Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8

Trong những năm thực tế giảng dạy môn đại số 8 tôi nhận thấy đa số họcsinh khi học xong các bài phân tích đa thức thành nhân tử vào áp dụng giải toáncòn gặp nhiều sai sót, nguyên nhân là

PHÒNG GD&ĐT KRÔNG ANA

TRƯỜNG THCS LÊ VĂN TÁM

TÊN ĐỀ TÀI:

“MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ VIỆC VẬN DỤNG

CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC

THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI TOÁN MÔN ĐẠI SỐ 8”

Bộ môn: TOÁN HỌC 8

Họ và tên tác giả: H’An Niê Kdăm Chức danh: Giáo viên

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC

Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU 2

I Đặt vấn đề 2

II Mục đích nghiên cứu 2

Phần thứ 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3

I Cơ sở lí luận của vấn đề 3

II Thực trạng vấn đề 3

III Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: 4

IV Tính mới của giải pháp 16

V Hiệu quả SKKN: 16

Phần thứ 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 17

I Kết luận: 17

II Kiến nghị: 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO 19

Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU

I Đặt vấn đề

Toán học là bộ môn rất quan trọng đóng vai trò chủ lực Nó được vận dụng

và phục vụ rộng rãi trong đời sống con người chúng ta Toán học hình thành chocác em tính chính xác, hệ thống khoa học, logic và tư duy cao

Trong chương trình đại số lớp 8, dạng bài về phân tích đa thức thành nhân

tử là một nội dung hết sức quan trọng Việc áp dụng dạng toán phân tích đa thứcthành nhân tử vào giải toán rất phong phú và đa dạng Vì vậy, để giúp học sinhgiải quyết tốt dạng Toán này là yêu cầu hết sức cần thiết đối với người giáoviên

Trong những năm thực tế giảng dạy môn đại số 8 tôi nhận thấy đa số họcsinh khi học xong các bài phân tích đa thức thành nhân tử vào áp dụng giải toáncòn gặp nhiều sai sót, nguyên nhân là do học sinh chưa nắm vững các phươngpháp giải, chưa vận dụng các kĩ năng biến đổi một cách thành thạo, linh hoạt,sáng tạo vào từng bài toán cụ thể

Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8” với

mong muốn chia sẻ một số kinh nghiệm của mình để các giáo viên dạy Toáncùng trao đổi

II Mục đích nghiên cứu

Đề tài đưa ra nhằm giúp học sinh khắc phục được những sai sót của mìnhkhi phân tích đa thức thành nhân tử trong các bài Toán Bên cạnh đó, chỉ ra một

số dạng Toán phân tích đa thức thành nhân tử để học sinh tổng quát được cáchlàm của mình cho phù hợp

Đặc biệt, đề tài này còn giúp các em rèn kĩ năng giải các bài Toán phươngtrình tích và áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào một số dạng Toán liênquan

Hơn nữa, tôi nghiên cứu đề tài này để nâng cao trình độ chuyên môn củabản thân đồng thời cũng trao đổi cùng đồng nghiệp khi dạy các bài “phân tích đathức thành nhân tử” để cung cấp thêm cho học sinh phương pháp học và làmToán Giúp các em nắm được kiến thức cơ bản, cách tư duy và phương pháp sửdụng linh hoạt các cách phân tích đa thức thành nhân tử, để các em ngày càngyêu thích và có hứng thú hơn đối với bộ môn Toán Góp phần cải thiện chấtlượng trong học tập của các em, giúp các em phát triển tư duy giải Toán mộtcách toàn diện

Phần thứ 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lí luận của vấn đề

Phân tích đa thức thành nhân tử là một bộ phận vô cùng quan trọng củaphân môn Đại số 8 nhưng nó áp dụng xuyên suốt trong quá trình học cấp Trung

học cơ sở Vì vậy nếu các em không nắm được phương pháp nhớ và vận dụngthì việc giải Toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử sẽ gặp rất nhiềukhó khăn.

