Các biện pháp bồi dưỡng kỹ năng tìm lời giải các bài toán cho học sinh cuối bậc tiểu học thông qua dạy học rèn luyện giải toán

Trang Mở đầu 1 Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn 5 1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu 5 1.2. Đại cương về kỹ năng 5 1.2.1. Khái niệm 5 1.2.2. Sự phân loại kỹ năng 6 1.2.3. Cấu trúc tâm lý của kỹ năng 9 1.2.4. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng 12 1.3. Kỹ năng giải toán 13 1.3.1. Thế nào là kỹ năng giải toán ? 13 1.3.2. Các loại kỹ năng giải toán 14 1.4. Nhóm kỹ năng tìm lời giải các bài toán 16 1.4.1. Kỹ năng xác định vấn đề của bài toán 16 1.4.2. Kỹ năng khoanh vùng và huy động kiến thức, kinh nghiệm để hình thành các phương án giải quyết nhiệm vụ của bài toán 17 1.4.3. Kỹ năng đánh giá khả năng giải quyết của các phương án để tìm lời giải bài toán 18 1.4.4. Kỹ năng nhìn lại lời giải bài toán 19 1.5. Các yếu tố ảnh hưởng đến việc hình thành và phát triển kỹ năng tìm lời giải các bài toán 20 1.6. Một số đặc điểm nhận thức của học sinh cuối bậc tiểu học 23 1.6.1. Chú ý 23 1.6.2. Tri giác 24 1.6.3. Đặc điểm trí nhớ 25 1.6.4. Tư duy 25 1.6.5. Tưởng tượng 29 1.7. Vấn đề rèn luyện và phát triển kỹ năng tìm lời giải các bài toán trong dạy học giải toán hiện nay 29 1.7.1. Chương trình dạy học giải toán lớp 4,5 29 1.7.2. Vai trò của việc rèn luyện kỹ năng tìm lời giải các bài toán 32 1.7.3. Thực trạng dạy học và rèn luyện kỹ năng tìm lời giải của bài toán trong dạy học giải toán hiện nay 33 Tiểu kết chương 1 36 Chương 2. Các biện pháp bồi dưỡng kỹ năng tìm lời giải các bài toán cho học sinh thông qua dạy học giải toán các lớp cuối bậc tiểu học 37 2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ năng tìm hiểu bài toán trong quá trình tìm lời giải của mọi bài toán 37 2.2. Biện pháp 2: Chú trọng rèn luyện kỹ năng tìm kiếm lời giải bài toán trong quá trình thực hành luyện tập 41 2.2.1. Giúp học sinh thấu hiểu và nắm chắc kiến thức làm cơ sở cho việc tiếp nhận tri thức mới và làm nền tảng tư duy trong quá trình giải toán 43 2.2.2. Luyện giải và nhận dạng các bài toán điển hình nhằm tăng khả năng huy động kiến thức 44 2.2.3. Khai thác sâu các ứng dụng của khái niệm, quy tắc, công thức nhằm khắc sâu và luyện tập vận dụng kiến thức 46 2.2.4. Bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức thông qua tổ chức cho học sinh tìm tòi lời giải các bài toán có liên quan 51 2.2.5. Giúp học sinh tích lũy một số thủ thuật tháo gỡ các vướng mắc trong quá trình tìm lời giải 55 2.2.6. Chú ý rèn luyện cho học sinh một số phương pháp suy luận quan trọng 57 2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh thói quen nhìn lại lời giải của bài toán để hoàn thiện kỹ năng tìm lời giải các bài toán 65 Chương 3. Thực nghiệm sư phạm 69 3.1. Mục đích thực nghiệm 69 3.2. Đối tượng thực nghiệm 69 3.3. Nội dung và cách thức thực nghiệm 69 3.4. Các tiêu chí đánh giá kết quả thực nghiệm 70 3.5. Kết quả thực nghiệm 70 3.6. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 74 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 78 Phụ lục 80

TRIỆU THỊ THU HIỀN

CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG KỸ NĂNG TÌM

LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHO HỌC SINH CUỐI BẬC

TIỂU HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC RÈN LUYỆN GIẢI

TOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

VINH - 2007

TRIỆU THỊ THU HIỀN

CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG KỸ NĂNG TÌM

LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHO HỌC SINH CUỐI BẬC

TIỂU HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC RÈN LUYỆN GIẢI

TOÁN

CHUYÊN NG NH: GI O DÀ ÁO D ỤC HỌC (BẬC TIỂU HỌC)

M S Ã S Ố: 60 14 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ GI O D ÁO D ỤC HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS PHAN QUỐC L MÂM

VINH - 2007

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo TS Phan Quốc Lâm - người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tôi trong quá trình thực hiện, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

điều kiện cho tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bè bạn và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài luận văn.

Vinh, tháng 12 năm 2007

Tác giả

Mở đầu 1

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 5

1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu 5

1.2 Đại cương về kỹ năng 5

1.2.1 Khái niệm 5

1.2.2 Sự phân loại kỹ năng 6

1.2.3 Cấu trúc tâm lý của kỹ năng 9

1.2.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng 12

1.3 Kỹ năng giải toán 13

1.3.1 Thế nào là kỹ năng giải toán ? 13

1.3.2 Các loại kỹ năng giải toán 14

1.4 Nhóm kỹ năng tìm lời giải các bài toán 16

1.4.1 Kỹ năng xác định vấn đề của bài toán 16

1.4.2 Kỹ năng khoanh vùng và huy động kiến thức, kinh nghiệm để hình thành các phương án giải quyết nhiệm vụ của bài toán .17

1.4.3 Kỹ năng đánh giá khả năng giải quyết của các phương án để tìm lời giải bài toán 18

1.4.4 Kỹ năng nhìn lại lời giải bài toán 19

1.5 Các yếu tố ảnh hưởng đến việc hình thành và phát triển kỹ năng tìm lời giải các bài toán 20

1.6 Một số đặc điểm nhận thức của học sinh cuối bậc tiểu học 23

1.6.1 Chú ý 23

1.6.2 Tri giác 24

1.6.3 Đặc điểm trí nhớ 25

1.6.4 Tư duy 25 1.6.5 Tưởng tượng 29

1.7.1 Chương trình dạy học giải toán lớp 4,5 291.7.2 Vai trò của việc rèn luyện kỹ năng tìm lời giải các bài toán

32 1.7.3 Thực trạng dạy học và rèn luyện kỹ năng tìm lời giải của bài

toán trong dạy học giải toán hiện nay 33Tiểu kết chương 1 36

Chương 2 Các biện pháp bồi dưỡng kỹ năng tìm lời giải các bài

toán cho học sinh thông qua dạy học giải toán các lớp cuối bậc tiểu học 37

2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ năng tìm hiểu bài toán trong quá trình

tìm lời giải của mọi bài toán .372.2 Biện pháp 2: Chú trọng rèn luyện kỹ năng tìm kiếm lời giải bài

toán trong quá trình thực hành luyện tập 412.2.1 Giúp học sinh thấu hiểu và nắm chắc kiến thức làm cơ sở

cho việc tiếp nhận tri thức mới và làm nền tảng tư duy trong

quá trình giải toán 432.2.2 Luyện giải và nhận dạng các bài toán điển hình nhằm tăng

khả năng huy động kiến thức 442.2.3 Khai thác sâu các ứng dụng của khái niệm, quy tắc, công

thức nhằm khắc sâu và luyện tập vận dụng kiến thức 462.2.4 Bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức thông qua tổ chức

cho học sinh tìm tòi lời giải các bài toán có liên quan 512.2.5 Giúp học sinh tích lũy một số thủ thuật tháo gỡ các vướng

mắc trong quá trình tìm lời giải 552.2.6 Chú ý rèn luyện cho học sinh một số phương pháp suy luận

quan trọng 57

2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh thói quen nhìn lại lời giải của

bài toán để hoàn thiện kỹ năng tìm lời giải các bài toán 65

3.2 Đối tượng thực nghiệm 69

3.3 Nội dung và cách thức thực nghiệm 69

3.4 Các tiêu chí đánh giá kết quả thực nghiệm 70

3.5 Kết quả thực nghiệm 70

3.6 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 74

Kết luận 76

Tài liệu tham khảo 78

Phụ lục 80

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Đất nước ta đã và đang bước vào thời kì đổi mới và hoà nhập Vìvậy mà công cuộc đổi mới và phát triển kinh tế, xã hội đang diễn ra từngngày, từng giờ trên khắp mọi miền đất nước Nó đòi hỏi phải có lớp người laođộng mới tích cực, độc lập và sáng tạo Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệpgiáo dục và đào tạo, mà trước hết là từ trường tiểu học Điều đó đòi hỏi nhàtrường tiểu học phải có sự đổi mới để đáp ứng nhu cầu của xã hội Sự đổi mớibao gồm nhiều yếu tố: từ mục tiêu đào tạo đến nội dung, phương pháp và hìnhthức tổ chức dạy học Trong đó quan trọng là đổi mới phương pháp dạy họcnhằm phát triển tư duy cho học sinh

1.2 Trong giảng dạy ở nhà trường tiểu học, môn Toán có một vị tríquan trọng với mục tiêu cơ bản là: trang bị cho học sinh những tri thức và kỹnăng toán cơ bản, bước đầu phát triển năng lực tư duy, khả năng suy luận hợp

lý, qua đó hình thành ở các em khả năng giải quyết vấn đề, từng bước hìnhthành phương pháp tự học và làm việc có kế hoạch, khoa học, chủ động vàsáng tạo Để thực hiện được mục tiêu này, trước hết người giáo viên phải

nhận thức được rằng: bên cạnh việc dạy cái gì, cần phải chú trọng dạy như

thế nào Vì vậy bên cạnh việc dạy tri thức cần phải hướng tới việc rèn luyện

và nâng cao năng lực toán học cho học sinh

Năng lực toán học nói chung và năng lực sáng tạo nói riêng chỉ có thểhình thành và phát triển trong hoạt động Hình thức hoạt động toán học chủyếu của học sinh ở trường phổ thông là giải các bài toán Hoạt động giải toánđược xem là môi trường ưu thế nhằm hình thành và phát triển năng lực toánhọc cho học sinh Hiệu quả dạy học đạt được phụ thuộc vào nội dung và

phương pháp tổ chức dạy học môn Toán nói chung và rèn luyện Giải toán nóiriêng theo dụng ý sư phạm của người thầy.

