MỘT SỐ DẠNG TOÁN THỊ HỌC SINH GIỎ “GIAL TOAM TREM WAY TIKH DIEM TU CASIO” Bắt đầu từ năm 2001, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tổ chức các cuộc thi cấp khu vực “Giải toán trên máy tính điện t
Trang 1MỘT SỐ DẠNG TOÁN THỊ HỌC SINH GIỎ
“GIAL TOAM TREM WAY TIKH DIEM TU CASIO”
Bắt đầu từ năm 2001, Bộ Giáo dục và
Đào tạo đã tổ chức các cuộc thi cấp khu vực
“Giải toán trên máy tính điện tử Casio” Déi
tuyển Phổ thông Trung học Cơ sở của mỗi
tỉnh gồm 5 thí sinh Đề thi gồm 10 bài (mỗi
bài 5 điểm, tổng số là 50 điểm) làm trong
150 phút
Với sự tài trợ của công ty xuất nhập khẩu
Bình Tây, tất cả các thí sinh đều có quà lưu
niệm 50% số thí sinh mỗi cấp của từng khu
vực được trao giải (nhất : 800000 đ ; nhì :
500000 đ ; ba : 300000 đ ; khuyến khích :
150000 đ) Những thí sinh đạt giải được
cộng điểm trong kỳ thi tốt nghiệp và được
bảo lưu kết quả trong suốt cấp học
Bắt đầu từ số này, chúng tôi sẽ lần lượt
giới thiệu một số dạng toán thi học sinh giỏi
“Giải toán trên máy tính điện tử Casio" cấp
Phổ thông Trung học Cơ sở để bạn đọc
tham khảo
Quy định : Thí sinh chỉ được dùng một
trong bén loai may tinh Casio fx-220, Casio
fx-500A, Casio fx-500 MS va Casio fx-570 MS
Dạng toán † : Kiểm tra kỹ năng tính toán
thực hành
Bài 1 :(Thi Khu vực, 2001) Tính :
a) A=(649? +13 x 1802)? -13x(2x649 x 180)2
e LẠ DUY PHƯỢNG (Viện Toán học)
3:(0,2-0,1) d) D=26:|—————
„_(84.06-33,81)x4 ] 2,4
6,84 : (28,57 - 25,15) | 3 21,
e) Tim x biét :
-4-i:0,003 |0,3 —|x1—
[335-265)x4:4 [108+22}x3
:62— 417,81 :0,0137 = 1301
20
f) Tìm y biết :
15,2x0,25 - 48,51: 14,7 _
y
(3-2 5 27)xt
4 11 66'2jˆ5 32+0/8x|52 4/28)
Bài 2 : (Thi khu vực, 2002) Tính giá tri cla a từ các phương trình sau :
Trang 2(0,154 +0:357):(82+42)x|
2 3 12,5——x—:
28- 2X5
4
B [(0,5-0.3x0.78): T2] 12
= 32:(12+3/8)
Bài 3 : (Thi Khu vực, 2001, Đề dự bị)
a) Tìm 12% của Sa”, biét :
0,15:2—
suit)
** 0.32.6 +0,03-(5,3-3,88)+0,67 ˆ
b = (21-1965) :(1,2.0,045) _ _1: 0,25
ˆ 6"
3:—-0,09:
5
`
| 08:| 5x128) 5 ` (108-2):4 25)'7
= A E= 1 + 5 1 2 +
064 _ (ÍgŠ_sÍì\,22_
25 C 32x22
4 _+(2x0ø:4 (12x iz
1.1 k) F =0,3(4)+1,(62):14-——.2 3 11 0,8(5) 11 30 Bài 4 : (2003, Dự bị) Tính :
a) A = 3/Ÿ5 - Ÿ4 - Ÿ2 - Ÿ20 + Ÿ25
b), B= 9200 +1283 + of T -
632
0,00325:0,013 16.0,625
Bài 5 : (Thi Khu vực, 2001) (as 7-235) 22 a) Hãy sắp xếp các số sau đây theo thứ tự b) Tính 2,8% của SP TB! Sting dan
( 7 217), 3 a9 bath cu bat
oar, \ BD 110) 217 |
c) Tinh 7,5% của 3 7 b) Tính giá trị của biểu thức sau :
“==— |e
5 20) 8 (016x029) [ ee)-(24)4
52:|z:13+84x5x
3 day.+98+96 fn 9
|Ê” sx00125:69 |ÍT Ta Lời bình 1 : Đây là dạng bài kiểm tra kỹ
e) A= [13+ 22) (12-$) | (1s +2243,7 nhiên còn một thiếu sót cơ bản là : viết đáp số
3 57/\4 4)\- 5 gần đúng một cách tùy tiện, trong khi đó đáp
f) B =12:194(12492:2:3) của đầu bài cho là số đúng, thập chí nhiều
bóng biểu thức chứa căn cũng cho đáp số là số