Ví dụ một số bài Toán rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị của biểuthức… mà muốn giải được học sinh cần phải phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 55: (Trang 25/SGK Toán 8 tập 1) Tìm x, biết

II Thực trạng vấn đề

Sau khi các em học xong dạng Toán phân tích đa thức thành nhân tử, mỗi

em cần hiểu rõ dạng Toán này đóng vai trò hết sức quan trọng trong việc giảiquyết các bài Toán liên quan như: rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị củabiểu thức, giải phương trình, chứng minh chia hết, tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏnhất) … Vì vậy việc nắm vững các dạng phân tích đa thức thành nhân tử là rấtcần thiết

Tuy nhiên trong quá trình giải toán dạng phân tích đa thức thành nhân tửthì đa số các em vận dụng chưa tốt, đặc biệt có nhiều em chưa nắm chắc lýthuyết, hoặc chỉ nhận dạng được các công thức này ở những dạng đơn giản, cònkhi các công thức ở dạng phức tạp hơn thì các em trở nên bị động và không biếtgiải quyết như thế nào

Một số học sinh khả năng nhận dạng bài Toán khá nhanh, tuy nhiên chưabiết cách vận dụng linh hoạt phương pháp vào giải Toán, hoặc trường hợp các

em đã biết vận dụng nhưng trong khi thực hiện phép tính còn xảy ra sai sót vềdấu hoặc nhầm lẫn dấu sau khi bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ…

Cụ thể, năm học 2016 – 2017, bài kiểm tra viết chương I: câu phân tích đathức thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám có 110

em, cho kết quả:

Phân tích đúng Phân tích sai Không biết phân tích

Từ những thực trạng nêu trên, tôi đã nghiên cứu tìm ra một số phương phápsao cho có hiệu quả, nâng cao chất lượng học sinh trong việc vận dụng phân tích

đa thức thành nhân tử vào giải Toán

III Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:

Để áp dụng tốt giải toán phân tích đa thức thành nhân tử vào những bàitoán liên quan thì trước hết học sinh cần phải:

+ Học thuộc lòng các hằng đẳng thức đáng nhớ đồng thời cụ thể hóa bằngcông thức

+ Nắm vững và biết áp dụng các cách phân tích đa thức thành nhân tử

+ Sử dụng chính xác cách phân tích đa thức thành nhân tử mà nội dungtừng bài Toán yêu cầu

+ Kết hợp với các kĩ năng biến đổi, thu gọn biểu thức

* Học sinh cần học thuộc các cách phân tích đa thức thành nhân tử:

+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

h) x3 1000x3 103 x 10 x2 10x100

- Với những học sinh yếu kém, việc giải Toán dù là những bài đơn giảncũng trở nên rất khó khăn Giáo viên cần phải cho học sinh tự nhận biết đó làdạng hằng đẳng thức nào rồi giúp các em phân tích kĩ càng hơn để đưa ra kếtquả Đặc biệt khi bắt đầu đưa ra một bài Toán cần yêu cầu học sinh xác địnhhạng tử A, hạng tử B trước khi làm bài để tránh được sự nhầm lẫn từ ban đầu.Đối với ví dụ g và ví dụ h, định hướng để học sinh tự phát hiện và làm xuất hiệnhằng đẳng thức

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

b) và c) Với câu b, c là bài tập bắt đầu yêu cầu học sinh nâng cao tư duy,học sinh khá giỏi sẽ giải bài này không khó khăn nhưng những học sinh yếukém sẽ thường nhầm lẫn như sau:

b) x3 3x2 3x 1 y3

Với bài Toán này, tương tự học sinh tự xác định được 5 hạng tử nên giáoviên gợi ý học sinh sử dụng cách nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.Lúc này học sinh sau khi nhóm sẽ dễ dàng phát hiện ra hai hằng đẳng thức: lậpphương của một hiệu và hiệu hai lập phương Tuy nhiên giáo viên cần phải chỉ

rõ cách nhóm hạng tử để học sinh không bị nhầm lẫn, cách nhóm hạng tử dễ bịnhầm lẫn trong bài này mà thường gặp trong học sinh là

x  x  x  y  x  x  x y   x y  (Cách làm sai của HS) Từ đó sẽ dẫn đến kết quả bài sai.

Vì vậy cần yêu cầu học sinh nháp trước cách làm và giải thích cụ thể, nếusai giáo viên định hướng kịp thời để giúp học sinh ghi nhớ ngay kiến thức

Bài giải trên được giải đúng như sau:

xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz

= x2y+ xy2 + yz(y + z) + x2z + xz2 + xyz + xyz

= (x2y + x2z) + yz(y + z) + (xy2 + xyz) + (xz2 + xyz)

= x2(y + z) + yz(y + z) + xy(y+ z) + xz(y + z)

= (y + z)( x2 + yz + xy + xz) = (y + z)[(x2 + xy) + (xz + yz)]

= (y + z)[x(x + y) + z(x + y)] = (y + z)(x+ y)(x + z)

- Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử.

