Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn góp phần nâng cao chất lượng môn toán 9 ở trường THCS thiệu ngọc, huyện thiệu hoá

Chính vì thế trong quá trình công tác và giảng dạy tôi đã giành thờigian tìm hiểu và nghiên cứu: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một sốdạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩ

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng

để giải quyết vấn đề

4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

1 / Mở đầu:

1.1 Lí do chọn đề tài:

Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học Đối với họcsinh, có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học.Giải Toán là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trongviệc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩnăng, kĩ xảo ứng dụng Toán vào thực tiễn Đồng thời hình thành ở người họccác phẩm chất của người lao động như: Cẩn thận, chính xác, sáng tạo, độc lập,kiên trì [6] Chính vì vậy, tổ chức một cách có hiệu quả việc hướng dẫn họcsinh làm bài tập Toán có một vai trò quyết định đối với chất lượng dạy họcToán

Trong các loại phương trình ở cấp THCS thì phương trình bậc hai một ẩngiữ một vai trò quan trọng Các kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn mangtính hệ thống, bao quát các khái niệm, các phép toán về các tập hợp số, về cácbiểu thức đại số Các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn mở rộng, khắcsâu, hoàn thiện các dạng toán đã học ở chương trình số học và đại số Đồng thờiphương trình bậc hai một ẩn là đơn vị kiến thức sau cùng và hầu như kết thúcchương trình đại số cấp THCS Vì vậy thông qua việc nắm bắt các kiến thức vềphương trình bậc hai một ẩn có thể đánh giá được khả năng và trình độ học bộmôn số học và đại số của học sinh Chính vì thế mà phương trình bậc hai một

ẩn luôn được dùng để kiểm tra đánh giá chất lượng học sinh cấp THCS thôngqua các kỳ thi học sinh giỏi, thi học kì và thi tuyển vào THPT

Thực tế, kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn trong sách giáo khoakhông nhiều ngoài công thức nghiệm và định lý Vi-ét Tuy nhiên, các dạng bàitập thì lại rất phong phú và đa dạng yêu cầu học sinh phải biết phân biệt cácdạng bài tập, biết cách giải từng dạng bài tập cụ thể Song thực tế ở trườngTHCS Thiệu Ngọc những năm trước đây, các em học sinh lớp 9 rất lúng túngkhi làm các dạng bài tập về phương trình bậc hai một ẩn Hầu hết các em chưaphân biệt được các dạng bài tập và chưa tìm được cách giải cho từng dạng màchỉ mới đơn thuần làm dạng toán giải phương trình bằng cách áp dụng công thứcnghiệm Thậm chí các em còn rất máy móc khi sử dụng công thức nghiệm đốivới những phương trình chỉ cần áp dụng hệ quả của định lý Vi-ét hoặc cả vớinhững phương trình bậc hai khuyết Chính vì thế, kết quả học tập của các em

về bộ môn toán không cao dẫn tới tỉ lệ tốt nghiệp THCS, tỉ lệ thi vào THPT củanhà trường còn thấp

Bên cạnh đó, trong văn kiện đại hội Đảng lần thứ XII khẳng định: Đổimới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển nguồn nhân lực, không chỉ

là quốc sách hàng đầu, là “chìa khoá” mở ra con đường đưa đất nước tiến lênphía trước, mà còn là “mệnh lệnh” của cuộc sống là tiêu điểm của sự phát triển,mang tính đột phá, khai mở con đường phát triển nguồn nhân lực Việt Namtrong thế kỷ XXI, khẳng định triết lí nhân sinh mới của nền giáo dục nước nhà

“dạy người, dạy chữ, dạy nghề”.[5]

Đứng trước mục tiêu giáo dục xã hội và sự thay đổi lớn của ngành, bảnthân tôi luôn suy nghĩ và trăn trở về chất lượng giảng dạy và học tập trong nhàtrường nhất là tỷ lệ học sinh tốt nghiệp THCS và tỷ lệ học sinh vào THPT củanhà trường Chính vì thế trong quá trình công tác và giảng dạy tôi đã giành thờigian tìm hiểu và nghiên cứu: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một sốdạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn góp phần nâng cao chất lượngmôn Toán 9 ở trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hoá”.