1.3 Trong quá trình dạy học Giải toán, rèn luyện kỹ năng tìm lời giảicác bài toán là một trong hai nội dung chủ yếu của rèn luyện Giải toán Mặc

dù việc tìm lời giải của bài toán được xem là khâu có tính chất quyết định đến

sự thành bại, hay dở của một lời giải, quyết định việc hình thành năng lực giảitoán cho người học, nhưng việc rèn luyện kỹ năng này vẫn chưa được chútrọng ở mức độ cần thiết Nguyên nhân chính của thực trạng trên chủ yếu là

do các giáo viên tiểu học thiếu một hệ thống tri thức lí luận và kinh nghiệmthực tiễn về rèn luyện kỹ năng tìm lời giải các bài toán Vì vậy nghiên cứu để

hệ thống cơ sở lí luận và đề ra các biện pháp thực hiện nhằm nâng cao chấtlượng dạy học Toán nói chung và bồi dưỡng kỹ năng tìm lời giải các bài toáncho học sinh nói riêng là việc làm cần thiết và có ý nghĩa

Đó là những lí do để chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Các biện pháp

bồi dưỡng kỹ năng Tìm lời giải các bài toán cho học sinh cuối bậc tiểu học thông qua dạy học rèn luyện Giải toán”.

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng những biện pháp thực hiện bồi dưỡng kỹ năng tìm lời giảicác bài toán cho học sinh cuối bậc tiểu học, góp phần nâng cao chất lượng dạyhọc môn Toán

3 Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu

Quá trình dạy học và rèn luyện giải toán lớp 4,5

3.2 Đối tượng nghiên cứu

Các biện pháp bồi dưỡng kỹ năng tìm lời giải các bài toán cho học sinhcuối bậc tiểu học

3.3 Phạm vi nghiên cứu

Chúng tôi thực hiện đề tài này trong phạm vi hoạt động dạy học bồidưỡng Toán lớp 4, 5 cho học sinh ở huyện Vụ Bản, tỉnh Nam Định

4 Giả thuyết khoa học

Thực hiện đề tài này, chúng tôi giả định rằng: “Trong quá trình dạy họcGiải toán ở tiểu học, nếu nắm vững bản chất của kỹ năng tìm lời giải các bàitoán và tổ chức quá trình dạy học có sử dụng các biện pháp hướng học sinhvào hoạt động tìm tòi lời giải thì có thể nâng cao hiệu quả dạy học toán chohọc sinh”

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài trong đó tập trung làm

rõ khái niệm, cấu trúc và các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng; kỹnăng tìm lời giải các bài toán; Tìm hiểu thực trạng dạy học Giải toán và vấn

đề rèn luyện kỹ năng Tìm lời giải các bài toán

- Xây dựng một số biện pháp bồi dưỡng kỹ năng tìm lời giải các bàitoán cho học sinh thông qua dạy học Giải toán ở tiểu học

- Thực nghiệm sư phạm có vận dụng các biện pháp dạy học mà đề tài

đề ra nhằm kiểm chứng hiệu quả của các biện pháp đó và chứng minh giảthuyết của đề tài

6 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện các mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài chúng tôi đã sử dụngmột hệ thống các phương pháp sau:

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: nghiên cứu những tài liệu liên quanđến vấn đề nghiên cứu

- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: nhằm nghiên cứu thựctrạng và thu thập các thông tin có liên quan đến vấn đề nghiên cứu.

- Phương pháp thực nghiệm: nhằm giải quyết nhiệm vụ thực nghiệm sưphạm, chứng minh giả thuyết

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính củaluận văn gồm có 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Các biện pháp thực hiện nhằm bồi dưỡng kỹ năng tìm lời

giải các bài toán cho học sinh cuối bậc tiểu học thông quadạy học Giải toán

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu

Trong dạy học môn Toán nói chung và dạy học Giải toán nói riêng, vấn

đề bồi dưỡng kỹ năng tìm đường lối giải cho các bài toán được xem là khâu

có tính chất quyết định đối với sự hình thành và phát triển tư duy toán học chohọc sinh, góp phần hình thành năng lực sáng tạo cho người học Do vậy đã cónhững công trình nghiên cứu của một số tác giả nhằm góp phần tìm hiểu và

đề ra những biện pháp rèn luyên kỹ năng tìm đường lối giải các bài toán chohọc sinh như: Nguyễn Thái Hoè, Nguyễn Duy Thuận…

Kết quả nghiên cứu của các tác giả trên đều được chúng tôi tìm hiểu và

kế thừa Tuy nhiên qua việc nghiên cứu các công trình đó chúng tôi thấy rằng:mặc dù các tác giả đã đề cao vấn đề rèn luyện kỹ năng tìm lời giải các bàitoán cho học sinh nhưng mới chỉ nghiên cứu, đề cập vấn đề dưới dạng sáchtham khảo cho dạy học một số nội dung toán THCS và THPT mà chưa đề cập

cơ sở của việc rèn luyện kỹ năng, đặc biệt chưa có một công trình nào đi sâunghiên cứu việc bồi dưỡng kỹ năng tìm lời giải các bài toán cho học sinh cuốibậc tiểu học Do vậy đề tài của chúng tôi mong muốn góp một phần nhỏ vàoviệc bồi dưỡng kỹ năng tìm lời giải các bài toán cho học sinh cuối bậc tiểuhọc nói riêng và học sinh tiểu học nói chung

1.2 Đại cương về kỹ năng

1.2.1 Khái niệm

Kỹ năng là một khái niệm được nhiều nhà tâm lí học, giáo dục họcnghiên cứu Mặc dù có những khác biệt về những vấn đề cụ thể nhưng tựuchung lại, các nghiên cứu đều hướng đến một trong hai quan niệm sau:

Thứ nhất: Xem kỹ năng là mặt kỹ thuật, phương thức của hành động,tức là tách kỹ năng ra khỏi kết quả của hành động Chỉ xem kỹ năng là mộtyếu tố và không phải là yếu tố quan trọng nhất đưa đến kết quả hành động.Tiêu biểu cho cách quan niệm này là: V.A.knchexi, A.G.Côvaliov,V.X.Ruđin, Trần Trọng Thuỷ…

Thứ hai: Xem kỹ năng là năng lực thực hiện có kết quả một hành độngphức tạp dựa trên sự vận dụng tri thức và kỹ xảo, tức kỹ năng không chỉ lànắm vững lý thuyết về cách thức hành động mà còn bao hàm khả năng vậndụng nó vào thực tế Tiêu biểu cho cách quan niệm này là: N.Đ.Levitov,X.L.Kixêgov, K.K.Platônôv, A.V.Pêtrovxki… Với quan niệm này, kỹ năngđược xem xét không chỉ dưới góc độ kỹ thuật hành động mà còn như lànhững phẩm chất tâm lý Vì vậy nó vừa có tính ổn định, mềm dẻo, linh hoạt

và sáng tạo nữa Quan trọng hơn, kỹ năng luôn gắn với mục đích hành động

Có thể nói, hai quan niệm trên không phải là hoàn toàn khác biệt, nóchỉ là sự mở rộng hay thu hẹp nội hàm của khái niệm này mà thôi Tuỳ theomục đích của việc tiếp cận, nghiên cứu mà lựa chọn cách quan niệm phù hợp.Khi nghiên cứu đề tài này, về cơ bản chúng tôi cũng quan niệm rằng: “Kỹnăng là năng lực vận dụng có kết quả tri thức và phương thức hành động đãđược chủ thể lĩnh hội vào việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau”

Như vậy: kỹ năng là năng lực thực hiện một hành động của con ngườidựa trên những tri thức về phương thức hành động và kinh nghiệm cũng nhưnăng lực bản thân để đạt được mục đích trong những điều kiện, tình huốnghành động khác nhau