1 14,6) 12 (10_ nguyên đúng) Trong các kỳ thi cấp tỉnh, dạng
102524; 185) 11 | 3 175) bài này thường chiếm 50% - 70% số điểm
9) C= 5 60 8 Theo chúng tôi, trong kỳ thi cấp khu vực,
Lời bình 2 : Trong dạng bài này cũng đã cài
1+1x.-L_ đặtmộtsố kiến thức toán học ít được để ý : số h) D=6: 1 og _ 45 1,2 025 thập phân vô hạn tuần hoàn (thí dụ, số
3 394,29 4 ¿_._ 4 9,8999 , 0,3(4), 1,(62)), thí sinh phải biết 2° 44 1+2,2x10 ddi cac sé nay sang sé thép phan dung (và
Trang 2
Trang 3giúp cho việc giải toán |
_ Với máy tính điện tử, xuất hiện một dạng
dé thi học sinh giỏi toán mới : kết hợp hữu
cơ giữa suy luận toán học với tính toán trên
máy Có những bài toán khó đòi hỏi không
chỉ nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết
chia hết, đồng dư, .) và sáng tạo (cách giải
độc đảo, suy luận đặc biệt, .), mà trong
quá trình giải còn đòi hỏi phải xét và loại trừ
nhiều trường hợp Không dùng máy thì thời
gian làm bài sẽ lâu Máy tính điện tử đẩy
nhanh tốc độ làm bài, do đó dạng toán này
rất thích hợp trong các kì thí học sinh giỏi
toán kết hợp với máy tính Dưới đây là một
Số vídụ ˆ oo oe
Bài 1 : (Thi khu vực, 2003, lớp 9)
Tìm tất cả các số tự nhiên n (1010 <n
< 2010) sao cho an = 20203 +21n cũng là
số tự nhiên
Lời giải : Vì 1010 < n < 2010 nên
203,5 ~ 41413 < an < V62413 = 249 82
Vì a„ nguyên nên 204 < a, S 249 Ta có
an = 20203+21n = 21x962+1+21n ;
Suy ra a^ -1= 21x(962+n),
hay (a, - 1)(a, + 1) = 3x 7 x(962 + n)
Do đó a2 —1 = (aa — 1)(an + 1) chia hết cho7
cho 7 Vay a, = 7k + 1 hoặc a,=7k- 1
Truong hgp 1: Néu a, = 7k - 1 thi do
204 <a, = 7k - 1 < 249 nên (tính trên máy)
29,42 < k< 35,7 Do k nguyên nên k chỉ có
thể là các số : 30, 31, 32, 33, 34, 35 Vì
a2 —1 = 7k(7k — 2) chia hết cho 21 nên k chỉ
có thể là : 30, 32, 33, 35 (có thể dùng máy
tính trực tiếp hay xét k hoặc 7k - 2 phải chia hết cho 3) Cho k lần lượt bằng 30, 32, 33,
35 va tính trên máy ta được :
k | 30 | a2 | 33 | 3s
n 1118
1406
223
1557
230
1873
244
Trường hợp 2 : Néu a, = 7k + 1 thi do
204 < a, = 7k + 1 < 249 nén (tinh trén may)
29,14 < k< 35,57 Do k nguyên nên k chỉ có thể là các số : 30, 31, 32, 33, 34, 35 Vì
at —1 = 7k(7k +2) chia hết cho 21 nên k chỉ
có thể là : 30, 31, 33, 34 (có thể dùng máy tính trực tiếp hay xét k hoặc 7k + 2 phải chia
hết cho 3) Cho k lần lượt bằng 30, 31, 33,
34 và tính trên máy ta được : 5N
Trang 4
‡- ‡ ì
TP vế ^4 a am: i
xy 4158 « + ~ „ _ 1
foe a done
, oe : ~-^
Như vậy, có tất cả 8 đáo số
Lời bình 1 : Đây là một bài thi Age sith
giỏi toán tương đố: khô và hay Nhờ có mã,
tinh nén tốc độ làm bài tàng lên đáng kể,
mặc dù suy luận toán học đóng vai trò
quyết định
Bài 2 : (Thi khu vực, 2002, lớp 9, Dự )
2a) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho nŠ
là một số có ba chữ số đầu và bốn chữ số
cuối đều bằng 1, tức là n° = 111 1111
Với n vừa tìm được thì n3 bằng bao nhiêu ?
