Phương pháp giải các bài toán về dãy số

0 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ DẪY SỐ Người thực hiện: Nguyễn Trí Lợi Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác:

0

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ DẪY SỐ

Người thực hiện: Nguyễn Trí Lợi Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Thọ Xương SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

MỤC LỤC

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 15

1 MỞ ĐẦU

1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán học chiếm vị trí quan trọng trong chương trình học phổ thông nói

chung, ở bậc THCS nói riêng Dạy toán là dạy cho học sinh các phương pháp suy luận khoa học mang tính logic Học toán tức là rèn luyện khả năng tư duy và ứng dụng nhằm trang bị những vốn kiến thức hoàn chỉnh Chính vì vậy việc giải các bài toán là phương tiện giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy,

hình thành kỹ năng Trong chương trình Toán phổ thông có rất nhiều dạng toán khác nhau dành cho các đối tượng học sinh khá giỏi Nhưng không phải dạng toán nào mà giáo viên đưa ra học sinh cũng đều nắm kiến thức và vận dụng được ngay, nhất là đối với học sinh lớp 6,7 mức độ tiếp thu và khả năng tư duy còn nhiều hạn chế Vì vậy, người giáo viên cần làm cho học sinh tiếp cận nhiều bài toán ở cùng dạng, đó chính là hình thức giảng dạy theo chuyên đề Từ đó các

em sẽ dần được trang bị hoàn chỉnh về mặt kĩ năng, kĩ xảo trong việc giải toán Qua những năm học tập cũng như giảng dạy, tôi nhận thấy có một nội dung

kiến thức tương đối quan trọng đó là: "Dãy số", các bài tập đưa ra được trải dài ở

các khối lớp học Mặt khác, trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh thường rất ngại mỗi khi có bài toán dãy số đến n phần tử, đôi khi gặp bài toán phức tạp lại không biết bắt đầu từ đâu

Do tính đa dạng của Toán học thật khó để đúc kết được các nguyên tắc, dựa

vào đó mà tìm ra các "chìa khóa" để giải quyết được mọi vấn đề nêu ra Tôi thiết

nghĩ dạng toán này được khai thác triệt để, thì phạm vi ảnh hưởng của nó cũng như tác dụng là khá lớn

Chính vì vậy, tôi mạnh dạn sưu tầm các bài tập để trình bày chuyên đề

''Phương pháp giải các bài toán về dãy số'' dành cho các đối tượng học sinh

khá, giỏi ở các khối lớp 6 -7 Trong khuôn khổ cho phép xin trình bày trong

phạm vi khối lớp 6, 7 Vì đây là cơ sở quan trọng trong việc hình thành sáng tạo cho học sinh học các lớp cao hơn, bậc cao hơn

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

''Phương pháp giải các bài toán về dãy số'' với mục đích định hướng,

phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải đối với một dãy số nhất định từ đó hình thành cách giải tổng quát Ngoài ra còn đưa ra cho học sinh phương pháp phân tích bài toán một cách nhanh chóng, đọc ra được quy luật của dãy số nhanh nhất, hợp lí nhất

Nội dung của đề tài này góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, tính toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp hợp lí, phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh để giúp cho giáo viên và học sinh giải quyết tốt vấn đề này

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Học sinh lớp 6, 7 trường THCS

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Tham khảo tài liệu: Tìm tòi, hệ thống các kiến thức thu thập được.

- Đúc rút kinh nghiệm giảng dạy qua dự giờ, kiểm tra học sinh, nghiên

cứu hồ sơ giảng dạy và kiểm tra trên nhiều đối tượng học sinh, kiểm tra nhiều lần bằng nhiều hình thức khác nhau

- Tổng hợp các phân tích thu thập được

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM :

Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban chấp hành Trung ương khóa XI về

đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ: “ Tiếp tục đổi mới

mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”

Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan trọng vì:

+ Môn Toán là môn học công cụ.

+ Môn Toán góp phần phát triển nhân cách.