1.2.2 Sự phân loại kỹ năng

Có nhiều cách phân loại kỹ năng dựa trên các tiêu chí khác nhau:

Dựa trên tính chất và mức độ phức tạp của kỹ năng, người ta phân kỹnăng thành hai loại: kỹ năng bậc thấp và kỹ năng bậc cao Kỹ năng bậc thấp

là những kỹ năng gắn với những hành động đơn giản và có thể luyện tập đểtrở thành hành động tự động hoá - kỹ xảo Kỹ năng bậc cao là những kỹ năng

có cơ cấu phức tạp, được hình thành trên cơ sở của tri thức và kỹ xảo Những

kỹ năng này rất phức tạp, mềm dẻo, là sự vận dụng của nhiều tri thức, kỹ xảokhác nhau: kỹ năng giao tiếp, kỹ năng tư duy…

Dựa trên mức độ và điều kiện thực hiện kỹ năng, người ta phân chia kỹnăng làm hai bậc: kỹ năng bậc I và kỹ năng bậc II Kỹ năng bậc I là kỹ năngthực hiện đúng hành động, phù hợp với những mục tiêu và điều kiện của việcthực hiện nó Hành động ở đây có thể là hành động thực tiễn hay hành độngtrí tuệ Loại kỹ năng này có cơ sở là tri thức về nội dung sự vật và về bản thânhành động Hành động này được cấu thành từ các thao tác riêng lẻ theo mộtquy trình nhất định Kỹ năng tương ứng với nó có được thông qua sự luyệntập từng thao tác và lắp ráp chúng lại trở thành hành động có thể đạt tới mụcđích Loại kỹ năng này nếu được luyện tập đến trình độ các thao tác được tựđộng hoá sẽ trở thành kỹ xảo

Ví dụ: kỹ năng nói, viết, tính nhẩm, kỹ năng giải toán áp dụng trực tiếpcông thức (không cần yếu tố suy luận)…

Kỹ năng bậc II là kỹ năng thực hiện hành động một cách linh hoạt,sáng tạo để đạt tới mục đích trong những điều kiện khác nhau Kỹ năng này

có được dựa trên cơ sở kỹ năng bậc I và kỹ xảo Nhờ chúng con người có điềukiện tập trung vào việc tìm ra cách thức hành động trong những điều kiệnmới, hoàn cảnh mới, để đạt được mục đích

Kỹ năng bậc II giúp con người đáp ứng được với những điều kiện mớicủa hành động, vận dụng được kinh nghiệm và cách thức cũ vào tình huốngmới Nói tới kỹ năng hoạt động của con người, người ta thường nói tới kỹnăng bậc II vì chỉ có nó mới đảm bảo cho con người có kỹ năng hành độngtrong những tình huống khác nhau Nhiệm vụ của nhà trường trong việc hình

thành kỹ năng cho học sinh là hình thành kỹ năng bậc II tương ứng với trithức của chương trình để rèn luyện và phát triển năng lực trí tuệ.

Nhìn chung hai cách phân loại trên, mặc dù có sự khác biệt nhưng đều

cơ bản giống nhau và đã phân được kỹ năng theo thứ bậc, bước đầu mô tảđược những đặc điểm của từng loại kỹ năng, nhưng chưa chỉ ra được sự khácbiệt bản chất giữa các kỹ năng ở các thứ bậc khác nhau Dựa trên quan điểmcủa J.Pigiê về cơ cấu hành động và tâm lý học hoạt động về bản chất hànhđộng của tri thức, một số tác giả khác cho rằng, kỹ năng của con người có haitrình độ chính là: kỹ năng kinh nghiệm và kỹ năng lý luận

Kỹ năng kinh nghiệm là những kỹ năng hình thành trên cơ sở tri thức

thường nghiệm có được nhờ sự khái quát hoá kinh nghiệm Ở trình độ nàycon người có khả năng thực hiện hành động dựa theo những biểu tượng, mẫucủa hành động trong những tình huống cụ thể nào đó Vì vậy, loại kỹ năngnày không có tính chất khái quát, chỉ sử dụng đúng trong những trường hợpquen thuộc Khi phải thực hiện hành động trong tình huống mới với nhữngđiều kiện mới thường không vận dụng được hoặc vận dụng có tính chất thử -sai Nói cách khác kỹ năng kinh nghiệm là kỹ năng nắm vững cách thức củamột hành động cụ thể trong những điều kiện cụ thể Nhược điểm cơ bản của

kỹ năng kinh nghiệm là hành động trở nên không chắc chắn khi chuyển sangnhững tình huống mới có cùng bản chất Do đó kỹ năng kinh nghiệm khôngthể đáp ứng đòi hỏi của các hoạt động phong phú và phức tạp của con người

Kỹ năng lý luận, kỹ năng tương ứng với những tri thức khoa học, là

những kỹ năng được hình thành bằng con đường và trình độ hoàn toàn khác

Kỹ năng loại này không phải là sự luyện tập một hành động cụ thể dựa trên cơ

sở biểu tượng vì nó là sự vận dụng một tri thức khoa học (một logic các thaotác có tính chất khái quát cho một lớp các hành động) để giải quyết nhữngtình huống khác nhau cùng bản chất Thực chất của kỹ năng loại này là sự vận

dụng một phương thức hành động khái quát vào giải quyết những tình huốngkhác nhau cùng bản chất Nó là sự diễn dịch bằng con đường lý luận chứkhông phải quy nạp không hoàn toàn bằng con đường kinh nghiệm như loạitrên và điều quan trọng là nó sẽ đảm bảo cho hành động đúng để có một kếtquả chắc chắn.

Cách phân loại trên đây về cơ bản đã chỉ ra được sự khác nhau về chất

và con đường hình thành từng loại kỹ năng ở những thứ bậc khác nhau, tạođiều kiện cho quá trình nghiên cứu nhằm làm rõ bản chất của kỹ năng đặc biệt

là kỹ năng lý luận Tuy nhiên trong cuộc sống thực tiễn đặc biệt là trong hoạtđộng trí óc, để hình thành được năng lực tư duy trí tuệ ngoài kỹ năng lý luận(kỹ năng giải quyết những tình huống khác nhau có cùng bản chất) con ngườiphải cần đến năng lực, sáng tạo

Năng lực sáng tạo của con người được hiểu là kỹ năng huy động và vậndụng hệ thống tri thức và kinh nghiệm đã lĩnh hội để giải quyết những tìnhhuống mới phức tạp khác nhau Nói cách khác năng lực sáng tạo là sự vậndụng tổ hợp các phương thức hành động vào việc giải quyết những tình huốngmới phức tạp khác nhau Năng lực sáng tạo hình thành trên cơ sở kỹ năngkinh nghiệm và kỹ năng lý luận và các phẩm chất tâm lý, trí tuệ Trong nănglực sáng tạo, yếu tố tư chất trí tuệ và khả năng nhìn nhận của chủ thể có vaitrò đáng kể Tư chất trí tuệ là yếu tố có sẵn, tuy nhiên năng lực trí tuệ lại là cái

có thể thay đổi nhờ khả năng nhìn nhận, đánh giá của chủ thể, thông qua sựtrải nghiệm nhận thức Do đó trong quá trình dạy học chúng ta có thể hìnhthành năng lực này một cách gián tiếp bằng cách nâng cao khả năng nhìnnhận, tư duy của chủ thể (học sinh)

Năng lực sáng tạo là yếu tố được hàm chứa trong kỹ năng kinh nghiệm

và kỹ năng lý luận Năng lực sáng tạo của cá nhân có vai trò đáng kể trong sựhình thành, phát triển kỹ năng của cá nhân Nó cũng là yếu tố ảnh hưởng đến

sự vận dụng kỹ năng của cá nhân vào việc giải quyết tình huống có mang lạikết quả?

1.2.3 Cấu trúc tâm lý của kỹ năng

Kỹ năng là một chỉnh thể, có cấu trúc gồm nhiều yếu tố mà cơ bản là:

Thứ nhất: Tri thức

Tri thức được xem là yếu tố nền tảng của kỹ năng Nó bao gồm tri thứckhoa học cơ bản và tri thức về phương thức hành động, tri thức suy luận,logic

Thứ hai: Sự vận hành, hành động

Đây chính là yếu tố trung tâm của kỹ năng, nó tạo nên nội dung chínhcủa kỹ năng Hành động, ở đây được hiểu là sự vận dụng tri thức, kinhnghiệm và năng lực sáng tạo của chủ thể vào việc giải quyết những tìnhhuống khác nhau từ đơn giản đến phức tạp, cùng hay không cùng bản chất

Sự vận hành hành động liên quan trực tiếp đến kết quả hành động Nólại bao gồm các thành phần sau:

- Nắm vững mục đích hành động

Nắm vững mục đích của hành động là yếu tố cơ bản của một kỹ năng.Chỉ khi nắm được mục tiêu của hành động - mô hình kết quả mà nó cần đạttới, thì người ta mới có thể định hướng và điều khiển, điều chỉnh hành độngmột cách hiệu quả Mục tiêu càng rõ ràng, đầy đủ, cụ thể thì kỹ năng vậnhành tri thức kinh nghiệm đạt đến hiệu quả càng cao Muốn như vậy chủ thểhành động cần hiểu rõ về đối tượng hành động

- Thấu hiểu và nắm vững các phương thức hành động cơ bản sẽ giúp

chủ thể có nhiều khả năng vận dụng linh hoạt sáng tạo các phương thức hànhđộng vào việc giải quyết nhiệm vụ trong các điều kiện thay đổi Có ba trình

độ của việc nắm vững phương thức hành động Ở trình độ thứ nhất: chủ thể

có được biểu tượng về một hành động cụ thể, qua luyện tập mà thực hiện

được các hành động tương ứng, có thể lặp lại hành động này trong những tìnhhuống tương tự.

