Bài giảng Giải tích 12 chương 1 bài 3: Giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất của hàm số

PP: Tìm GTLN, GTNN của hàm số nhờ vào tính đơn điệu và cực trị của hàm số.. B1 : Lập bảng biến thiên của hàm số.. B2 : Dựa vào bảng biến thiên của hàm số kết luận GTLN, GTNN nếu có... H

Bài giảng toán 12

Kiểm tra bài cũ:

1) Xét sự biến thiên và tìm cực trị của hàm số:

2

y f (x)   4 x 

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x

y

2) CMR: Hàm số trên ta có:

0  f(x) 2, x[-2; 2].

Tìm x[-2; 2] đểể f(x)=0 và

tìm x[-2; 2] đểể f(x)=2.

Khi đểó, ta nói hàm số đểạt giá trị lớn nhất là 2 trên đểoạn [-2; 2] và đểạt giá trị nhỏ nhất

là 0 trên tập [-2; 2]

2

y f (x)   4 x 

1 ĐỊNH NGHĨA:

Định nghĩa:

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D

a) Nếu tồn tại x0 D sao cho:

f(x)  f(x 0 ) với mọi x  D.

thì ta số M = f(x 0 ) được gọi là GTLN của hàm số f trên D

Ký hiệu: M Max f (x) x D

b) Nếu tồn tại x0 D sao cho:

f(x)  f(x 0 ) với mọi x  D.

thì ta số m = f(x 0 ) được gọi là GTNN của hàm số f trên D

* Muốn chứng minh số M (hoặc m ) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất ) của hàm số f trên tập hợp D , ta cần chứng minh 2 b ớc:

Quy ớc: Khi nói giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số mà không nói rõ trên tập nào thì ta hiểu đểó

là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên tập xác đểịnh của hàm số

B1: f(x)  M (hoặc f(x)  m) với mọi x  D

B2: Tồn tại ớt nhất một điểm xo  D sao cho f(xo) = M

(hoặc f(xo) = m)

Ví dụ 1:

Cách 1: như câu 2) của phần kiểm tra bài cũ.

Cách 2: như câu 1) của phần kiểm tra bài cũ.

PP: Tìm GTLN, GTNN của hàm số nhờ vào tính đơn điệu

và cực trị của hàm số

B1 : Lập bảng biến thiên của hàm số.

B2 : Dựa vào bảng biến thiên của hàm số kết luận GTLN,

GTNN (nếu có)

x x

H×nh 1.1

Ví dụ 2:

Một hình hộp không nắp được làm từ

một mảnh các-tông theo mẫu (hình

1.1) Hộp có đáy là hình vuông cạnh

x(cm), chiều cao là h(cm) và có thể

tích là 500(cm3)

a)Hãy biểu diễn h theo x

b)Tính diện tích S(x) của mảnh

các-tông theo x

c) Tìm giá trị của x sao cho S(x) nhỏ

nhất

Nhận xét :

Ng ời ta chứng minh để ợc các hàm số liên tục trên 1 đểoạn

thì đểạt để ợc giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đểoạn đểó

B1 : Tỡm cỏc điểm x1, x2, , xm thuộc (a; b) tại đú hàm số f

cú đạo hàm bằng 0 hoặc khụng cú đạo hàm

B2 : Tớnh f(x1), f(x2), , f(xm), f(a) và f(b)

B3 : So sỏnh cỏc giỏ trị f(x1), f(x2), , f(xm), f(a) và f(b) và kết luận: x a;bMax f (x);  x a;bmin f (x) 

Ví dụ 3:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) f(x) x 2x 5 trên đểoạn -2; 3

1 c) f(x) = x + trên khoảng (1; + ).

Nhóm 1

Nhóm 2

Nhóm 3

3

2

x b) f(x) = 2x 3x 4 trên đểoạn -4; 0

3

4 4

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: f(x) = sin x  cos x

Ví dụ4 : Tìm sai lầm trong lời giải các bài toán:

Lời giải

x

x :sin x 0 và cos x 0 nên f(x) 0.

Do đểó min f(x)=0.







x

Vì sin x 1 và cos x 1 với mọi x nên f(x) 1+1=2.

Do đểó max f(x) 2









Kết luận: giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, giá trị lớn nhất của hàm số là 2.

tồn tại x để f(x) = 0 hoặc f(x) = 2

Biến đểổi: f(x) = (sin x+cos x) 2 sin x cos x 1 sin 2x

2 1

Từ đểó dễ dàng thấy kết quả: max f(x) 1; min f(x)

Gợi ý lời giải:

Bài 1

Bài 2

2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = trên đểoạn ;

x 1 2 2

 

 

Lời giải

2 2

2

1 3

x ;

2 2

2x(x-1)-x x 2x Có: y' =

(x 1) (x 1)

1 3 Xét g(x) = x 2x, dễ thấy g(x) < 0 với mọi x ;

2 2

1 3

Do đểó: y' < 0 , x ;

2 2

1 3 Hàm số đểơn đểiệu giảm trên ;

2 2

1 1 max f(x) f( ) ; m

2 2

 

 

 





 

 

 

   

 

 

 



1 3

x ;

2 2

3 9

in f(x) f( )

2 2

 

 

 

 

3

; 2

 

  

 

Ng

1

2

áp dụng quy tắc tìm GTLN, G

uyên

TNN

nhân s

trên mộ

ai l

t

ầm:

đoạn

Bài tập :

1) BTSGK

[-1;1]

3) Tìm m để hàm số sau nghịch biến trên [1; +):

4) Tìm m để hàm số sau đồng biến trên (0; 3):

2

y

x 1





1

3