2b) Tìm số tự nhiên n (1000 < n < 2000)
= ⁄57121+35n là số tự nhiên
2c) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho
n2 là một số có 12 chữ số và có dạng
n2 = 2525x+++xz+89, các dấu * ở các vị trí
khác nhau có thể là các số khác nhau
2đ) Tìm tất cả các số tự nhiên n có ba chữ
số sao cho nŠ9 = 1986 , n'2! = 3333
Bài 3 : (Thi khu vực, 2003, lớp 9, Dự bị)
3a) Tìm các chữ số a, b, c, d để ta có :
a5 x bed = 7850
3b) Tìm các số có không quá 10 chữ số
mà khi ta đưa chữ số cuối cùng lên vị tri dau
tiên thì số đó tăng lên gấp 5 lần
3c) Hãy tìm năm chữ số cuối cùng của số
-2?” + 1 (số Fecmat thir 24),
3d) Giải phương trình :
2 _ 2003[x] + 2002 = 0, với [x] la phan
nguyên của x
Bài 4 : (Thi khu vực, 2003, lớp 12)
Tìm số dư khi chia 20012019 cho số 2003
Bài 5 : (Thi khu vực, 2001, lớp 10)
5a) Tìm các ước số nguyên tố nhỏ nhất và
lớn nhất của số 2182 + 314°
5b) Tìm số lớn nhất và nhỏ nhất trong các
sao cho a,
Bài § ; (Sở GD-ĐT Cần Thơ, 2003, lớp 9)
gó 3'? ~ 1 chia hếi cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79 Tìm hai số đó Bài 7 : (Thi khu vực, 2002, lớp 12) Tìm ước số chung lớn nhất của hai số sau day : a = 24614205 ; b = 10719433
Bài 8 : Kiểm nghiệm trên máy tính : các
số dạng 10n + 1 là hợp số với n = 3, , 10
Chứng mình rằng, số dạng 10n + 1 có thể là
sở nguyên tố chỉ khi n có dạng n = 2P
Giả thuyết : 10 + 1 là số nguyên tố khi và chỉ khi n = 1 hoặc n = 2
Lời bình 2 : Giả thuyết này tương tự bài
toán Fecmat : 2” + 1 là hợp số với mọi p > 5
Bài 9 : Tìm tất cả các cặp số ab và cd
sao cho đảo ngược hai số đó thì tích không
đổi, tức là : abxcd =baxđc
Thí dụ : 12 x 42 = 504 = 21 x 24;
13 x 93 = 1209 = 31 x39;
Bài 10 : Tìm phân số ¬ xấp xỉ tốt nhất
2 (5(m,n) =
—— vã la nho nhat), trong do
n
m và n là các số có hai chữ số
Kết luận : Dạng bài Máy tính điện tử bỏ
túi trợ giúp cho việc giải toán thực chất là
bài thi học sinh giồi toán (không phải giỏi tinh) Nó hoàn toàn có thể dùng được trong các kì thi học sinh giỏi toán Nó nâng
caa ý nahïa của mục đích đưa máy tính
vào trường phổ thông Nó còn dẫn dắt ta
tới những giả thuyết và những nghiên cứu
toán học nghiêm túc (bài 8 và bài 10) Nó
cũng là nguyên nhân mà loài người cần
nghiên cứu để tăng tốc độ xử lí cho các
máy tính điện tử Theo tôi, đây là dạng
toán hay nhất Trong kỳ thi cấp khu vực, dạng bài này nên chiếm 40% - 60% số
điểm
Z¬^
Trang 4
Trang 5Dạng toán 3 : Đa thức
Dạng toán 3.1 Tính giá trị của đa thức
Bài toán : Tính giá trị của P(x) khi x = Xo:
Phương phap 1 (tinh trực tiếp)
Bấm liên tục các phím để tính giá trị PQ@)
của đa thức (hoặc biểu thức bất kì)
Thí dụ 1 (Sở GD-ĐT TP HCM, 1996)
4 —
nh A- 3-2 +3⁄ˆ—x+
4x” —x2+3x+5