Ở trình độ thứ hai: Chủ thể nắm được cách thức hành động khái quát

có thể giải quyết cho một lớp các tình huống khác nhau nhưng có cùng bản

chất Và trình độ thứ ba cao hơn và khác hẳn về chất so với hai trình độ trên.

Bởi lúc này cách thức hành động ở dạng trừu tượng, hết sức khái quát mà việcvận dụng kinh nghiệm và các phương thức hành động cần sự hỗ trợ và huyđộng ở mức độ cao các chức năng tâm lý mới có triển vọng thực hiện đượchành động có hiệu quả Đây chính là cơ sở của việc hình thành năng lực sángtạo

Nắm vững điều kiện của hành động

Nắm vững điều kiện của hành động là yếu tố căn bản có tác động đếnkết quả hành động Bởi mỗi đối tượng đều chỉ tồn tại trong những điều kiệnnhất định (mỗi bài tập toán gắn với một điều kiện nhất định) Trong đó, bêncạnh những điều kiện chung có thể khái quát cho một lớp hành động, mỗi đốitượng lại có những điều kiện tồn tại cụ thể riêng biệt của nó Chủ thể chỉ cóthể thực hiện tốt hành động khi tuân thủ được những điều kiện này Vì vậycũng là một kỹ năng nhưng trong những điều kiện cụ thể khác nhau phải triểnkhai hành động cụ thể khác nhau, phù hợp với điều kiện cụ thể của đối tượngthì hành động mới có kết quả

Khác với việc nắm vững các phương thức hành động (mặt kỹ thuật củahành động và sự thực hiện nó) là chủ yếu dựa vào nhận thức lý tính, việc nắmvững những điều kiện hành động ngoài yếu tố nhận thức lý tính còn cần sựtham gia của một phức hợp các yếu tố tâm lý: trực giác, kinh nghiệm, kiếnthức về đối tượng, các thao tác và phẩm chất của tư duy… Vì vậy, cùng nắmđược logic hành động khái quát nhưng có người vận dụng được, có ngườikhông vận dụng được để thực hiện hành động một cách có kết quả lên một

đối tượng cụ thể Đây là một cấu trúc phức tạp khó hình thành chúng mộtcách chủ động.

Thứ ba: Sự định hướng hành động của trí tuệ

Đây là yếu tố phát huy tác dụng trong suốt quá trình hành động Nó vừa

có vai trò định hướng, chỉ đạo, điều khiển và điều chỉnh hành động trong suốtquá trình hành động diễn ra Nó có mặt trong mọi khâu của hành động Sựđịnh hướng của trí tuệ càng linh hoạt, nhạy bén và chính xác bao nhiêu thìhành động càng tiến gần đến kết quả bấy nhiêu Tuy nhiên đây là thành phầntâm lý khá trừu tượng của kỹ năng Nó chịu sự chi phối của tư chất trí tuệ vàkhả năng nhìn nhận của chủ thể mà ta không thể hình thành một cách trựctiếp Tạm gạt ra yếu tố tư chất trí tuệ, quá trình dạy học có thể nâng cao nănglực định hướng cho học sinh thông qua các biện pháp tác động gián tiếp đểnâng cao khả năng nhìn nhận, đánh giá, phân tích để lựa chọn phương thứchành động hợp lý, đạt được mục dích của hành động

Nhận xét: Qua việc phân tích cấu trúc tâm lý của kỹ năng ta thấy: Các

yếu tố cấu trúc của kỹ năng có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Tri thức là yếu

tố đóng vai trò nền tảng Nếu chủ thể có một vốn hiểu biết rộng và nền kiếnthức vững chắc sẽ giúp cho việc vận hành hành động được hợp lý, tránh đượcnhững sai sót hay chệch hướng quá xa Hơn nữa, một nền kiến thức tốt sẽ hỗtrợ đắc lực cho việc định hướng của trí tuệ khi khoanh vùng hành động, lựachọn phương thức hành động và phân tích các điều kiện hành động

Sự vận hành hành động là yếu tố trung tâm của kỹ năng nó dựa vào tri

thức và sự định hướng của tư duy trí tuệ để đưa hành động đạt đến mục đích

Sự vận hành hành động tự thân nó giúp chủ thể thực hiện hành động một cáchthành thục hơn, khắc khâu, mở rộng hơn về kiến thức và đồng thời góp phầnnâng cao khả năng định hướng của trí tuệ

Sự định hướng của trí tuệ mặc dù là yếu tố khó nhận biết bằng giác

quan nhưng nó là yếu tố không thể thiếu trong mọi hành động Nó chỉ đạoviệc huy động và sử dụng kiến thức và các phương thức hành động cho phùhợp với đối tượng và mục đích của hành động

Nó điều khiển, điều chỉnh các bước của hành động để hành động diễn

ra đảm bảo kỹ thuật và phù hợp với các điều kiện cụ thể và quan trọng hơn làđạt được mục đích của hành động cũng là mục đích của tư duy

1.2.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng

Từ sự phân tích trên ta thấy sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hưởng củacác yếu tố sau:

Tri thức: Tri thức là yếu tố cần thiết đầu tiên, cốt lõi của sự hình thành

kỹ năng Tính chất và mức độ nắm vững kiến thức sẽ quyết định tính chất vàtrình độ của sự hình thành kỹ năng

Quá trình thực hành luyện tập: thực hành luyện tập là yếu tố căn bản

quyết định sự hình thành kỹ năng dù đó là hình thành kỹ năng theo thứ bậcnào Quá trình thực hành huyện tập không chỉ giúp học sinh thấu hiểu và nắmkiến thức vững chắc, mở rộng, đào sâu các khía cạnh kiến thức, mà làm choviệc vận hành các phương thức hành động cụ thể hay khái quát được thànhthạo Quá trình này được tái diễn nhiều lần với sự mở rộng và thu hẹp tìnhhuống của hành động sẽ giúp chủ thể cọ xát để rèn luyện các phẩm chất tưduy, tích luỹ kinh nghiệm trên nhiều mặt, nhiều lĩnh vực

Kinh nghiệm: Kinh nghiệm ở các mức độ khác nhau, các lĩnh vực

khác nhau có thể tác động tích cực hay tiêu cực tới quá trình hình thành kỹnăng

Khả năng trí tuệ và khả năng nhìn nhận của chủ thể: Khả năng nhìn

nhận và trí tuệ của chủ thể là yếu tố hỗ trợ tích cực cho chủ thể trong quá trìnhthực hiện hành động cũng như hình thành kỹ năng Nó là yếu tố vô hình, khó

kiểm soát nhưng trong nhiều trường hợp lại có tính chất quyết định đối vớiviệc thực hiện một hành động trong tình huống mới lạ.

1.3 Kỹ năng giải toán

1.3.1 Thế nào là kỹ năng giải toán ?

Trong hoạt động giải toán, người giải toán (học sinh) phải có rất nhiềuhành động cụ thể nhằm giải quyết các bài tập muôn màu muôn vẻ: phân tíchcác yếu tố đã biết, đã cho và những yêu cầu của bài toán; huy động và khoanhvùng kiến thức; lựa chọn phương pháp phù hợp để đi đến kết quả bài toán,giải bài toán khi đã có phương hướng giải… Những hành động này được cấuthành từ các thao tác nhất định Đó là sự vận dụng những tri thức khoa học,kinh nghiệm và kỹ xảo vào việc giải quyết các tình huống (giải các bài toánhay bài tập toán)

Kỹ năng giải toán mang đậm tính chất của kỹ năng bậc II, kỹ năng líluận Các yếu tố của kỹ năng kinh nghiệm có thể vẫn còn tác dụng trong một

số tình huống tương tự Tuy nhiên để hình thành và phát triển kỹ năng giảitoán thì các yếu tố của kỹ năng lí luận giữ vai trò chủ đạo Kỹ năng lí luận làyếu tố đảm bảo cho đa số học sinh có thể tiến hành việc giải các bài toán vàbài tập toán đạt yêu cầu trong chương trình đề ra

Tuy nhiên trong kỹ năng giải toán vừa có sự tham gia của các yếu tố kỹthuật vừa có sự tham gia của các yếu tố có tính chất năng lực (tư duy, trí tuệ)

vì vậy việc hình thành và phát triển kỹ năng giải toán cần được tiến hành theonhững cách thức chuyên biệt Trong giáo dục tiểu học, người giáo viên sẽ tạo

ra các hoạt động bên ngoài, gián tiếp tác động vào quá trình chiếm lĩnh trithức và hình thành kỹ năng của học sinh

