Bài giảng Hình học 11 chương 3 bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Kiểm tra kiến thức cũ:2Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G.. Một em hãy nhắc lại cách xác định Góc giữa 2 véc tơ và Công thức: tích vô hướng của 2 véc tơ... Ôn tập kiến thức: Tích v

Kiểm tra kiến thức cũ:

1) Tìm mệnh đề SAI trong các mệnh đề sau:

a)Vì nên N là trung điểm của đoạn MP

1

0 (0 0 )

2

uur uuur uur

0

AB BC CD DA + + + =

uuur uuur uuur uuur r, ,

AB AC AD

uuur uuuuruuuruuurAB = 2uuurAC − 8uuurAD

0

NM NPuuuur uuur r+ =

b)Vì I là trung điểm của đoạn AB,nên từ điểm 0 bất kì ta có:

c)Từ hệ thức ta suy ra 3 véc tơ

sau đồng phẳng

d) Vì nên 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một mặt phẳng

d)

Kiểm tra kiến thức cũ:

2)Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G Tính tích

vô hướng của 2 véc tơ sau: ; ;

c)

.

AB AC

uuur uuur

.

AC CB

uuur uuur

.

GA BC

uuur uuur

G

A

Lời giải:

b)

OS( , )

= uuur uuur uuur uuur

OS( , )

= uuur uuur uuur uuur

0

os90

3 2

a

ac

=

0

os120

aac

=

0

os60

aac

=

OS( , )

= uuur uuur uuur uuur

a)uuur uuur AB AC

.

AC CB

uuur uuur

.

GA BC

uuur uuur

2

1

2 a

=

2

1

2 a

= −

0

=

Để giải bài toán trên

Một em hãy nhắc lại cách xác định

Góc giữa 2 véc tơ và Công thức: tích vô hướng của 2 véc tơ

Ôn tập kiến thức: Tích vô hướng của 2 véc tơ

1 Góc giữa 2 véc tơ:

0

A

B

ab r r =

* a b r ⊥ ⇔ r ab r r = 0

0 hay 0

a r r = b r r =

2 2

* a uur r r r = aa a =

br

ar

( , ) a b r r = ∠ A B 0 (0 ≤ ( , ) 180 ) a b r r ≤

2 Tích vô hướng của 2 véc tơ:

os( , ) ( , 0)

ab a b c a b r r = r r r r a b r r ≠ r

3.Tính chất: 1)

a b ba

=

r r r r

* Cho hình lập phương (hình bên) B C

C'

D'

B'

A'

Cặp đường thẳng

nào không

vuông góc với

nhau?

a) AC & BD

b) AB & B’C’

c) AC & B’C’ .

d) AC’ & BD

Đó chính là nội dung bài

học hôm nay.

Cơ sở nào biết được?

§2.Hai đường thẳng vuông góc

uv u v c u v r r = r r r r

1 Góc giữa hai véc tơ trong không gian:

2 Tích vô hướng của hai

véc tơ trong không gian:

I.TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

0

B

v

r

ur

(0 ( , ) 180 )

u v

= ∠

r r

uv r r =

( u r r r r ≠ 0, v ≠ 0) Thì ta quy ước

0 hay 0

u r r = v r r =

Nếu:

B

D A

C

Ví dụ1:Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm AB

Hãy tính góc giữa các cặp véc tơ sau:

) &

a ABuuur uuurBC

) &

b CHuuur uuurAC

0

( uuur uuur AB BC , ) 120 =

Lời giải:

Với tứ diện đều, ta có:

0

( CH AC uuur uuur , ) 150 =

b)

a)

B’

A’

Ví dụ2:Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi

một vuông góc và OA = OB = OC = 1 Gọi M là trung

điểm của cạnh AB Tính góc giữa 2 véc tơ

0 (OM BCuuuur uuur, ) 120=

.

.

osOM BC OM BC

OM BC

uuuur uuur uuuur uuur

uuuur uuur

2 2 2

OM BC

=

uuuur uuur

M

C

A

Lời giải: Ta có:

Mặt :

&

OM BCuuuur uuur

1 OS( , )

2

C OM BCuuuur uuur = −

2

0 & 1

OA OC OA OB OB OCuuur uuur uuur uuur uuur uuur= = = OBuuur =

2

1

2 OA OC OA OB OB OC OB

= uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur− + −

(OM BCuuuur uuur ) 1( ).( )

2 OA OB OC OB

= uuur uuur uuur uuur+ −

≠

Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và OB = 1 nên:

Ví dụ 3:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

a)Hãy phân tích véc tơ theo 3 véc tơ:

b)Tính: & từ đó suy ra

'&

AC BD

uuuur uuur

, , '

AB AD AA

uuur uuur uuur OS( ', )

C uuuur uuurAC BD uuuur uuurAC' ⊥ BD

C'

D'

B'

A'

Ta có:

Lời giải:

AC = AB AD AA+ +

uuuur uuur uuur uuur

AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB

= uuur uuur uuur + uuur − uuur uuur uuur uuur uuur uuur+ −

AC BD = AB AD AA AD AB+ + −

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

2 2

' = ' =0 & = =1

AA AD AA AB AB AD

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

OS( ', )

3 2 '

AC BD AC BD

C AC BD

a a

AC BD

uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur

uuuur uuur

à

v BD AD ABuuur uuur uuur= −

OS( ', ) 0

C uuuur uuurAC BD = ⇒

a)

b)

Mặt khác:

0

(uuuur uuurAC BD', ) 90= ⇒ uuuur uuurAC' ⊥ BD

Mà:

Ta có:

Vậy

0r

br

d

Véc tơ nào là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) ?

a r

cr

II.VÉC TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

*ĐN: ,được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) nếu giá của véc tơ song song hoặc trùng với

đường thẳng (d).

a r

0

a r r ≠

Vậy góc giữa

2 đường thẳng trong không gian được xác định như thế

nào?