1.2 Mục đích nghiên cứu :

Trên cơ sở nghiên cứu đề tài: “ Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một

số dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn góp phần nâng cao chấtlượng môn Toán 9 ở trường THCS Thiệu Ngọc, Huyện Thiệu Hoá”, cùng quátrình ôn luyện cho học sinh tôi mong muốn giúp học sinh tìm được cách giải chotừng dạng bài tập về phương trình bậc hai một ẩn một cách tốt nhất Đặc biệt,các em hiểu được cơ sở lý luận của từng cách giải và nắm được những kiến thứcliên quan đến từng dạng toán Từ đó, giúp các em đạt kết quả cao trong kiểm trahọc kỳ, thi vào THPT và nâng cao hơn nữa chất lượng dạy học Toán trong nhàtrường

1.3.Đối tượng nghiên cứu :

Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải một số dạng toán cơ bản về phương trìnhbậc hai một ẩn

1.4 Các phương pháp nghiên cứu:

- Xây dựng cơ sở lí thuyết

- Điều tra, khảo sát thông qua thực tế: Thông qua quá trình công tác và giảngdạy để nghiên cứu; Thông qua quá trình ôn tập cho học sinh lớp 9 nhất là quaviệc ôn thi học kì và ôn thi vào THPT

- Thông qua việc nghiên cứu tài liệu giảng dạy, tài liệu tham khảo

- Thông qua học hỏi đồng nghiệp, thu thập thông tin qua tạp chí giáo dục, quamạng Internet

- Bằng cách khảo sát chất lượng học sinh, nắm bắt, xử lý thông tin, số liệu

2/ Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:

2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

“Giải toán là bộ phận không thể tách rời của quá trình tri thức, nó đảmbảo cho học sinh không những hiểu biết lí thuyết Toán một cách vững chắc màcòn biết vận dụng các tri thức Toán học vào thực hành Chỉ có trong quá trình ápdụng lí thuyết tổng quát và trừu tượng vào những ví dụ cụ thể và những bài toánnhiều loại mới có thể hiểu biết lí thuyết một cách đầy đủ” [3] Chính vì vậy,hướng dẫn học sinh giải các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn có vai tròhết sức quan trọng Thực tiễn dạy học về phương trình bậc hai một ẩn cho thấy,mỗi bài tập toán đều có chức năng và dụng ý khác nhau Để nắm bắt được điều

đó giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được các khái niệm về tập hợp số vàcác biểu thức đại số, các phép toán và tính chất của các phép toán đã học để xâydựng công thức nghiệm, đây là một công cụ cơ bản để giải phương trình bậc haimột ẩn Việc thiết lập định lý Vi- ét kết hợp với công thức nghiệm và một số

dạng toán đã học ở lớp dưới sẽ giúp học sinh giải một số dạng toán khác vềphương trình bậc hai một ẩn Thực tế nghiên cứu và giảng dạy cho thấy, cácdạng toán ở phương trình bậc hai một ẩn là một cách tổng quát và hoàn thiện cácdạng toán đã học ở lớp 6, lớp 7, lớp 8 và phần đầu của chương trình đại số lớp 9.

Về lý thuyết của phương trình bậc hai một ẩn rất ít, chỉ có công thức nghiệm vàđịnh lý Vi- ét nhưng lại đòi hỏi nhiều việc khai thác kiến thức mới và vận dụngkiến thức cũ Đặc biệt chỉ khai thác định lý Vi- ét và áp dụng các dạng toán đãhọc giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải được rất nhiều dạng toán vềphương trình bậc hai một ẩn Từ đó để học sinh tìm được hướng giải quyết bàitoán một cách tốt nhất, góp phần phát triển ở học sinh năng lực tư duy, rèn luyệnnhững thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học vàphẩm chất đạo đức của người lao động mới Đồng thời góp phần kiểm tra quátrình dạy - học của giáo viên - học sinh từ đó kịp thời hoàn chỉnh, bổ sung đểviệc dạy học có hiệu quả

G.polya từng nói : “Tìm được cách giải cho một bài toán là một phátminh” [3] Vì vậy, để hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán cơ bản vềphương trình bậc hai một ẩn giáo viên cần giúp học sinh nắm chắc các kiếnthức cơ bản Đặc biệt, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toánbằng cách nắm vững quy trình của một bài làm :