2.3.2 Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y

b) 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 = 5(x2 – 2xy + y2 – 4z2)

Giải:

a) Giáo viên định hướng nhóm hạng tử để học sinh tự tìm ra được hằngđẳng thức, sau khi đặt nhân tử chung ra ngoài lại tiếp tục xuất hiện hằng đẳngthức, phải lưu ý các em là khai triển ra hằng đẳng thức cần làm triệt để

x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y

= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y) = (x + y)3 – (x + y)

= (x + y)[(x + y)2 – 1] = (x + y)(x + y + 1)(x + y - 1)

b) Giải câu b tương tự câu a, tuy nhiên cần cho học sinh thấy cần đặt nhân

tử chung ra ngoài trước khi nhóm hạng tử thì bài Toán sẽ dễ nhìn hơn

2.4 Dạng 4: Các nhóm bài tìm giá trị của biểu thức, khi phân tích đa thứcthành nhân tử thay giá trị vào thì xuất hiện nhân tử bằng 0

2.4.1 Phương pháp:

- Phân tích đa thức thành nhân tử để được kết quả ngắn gọn nhất

- Thay giá trị của biến vào biểu thức sau khi đã thu gọn

2.4.2 Bài tập: Tính giá trị của các biểu thức:

Ví dụ ta xét tiếp câu b) xy(x – y) + y2(y – x)

Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ta được kết quả y(x – y)2, thay giátrị y = 0 vào biểu thức ta sẽ nhận được kết quả bằng 0.

2.5 Dạng 5: Giải phương trình tích thông qua phân tích đa thức thành nhântử

• x + 5 = 0 ⇔ x = -5

Vậy x = 2 hoặc x = -5

Với dạng Toán tìm x hay giải phương trình, một khi đã áp dụng phân tích đa

thức thành nhân tử vào thì việc giải Toán sẽ trở nên dễ dàng hơn

2.6 Dạng 6: Một số bài Toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liênquan đến các hằng đẳng thức

2.6.1 Phương pháp:

- Xác định biểu thức cần chứng minh là dạng hằng đẳng thức nào

- Từ đó phân tích đa thức thành nhân tử

- Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân

tử có một nhân tử là bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thànhnhân tử có các đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết chocác số đó

Giải:

- Giáo viên gợi ý học sinh làm câu a, tách 29 thành một số mũ 3 để biểuthức cần chứng minh trở thành A3 – B3 Sau đó áp dụng hằng đẳng thức đángnhớ học sinh dễ dàng chứng minh được như sau

- Tương tự, đối với câu b này, giáo viên định hướng cho học sinh đặt nhân

tử chung Tách 56 và 104 làm sao để xuất hiện nhân tử chung, cách làm như sau:

Do đó 56 104 chia hết cho 9.

- Câu c đề bài n32  n 12giáo viên cho học sinh tự liên tưởng tớihằng đẳng thức, rõ ràng học sinh sẽ nghĩ đến 2 hằng đẳng thức là bình phươngcủa một tổng, bình phương của một hiệu Tuy nhiên giáo viên yêu cầu học sinhnhìn một cách tổng quát hơn, học sinh sẽ phát hiện ra hằng đẳng thức hiệu haibình phương

Sau khi học sinh xác định đúng dạng hằng đẳng thức thì giáo viên cho họcsinh làm bài:

cụ thể như sau:

Dễ thấy 120 = 23.3.5 Ta có

Vậy x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120.

2.7 Dạng 7: Dạng bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thông qua hằngđẳng thức

2.7.1 Phương pháp:

- Quy các biểu thức về dạng bình phương của một tổng hoặc bình phươngcủa một hiệu

- Xuất hiện tổng của một hằng đẳng thức với một số

- Dựa vào biểu thức vừa tìm được bằng suy luận để tìm ra giá trị lớn nhất(hoặc nhỏ nhất) của biểu thức

Vậy A = 2 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức tại x =3.

b Giáo viên hướng dẫn học sinh đổi dấu hạng tử đầu tiên bằng cách đưa dấu “-“ ra ngoài ngoặc, tương tự bài trên ta phân tích x2 – 5x ra dạng A2-2.A.B

Dấu “=” xảy ra khi:

x  và y = -3

Tóm lại: một số bài Toán phân tích đa thức thành nhân tử tưởng rằng phứctạp, khó khăn, thì lại hoàn toàn đơn giản Mấu chốt của vấn đề là các em phảihiểu cách biến đổi của từng dạng Sau này không những áp dụng vào dạng Toánphân tích đa thức thành nhân tử mà còn có trong dạng Toán tìm x, tính nhanh,chứng minh, lượng giác… mà khi thuộc 7 hằng đẳng thức rồi thì việc học Toán

sẽ dễ tiếp thu hơn cả

IV Tính mới của giải pháp

Sau khi áp dụng đề tài tôi nhận thấy học sinh linh động hơn trong việc tìm

ra công thức để giải toán, các em biết cách xử lý nhanh hơn khi giải toán phântích đa thức thành nhân tử và những dạng toán liên quan