Như vậy, phát triển tư duy Toán học nói chung và tư duy Dãy số nói riêng là

góp phần quan trọng vào hình thành phẩm chất, năng lực con người Việt Nam trong thời đại mới

2.2 THỰC TRẠNG VÂN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN

Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi, tôi thấy được thực trạng

và vấn đề cần quan tâm đó là: Nội dung dạy học sinh khá giỏi chưa bảo đảm tính logíc, giáo viên khi nghiên cứu tài liệu tham khảo thấy bài nào hay thì chọn để dạy cho học sinh chứ chưa phân dạng, loại trong mỗi mạch kiến thức, về phương pháp giải các bài toán nâng cao chưa hợp lí, có những phương pháp chưa phù hợp với điều kiện tâm lí và năng lực tiếp thu của học sinh; về phía chuyên môn chưa có tài liệu nào chỉ đạo cụ thể về nội dung và phương pháp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán để giáo viên lấy đó làm cơ sở Học sinh chưa có một phương pháp tư duy logic để giải quyết các dạng bài toán nhanh nhất Chính vì vậy để từng bước nâng cao chất lượng học sinh giỏi mà tôi đang trực tiếp giảng dạy, tôi

đã đưa ra nội dung đề tài ''Phương pháp giải các bài toán về dãy số''

Bài toán về dãy số thường có trong thi học kì, thi học sinh giỏi 6, 7; thậm chí có cả trong thi học sinh giỏi lớp 9, thi vào 10 Học sinh phải sử dụng rất nhiều kiến thức, kỹ năng và thường chỉ những học sinh giỏi mới có thể thực hiện được

Từ thực trạng trên dẫn đến:

- Học sinh thường ngại học, nhìn thấy bài toán về dãy số rắc rối học sinh không biết bắt đầu từ đâu

- Các tài liệu có rất nhiều, nhưng viết dàn trãi ở các vấn đề, có rất ít tài liệu viết chỉ dành mình chuyên đề về dãy số

2.3 GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Các bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính:

- Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên cách đều và không cách

đều

- Dạng thứ hai: Dãy số với các số là phân số

Sau đây là một số bài tập được phân thành các thể loại, trong đó đã phân thành hai dạng trên:

1 Toán về số nguyên

1.1 Dãy số mà các số hạng cách đều

Bài 1 Tính tổng A = 1 + 2 + 3 + + 98 + 99

Nhận xét: Nếu học sinh nào có sự sáng tạo sẽ thấy ngay tổng:

A = 1 + (2 + 3 + 4 + + 98 + 99) Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi đó A = 1 + 4949 = 4950

Chú ý: Tổng A gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành các cặp

(mỗi cặp có 2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? số hạng dư là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc

Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau:

Cách 2:

A = 1 + 2 + 3 + + 97 + 98 + 99 +

A = 99 + 98 + + 3 + 2 + 1 2A = 100 + 100 + + 100 + 100 + 100 2A = 100.99  A = 50.99 = 4950

Bài 2 Tính B = 1 + 3 + 5 + + 997 + 999

G iải

Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500

số lẻ Áp dụng bài trên ta có B = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên có 250 cặp số)

Cách 2: Ta thấy:

1 = 2.1 - 1

3 = 2.2 - 1

5 = 2.3 - 1

999= 2.50 0

- 1

Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các số hạng của dãy số B là 500 số hạng

Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:

B = 1 + 3 + + 997 + 999 +

B = 999 + 997 + + 3 + 1 2B = 1000 + 1000 + + 1000 + 1000 2B = 1000.500  C = 1000.250 = 250.000

Qua các ví dụ trên, ta rút ra một cách tổng quát như sau:

4

Cho dãy số cách đều u1, u2, u3, un (*), khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dãy là d, khi đó số các số hạng của dãy (*) là: u n u1 1

n d



  (1)

số các số hạng=(số hạng cuối- số hạng đầu): khoảng cách rồi cộng thêm 1

Tổng các số hạng của dãy (*) là ( 1 )

2

n n

n u u

Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính được số hạng thứ n của dãy (*) là :

un = u1 + (n - 1)d

Hoặc khi u1 = d = 1 thì S1 = 1 + 2 + 3 + + n ( 1)

2

n n 



1.2 Dãy số mà các số hạng không cách đều.

Bài 1 Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

Giải

Cách 1: Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên

tiếp, khi đó:

Gọi a1 = 1.2  3a1 = 1.2.3  3a1= 1.2.3 - 0.1.2

a2 = 2.3  3a2 = 2.3.3  3a2= 2.3.4 - 1.2.3

a3 = 3.4  3a3 = 3.3.4  3a3 = 3.4.5 - 2.3.4

………

an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n  3an-1 = (n 1)n(n + 1) (n 2)(n -1)n

an = n(n + 1)  3an = 3n(n + 1)  3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)

Cộng từng vế của hai đẳng thức trên ta có:

3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)

31.2 2.3   n n(  1) = n(n + 1)(n + 2)  A = ( 1)( 2)

3

n n n

Cách 2: Ta có

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3

= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)]

= 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)

 A = ( 1)( 2)