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

Bước 3: Trình bày lời giải

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải [3]

Qua đó hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng giải toán cũng nhưkhả năng tư duy phẩm chất trí tuệ

Như vậy, muốn giải các dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩnhọc sinh phải nắm vững các kiến thức và các dạng toán đã học ở các lớp dướicũng như của lớp 9 Đặc biệt nắm vững công thức nghiệm, định lý Vi- ét, hệ quảcủa định lý và biết cách khai thác tốt định lý Học sinh phải nhận dạng nhanhcác dạng toán để tìm phương pháp giải cho từng dạng một cách linh hoạt, sángtạo Chính vì thế mà phương trình bậc hai một ẩn giữ một vai trò quan trọngtrong chương trình đại số nói riêng và chương toán nói chung ở cấp THCS đồngthời phương trình bậc hai một ẩn luôn được dùng để kiểm tra, đánh giá chấtlượng học sinh cấp THCS

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Qua tìm hiểu, khảo sát thực tế học sinh khối 9 trường THCS Thiệu Ngọccho thấy, học sinh rất lúng túng khi giải các dạng toán về phương trình bậc haimột ẩn Các em hầu như chưa biết phân loại các dạng toán cũng như chưa biếtcách giải của từng dạng toán Hầu hết các em mới chỉ đơn thuần giải được dạngtoán giải phương trình bằng cách áp dụng công thức nghiệm Nhiều em rất máymóc khi sử dụng công thức nghiệm, có những phương trình không cần sử dụngcông thức nghiệm nhưng các em vẫn áp dụng công thức nghiệm Đa số các emchưa giải được các dạng toán yêu cầu phải sử dụng và khai thác định lý Vi- ét

Đặc biệt các em chưa biết vận dụng các dạng toán đã học vào giải các dạng toán

về phương trình bậc hai một ẩn Do đó kết quả làm bài kiểm tra và bài thi củacác em chưa cao đặc biệt là kết quả thi học kì, thi tuyển vào THPT

Nguyên nhân dẫn đến thực trạng trên là do các em chưa nắm vững côngthức nghiệm và chưa biết vận dụng công thức nghiệm một cách hợp lý Chưabiết sử dụng và chưa biết cách khai thác định lý Vi- ét Các em không nhớ cáckiến thức và các dạng toán đã học do đó không biết vận dụng các dạng toán đóvào giải các dạng toán ở phương trình bậc hai một ẩn Trong khi đó bản thângiáo viên lại chủ quan khi dạy phần kiến thức này Có thể giáo viên cho rằngchỉ cần truyền đạt cho học sinh nắm được công thức nghiệm và định lý Vi- ét là

đã đủ mà không nghĩ đến việc hướng dẫn học sinh ôn luyện kiến thức cũ cũngnhư hướng dẫn học sinh khai thác định lý Vi- ét để giải các dạng toán cơ bản

về phương trình bậc hai một ẩn Bên cạnh đó, các tổ nhóm chuyên môn cũngchưa xác định được tầm quan trọng của các dạng toán về phương trình bậc haimột ẩn do đó chưa chú trọng chỉ đạo để cho giáo viên có phương hướng và giảipháp tích cực cho dạy phần này Chính vì thế mà hiệu quả giảng dạy trongchương phương trình bậc hai một ẩn của nhà trường trong những năm qua chưacao Điều đó dẫn đến chất lượng của giờ dạy cũng như kết quả đạt được của họcsinh là chưa đạt yêu cầu đề ra, nhất là tỉ lệ học sinh khá, giỏi Cụ thể, kết quảkhảo sát chất lượng học sinh lớp 9 môn Toán trước khi áp dụng đề tài như sau:

Năm học Số

họcsinh

2.3.1 Yêu cầu học sinh biết cách tổ chức học tập nội dung bài học:

Để giúp học sinh biết cách tổ chức học tập nội dung bài học một cách hiệuquả có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xây dựng mục tiêu học tập: Cần giúp mỗi học sinh cách xây dựng kếhoạch học tập, bởi ban đầu học sinh chưa biết cách thiết lập mục tiêu cho mình.Tôi đã hướng dẫn và chỉ đạo thực hiện theo các mục tiêu sau:

