PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC GV: PHAN HỒNG HUỆ BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ LỚP 11:... PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhi
Trang 1PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
TOÁN HỌC
GV: PHAN HỒNG HUỆ
BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ LỚP 11:
Trang 2Xét hai mệnh đề chứa biến : P(n): “3n < n +100” và
Q(n): “2n >n” với n *
3 n So
sánh n + 100 P(n) Đ/S ?
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
2 n So
sánh n Q(n) Đ/S ?
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
31=3 < 1+100=101 Đ 21=2 > 1 Đ
>
9
27
81
243
<
<
<
>
102 103 104 105
Đ Đ Đ S
4 8 16 32
>
>
>
Đ Đ Đ Đ
2 3 4 5
Trang 3I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên
đúng với mọi n mà không thử trực tiếp được ta tiến hành như sau:
- B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
-B2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ
n = k ≥1 ( gọi là giả thiết qui nạp).
- B3: Ta cần chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1
*
n
Trang 4II VÍ DỤ ÁP DỤNG:
1 Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với
1
2
n n
*
n
Giải:
Đặt S n = 1+2+3+…+n B1: n=1 VT= 1, VP = 1 Khi đó mệnh đề (1) đúng
B2: Giả sử mệnh đề (1) đúng với n= k ≥ 1 , nghĩa là:
1
1 2 3
2
k
k k
S k
B3: Ta cần chứng minh mệnh đề (1) đúng với n= k+1, tức là chứng minh :
1
1 2 1
2
k
S k k
Thật vậy: S k+1 = S k + (k+1)
1
1 2
k k
k
1 2
2
k k
Vậy (1) đúng với mọi n *
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên đúng mà không thử
trực tiếp được ta tiến hành như sau:
- B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
- B2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ
n = k ≥1 ( gọi là giả thiết qui nạp).
- B3: Ta cần chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
*
n
Trang 5PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên đúng với mọi n mà không thử
trực tiếp được ta tiến hành như sau:
- B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
- B2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ
n = k ≥1 ( gọi là giả thiết qui nạp).
- B3: Ta cần chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
II VÍ DỤ ÁP DỤNG:
2 Ví dụ 2:
Chứng minh với thì
chia hết cho 3.
*
n N
3
n n
Giải:
Đặt A n = n3 n
B1: Với n = 1, ta có A 1 = 0 3
B2:Giả sử với n = k ≥ 1 ta có : A k = (k 3 – k) 3 (GT quy nạp)
B3: Ta cần chứng minh A k+1 3 Thật vậy, ta có :
A k+1 = (k+1) 3 – (k+1)
3
A k 3k2 k
Theo giả thiết quy nạp ta có A k 3
Mặt khác:3( k 2 + k) 3
Do đó: A k+1 3
Vậy thì chia hết cho 3.n N * n3 n
Trang 6Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự
nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên) thì:
Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
nhiên bất kì n = k ≥ p
Trang 7n 3n ? 8n 1
2 3 4 5
a) So sánh 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5
b) Dự đoán kết quả tổng quát ?
b) Kết quả: 3n > 8n với mọi n 3
Trang 8Hướng dẫn:
Đặt P(n): “ 3n > 8n” với mọi n 3
B1: Với n = 3 thì 33 > 8.3 nên P(1) đúng
B2: Giả sử mệnh đề đúng với n k 3
Nghĩa là: 3k > 8k (giả thiết quy nạp) B3:Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1
Tức là chứng minh 3k+1 > 8(k+1)
0 0
k
Vậy: 3n > 8n với mọi n 3