Như vậy, “kỹ năng giải toán là sự vận dụng những tri thức khoa học cơbản, tri thức phương pháp, kinh nghiệm và những năng lực trí tuệ của bảnthân vào việc thực hiện giải một bài toán có hiệu quả”

1.3.2 Các loại kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán không phải là một kỹ năng riêng lẻ mà nó là hệ thốngphức hợp của nhiều kỹ năng cụ thể Theo chúng tôi kỹ năng giải toán gồm có

2 nhóm kỹ năng cơ bản sau:

- Nhóm kỹ năng tìm lời giải của bài toán

- Nhóm kỹ năng hoàn thành bài giải khi đã có định hướng đúng

Thứ nhất: Nhóm kỹ năng tìm lời giải các bài toán là nhóm kỹ năng

đặc trưng trong hoạt động giải toán của người giải toán Hoạt động tìm lờigiải cho một bài toán là một hoạt động khó khăn phức tạp, đối với học sinhbởi học sinh phải giải quyết một nhiệm vụ mới lạ mà những phương tiện vàphương pháp hoạt động cũ nếu không có sự biến đổi, cải tổ sẽ không còn đủsức để giải quyết vấn đề đó

Nhóm kỹ năng tìm lời giải các bài toán có những kỹ năng cơ bản sau:+ Kỹ năng xác định vấn đề (xác định được nhiệm vụ giải toán dựa trêncác yếu tố đã cho và yếu tố phải tìm)

+ Kỹ năng khoanh vùng và huy động kiến thức kinh nghiệm để hìnhthành các phương án giải quyết

+ Kỹ năng đánh giá khả năng giải quyết của các phương án để tìm lờigiải

+ Kỹ năng nhìn lại lời giải

Thứ hai: Nhóm kỹ năng hoàn thành bài giải khi đã có định hướng giải đúng.

Từ chỗ tìm được phương hướng giải đến giải hoàn chỉnh bài toán là cảmột quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: từ việc nắm vững các kiến thức

cơ bản về nội dung lý thuyết và các phương pháp thực hành đến việc luyệntập thành thạo các quy trình và thao tác có tính chất kỹ thuật Điều này đòi hỏitính nghiêm túc, kiên nhẫn và một phong cách làm việc khoa học của ngườigiải toán

Kết quả của mỗi bài toán được thể hiện trước hết ở chính lời giải đúng

và đầy đủ Do vậy không thể xem nhẹ việc hình thành kỹ năng loại này Hơnnữa có những bài toán mà việc tìm đường lối giải không khó, đôi khi đã khá

rõ ràng mà cái khó chủ yếu thuộc về kỹ thuật giải Do vậy đòi hỏi ở ngườigiải toán không ít sự đầu tư suy nghĩ

Nhóm kỹ năng hoàn thành bài giải khi đã có định hướng giải bao gồmnhững kỹ năng cơ bản sau:

+ Kỹ năng xác lập các điểm mấu chốt của lời giải

+ Kỹ năng sắp xếp các nội dung của lời giải

+ Kỹ năng lập luận trong từng nội dung và toàn bài

+ Kỹ năng tính toán và xử lý kết quả

Ngoài cách phân loại trên, còn có những cách phân loại khác Tuynhiên, dựa trên hướng tiếp cận nghiên cứu và nhiệm vụ của đề tài chúng tôicho rằng cách phân loại này là phù hợp Nó là một cơ sở quan trọng cho việc

đề ra các biện pháp hình thành và phát triển kỹ năng giải toán cho học sinhthông qua quá trình rèn luyện Giải toán Trong quá trình dạy học Giải toán ởtiểu học giáo viên đã có sự chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng hoàn thành bàigiải cho học sinh (khi đã có định hướng giải) mà chưa chú ý đến việc hìnhthành và phát triển kỹ năng Tìm lời giải các bài toán Do vậy, đề tài trên cơ

sở nghiên cứu và làm rõ bản chất cũng như các yếu tố ảnh hưởng đến sựhình thành kỹ năng Tìm lời giải bài toán, đề ra các biện pháp bồi dưỡng kỹnăng này cho học sinh

1.4 Nhóm kỹ năng tìm lời giải bài toán

Trước hết cần khẳng định lại rằng kỹ năng tìm lời giải các bài toánchính là phương pháp chung khi tiến hành việc tìm tòi lời giải(đáp số) của bàitoán Nó không phải là một kỹ năng đơn độc mà là một hệ thống phức hợpcủa nhiều kỹ năng

Nhóm kỹ năng tìm lời giải bài toán là nhóm kỹ năng đặc trưng tronghoạt động giải toán Hoạt động tìm lời giải cho bài toán là một hoạt động khókhăn, phức tạp bởi tương ứng với hoạt động đó là học sinh phải giải quyếtmột nhiệm vụ mới của nhận thức mà những phương tiện và cách thức hànhđộng cũ nếu không có sự biến đổi, cải tổ sẽ không còn đủ sức để giải quyếtnhiệm vụ mới này.

Dựa trên các giai đoạn tư duy cơ bản của quá tìm lời giải bài toánchúng tôi cho rằng nhóm kỹ năng tìm lời giải bài toán có những kỹ năng cụthể sau đây:

1- Kỹ năng xác định vấn đề của bài toán (xác định được nhiệm vụ giảitoán dựa trên các yếu tố đã cho yếu tố phải tìm của bài toán)

2- Kỹ năng khoanh vùng và huy động kiến thức, kinh nghiệm để hìnhthành các phưong án giải quyết nhiệm vụ của bài toán

3- Kỹ năng đánh giá khả năng giải quyết của các phương án để tìmlời giải

4- Kỹ năng nhìn lại lời giải bài toán

1.4.1 Kỹ năng xác định vấn đề của bài toán

Kỹ năng xác định vấn đề của bài toán là kỹ năng cơ bản cần có đầu tiêncủa hoạt động giải toán vì bản chất của việc giải bài toán là tiến hành hànhđộng tư duy để giải quyết một nhiệm vụ nhận thức Để tiến hành hành độngtìm lời giải có hiệu quả, trước hết người giải toán phải xác định được vấn đềcủa bài toán (hay chính là mục đích của hành động)

Kỹ năng xác định vấn đề của bài toán được biểu hiện ở việc học sinh xácđịnh được các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán Kỹ năng này có nhiềumức độ Tuy nhiên nếu sự xác định của học sinh càng rõ ràng, mạch lạc baonhiêu thì quá trình tìm lời giải bài toán càng được dễ dàng, thuận lợi bấy nhiêu

Một biểu hiện khác của kỹ năng xác định vấn đề của bài toán là họcsinh có khả năng biểu diễn các yếu tố đã cho và yếu tố phải tìm của bài toán

dưới dạng rút gọn - tóm tắt hay dạng công thức, ký hiệu toán học một cáchchính xác Vì vậy cần giúp học sinh đạt được kỹ năng này ở mức độ thànhthạo Có như vậy quá trình tìm lời giải bài toán mới có triển vọng.

1.4.2 Kỹ năng khoanh vùng và huy động kiến thức, kinh nghiệm để hình thành các phương án giải quyết nhiệm vụ của bài toán

Trên cơ sở các nhiệm vụ của bài toán đã xác định Muốn tìm được lờigiải bài toán, học sinh phải tiến hành khoanh vùng kiến thức của bài toán; huyđộng các kiến thức và kinh nghiệm có liên quan để hình thành các hướng giảiquyết nhiệm vụ của bài toán

Mặc dù đây là kỹ năng mang đậm tính chất của loại kỹ năng bậc cao,trừu tượng và chỉ có thể hình thành một cách gián tiếp trong quá trình dạyhọc Tuy nhiên cũng cần nhận thấy rằng: loại kỹ năng này được hình thànhchủ yếu thông qua con đường trải nghiệm nhận thức của chủ thể vì vậy luyệntập, thực hành giải toán trong nhiều các tình huống có liên quan là con đườnghình thành hiệu quả

Đứng trước một nhiệm vụ cần giải quyết, kiến thức đã học của học sinh

có thể rất nhiều, kinh nghiệm mà học sinh đúc kết được cũng lắm nhưngchúng đều ở trong trí nhớ, đó là những cơ sở vật chất của quá trình tư duy giảitoán Nhưng chúng chỉ thật sự có ý nghĩa nếu được huy động và tổ chức lại đểvận dụng một cách có hiệu quả Muốn huy động kiến thức học sinh phải biếthồi tưởng lại những kiến thức có liên quan, hay cách giải những bài tập tương

tự Kỹ năng huy động kiến thức sẽ trở nên thành thạo, mau lẹ nếu học sinh cómột quá trình học tập giải toán hệ thống và thường xuyên rút kinh nghiệm

1.4.3 Kỹ năng đánh giá khả năng giải quyết của các phương án để tìm lời giải bài toán

Kết quả của một bài toán dựa chủ yếu vào việc định hướng lời giải màtrước hết là việc vạch ra các phương án giải quyết nhiệm vụ của bài toán và