Đề tài có hướng đến những lỗi sai trong cách giải của học sinh để giúp các

em định hướng cách làm đúng và nhanh nhất

V Hiệu quả SKKN:

Năm học 2017 – 2018, bài kiểm tra viết chương I: câu phân tích đa thứcthành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám có 110 em,cho kết quả:

Phân tích đúng Phân tích sai Không biết phân tích

Năm học 2018 – 2019, bài kiểm tra viết chương I: câu phân tích đa thứcthành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám có 110 em,cho kết quả:

Phân tích đúng Phân tích sai Không biết phân tích

Như vậy, sau hai năm học áp dụng kinh nghiệm dạy này, tôi nhận thấy đa

số học sinh tham gia đều rất hứng thú học Toán, tự giác và chủ động trong

những kiến thức Toán giáo viên đưa ra, đặc biệt là những kiến thức liên quanđến phân tích đa thức thành nhân tử.

Phần thứ 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

I Kết luận:

Phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử là phương pháp cực kỳquan trọng, góp phần định hướng tư duy cho học sinh trong các kĩ năng giảitoán, dễ dàng nhận dạng và giải quyết các bài toán từ đơn giản đến phức tạp

Đối với người giáo viên khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân

tử thì định nghĩa cần hướng dẫn học sinh biết cách kết hợp với các kĩ năng biếnđổi, thu gọn biểu thức để giải các dạng toán liên quan

Đối với học sinh ngoài việc nắm vững lý thuyết thì cần phải nhận ra dạngtoán và vận dụng linh hoạt các kĩ năng để giải bài toán đó

Những cách tôi thực hiện trong đề tài này là những kinh nghiệm mang tính

cá nhân trong quá trình tổ chức các tiết học Chính vì vậy không thể tránh khỏinhững hạn chế thiếu sót, tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu củacác đồng chí để đề tài này được hoàn chỉnh hơn

II Kiến nghị:

Đối với các giáo viên dạy Toán: Thường xuyên bám sát lớp để hướng dẫn

và giúp đỡ các em hiểu và nắm rõ kiến thức Bồi đắp các kiến thức bị hổng vàluôn luôn lắng nghe những điều thắc mắc của các em Cần tạo một phong cáchnhẹ nhàng, thân thiện và gần gũi để học sinh dễ dàng trò chuyện, trao đổi thôngtin với giáo viên Ngoài ra, mỗi giáo viên phải luôn theo sát hoạt động nhận thứccủa học sinh “suy ngẫm về các phương pháp dạy học hay nhất của bản thân vàhiểu thấu đáo vì sao các phương pháp đó là hiệu quả hoặc chỉ hiệu quả với trònày mà không hiệu quả với trò kia” để khi người học gặp khó khăn, kịp thời hỗtrợ, giúp đỡ bằng những định hướng phù hợp, gợi ý cụ thể; Phải nỗ lực để xácđịnh “tầm nhìn” và phải cố gắng tạo cho nhóm người học có tinh thần đồng đội;tìm cách cổ vũ người học, đưa ra những lời khuyên kịp thời có tính xây dựng đểngười học hành động hướng tới tầm nhìn đó; đưa lời nhận xét phản hồi ý nghĩa

để nâng cao thành tích học tập của học sinh

Bình Hòa, ngày 1 tháng 3 năm 2019

Người thực hiện

H’An Niê Kdăm

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Toán 8 tập 1 – NXB GD&ĐT

2 Sách bài tập Toán 8 tập 1 – NXB GD&ĐT

3 dang-thuc-a11258.html

https://toanhoc247.com/phan-tich-da-thuc-thanh-nhan-tu-bang-pp-hang-4 https://dinhnghia.vn/7-hang-dang-thuc-dang-nho.html

5 3974

https://loga.vn/bai-viet/dang-bai-tap-phan-tich-da-thuc-thanh-nhan-tu-Nhận xét, đánh giá của hội đồng khoa học cấp trường

………

………

………

………

………

………

Bình Hòa, ngày … tháng…… năm 2019 CT HỘI ĐỒNG Nhận xét, đánh giá của hội đồng khoa học cấp Huyện ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………, ngày … tháng…… năm 2019

CT HỘI ĐỒNG KHOA HỌC