3

n n n

Bài 2 Tính D = 12 + 22 + 32 + … + n2

Nhận xét: Các số hạng của bài 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, bài này

là tích của hai số tự nhiên giống nhau

Do đó ta chuyển về dạng bài tập 1, ta có:

A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) +…+ n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1

Tổng quát hoá ta có:

k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1) Trong đó k = 1; 2; 3; …

Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:

k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)

= (12 + 22 + 32 + … + n2 ) + (1 + 2 + 3 + … + n)

Mặt khác theo bài tập 1 ta có:

A = ( 1)( 2)

3

n n n

và 1 + 2 + 3 + … + n = ( 1)

2

n n 

 D = 12 + 22 + 32 + … + n2 = ( 1)( 2)

3

n n n

- ( 1)

2

n n 

= ( 1)(2 1)

6

n n n

1.3 Một số bài tập dạng khác

Bài 1 So sánh A và B, biết

A = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 250

B = 2

Giải

Cách 1:

Ta thấy: A = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 250 (1)

 2A = 2 + 22 + 23 + … + 250 + 251 (2)

Trừ từng vế của (2) cho (1), ta có:

2A - A = 2 + 22 + 23 + … + 250 + 251 - (1 + 2 + 22 + 23 + … + 250)= 251 - 1 Hay A = 251 - 1

Vậy: A< B

Cách 2:

Ta có: A = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 250 = 1 + 2(1 + 2 + 22 + 23 + … + 249) = 1 + 2(A - 250) = 1 + 2A - 251  A = 251 - 1

Vậy: A< B

Bài 2 Tính giá trị của biểu thức : S = 1 +3 + 32 + 33 + … + 32000 (1)

Giải

Cách 1: Áp dụng cách làm của bài 1:

Ta có: 3S = 3 + 32 + 33 + … + 32001 (2)

Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:

3S - 2S = (3 + 32 + 33 + … + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + … + 32000)

Hay: 2S = 32001 - 1  S = 32001 1

2



Cách 2: Tương tự như cách 2 của bài 1:

Ta có: S = 1 + 3(1 +3 + 32 + 33 + … + 31999) = 1 + 3(S - 32000) = 1 + 3S - 32001

 2S = 32001 - 1  S = 32001 1

2



6

Tổng quát hoá ta có:

S n = 1 + q + q 2 + q 3 + … + q n (1)

Khi đó ta có:

Cách 1: qSn = q + q2 + q3 + … + qn+1 (2)

Trừ từng vế của (2) cho (1), ta có: (q - 1)S = qn+1 - 1  S =

1 1 1

n q q







Cách 2: Sn = 1 + q(1 + q + q2 + q3 + … + qn-1) = 1 + q(Sn - qn)

= 1 + qSn - qn+1  qSn - Sn = qn+1 - 1

Hay: Sn(q - 1) = qn+1 - 1  S =

1 1 1

n q q







Bài 3 Tính giá trị của biểu thức S = 1 + 2.6 + 3.62 + 4.63 + … + 100.699 (1)

Giải

Ta có: 6S = 6 + 2.62 + 3.63 + … + 99.699 + 100.6100 (2)

Trừ từng vế của (2) cho (1), ta được:

5S = (6 - 2.6) + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) +…+ (99.699 - 100.699) +100.6100 - 1 = 100.6100 - 1 - (6 + 62 + 63 + … + 699) (*)

Đặt: S' = 6 + 62 + 63 + … + 699  6S' = 62 + 63 + … + 699 + 6100

 S' = 6100 6

5



thay vào (*) ta có: 5S = 100.6100 - 1 - 6100 6

5



= 499.6100 1

5



 S = 499.6100 1

25



Bài 4: Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; Hỏi chữ số thứ 673 là chữ số nào?

Giải

Ta thấy: Từ 1 đến 99 có: 9 + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu bài ta còn thiếu số các chữ số của dãy là: 673 - 189 = 484 chữ số, như vậy chữ số thữ 673 phải nằm trong dãy các số có 3 chữ số Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số

Như vậy từ 1 đến 260 có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đề bài thì chữ số thứ

673 sẽ là chữ số 2 của số 261

Bài 5: Tìm x, biết:

x + (x+1) + (x+2)+ + (x+ 2010)= 2029099

Giải :

Ta có:

2011x + (1+2+ + 2010) = 2029099

2011x + = 2029099

2011x = 8044  x =4

2 Toán về phân số

Loại toán tìm tổng của một dãy số viết theo quy luật, trong đó thường có 3

phân số đầu là số cụ thể còn các phân số sau cùng cho ở dạng tổng quát Để làm dạng toán này ta cần nhận xét, so sánh giữa tử số và mẫu số, các tử (hay các mẫu) với nhau, giữa phân số cụ thể và tổng quát để tìm ra cách viết phân số rồi dần dần tìm ra cách giải

Để làm dạng toán này ta dùng phương pháp khử liên tiếp các số hạng.