Về kiến thức: Học sinh nhớ biệt thức  b2  4ac ( '  b' 2  ac)và nhớ kĩ cácđiều kiện của  ( ') để phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm, có nghiệm kép,

có hai nghiệm phân biệt Biết vận dụng hệ quả của định lý Vi –ét vào giảiphương trình bậc hai không có tham số và có tham số

Về kĩ năng: Học sinh nhớ và vận dụng được công thức nghiệm tổng quát, côngthức nghiệm thu gọn vào giải phương trình một cách linh hoạt Học sinh thấyđược lợi ích của việc sử dụng công thức nghiệm thu gọn, việc sử dụng định lý

Vi - ét vào giải toán

Bước 2: Thực hiện mục tiêu: Là khâu quan trọng nhất, quyết định sự thành bạiviệc học của mỗi học sinh Do đó, tôi đã đặt trọng tâm vào khâu này để hướngdẫn, giúp đỡ, kiểm tra việc thực hiện của học sinh

Việc thực hiện tốt mục tiêu học tập sẽ tạo ra được phẩm chất, năng lực ngườibiết học, biết tự học

Trong khi thực hiện mục tiêu, bản thân tôi đã quán triệt học sinh cần phải: Tậptrung tư tưởng khi học, khi tự học Không thực hiện nhiều nhiệm vụ cùng lúc.Không vừa học vừa xem vô tuyến, không nói chuyện lung tung, Cần tạo hứngthú khi học, khi tự học Tin rằng mình sẽ học được điều mình cần học, hy vọngrằng mình sẽ tìm được điều mới lạ khi học, có thể sẽ được thưởng sau khi đạtkết quả cao Cần sử dụng thời gian một cách tối ưu, có hiệu quả cao nhất Tậptrung giải quyết dứt điểm từng nhiệm vụ, phương châm là đâu gọn đấy, học gìxong nấy, bài hôm nay không để ngày mai Những gì vượt quá khả năng thìđánh dấu lại rồi có thể hỏi cô, nhờ bạn khi có điều kiện Cần quyết tâm vượtkhó, khắc phục khó khăn do điều kiện, hoàn cảnh cá nhân, gia đình

Bước 3: Tự đánh giá việc thực hiện mục tiêu: tức là biết cách kiểm điểm lại xemcác mục tiêu đặt ra có hoàn thành hết không? Mỗi mục tiêu có hoàn thành tốtkhông? Có những tồn tại gì, nguyên nhân, dự kiến cách khắc phục

2.3.2 Yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn

Để làm bất cứ một bài tập gì người học phải nắm vững lý thuyết Khôngnắm được lý thuyết thì khó có thể làm được bài tập hoặc nếu có làm được thìcũng chỉ là làm mò, bài làm không có hiệu quả tốt

Việc vận dụng công thức nghiệm vào giải toán cũng vậy Trước hết giáo viênphải làm cho học sinh phải nắm được các kiển thức về phương trình bậc hai một

ẩn Cụ thể học sinh phải nắm vững được 4 vấn đề :

- Cơ sở lý thuyết của phương trình bậc hai một ẩn

- Công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm thu gọn, định lý Vi –ét và hệquả của định lí Vi –ét

- Sự giống và khác nhau của công thức nghiệm tổng quát và công thức nghiệmthu gọn

- Mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Bởi vì: Khi hiểu được cơ sở lý thuyết của phương trình bậc hai một ẩn thì học sinh sẽ tiếp thu các kiển thức về phương trình bậc hai một ẩn một cách

thoải mái, các em sẽ có niềm tin hơn, hào hứng hơn khi học về phương trình bậchai một ẩn Khi đã nắm được công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm thugọn, sự giống nhau và khác nhau của chúng thì học sinh mới giải được các bàitoán có vận dụng phương trình bậc hai một ẩn một cách hợp lý Mặt khác, khigiải một bài toán về phương trình bậc hai một ẩn, người học không chỉ biết cách

giải mà còn phải tìm ra được nhiều cách giải, đặc biệt là tìm được cách giải haynhất cho mỗi bài toán thì mới mang lại hiệu quả cao trong học tập Mà để tìm rađược các cách giải hay chúng ta phải nắm vững mối quan hệ giữa các nghiệmcủa phương trình bậc hai Những mối quan hệ này giúp chúng ta nắm được cơ

sở lý thuyết của các phương pháp, các cách giải các bài toán liên quan đếnphương trình bậc hai một ẩn