đánh giá được khả năng giải quyết của các phương án đó Do vậy kỹ năng

đánh giá khả năng giải quyết của các phương án để tìm lời giải bài toán là

kỹ năng quan trọng nhất của việc giải bài toán

Kỹ năng đánh giá khả năng giải quyết của các phương án là khả năngvận dụng các tri thức, kinh nghiệm và những năng lực trí tuệ của bản thân đểvạch ra các phương án giải quyết nhiệm vụ của bài toán và đánh giá được khảnăng giải quyết của các phương án đó để tìm được lời giải cho bài toán

Kỹ năng đánh giá khả năng giải quyết của các phương án có quan hệchặt chẽ với kỹ năng huy động kiến thức, kinh nghiệm bởi trên cơ sở các trithức, kinh nghiệm được huy động mới hình thành được các phương án giảiquyết nhiệm vụ của bài toán, từ đó, học sinh mới tiến hành tư duy để đánh giákhả năng giải quyết của các phương án đó Trong quá trình tìm lời giải bàitoán, hai kỹ năng (hành động) này không tách rời nhau mà đan xen vào nhaunhằm mục đích giải quyết nhiệm vụ của bài toán

Kỹ năng đánh giá khả năng giải quyết của các phương án chịu ảnhhưởng đáng kể của khả năng thăm dò và dự đoán kết quả của bài toán nhờxem xét các trường hợp cụ thể và khả năng lật ngược vấn đề Do vậy, kỹ năngđánh giá khả năng giải quyết của các phương án sẽ giúp học sinh khẳng địnhlại về mặt nhận thức tính đúng đắn của phương án lựa chọn để hình thành cácbước giải phù hợp hoặc bác bỏ hoàn toàn một phương án này để tìm phương

Phương án 1: Phân tích cấu tạo số abc, biến đổi (1) để mong tìm được

a, b hoặc c

Phương án 2: Đánh giá hai vế của (1) để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

của abc hoặc a, b, c Từ đó tìm abc hoặc a, b, c

Phương án 3: Nhận xét sự chia hết của tích 5  a  b  c để suy ra

tính chất chia hết của abc Từ đó tìm a, b, c

Đánh giá khả năng giải quyết của các phương án đó:

Phương án 1: Qua vài thao tác phân tích và biến đổi (1), biểu thức có

chiều hướng phức tạp hơn Khả năng nhóm hoặc rút gọn không xuất hiện.Phương án 1 không có triển vọng

Phương án 2: Dựa trên điều kiện a, b, c là chữ số và biểu thức (1),

không giới hạn được giá trị của abc hay a, b, c Do đó, phương án 2 cũngkhông có hi vọng

Phương án 3: Tích a  b  c  5 chia hết cho 5 nên abc chia hết cho

5 Từ đây suy ra c = 0 hoặc 5 Bài toán có triển vọng tìm được lời giải

1.4.4 Kỹ năng nhìn lại lời giải bài toán

Kỹ năng nhìn lại lời giải bài toán là khả năng xem xét lại bài toán và lời

giải vừa xác định và thực hiện Mục đích của việc nhìn lại lời giải bài toánkhông chỉ nhằm kiểm tra sự chính xác của các phép tính, thuật toán, logic suyluận và ưu khuyết điểm của chương trình giải và lời giải đã xác lập và thựchiện để điều chỉnh và hoàn thiện lời giải ấy mà còn hướng tới việc tìm đượcnhiều lời giải (cách giải) khác nhau cho bài toán Từ đó lựa chọn cách giải ưuviệt hơn cho bài toán hoặc cách giải có thể mở rộng cho các bài toán tổng quát

Như vậy biểu hiện trước hết của kỹ năng nhìn lại lời giải bài toán là họcsinh biết kiểm tra sự chính xác của các phép tính, thuật toán và logic suy luậncủa lời giải Biểu hiện ở mức độ thứ hai của kỹ năng này là học sinh nhìnnhận ra những ưu khuyết điểm của lời giải và chương trình giải đã xác lập và

thực hiện Từ đó hoàn thiện hơn chương trình giải ấy hoặc tìm được phươngpháp giải ưu việt hơn Ở mức độ thứ ba: học sinh tìm được nhiều cách giảikhác nhau cho mỗi bài toán và lựa chọn cách giải có thể mở rộng cho các bàitoán tổng quát.

Tóm lại kỹ năng tìm lời giải bài toán là những kỹ năng cơ bản đảm bảo

cho việc tìm lời giải bài toán có hiệu quả Mặc dù kết quả của việc xác địnhphương hướng bài giải còn phụ thuộc đáng kể vào tư chất và năng lực củatừng chủ thể học sinh Tuy nhiên về cơ bản nếu hình thành được hệ thống các

kỹ năng trên có thể đảm bảo cho đa số học sinh tiến hành việc giải toán đạtyêu cầu của chương trình dạy học đề ra

1.5 Các yếu tố ảnh hưởng đến việc hình thành và phát triển kỹ năng tìm lời giải bài toán

Kỹ năng tìm lời giải các bài toán được hình thành dưới tác động của rấtnhiều yếu tố mà cơ bản là các yếu tố sau:

Thứ nhất: Hệ thống kiến thức toán học

Hệ thống kiến thức toán học là yếu tố đầu tiên ảnh hưởng trực tiếp đến

sự hình thành kỹ năng tìm lời giải bài toán Để hình thành kỹ năng tìm lời giảicác bài toán cho học sinh cần trang bị cho học sinh hệ thống tri thức sau:

+ Các tri thức toán học cơ bản: khái niệm, quy tắc, công thức, tínhchất…

+ Các tri thức về phương pháp giải toán và khả năng vận dụng cơ bảncủa từng phương pháp: phương pháp sơ đồ đoạn thẳng, phương pháp chia tỷ

lệ, phương pháp thử chọn, phương pháp lập bảng, phương pháp diện tích…

+ Sơ lược về các quy tắc suy luận logic của toán học

Hệ thống tri thức này sẽ trang bị cho học sinh cơ sở vật chất của quátrình tư duy giải toán, đồng thời là yếu tố có tác động tích cực đến việc hìnhthành và phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh Trên cơ sở những kiến

thức nền tảng và phương pháp cũng như kiến thức suy luận logic, học sinhkhông chỉ tiến hành hoạt động giải toán được thuận lợi mà còn sẵn sàng tiếpthu tri thức mới, hình thành kỹ năng và năng lực mới.

Thứ hai: Hệ thống các thao tác có tính chất kỹ thuật hành động

Hệ thống các thao tác kỹ thuật hành động là một điều kiện cần thiết đểhình thành kỹ năng tìm lời giải các bài toán Tìm lời giải các bài toán là kỹnăng thuộc về phương diện trí óc, do vậy các thao tác hành động trí óc là yếu

tố tác động mạnh mẽ đến việc hình thành kỹ năng giải toán nói chung và kỹnăng tìm lời giải bài toán nói riêng Quá trình dạy học toán cần trang bị chohọc sinh các thao tác sau:

+ Các thao tác tính toán đơn thuần

+ Các thao tác hành động trí óc: phân tích - tổng hợp, so sánh, kháiquát hoá - trừu tượng hoá

+ Các thao tác suy luận, biến đổi trong giải toán

Kết quả của việc vận dụng tri thức vào giải quyết các bài toán phụthuộc rất nhiều vào những thao tác hành động có tính chất kỹ thuật và kỹ xảonày Nó không chỉ giúp quá trình xử lý thông tin mà còn giúp việc đánh giákhả năng giải quyết của từng phương án được nhanh, gọn, chính xác để khẳngđịnh theo đuổi hoặc chuyển hướng giải quyết nhằm tìm ra lời giải

Thứ ba: Nội dung và biện pháp luyện tập là yếu tố cơ bản nhất tác

động mạnh mẽ nhất đến việc hình thành kỹ năng Tìm lời giải bài toán Nộidung luyện tập thường được tích hợp trong hệ thống bài toán và bài tập dogiáo viên lựa chọn trong dạy học (ở lớp và giao nhiệm vụ về nhà cho họcsinh) Vấn đề còn lại là việc giáo viên lựa chọn hệ thống bài toán và bài tậpnhư thế nào, cách khai thác và hướng dẫn ra sao để việc hình thành kỹ nănggiải toán nói chung và kỹ năng Tìm lời giải các bài toán nói riêng đạt kết quả

Thứ tư: Con đường hình thành

Kỹ năng Tìm lời giải các bài toán có thể được học sinh hình thành bằngcon đường mò mẫm thông qua việc giải các bài toán Tuy nhiên như thế sẽmất nhiều thời gian, công sức và kết quả đạt được không cao Do vậy, trongquá trình dạy học đặc biệt là trong rèn luyện Giải toán giáo viên cần xác địnhđược những biện pháp cơ bản nhất, trong điều kiện cho phép, giúp học sinhhình thành kỹ năng quan trọng nhất trong hoạt động giải toán: kỹ năng Tìmlời giải các bài toán.

