Câu 1. (3,0 điểm) Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số đo diện tích. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó. Câu 2. (3,0 điểm) Cho biểu thức: với Tính giá trị của biểu thức P với . Câu 3. (3,0 điểm) Tìm các số thực x, y thỏa mãn:
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (3,0 điểm)
Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số đo diện tích Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó.
Câu 2 (3,0 điểm)
Cho biểu thức:
P= 1 x− + −1 x 1 x− + 1 x 1 x 1 x− − − − với x ∈ − [ 1;1 ]
Tính giá trị của biểu thức P với 1
x 2012
−
Câu 3 (3,0 điểm)
Tìm các số thực x, y thỏa mãn:
( 2+ )2 2+ 2+ 2− − + =3 3 +
x 1 y 16x x 2x y 9 8x y 8xy
Câu 4 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y x = 2 và hai điểm A(-1;1), B(3;9) nằm trên (P) Gọi M
là điểm thay đổi trên (P) và có hoành độ là m ( − < < 1 m 3 ) Tìm m để tam giác ABM có diện tích lớn nhất.
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi I là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC (I không nằm trên cạnh của tam giác) Các tia AI, BI, CI lần lượt cắt BC, CA, AB tại M, N, P.
a) Chứng minh: AI BI CI
2
AM BN CP + + = b) Chứng minh:
( )2
AM.BN BN.CP CP.AM 3 R OI + + ≤
Câu 6 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ tâm
O đến các cạnh BC, CA, AB và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: y + z - x
= R + r.
Câu 7 (2,0 điểm)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Cho x; y thỏa mãn
∈
≤ ≤
x;y R
1
0 x;y
2
1 y 1 x + ≤ 3
HÕt
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 3SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN
(Gồm 4 trang)
Gọi độ dài các cạnh của tam giác vuơng là a, b, c (a là độ dài cạnh huyền)
Theo giả thiết và định lý Pitago, ta cĩ:
( ) ( )
a b c bc 1
+ + =
0.5
( )
b c 2 a
a b c 0 loại
+ − =
Thế a = b + c - 2 vào (2) ta được:
( ) ( )
Vì b, c là các số nguyên dương nên ta cĩ các trường hợp sau:
Vậy tam giác cần tìm cĩ các cạnh là 3; 4; 5
1.0
Câu 2
2012
3.0
Trang 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
= − + −
0.5
0.5
2
1
2012
−
0.5
0.5
0.5
P =2 1 x− +2 1 x x−
- Rút gọn: P2=2 1 x( − +) (2 1 x x− )
- Thay x 1
2012
−
2 2
2
2012
=
1.0 0.5 0.5
1.0
x +1 y +16x + x −2x y− + =9 8x y 8xy+ (*) 3.0
( )
2 2
+ Nếu y = 0 thì từ (1) suy ra x = 0, thay vào (2) không thỏa mãn 0.5 + Nếu y ≠0, ta coi (1), (2) là phương trình bậc hai ẩn x Điều kiện để có nghiệm x là: 0.5
Trang 5' 2 1
2
y 2
y 2
∆ = − ≥ − ≤ ≤
∆ = − ≥ ≥
Thay y = 2 vào hệ (1), (2) ta được:
2 2
x 1
Vậy x = 1, y = 2
1.0
Câu 4
Tìm m để tam giác ABM có diện tích lớn nhất.
3.0
ABB'A '
1
2
1 1 9 4 20 2
AMM 'A '
2
1
2 1
1 m m 1 2
MBB'M '
2
1
2 1
m 9 3 m 2
ABM ABB'A ' AMM 'A ' MBB'M '
2
Suy ra SABM lớn nhất bằng 8⇔ m = 1
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
1.0
Câu 5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi I là điểm bất kỳ nằm trong tam
giác ABC (I không nằm trên cạnh của tam giác) Các tia AI, BI, CI lần lượt cắt BC,
CA, AB tại M, N, P.
AM BN CP+ + =
3.0
x
y
A'
M B
A
m 2
m
9
1
3
Trang 6b) Chứng minh: ( )2
AM.BN BN.CP CP.AM+ + ≤ 3 R OI
−
a
Kẻ IK, AH vuông góc với BC tại K, H Ta có:
IBC ABC
S
Tương tự, ta có:
S
Suy ra: IM IN IP 1
AM BN CP
0.5
b
AM BN CP
−
0.5
x y z+ + ≥3 xy yz zx+ + (*) dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z 0.5
Áp dụng (*)
2
2
2
Khi tam giác ABC đều thì dấu đẳng thức xảy ra
0.5
Chứng minh rằng: y + z - x = R + r
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
BC, CA, AB⇒OM = x, ON = y, OP = z
Đặt AB = c, BC = a, CA = b
M
C B
A
O
K H
M
I
C B
A
O
Trang 7Ta có tứ giác OMNC nội tiếp nên theo
định lý Ptôlêmê suy ra:
( )
MN.OC + OM.CN = ON.MC
c.R x.b y.a
c.R x.b y.a 1
0.5
Tương tự, từ hai tứ giác nội tiếp
OMPB và ONAP ta có:
( ) ( )
b.R x.c z.a 2 y.c z.b R.a 3
1.0
Mặt khác: SABC =SOAB+SOAC−SOBC ⇔ r a b c( + + =) c.z b.y a.x 4+ − ( ) 0.5
Cộng v.v.v của (1) và (2) rồi trừ v.v.v cho (3) ta được
c.R b.x c.x b.R c.y b.z a.y a.z a.R
0.5
Cộng v.v.v của (4) và (5) được
R r y z x ñpcm
Câu 7 Cho x, y thỏa mãn
x,y R
1
0 x,y
2
∈
≤ ≤
y
1 y 1 x+ ≤ 3
Từ giả thiết suy ra:
2
( ) ( )
0.5
0.5 Lại có:
( )
xy xy
4
0.5
Trang 8( ) ( )
2 2 1 x y xy 3
Dấu đẳng thức xảy ra khi: x y 1
2
= =
0.25
Hướng dẫn chung:
+ Trên đây là các bước giải bắt buộc và biểu điểm tương ứng, thí sinh phải có lời
giải chặt chẽ,
chính xác mới công nhận cho điểm
+ Thí sinh có cách giải khác đúng đến đâu cho điểm thành phần tương ứng đáp án
trên đến đó
+ Chấm từng phần Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn, tính
đến 0.25 điểm