Tóm lại, để học sinh nắm được các kiến thức về phương trình bậc hai và vậndụng các kiến thức vào giải toán việc đầu tiên giáo viên phải giúp học sinh nắmvững các vấn đề trên Có nghĩa là yêu cầu học sinh phải thuộc công thứcnghiệm, Định lý Vi –ét, hệ quả của định lý Vi –ét, nắm được sự giống và khácnhau của các công thức và mối quan hệ của các nghiệm trong phương trình

2.3.3 Xây dựng hệ thống bài tập và phương pháp giải của một số dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ấn.

Trong thực tế giải các bài toán, không phải lúc nào cũng làm theo 4 bướcnhư trên, không phải lúc nào cũng dùng công thức nghiệm để giải phương trìnhbậc hai một ẩn mà chúng ta có thể giải bài toán một cách linh hoạt Việc rènluyện cho học sinh thông qua hệ thống bài tập đã được phân loại sẽ đem lại hiệuquả cao trong dạy học Đồng thời, giúp học sinh có tư duy và vân dụng giải toánmột cách tốt nhất

2.3.3.1 Dạng 1: Giải phương trình :

Đây là dạng toán đơn giản của phương trình bậc hai một ẩn Nhưng nếuchúng ta chủ quan trong giảng dạy thì học sinh rất dễ mắc sai lầm như : sử dụngcông thức nghiệm máy móc hoặc chưa biết sử dụng công thức nghiệm nào chophù hợp Do đó cần hướng dẫn học sinh phân biệt hai trường hợp sau:

2.3.3.1.1.Trường hợp thứ nhất : Đối với phương trình bậc hai khuyết thì không

cần dùng công thức nghiệm mà nên biến đổi đưa phương trình về các dạng đãgặp :

* Nếu khuyết hệ số c ta biến đổi phương trình về dạng phương trình tích đã học

ở lớp 8 cụ thể như sau: ax 2 bx 0  x(ax b) 0  

0

x b x a

Bước 1: Chuyển hạng tử tự do sang vế phải

Bước 2: Chia cả hai vế cho hệ số bậc hai đưa về dạng : x2 = d

+) Nếu d > 0 phương trình có nghiệm x  d

+) Nếu d = 0 phương trình có nghiệm x = 0

+) Nếu d < 0 phương trình vô nghiệm [2]

Ví dụ 1: (Bài 12a, c, d, tr.42 SGK) : Giải các phương trình sau [1]:

a) x2 - 8 = 0 ; c) 0,4x2 + 1 = 0; d) 2x2 + 2x = 0

Ở phương trình a) khuyết b nên ta biến đổi đưa về dạng trình chứa căn bậchai; Phương trình c) do hệ số a và c cùng dấu nên phương trình vô nghiệm;Phương trình d) khuyết c nên ta đưa về dạng phương trình tích rồi giải như sau:

Giải:

a) x2 = 8 x2 = 8  x= 2 2

Vậy phương trình có tập nghiệm S=2 2; 2 2  

c) 0,4x2 +1 = 0 0,4x2 = - 1 (Vô lí vì 0,4x2 0 với mọi x mà -1<0)

Vậy phương trình vô nghiệm

x x

Giáo viên nên lưu ý học sinh nếu hệ số a và hệ số c cùng dấu thì

phương trình đã cho vô nghiệm ( lúc đó biểu thức dưới dấu căn sẽ mang giá trị âm), không cần giải nữa mà có thể kết luận luôn về nghiệm của phương trình

2.3.3.1.2 Trường hợp thứ hai: Đối với phương trình bậc hai có dạng :

2

ax bx c  0 (a 0) phải dùng công thức nghiệm ( bao gồm công thứcnghiệm tổng quát và công thức nghiệm thu gọn ) và hệ quả định lý Vi- ét đểgiải Cần hướng dẫn học sinh xem xét chọn cách giải theo quy trình sau :

