chủ động, tích cựctrong việc lĩnh hội kiến thức và kĩ năng Không khí học tập sôi nổi, kích thíchđược sự say mê sáng tạo và học sinh yêu thích môn học hơn Chính vì vậy, khigặp các bài toán dạng này, HS đã làm tương đối tốt, và tôi nghĩ đó cũng là mộtthành công của đề tài này

Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ mà tôi đúc rút được qua quá trình ôn thihọc sinh giỏi từ các năm học và muốn chia sẻ với đồng nghiệp Tuy nhiên, dothời gian có hạn tôi không thể trình bày tỉ mỉ, chi tiết, cụ thể; những hiểu biết vàkinh nghiệm trên chắc chắn không tránh những sai sót Rất mong các đồngnghiệp tham khảo và đóng góp thêm những dạng mới, những kinh nghiệm quýbáu để tôi cũng như đề tài được hoàn thiện hơn, và nó sẽ trở thành một tài liệu

bổ ích giúp các em HS tham gia thi học sinh giỏi, giao lưu Toán học đạt kết quảcao nhất

3.2 Kiến nghị.

Hàng năm, phòng giáo dục đào tạo, sở giáo dục và đào tạo tổ chức các lớpchuyên đề về ôn thi học sinh giỏi nhằm trao đổi kinh nghiệm giảng dạy một cáchhiệu quả và thiết thực

Phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm hay về ôn thi học sinh giỏi trong huyện,trong tỉnh cho giáo viên để áp dụng vào quá trình ôn thi học sinh giỏi ở các nhàtrường

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thọ Xuân, ngày 28/05/2019

Tôi xin cam kết không sao chép từ bất kì sáng kiến kinh nghiệm nào đã có Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Tác giả