Tĩnh trên Casio fx-500A hoặc fx-220 :
3x] 1.8165 [Min] [SHIFT] x”) 5[=]2[<] [MR]
[+] 4 [=] (46.64011033)[5] [Iq 4] [MR]
3] [MR] [SHIFT] be] 5] 3 by
[MR] [+]5[=](1.498465582)
khi x = 1,8165
Ghi nhé 1 Phim [Min| để nhớ số trên
màn hình Phím để lấy số trong ô nhớ
ra (và số đó vẫn còn ở trong ô nhớ)
Ghi nhớ 2 Phím [SHIFT] để chuyển
sang sử dụng các phím ứng với chữ màu
vàng
Ghi nhớ 3 a|SHIFT| |xYÍ b là aP
Ghi nhớ 4 Số ghi trong ngoặc là kết quả
trung gian hoặc đáp số ở trên màn hình
Phương pháp 2 (sơ đồ Horner)
Viết P(x) = aux" + aax"+ + a dưới
dạng :
P(x) = ( (ap› + €4)X + @)x + .)x + 8n:
—
P(xạ) = ( (3gXg + 8:)Xg : a.)Xo † -)Xq + a) Dat by = ay ; b, = Dox, + a, | by = b,x, + 82; ‹;Ða = bạ +Xg † 8n Suy ra : P(Xạ) = bạ
Từ đây ta có công thức truy hồi :
b = bX) + 8, Ì > †1
Quy trinh tinh trén may : Nh6 x, : x [Min] Thực hiện dãy lặp : b, ;Ìx|JMR][+]aj=]
Cách giải 2 (sơ đồ Horner) của Thí dụ 1 : Tính giá trị của mẫu theo sơ đồ Horner :
1.8165 [Min] 4 x] [MR] ] 1 [=] i] IMR] G3]
I‹|JMR|[-]5[=](31.12524631)
Tính giá trị của tử và chia cho mẫu :
3 [x] [MR] ]2 [=] x] [MR] [4] 0 [=] fk] [MR] [4]
3 [=] kl IMR] G1] & MR) G1
|+|31.12524631|=](1.49865582)
Ghi nhớ : Phải tuân thủ đúng phép lặp
bị = b, ;Xo + a,, ¡ > 1, không được bỏ qua các giá trị a, = 0 Nếu ta quên điều này và quên dấu bằng thì đáp số sẽ sai
Tinh trén Casio fx-500MS va fx-570MS : Cách 1 : Khai bao x = 1,8165 vao 6 [Ans] :
1.8165|=] Khai báo biểu thức cần tính và
bấm phím [=] aé được kết quả :
lÌaJAns]P]s[ˆl2|ans]Jslx]a[ans]Z]=
[Ans] [+] 1D] 5 [4[Ans] [4] 3[=] [Ans] be2] [4]
3[Ans] [+15] [=1(1.498465582)
Trang 6Cách 2 : Đưa x = 1,8165 vào ô nhớ [X| :
1.8165 [SHIFT
Khai báo biểu thức và bấm phím [=] :
[d3[ALPHA]ix|[*J5[-l2[ALPHAIIXIi^l4l]
[04 [ALPHA] Dd) 2s] ALPHA] XI b2]
3[ ALPHA] |x] [+15)][=1(1.498465582)
Tĩnh trên Casio fx-570MS : Bam phim :
[(/s[ALPHA] [x] [5] 5[-]2[ALPHA] [x] [1 4/41
3[ALPHA] [x] x2] 5] [ALPHA] Ix] [411]
[( 4 [ALPHA] XX] [4] 3 [ALPHA] Bx] be] 4]
3[ALPHA] [x] [+]5))| [CALC
Máy hỏi : X? Khai bao x = 1,8165 và bấm
phím [=]
Máy hiện đáp số : 1.498465582
Lời bình 1 : Phím |CALC| (calculate-tính)
trên Casio x-570MS rất hay, nó cho phép
tính giá trị của biểu thức theo giá trị bất kì
của biến số sau khi khai báo biểu thức Thí
dụ, bây giờ muốn tính A khi x = 1,11952 ta
chỉ cần bấm |CALC|I, máy hỏi X? Khai báo
x = 1,11952 và bấm phím [=], máy cho ngay _
kết quả : 0.4540523885
Lời binh 2 : Trén Casio fx-500A tinh theo
sơ đồ Horner nhanh hơn tính trực tiếp Với
Casio fx-570MS dùng |CALC| hay hơn
dùng Horner Nhiều kiến thức toán học có
thể lãng quên khí có công cụ mới
Léi binh 3 : Casio fx-570MS hơn hẳn
Casio fx-500A
