CHƯƠNG IIIVÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1.. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN... Vectơ trong không gian... II/Điều kiện đồng phẳng của 3 vec tơ: 1/Định nghĩa: -3 vec
Trang 1CHƯƠNG III
VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Trang 2Chương III
Véctơ trong không gian quan hệ vuông góc trong không gian
I/§Þnh nghÜa vµ c¸c phÐp to¸n vỊ vec t¬ trong kh«ng gian:
kh«ng cïng n»m trong mét mỈt ph¼ng
B
A
D C
, ,
(Tương tự như trong mặt phẳng)
HĐ1: a/Cho tứ diện ABCD kể tên các vectơ có điểm
đầu là A, điểm cuối là các đỉnh còn lại của tứ diện
b/Chứng minh: AC + BD = AD + BC
AD + DC
= AD + BC (vì DC + CD = 0 )
Bài 1 Vectơ trong không gian
Trang 3c/Gọi M, N là trung điểm AD, BC
A
B
C
D
. M
.
N
Chứng minh MN = 1/2(AB + DC)
Ta có: MN = MA + AB + BN
MN = MD + DC + CN
2MN = MA + MD + AB + DC + BN + CN 2MN = AB + DC
G
d/Gọi G là trọng tâm tam giác BCD
Chứng minh: AB + AC + AD = 3AG
(SGK/87)
Trang 4HĐ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
a) Kể tên các vectơ bằng với vectơ AB
C
D'
D
C'
A'
A
B'
B
AB = A’B’ = DC = D’C’
b) C/m đẳng thức: AB + AD + AA’= AC’ (1)
Ta có AB + AD + AA’ =
AC + AA’ = AC’
Ta gọi đẳng thức (1) và các đẳng thức tương tự với (1) là qui
tắc hình hộp
Tương tự, ta cũng chứng minh được: DA + DC + DD’ = DB’ ,
Trang 5II/Điều kiện đồng phẳng của 3 vec tơ:
1/Định nghĩa:
-3 vectơ được gọi là đồng phẳng nếu cỏc giỏ của chỳng cựng song song với 1 mặt phẳng
-Cho 3 vectơ a, b, c
+Nếu a, b, c cựng thuộc mp(P)
+Nếu 1 trong 3 vectơ thuộc mp (P), 2 vectơ cũn lại song song với mp(P)
(hoặc 2 vectơ thuộc mp(P), vectơ cũn lại song song với mp(P)) thỡ 3 vectơ đú đồng phẳng
thỡ 3 vectơ đú đồng phẳng
Trang 6Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm AB, CD
Chứng minh 3 vectơ BC, AD, MN đồng phẳng
N
M
D
C B
A
P
Q
HD: Gọi P, Q là trung điểm của AC, BD
Yêu cầu:
-Chứng minh MPNQ là hình bình
hành, suy ra MN thuộc mp(MPNQ)
-Chứng minh BC và AD song
song với mp(MPNQ)
Trang 72/Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng:
a/Định lý 1:
a , b , c đồng phẳng có cặp số m, n sao cho c = ma + nb
(trong đó a và b không cùng phương; m, n duy nhất)
M
D B
A
Ta có: MN = 1/2(BC + AD)
MN = 1/2BC + 1/2AD
CD Chứng minh 3 vectơ BC, AD, MN đồng phẳng
BC, AD, MN đồng phẳng
Ghi chú: Nếu có c = ma + nb thì ta nói vectơ c biểu thị được
qua hai vectơ a và b
Trang 8(Nghĩa là luôn tồn tại duy nhất 1 bộ 3 số thực m, n, p sao cho
x = ma + nb + pc )
b/ Định lý 2 (biểu thị 1 vectơ qua 3 vectơ không đồng phẳng):
Nếu a , b , c không đồng phẳng thì với mọi vectơ x ta luôn biểu thị được vectơ x qua 3 vectơ a , b , c
Ví dụ: Cho AB = a , AD = b , AE = c Gọi I là trung điểm BG Hãy biểu thị AI qua a , b, c
A
D
E
F
G H
.
I
AI = 1/2(AB + AG)
(Tức là phải tìm một bộ 3 số thực
m, n, p để AI = ma + nb + pc )
Mà AG = AB + AD + AE
AG = a + b + c
AI = 1/2( a + a + b + c )
AI = a + 1/2b + 1/2c
Ta có AB + AG = 2AI
Trang 9Các kiến thức cần nắm:
1) Vectơ trong không gian có các quan hệ và
phép toán như trong mặt phẳng
2) Ba vectơ đồng phẳng là 3 vectơ có giá cùng
song song với một mặt phẳng; điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng.
3) Nắm đựoc quy tắc hình hộp,
Bài tập: 2, 3, 4 SGK trang 91