* Trước hết xét các hệ số a, b, c trong phương trình:

+ Nếu có dạng a b c   0 thì phương trình có một nghiệm x1 =1; x2 = c

a.+ Nếu a b c   0 thì phương trình có một nghiệm x1= -1; x2= -c

a [1]

* Nếu các hệ số a, b, c không có dạng trên thì chú ý đến hệ số b:

- Nếu hệ số b chẵn thì nên áp dụng công thức nghiệm thu gọn:

Đối với phương trình 2

+ Nếu ∆’ < 0 thì phương trình vô nghiệm [1]

- Nếu hệ số b lẻ thì nên áp dụng công thức nghiệm tổng quát

Đối với phương trìnhax 2 bx c  0 (a 0) và  b2  4ac:

+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

2

b x

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm [1]

Ví dụ 1: (Bài 16c, tr.45 SGK+ Bài 17c, tr.49 SGK ) : Giải các phương trình

sau [1] :

2 2

* Ở phương trình a) vì a = 6; b = 1; c = -5 nên a b c   0 nên áp dụng

hệ quả của định lý Vi-ét ta có thể nhẩm được nghiệm của phương trình Ngoàicách nhẩm nghiệm do hệ số b =1 lẻ nên áp dụng công thức nghiệm tổng quát tacũng có thể tìm nghiệm của phương trình đã cho

* Ở phương trình b) ta cũng có thể làm bằng hai cách như câu a: Vì a = 5;

b = - 6; c = 1 và a b c   0 nên áp dụng hệ quả của định lý Vi-ét ta có thểnhẩm được nghiệm của phương trình đã cho Ngoài ra, vì hệ số b = - 6 là sốchẵn nên áp dụng công thức nghiệm thu gọn ta cũng có thể tìm nghiệm củaphương trình đã cho

Đối với phương trình bậc hai đủ thì lưu ý học sinh : Nếu hệ số a và hệ số

c trái dấu thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Tóm lại : Đối với dạng toán giải phương trình bậc hai ta thấy dù phương trình

bậc hai dạng khuyết hay phương trình bậc hai dạng đầy đủ ta đều giải được bằngcông thức nghiệm tổng quát Do đó, giáo viên cần lưu ý học sinh phải xem xét

đề bài để chọn cách giải ngắn gọn, phù hợp không máy móc dùng công thứcnghiệm Muốn vậy, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh giải phương trình bậchai bằng nhiều cách, để học sinh so sánh được các cách giải, từ đó lựa chọn cáchgiải ngắn gọn hợp lý

2.3.3.2 Dạng 2: Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm, có 2 nghiệm phân biệt.

Đối với dạng toán này giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện theo cácbước sau:

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c ( hoặc a, c, b') (nếu chưa thành thạo)

Bước 2: Tính  hoặc  '

Bước 3 Kiểm tra các điều kiện

+ Nếu <0 ( hoặc  '<0) thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu =0 ( hoặc  '= 0) thì phương trình có nghiệm kép

+ Nếu >0 ( hoặc  '> 0) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

+ Nếu   0 ( hoặc   ' 0) thì phương trình có nghiệm

2.3.2.2.1: Trường hợp biểu thức của  ( hoặc ’) có dạng bậc nhất.

Ví dụ 1: (Bài 24 b, tr.50 SGK): Cho phương trình (ẩn x): x2  2(m 1)x m 2  0

Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt ? có nghiệmkép? vô nghiệm [1]

* Ta có: a 1; 'b  (m 1);c m 2 nên áp dụng công thức nghiệm thu gọn

ta tính được  ' Từ đó ta sẽ xác định được giá trị của m trong trường hợpphương trình có hai nghiệm phân biệt ( '>0); Phương trình có nghiệm kép ( '

=0); Phương trình vô nghiệm ( '<0)

Giáo viên lưu ý học sinh:

- Trường hợp hệ số b lẻ ta áp dụng công thức nghiệm tổng quát và giải tương tựnhư ví dụ 1

- Trong một số bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà hệ số achứa tham số ta phải xét trường hợp a = 0 Sau đó xét trường hợp a 0 và làmnhư các bước ở trên

Ví dụ 2: Cho phương trình(m 1)x2  2(m 2)x m  0 (1)(m là tham số)

a, Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

b, Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt [4]