Bài tập 1 : Tính giá trị của biểu thức
1.1 (Sở GD & ĐT Hà Nội, 1996)
a) Tính xà + 5x3 - 3x2 + x - 1 khi x = 1,35627
b) Tính P(x) = 17x® - 5x4 + 8x? + 13x? -
11x - 357 khi x = 2,18567
Dang toan 3.2 Tim du trong phép chia
đa thức cho đơn thức Chia đa thức P(x) cho đơn thức x - c ta được P(x) = Q(x)(x - c) + r, trong đó r là một
số Cho x = c ta được r = P(c) Như vậy, bài
toán tìm số dư trong phép chia đa thức cho
đơn thức trở thành bài toán tính giá trị P(c),
tức là trở về dạng toán 3.1
Tổng quát : Tìm số dư khi chia đa thức
P(x) cho nhị thức ax + b
Giải : Chia P(x) cho ax + b ta được : P(x) = (ax + b)Q(x) + r
Suy ra: r= PO) Trở về dạng 3.1
Bài tập 2 : Tìm dư trong phép chia
2.1 (Sở GD & AT TP HCM, 1998)
x14 ~ x9 5 4 x4 4 x? 4 x - 723
x - 1,624
2.2 (Sở GD & ĐT Đồng Nai, 1998)
x° ~6,723x3 +1,857x2 —6,458x +4,319
x+2,318
2.3 (Sở GD & ĐT Cần Thơ, 2003)
Cho P(x) = x4 + 5x? - 4x? + 3x - 50 Goi r,
là phần dư của phép chia P(x) cho x - 2 va r› là phần dư của phép chia P(x) cho x - 3
Tìm BCNN của r, và r
Dạng toán 3.3 Xác định tham số để đa
thức P(x) + m chia hết cho x - c
Vi P(x) + m = Q(x)(x - c) + r + m nên để
P(x) + m chia hết cho x - c thì r + m = 0, tức
là m = -r = -P(c) Trở về dạng 3.1
Bài tập 3 : Xác định tham số 3.1 (Sở GD & ĐT Hà Nội, 1996 : Sở GD &
ĐT Thanh Hóa, 2000)
Tim a dé x* + 7x? + 2x? + 13x + a chia hết
3.2 (Sở GD & ĐT Khánh Hòa, 2001)
Cho P(x) = 3x? + 17x - 625
a) Tinh P(2V2)
b) Tinh a dé P(x) + a2 chia hét cho x + 3
Trang 6
Trang 7Dạng toán 3.4 Tìm đa thức thương khi
chia đa thức cho đơn thức
Chia da thc ayx° + a,x? + ax +a, cho
x - c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai
Q(x) = byx? + b,x +b, va sO dular:
aXe + ax? +X + ay = (X- c)(byx* + bx + by)
+r= box + (b, - bạc)X + (b„ - -b sox + (F + By)
Ta lại có công thức truy hồi Horner :
by =a, ib, = boc + a, ; by = b,c + a, ;
Tương tự, ta cũng có sơ đổ Horner để tìm
thương và số dư khi chia đa thức P(x) cho
x - c trong trường hợp tổng quát
Thí dụ 2 Tìm thương và dư trong phép
chia xÏ - 2xŠ - 3x' + x - 1 cho x + 5
Giải : Ta có c = -5, ao = 1, a, = 0, a = -2,
b 9 = a= 1
‘Dung Casio fx-500A tìm các hệ số của đa
thức thương và số dư theo sơ đồ Horner :
pam : § [+/-] [Min] 4 [x] [MR] [+] o[=] (-5
Ghi ra giấy : - 5
[x] [MR] [+}2[+/-][=](23) Ghi: 23
B]MRI[El3j+/-lÏEl(148) Ghi: -H8
[x] [MR] [+] 0[=](590) Ghi: 590
[x] [MR] {+]0[=](-2950) Ghi : -2950
Fx] [MR] [+] 1[=](14751) Ghi: 14751
L|IMR|[+]1[+/-]Í=|(73756) - Ghi:-73756
Dùng Casio fx-570MS :
Bấm : CisEHFTISTGINIIEIALBBAI
IMis]ol=|(-5)B][ALPHAI[MIE-]2[=l(23)L_
(ALPHA (Ml (4) [5] 3E|(-118) bx [M] [+] o[=|(590)[x] [ALPHA] [M]|+Jo[=|(-2950)
[ALPHA [Mle] 4[=](14751)bx| [ALPHA] [M]
