Bài giảng Hình học 11 chương 3 bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Góc giữa hai đường thẳng: O α Định nghĩa 1: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a´ và b´ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b... Ví dụ

TaiLieu.VN

Bài cũ:1.Định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ 2.Định lí Cô sin trong tam giác ABC

Trả lời: 1 a b = a b .Cos( a , b )

2 BC2= AB2 + AC2 − 2 AB AC CosA

Trong mặt phẳng, góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b được xác định như thế nào ?

O a

b

α

1 Góc giữa hai đường thẳng:

O

α

Định nghĩa 1:

Góc giữa hai đường thẳng a

và b là góc giữa hai đường

thẳng a´ và b´ cùng đi qua

một điểm và lần lượt song

song (hoặc trùng) với a và b

Nhận xét:

Có thể lấy điểm O nằm trên a hoặc b không?

O nằm trên a hoặc b

0 90

≤

≤ α

o

O

ϕ

Có nhận xét gì về góc giữa hai đường thẳng?

1

Gọi lần lượt là véctơ chỉ phương của a, b Gọi

là góc giữa Có nhận xét gì về số đo ?

2

1,u

u  

2

1,u

c.Gọi là véctơ chỉ phương của a, b Gọi là góc giữa thì

ϕ

2

1,u

u  

2

1,u

u  

=

α 180 ϕ 0Nếu − ϕ ϕ Nếu ≤ 90 ϕ0  900

Có thể tính cos theo cos không? α ϕ

COS = COSα ϕ

Phiếu trắc nghiệm số 1 Cho hình lập phương

1 Góc giữa hai đường thẳng AD và là:

A B C D

2 Góc giữa hai đường thẳng và là:

A B C D.

D C B A ABCD ′ ′ ′ ′

B

A ′ ′

0

30

0

0

60

0

90

0

90

0

45

0 45

B

A ′ A ′ C ′

A

C B

D

A ′

Ví dụ 1:

S

C

Tính góc giữa SC và AB bằng

định nghiã tích vô hướng

PP1:

PP2:Dùng định lý Côsin

trong tam giác MNP

Cách 1:

Cos(SC,AB)= SC.AB

SC AB

=(SC+AC).AB

a2

= SA AB + AC AB 2

0 2

2

+

− a

2

1

−

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và

AB bằng 600

P

Cách 2:

Suy ra (SC, AB )=1200

Cho hình chóp S.ABC có

SA=SB=SC=AB=AC=a và

BC=a Tính góc giữa hai

đường thẳng SC và AB.

2

4

3 2

2

; 4

5

; 4

3

; 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

a NP

SB NP

SP BP

a BP

a SP

a MP

MN

=

⇒ +

= +

=

=

=

=

0 2

2 2

2

120 2

1 2

2

2 4

;

.

2

=

⇒

−

=

−

=

⇒

− +

=

NMP a

a

a CosNMP

CosNMP NP

MN MP

NM NP

Vậy góc giữa hai đường thẳng SCvà AB là 600

2.Hai đường thẳng vuông góc:

Định nghĩa 2:

a

a'

b

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc

với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90

Nếu u, v lần lượt là véc tơ chỉ phương của

hai đường thẳng a và b thì

a b u v = 0 u

v

Nhận xét: a b

b c a c

Nêu phương pháp chứng minh a b ?

Phương pháp chứng minh a b:

1.Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 90

2.Xác định VTCP của hai đường thẳng Chứng minh tích vô hướng của chúng bằng 0

3.Chứng minh đường thẳng a c mà c b

Trắc nghiệm khách quan

Điền đúng sai vào các mệnh đề sau:

A Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ

ba thì song song với nhau.

B.Hai đường thẳng vuông góc có duy nhất một điểm chung.

C.Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường

thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

D.Hai đường thẳng cùng vuông với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

S S

S

Đ

Chú ý:Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau gọi là hình hộp thoi

Cho hình hộp thoi Hãy giải thích tại sao ?

AB CD.A′B′C′D′ AC ⊥ B ′ D ′ B A D C A ′ B ′ C ′ D ′ Cho hình hộp thoi

có tất cả các cạnh đều bằng a và

ABC =B BA =B BC =

Tính diện tích tứ giác .

D C B A ABCD ′ ′ ′ ′

CD B

A′ ′

0

60

Ví dụ 2:

Giải:

CD B

A′ ′

Tứ giác là hình thoi

CD B

= CB BA + B B ′ BA =

2 2

2

a

+

Vậy tứ giác là hình vuông.A ′ B ′ CD

Nên có diện tích là: S a2

=

Ví dụ 3:

Cho hình lập phương ABCD, trong đó AB AC, AB BD.Gọi P

và Q là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và CD sao cho PA=k PB, QC=k QD (k 1).Chứng minh rằng AB và PQ

vuông góc với nhau.

Giải

Q

P A

D

PQ=PA + AC + CQ

=kPB +AC +kDQ

PQ = PB + BD +DQ

kPQ = kPB + kBD +kDQ

(1)

(2)

Lấy (1)-(2) ta có: (1-k)PQ=AC - kBD

(1-k)PQ AB =(AC –kBD).AB =AC AB – kBD AB =0

PQ AB =0

Vậy AB PQ

Ví dụ 4:

4

6

a

PN =

2

a

PQ =

Giải: a,

BA.CE=BA.(BE- BC)

=BA.BE.cos60 – BA.BC.cos60 =0

AB CE

b , MNPQ là hình bình hành.

A

C

B E

M

Q

N

P

=BA.BE – BA.BC

CE AB

PN CE PN MN

MN AB MNPQ là hình chữ nhật.

c,

Hai tam giác đều ABC và

ABE trong không gian có

chung cạnh AB và nằm

trong hai mặt phẳng khác

nhau.Gọi M,N,P,Q lần lượt

là trung điểm của các cạnh

AC,CB,BE,EA.

a, Chứng minh AB CE.

b, Chứng minh tứ giác

MNPQ là hình chữ nhật.

C, Tính diện tích hình chữ

nhật MNPQ biết CE=

6

a

8

6

2

a PN

PQ

;

Tóm tắt nội dung chính đã học

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a´ và b´ cùng đi

qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.

1 Góc giữa hai đường thẳng:

PP tính góc giữa hai đường thẳng:

Tính góc giữa hai véctơ chỉ phương hoặc góc giữa hai véctơ pháp tuyến bằng cách vận dụng định nghĩa tích vô hướng

PP1:

PP2: Vận dụng định lý côsin trong tam giác

2.Hai đường thẳng vuông góc:

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa

chúng bằng 90

Phương pháp chứng minh a b:

1.Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 90

2.Xác định VTCP của hai đường thẳng Chứng minh tích vô hướng của chúng bằng 0

3.Chứng minh đường thẳng a c mà c b

TaiLieu.VN