Thứ năm: Tính tích cực tập luyện của mỗi học sinh

Tính tích cực luyện tập của mỗi học sinh là yếu tố quyết định trực tiếpđến mức độ đạt được của kỹ năng Trong quá trình luyện tập nếu học sinhkhông có sự say mê, hứng thú thì cũng hạn chế sự hình thành kỹ năng Vì vậytạo ra được hứng thú cho mỗi học sinh là góp phần thuận lợi giúp các em hìnhthành kỹ năng Tìm lời giải các bài toán đạt hiệu quả

Thứ sáu: Những đặc điểm tâm sinh lý và khả năng trí tuệ cá nhân cũng

là những nhân tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng như: năng khiếu toánhọc, các phẩm chất tư duy, tưởng tượng, khả năng nhìn nhận của chủ thể…Đây là các yếu tố mang tính cá nhân sâu sắc, khó tác động, điều chỉnh và thayđổi một cách chủ động Kỹ năng tìm lời giải các bài toán thiên về kỹ nănghành động trí óc do vậy khả năng trí tuệ của mỗi cá nhân có ảnh hưởng đáng

kể đến hiệu quả của hành động cũng như việc hình thành kỹ năng

Tóm lại: Sự hình thành kỹ năng giải toán nói chung và kỹ năng tìm lờigiải các bài toán nói riêng chịu sự tác động của rất nhiều yếu tố Có yếu tốtrên đều tác động một cách gián tiếp đến việc hình thành kỹ năng thông quahoạt động dạy học của giáo viên và học sinh Nghiên cứu các yếu tố ảnhhưởng đến việc hình thành kỹ năng tìm đường lối giải các bài toán cho họcsinh là cơ sở quan trọng giúp chúng tôi đề ra các biện pháp thực hiện nhằmbồi dưỡng kỹ năng tìm lời giải các bài toán cho học sinh ở chương 2

1.6 Một số đặc điểm nhận thức của học sinh cuối bậc tiểu học

Trước hết về mặt giải phẫu sinh lý, học sinh tiểu học có sự thay đổikhá mạnh về bộ não Các nhà khoa học đã xác định, trọng lượng não có sựthay đổi: Trẻ 7 tuổi trọng lượng não là 1250g, trẻ 9 tuổi trọng lượng não là1300g, trong khi người lớn não có trọng lượng trung bình là 1360g Tứctrọng lượng não học sinh gần bằng 90% trọng lượng não của người lớn Bộnão trẻ đã phát triển nên có thể tích cực hoá hoạt động nhận thức để tìm tòi,khám phá, chiếm lĩnh tri thức Các em có đủ điều kiện để giải những bàitoán khác nhau ở tiểu học

Nhận thức còn mang tính cảm tính và phân định hai giai đoạn là đặcđiểm cơ bản của học sinh tiểu học Chúng tôi đi sâu vào nghiên cứu nhận thứccủa học sinh tiểu học ở giai đoạn hai

1.6.1 Chú ý

Chú ý không phải là quá trình nhận thức, nhưng nó tham gia vào cácquá trình nhận thức như là điều kiện đảm bảo cho quá trình này diễn ra mộtcách có kết quả Các loại chú ý đều có ở học sinh tiểu học với những trình độphát triển khác nhau

Chú ý không chủ định là dạng chú ý phổ biến nhất trong thời gian đầulứa tuổi học sinh tiểu học Chú ý không chủ định vẫn tiếp tục phát triển trongsuốt lứa tuổi học sinh tiểu học và chúng cũng có vai trò nhất định đối với hoạtđộng nhận thức của trẻ

Chú ý có chủ định chỉ được hình thành thực sự khi học sinh bước vàohoạt động nhận thức do yêu cầu tất yếu của hoạt động này

Các nhà tâm lý học cho rằng, nếu có sự chỉ đạo phù hợp của người lớnthì ngay trong những năm đầu lứa tuổi học sinh tiểu học, chú ý có chủ định đã

có thể phát triển mạnh mẽ Sự phát triển này biểu hiện ở sự phát triển kỹ nănglàm việc có định hướng của học sinh Đến cuối bậc tiểu học, học sinh đã tựđặt cho mình mục đích, tự thực hiện và kiểm tra việc thực hiện chúng

Chú ý của học sinh tiểu học ở thời kỳ đầu cấp chưa bền vững, trẻ chưa

có khả năng duy trì sự chú ý tới đối tượng trong một thời gian cần thiết Đếncuối bậc học, học sinh đã có quá trình chú ý tương đối bền vững, ít bị chi phốibởi các quá trình hưng phấn và ức chế

Duy trì và phát triển chú ý của học sinh trên giờ học là nhiệm vụ rấtquan trọng của người giáo viên tiểu học Chú ý của học sinh tiểu học có thểkhá tập trung và bền vững khi mà học sinh toàn tâm làm việc, một công việcđòi hỏi ở chúng sự tích cực của trí tuệ và sự vận động một cách tối đa Nếuhọc sinh vừa xem xét sự vật, đối tượng, vừa hành động với chúng - như phântích, so sánh, tìm ra những dấu hiệu bản chất trên cơ sở những tri thức đã học,phân loại sự vật theo nhóm, lập được quan hệ nhân quả giữa các sự vật vàhiện tượng thì học sinh sẽ tập trung chú ý cao vào đối tượng

Chú ý của học sinh phụ thuộc rất nhiều vào tính vừa sức của tài liệuhọc tập Học sinh sẽ tập trung chú ý làm việc với những vấn đề tuy khó nhưng

có thể thực hiện được và nhờ đó nó đạt được một thành tích nhất định Chínhthành tích này sẽ kích thích trẻ chú ý tốt hơn trong công việc

1.6.2 Tri giác

Tri giác của học sinh cuối bậc tiểu học đã có sự phân hóa và phát triểnmạnh trong quá trình học tập Tri giác về hình dáng đã phát triển tính chínhxác Trẻ có thể phân biệt và gọi đúng tên các hình học phẳng Tuy nhiên, khi

vị trí hình thay đổi, trẻ dễ nhầm lẫn Tri giác của học sinh tiểu học phát triểnmạnh trong hoạt động học tập, nếu như dạy học đảm bảo hình thành được ởhọc sinh kỹ năng nhìn và phân tích những gì mà nó tri giác

Tóm lại: Ở học sinh tiểu học, tri giác đã mang tính đại thể, ít đi vào chitiết và mang tính chất không chủ động Đến cuối bậc tiểu học, học sinh đãbiết tìm ra dấu hiệu đặc trưng của sự vật Nhìn chung ở giai đoạn hai, học sinh

có đủ khả năng tiếp nhận các phương pháp tìm lời giải các bài toán

1.6.3 Đặc điểm trí nhớ

Ghi nhớ không chủ định đóng vai trò to lớn trong hoạt động học tập củahọc sinh tiểu học Với sự phát triển của tư duy trong hoạt động nhận thức, ghinhớ không chủ định của học sinh tiểu học ngày càng trở nên có suy nghĩ hơn.Việc phải ghi nhớ máy móc ở trẻ không hiệu quả bằng ghi nhớ ý nghĩa, thậmchí ghi nhớ những tư liệu vô nghĩa ở lứa tuổi tiểu học còn khó hơn ở ngườilớn Bởi sự thuộc lòng những tư liệu vô nghĩa đòi hỏi sự nỗ lực ý chí to lớn

mà trẻ thì chưa có khả năng làm việc đó

Một số đặc điểm của trí nhớ ở học sinh tiểu học:

Ban đầu, học sinh tiểu học ghi nhớ những tài liệu trực quan tốt hơn.Hiệu quả ghi nhớ những sự vật mà chúng trực tiếp hành động cao hơn rấtnhiều so với ghi nhớ từ ngữ

Về ghi nhớ từ ngữ, trong suốt giai đoạn tiểu học, học sinh ghi nhớ danh

từ chỉ sự vật tốt hơn là ghi nhớ những từ chỉ khái niệm trừu tượng Những tàiliệu trừu tượng, khái quát được cả một loạt sự kiện thì học sinh sẽ ghi nhớ dễdàng hơn là khi chỉ được triển khai trên một sự vật, hiện tượng cụ thể nào đó(những khái niệm không được củng cố bằng các ví dụ cụ thể)

Tính chất cụ thể - hình tượng của trí nhớ ở học sinh tiểu học thể hiện ởchỗ, trẻ có thể thực hiện được cả những thao tác ghi nhớ khó khăn như liêntưởng, chia bài ra thành từng phần nếu quá trình này có sử dụng các đồ vậttrực quan Đó là đặc điểm mà giáo viên cần tính đến khi tổ chức quá trình họctập cho học sinh tiểu học

1.6.4 Tư duy

* Đặc điểm các thao tác trí tuệ ở học sinh tiểu học:

- Đặc điểm của sự phân tích:

Sự phân tích ở lứa tuổi tiểu học đi từ hành động phân tích thực tế đếnhành động phân tích cảm tính và cuối cùng là phân tích trí tuệ

Sự phát triển của thao tác phân tích thường trải qua các thời kỳ nhấtđịnh: từ phân tích từng phần đến toàn bộ, rồi đến hệ thống Trình độ phân tíchphổ biến nhất ở học sinh tiểu học là từng phần và toàn bộ Khi đạt đến trình