0

b’

a’

b a

III.Góc giữa hai đường thẳng

ĐN: Góc giữa 2 đường thẳng a & b trong k0 gian

là góc giữa 2 đường thẳng a’ & b’ cùng đi qua 1

điểm và lần lượt song song với a & b.

Chú ý: Nếu , là các véc tơ chỉ phương

của các đường thẳng a, b

u r v r

( , ) khi 0 ( , ) 90

180 ( , ); khi 90 ( , ) 180

a b

= 



Thì:

Ví dụ 4:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) AB và B’C’ ; b) AC và B’C’ ; c) A’C’ và B’C

C'

D'

B'

A'

Lời giải:

a) Góc giữa 2 đường thẳng:

AB và B’C’ là: 900

b) Góc giữa 2 đường thẳng:

AC và B’C’ là: 450

c) Góc giữa 2 đường thẳng:

A’C’ và B’C là: 600

Ví dụ5:Cho h.chóp S.ABC có SA =SB =SC =AB =AC =a

& BC = .Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và SC

2

a

AC AB =

uuur uuur

C

S

0 (S , uur uuur A AB ) 120 =

2

a

2 ( 2) 2

BC = a = +a a2 2 = AC2 + AB2

( , )

.

os SC AB SC AB

SC AB

uur uuur uur uuur

uur uuur

2

2

1 2

( , )

2

os

a

SC AB

a

c uur uuur = − = − ( , SC AB uur uuur ) 120 = 0

2

( , )

os SC AB SA AB AC AB

a

uur uuur uuur uuur uur uuur

( ).

.

SA AC AB

aa

+

=

uur uuur uuur

Lời giải:

Ta có:

Vì:

*Nên

Tam giác SAB đều nên

*và do đó

2 0

S os120

2

a

uur uuur

Ta suy ra góc giữa 2 đường thẳng AB & SC =1800 -1200 =600

*

Nếu góc giữa 2 đường thẳng bằng 900

thì 2 đường thẳng đó

như thế nào?

IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1.ĐN: a b ⊥ ⇔ ( , ) 90 a b = 0

2 Nhận xét: * Nếu lần lượt là véc tơ chỉ phương

của 2 đường thẳng a, b thì: u v r r ,

0

a b⊥ ⇔ uvr r =

* a // b , nếu c a thì c b.⊥ ⊥

* a b ⊥ ⇒ Có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có AB AC và AB BD

Gọi P và Q lần lượt là trung điểm AB và CD

CMR: AB và PQ là 2 đường thẳng vuông góc với nhau

⊥

⊥

à:

v PQ PB BD DQuuur uuur uuur uuur= + +

AC AB BD AB

= uuur uuur uuur uuur+

PQ PA AC CQ= + +

uuur uuur uuur uuur

2PQ AC BD

⇒ uuur uuur uuur= +

2PQ ABuuur uuur = (uuur uuur uuurAC BD AB+ ).

: 0

hay PQ AB uuur uuur =

Lời giải: Ta có:

Tức là: AB PQ

Vậy:

P

D

A

Muốn CM 2 đường thẳng vuông góc ta làm ntn ?

Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hãy nêu

các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương

đã cho và vuông góc với:

a)Đường thẳng AB

b) Đường thẳng AC

B'

C'

Lời giải:

a) Các đường thẳng đi qua 2

đình hlp và vuông với AB là:

BC, AD, B’C’, A’D’, AA’,BB’

CC’, DD’, AD’,A’D, BC’, B’C

b) Các đường thẳng đi qua 2

đình hlp và vuông với AC là:

AA’,BB’ CC’, DD’, BD, B’D’, B’D, BD’

Củng cố:

1) Cách xác định & tính góc giữa 2 véc tơ và góc giữa 2

đường thẳng trong không gian

2) Biết dùng tích vô hướng để giải toán:

* uv u v c u v r r = r r os( , ) r r

( , ) khi 0 ( , ) 90

180 ( , ); khi 90 ( , ) 180

a b

= 



* u v r ⊥ ⇔ r uv r r = 0

.

* os( , )

.

uv

c u v

u v

=

r r

r r

r r

3) Góc giữa 2 đường thẳng (a, b) = (a’, b’)

Bài tập về nhà: 1, 2,3,4,5,6,7,8,trang 97 SGK

4) a b ⊥ ⇔ ( , ) 90 a b = 0 hay a b ⊥ ⇔ uv r r = 0