Bài 1: Tính tổng sau:

S = 1001.101

4 3

1 3 2

1 2 1

1









* Hướng dẫn cách tìm lời giải:

Bài toán này có tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là: 1.2; 2.3; 3.4; ;100.101

Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp Cách giải bài toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số, biến dãy tính cộng thành dãy tính cộng và trừ

Chẳng hạn:

11.2= 1  12 ; 21.3.12 31; … ; 1001.101= 1001  1011

Mục đích là ta đi triệt tiêu các số hạng đối nhau

Giải:

S =

101 100

1

4 3

1 3 2

1 2

.

1

1









= 1001 1011 11 1011 100101

4

1 3

1 3

1 2

1 2

1

1

1







































































+) Bài toán tổng quát:

Tính tổng: S = ( 1 1)

4 3

1 3 2

1 2 1

1











n n

= 1 11 11 11 1

4

1 3

1 3

1 2

1 2

1 1

1













































































n

n n

n n

1.3 3.5 5.7   99.101

* Phương pháp tìm lời giải:

Ta thấy P là tổng của các phân số có tử là 1, còn mẫu của các phân số là tích của 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, để giải quyết được vấn đề ta phải nhân cả tử và mẫu của vế phải với 2, khi đó thực hiện bên trong ngoặc sẽ đơn giản

Do đó ta có thể viết mỗi phân số đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử

là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2

Giải:

P = (

101 99

2

7 5

2 5 3

2 3

.

1

2







= ( 991 1011

7

1 5

1 5

1 3

1 3

1

1

1















= ( 1- ) =

Bài 3: Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:

61 ; 661 ; 1761 ; 3361 ; [1]

* Phương pháp tìm lời giải:

Ta thấy các số hạng trong dãy số trên có tử là 1 còn mẫu là:

6; 66; 176; 336; Vậy trước hết ta phải viết các mẫu đó thành tích của 2

số nào đó và phải đi tìm số hạng thứ 100 của dãy

Ta nhận thấy: 6 = 1.6

66 = 11.6

176 = 11.16

8

336 = 16.21

Ta thấy mẫu của các phân số này có quy luật là:

+ Tích của hai số có số tận cùng là 1 và một số tận cùng là 6

+ Trong 2 thừa số của mẫu số có một thừa số hơn thừa số còn lại là 5 đơn vị Vậy mẫu số của số thứ n của dãy số có dạng: (5n-4)(5n+1)

=> Mẫu của số thứ 100 của dãy số: (5.100-4)(5.100+1) = 496.501

Ta cần tính tổng A=

501 496

1

16 11

1 11 6

1 6 1

1







 Tương tự như bài trên ta tách từng phân số thành hiệu của 2 phân số, ta nhận thấy : 11 61 15.6 => ) 11.6

6

1 1

1 ( 5

1



 Tương tự như vậy

11 6

5 11

1 6

1



 =>

11 6

1 ) 11

1 6

1 ( 5

1





4961  5011 4965.501 => ) 4961.501

501

1 496

1 ( 5

1





Từ đó ta tính được tổng A một cách dễ dàng

Giải:

336

1 176

1 66

1

6

1











= 4961.501

16 11

1 11 6

1 6

.

1

1









= )

6

1 1

1

(

5

1

11

1 6

1 ( 5

1

16

1 11

1 ( 5

1

501

1 496

1 ( 5

1

 =

5

1

























501

1 496

1

16

1 11

1 11

1 6

1 6

1 1

= 51 













501

1

+) Bài toán tổng quát:

A = (5 4)(15 1)

16 11

1 11 6

1 6

.

1

1













n n

= )

6

1 1

1

(

5

1

11

1 6

1 ( 5

1

) 1 5 (

1 4

5 (

1 ( 5

1





n

= 51 















1 5

1 1

n =15.55 1



n

n

=5 n n 1

5 4 3

1 4 3 2

1 3 2 1

1







 [2]

* Hướng dẫn: Ta thấy các phân số trong tổng B đều có tử là 1 còn mẫu của

các phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp Ta viết mỗi số hạng của tổng thành hiệu của hai số sao cho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau Ta tách phân số bị trừ có tử là 1 còn mẫu là 2 số tự nhiên liên tiếp đầu, phân

số trừ có tử cũng là 1 còn mẫu gồm có 2 số tự nhiên liên tiếp sau ( có 1 số giữa trùng nhau)