độ phân tích toàn thể, sự lĩnh hội tài liệu học tập của học sinh đầy đủ hơn vì

nó đã có thể xem xét gần như tất yếu cả các yếu tố hoặc dấu hiệu của sự vật,nhưng lại có thể chưa nắm bắt được mối liên hệ giữa chúng Ở thời kỳ sau của

sự phát triển thao tác phân tích, học sinh tiểu học có khả năng tiến hành phântích hệ thống đối với các sự vật và hiện tượng nghiên cứu, xem xét các yếu tố

và dấu hiệu của chúng trong một hệ thống tổng thể nhất định, tìm ra nhữngyếu tố và dấu hiệu cơ bản, thiết lập được các mối liên hệ và quan hệ giữachúng

- Đặc điểm của thao tác tổng hợp ở học sinh tiểu học:

Sự hình thành thao tác tổng hợp của tư duy ở trẻ lứa tuổi này gắn liềnvới thao tác phân tích Ở học sinh tiểu học, quá trình hình thành các thao tácphân tích của tư duy diễn ra dễ dàng hơn và nhanh hơn so với các thao táctổng hợp Các thao tác phân tích và tổng hợp liên quan chặt chẽ với nhau,chúng thống nhất biện chứng với nhau trong một quá trình tư duy của họcsinh Sự phân tích càng sâu sắc thì sự tổng hợp càng đầy đủ và toàn diện hơn;ngược lại, sự tổng hợp trước hết có ảnh hưởng lớn đến chất lượng phân tích

- Đặc điểm của sự so sánh ở học sinh tiểu học:

Sự so sánh của học sinh tiểu học có đặc trưng cơ bản là, trẻ thường thayviệc so sánh bằng sự sắp xếp đơn giản sự vật

Sự so sánh các sự vật mà trẻ không được trực tiếp hành động lên chúng,hay so sánh sự vật có quá nhiều dấu hiệu, cũng như có nhiều dấu hiệu không

rõ nét, ít nổi bật sẽ là những khó khăn đáng kể đối với học sinh tiểu học trongquá trình tư duy Trẻ tiểu học thường gặp khó khăn khi so sánh các sự vật còn

vì chúng chưa thể tự mình lập kế hoạch cho quá trình này Vì vậy, để phát

triển thao tác so sánh cho học sinh tiểu học cần tổ chức cho trẻ hoạt động, qua

đó hình thành ở trẻ kỹ thuật và cách lập kế hoạch thực hiện thao tác này

- Đặc điểm của sự trừu tượng hóa ở học sinh tiểu học:

Sự phát triển của thao tác trừu tượng hóa ở lứa tuổi học sinh tiểu họcbiểu hiện trong sự hình thành và phát triển khả năng phát hiện ra những dấuhiệu, những mối liên hệ và quan hệ cơ bản, quan trọng đối với nhiệm vụ củahoạt động cũng như khả năng tách ra được những dấu hiệu, những quan hệ,liên hệ không cơ bản, không quan trọng của sự vật và hiện tượng và thoátđược ra khỏi chúng trong quá trình tư duy Cũng như các thao tác khác, trừutượng hóa của học sinh tiểu học đang ở giai đoạn đang được hình thành, chưahoàn thiện, do đó nó nhiều khác biệt so với thao tác này ở người trưởng thành

Sự trừu tượng hóa của tư duy học sinh tiểu học có những đặc điểm cơ bảnsau:

+ Trong quá trình tư duy, trẻ thường đưa ra những dấu hiệu bề ngoàinổi bật của sự vật, hiện tượng trong khi lẽ ra nó phải đưa ra những dấu hiệuquan trọng, cần thiết cho việc thực hiện nhiệm vụ

+ Sự trừu tượng hóa của học sinh tiểu học đối với các dấu hiệu, tínhchất của sự vật, hiện tượng dễ dàng hơn là đối với những mối quan hệ, liên hệgiữa chúng

+ Sự trừu tượng hóa của học sinh tiểu học thường diễn ra một cách côlập, trẻ chỉ chú ý đến việc đưa ra những dấu hiệu cơ bản, quan trọng của sựvật mà bỏ qua những dấu hiệu thứ yếu

- Đặc điểm của sự khái quát hóa của học sinh tiểu học:

Sự phát triển của sự khái quát ở học sinh tiểu học còn đi từ dàn trải đếnphân hóa ngày càng cao Học sinh lớp 1 - 2 thường chỉ mới khái quát đượccác động vật như: bò, gà, chó, sói, vịt, cáo vào một nhóm; còn học sinh lớp 3

đã biết khái quát cũng chính những động vật trên một cách phân hóa thành gia

súc, gia cầm và thú Học sinh cuối bậc tiểu học đã khái quát được những dấuhiệu chung của sự vật, khái niệm và tri thức Học sinh tiểu học đã có thể nắmđược các khái niệm khoa học về từ vựng, ngữ pháp, toán nhờ sự khái quáthóa ở trình độ này

* Đặc điểm của sự phát triển tư duy ở học sinh tiểu học:

Sự phát triển tư duy ở lứa tuổi học sinh tiểu học trải qua hai giai đoạnkhác nhau về mặt chất lượng Cuối bậc tiểu học, phần lớn học sinh đã có khảnăng khái quát trên cơ sở phân tích, tổng hợp và trừu tượng hóa bằng trí ócđối với các biểu tượng, sự vật đã tích lũy được trong kinh nghiệm Sự giảmbớt của yếu tố trực quan - hình tượng tạo điều kiện cho việc gia tăng thànhphần của yếu tố ngôn ngữ, ký hiệu, mô hình trong tư duy trẻ Đó là những tiền

tố của sự hình thành và phát triển của một trình độ tư duy mới - tư duy hìnhthức - ở học sinh trong giai đoạn phát triển tiếp theo

K.K.Pltônôv đã tóm tắt các giai đoạn của một hành động (quá trình) tưduy bằng sơ đồ dưới đây:

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên

tưởng

S ng làng l ọc liên tưởng v àng lhình th nh giàng l ả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Giải quyết vấn đề

H nh àng l động

tư duy mới

- Đầu tiên, mọi hình ảnh tái tạo ở trẻ đều phải có điểm tựa là nhữngnhững sự vật cụ thể, những hành động cụ thể, sau đó đạt tới trình độ điểmtựa từ ngữ; điều đó cho phép học sinh tạo ra được hình ảnh có chất lượng, ýnghĩa mới.

Trong quá trình học tập, khả năng điều khiển hoạt động trí tuệ của họcsinh tiểu học phát triển và cùng với nó, tưởng tượng của các em cũng trởthành một quá trình được điều khiển, điều chỉnh Nhờ vậy, học sinh có khảnăng tưởng tượng một cách có chủ định và hình ảnh của nó được hình thànhtheo yêu cầu của nhiệm vụ học tập

1.7 Vấn đề rèn luyện và phát triển kỹ năng Tìm lời giải các bài toán trong dạy học Giải toán hiện nay

1.7.1 Chương trình dạy học Giải toán lớp 4,5

Giải toán là một trong năm mạch kiến thức cơ bản của chương trìnhmôn Toán ở tiểu học Mảng kiến thức này trong mối quan hệ thống nhất vớicác nội dung khác của môn Toán nhằm hình thành và phát triển tư duy logic,trừu tượng, khả năng suy luận và những phương pháp tư duy đặc trưng toánhọc cho học sinh

Trong chương trình môn toán ở tiểu học, kiến thức giải toán khôngđược sắp xếp thành chương, thành bài riêng mà được phân bố hầu hết trongtất cả các bài học dưới hình thức các bài toán, bài tập để khắc sâu củng cốkiến thức, rèn luyện kỹ năng tính toán, luyện tập phương pháp giải, rèn luyệncác quy tắc suy luận hay mở rộng, nâng cao kiến thức, phát triển tư duy Nộidung kiến thức Giải toán đan xen, hoà nhập với các nội dung khác củachương trình nhưng vẫn mang đặc trưng riêng biệt: 1) Các kiến thức về giảitoán được tích hợp trong các nhiệm vụ của từng bài toán, bài tập cụ thể 2)Học sinh chiếm lĩnh các kiến thức giải toán chủ yếu thông qua con đường trảinghiệm nhận thức 3) Hình thức dạy học đặc trưng là thực hành luyện tập

Nội dung dạy học Giải toán ở lớp 4 và 5:

Lớp 4:

- Giải các bài toán có 2 đến 3 bước tính, có sử dụng phân số

- Giải các Bài toán về trung bình cộng; các Bài toán tìm hai số khi biếttổng và hiệu của chúng; tìm hai số khi biết tổng và tỷ của chúng; tìm hai sốkhi biết hiệu và tỷ của chúng

Lớp 5:

Giải các bài toán chủ yếu là các bài toán có đến 3 bước tính Trong đó có:

* Các bài toán về tỷ số phần trăm

- Tìm tỷ số phần trăm của hai số

- Tìm một số, biết tỷ số phần trăm của số đó so với số đã biết