* Câu a): Phương trình (1) hệ số: a = m-1 có chứa tham số nên để tìm msao cho phương trình có nghiệm ta xét 2 trường hợp : a=0 (tức m-1=0) phươngtrình (1) có dạng bậc nhất và a 0 (tức m-1 0) ta tính được  'rồi tìm điềukiện để phương trình có nghiệm ( ' 0)

*Câu b): Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ta xét điều kiện đểphương trình (1) là phương trình bậc 2 (a 0) và điều kiện để phương trình cóhai nghiệm phân biệt ( '>0)

Giải: a, + TH1: Khi m-1 = 0  m =1 phương trình (1) trở thành:

6x + 1 = 0 1

6

x Vậy với m=1 phương trình (1) có nghiệm 1

6

x

+TH2 : Khi m - 1 0  m 1 Ta có

m thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt [4]

2.3.2.2.2: Trường hợp biểu thức của  ( hoặc ’) là một đa thức bậc hai.

Ví dụ 1 : Cho phương trình x2  (m 1)x  3 0 ( với m là tham số)

Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vônghiệm?

* Phương trình hệ số: a  1;bm 1;c 3 áp dụng công thức nghiệmtổng quát ta tính được = m2 + 2m - 11 là một đa thức bậc hai Để giải quyếtđược yêu cầu của bài toán ta xem m2 + 2m – 11=0 là một phương trình bậc haivới ẩn m, giải phương trình ẩn m được nghiệm m1 = -1+ 12; m2 = -1- 12

Lập bảng xét dấu ta giải quyết được yêu cầu của bài toán

Dựa vào bảng xét dấu ta có :

- Phương trình đã cho có nghiệm kép  m = - 1+ 12 hoặc m = - 1- 12

- Phương trình có hai nghiệm phân biệt  m > -1+ 12 hoặc m < - 1- 12

- Phương trình vô nghiệm  -1- 12<m<-1+ 12

Ví dụ 2 : Cho phương trình x2  2mx 2m 1 0  ( với m là tham số)

Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt? [4]

* Phương trình có hệ số: a 1; 'b m c;  2m 1 áp dụng công thứcnghiệm thu gọn ta tính được ’= m2 - 2m +1 =(m - 1)2 là một luỹ thừa bậc hai

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì  '>0 mà (m - 1)2 0

Do đó, để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì m-10

Giải : Ta có : '

 = (- m )2 - 1.(2m-1) = m2 - 2m + 1 = (m-1)2

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì :

Vậy với m1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt [4]

Như vậy, với công thức nghiệm tổng quát và công thức nghiệm thu gọn ta

có thể giải quyết được bài toán tìm tham số để phương trình bậc hai có nghiệmkép , có hai nghiệm phân biệt, vô nghiệm Khi đó, giáo viên đưa ra dạng toán 3 :

“ Giải và biện luận phương trình dạng ax2+ bx+c=0” như sau :

2.3.3.3 Dạng 3: Giải và biện luận phương trình phương trình dạng

2

ax bx c 0

Đối với dạng toán này giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện theo như sau:

* Với a=0 : phương trình trở thành bậc nhất bx+c=0

+ Nếu b0 thì phương trình có nghiệm x= c

b



+ Nếu b=0 và c0 thì phương trình vô nghiệm

+ nếu b=0 và c=0 thì phương trình có vô số nghiệm

* Với a0 : phương trình trở thành bậc hai có biệt thức Δ = b2 – 4ac

+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1

2

b x



+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm [2]

Ví dụ 1 : Giải và biện luận các phương trình:[2]

a) x2  (1  m x m)   0; b) (m 2)x2  2(m 1)x m  0(1)

* Ở câu a): Phương trình có hệ số: a=10 nên ta chỉ xét trường hợp a0.Tính được ∆=(m+1)2 và xét các trường hợp để phương trình có nghiệm haykhông có nghiệm như các bước nêu ở trên

*Câu b): Ta xét 2 trường hợp : a=0 (tức m-2=0) phương trình (1) có dạngbậc nhất và trường hợp a 0 (tức m-2 0) ta tính được  ' rồi biện luậnnghiệm của phương trình như các bước đã nêu ở trên