Vậy : xỶ - 2xŠ - 3x + X - 1
= (x + B)(Xổ 5xŠ + 23x - 118xÖ + 590x" -
- 2950x + 14751) - 73756
Dạng toán 3.5 Phân tích đa thức theo
bậc của đơn thức:
Áp dụng n - 1 lần dạng toán 3.4, ta có thể
phân tích đa thức P(x) bậc n theo x - c :
P(x) = fy tyK- c)+rz(X - ce + tr (x-c)"
Thí dụ 3 Phan tich x4 - 3x? + x - 2 theo bậc của x - 3 :
_ Giải : Trước tiên thực hiện phép chia P(x) = q;()(x - c) +fo theo sơ đồ Horner để
được q.(x) và rạ Sau đó lại tiếp tục tìm các
q,(x) và r„ ; ta được bang sau :
1-3101 11-2
x4-3x)+x-2
3|1|0|10| 11 1| q,@&) =xỶ* 1,rọ=1
a(x) = x2 + 3x + 1, 3|1132|9|2| | 7a28
3} 11-6 | 27 g(x) =x +6, oe 27 3) 4) 9 Q4(X) #15 ag, 1 =9 vay x4 - 3x9 + x- 2 = 1 + 28(x - 3) +
+ 27(x - 3)2 + 9(x- 3)3 + (x - 3)Ÿ
Dạng toán 3,6 Tìm cận trên khoảng
chứa nghiệm dương của đa thức
Nhận xét : Nếu trong phân tích _P(&) =rạ + r;(X- 6) + ra(X- G)Ế + + FAK 0)?
Trang 8ta có r, > 0 với mọi i = 0, 1, , n thì mọi
nghiệm thực của P(x) đều không lớn hơn c
Thí dụ : cận trên của eác nghiệm dương của
đa thức x4 - 3x3 + x - 2 là c = 3 (Đa thức có
hai nghiệm thực gần đúng là 2,962980452
va -0,9061277259)
Chú ý : Vì xỶ - 3x2 + x-2= (x- 3(xŸ + 1) + 1
nên chỉ cần một.lần áp dụng sơ đồ Horner
ta đã có thể khẳng định cận trên của các
nghiệm dương là c = 3 |
Lời bình: Các dạng toán 3.4 - 3.6 là mới
(chưa xuất hiện trong các kỳ thi) Từ các
dạng toán trên, có thể giải các dạng toán
khác nữa : phân tích đa thức ra thừa số, giải
gần đúng phương trình đa thức,
Kết luận : Với máy tính, có thể giải được
nhiều dạng toán với đa thức bậc cao và hệ
số tùy ý, do đó ta dễ tiếp cận hơn với các
bài toán thực tế Thí dụ, để tìm ra sao Thủy
vương, Leverie phải tìm nghiệm của đa thức
3447x° + 14560x° + 22430x* + 25857x° +
+ 29193x? + 11506x +5602, -
Bài tập 4 : Tổng hợp S
4.1 (Thi Khu vực, 2001, lớp 8) _
Cho đa thức P(x) = 6x? - 7x? - 16x + m
a) Tim m để P(x) chia hét cho 2x + 3
b) Với m tìm được ở câu a), hãy tìm số dư r
khi chia P(x) cho 3x - 2 và phân tích P(x) ra
tích của các thừa số bậc nhất
d) Tìm m và n dé Q(x) = 29° - 5x2 - 13x + n
và P(x) cùng chia hết cho x - 2
e) Với n tìm được ở trên, hãy phân tích
Q(x) ra tích của các thừa số bậc nhất
4.2 (Thi Khu vực, 2002, lớp 9)
Cho P(x) = xế + 5xŠ ‹ 4x2 + 3x + m và:
Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x +n
a) Tìm giá trị của m, n để các da thức P(x)
và Q(x) chia hết cho x - 2
b) Với giá trị của m,n vừa tìm được, chứng
tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) - Q(x) chỉ có
một nghiệm duy nhất
4.3 (Thi Khu vực, 2002, lớp 9)
Cho P(x) = x° + ax? + bx? + cx? + dx +f
Biết P(1) = 1, P(2)= 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 15 Tinh P(6), P(7), P(8), P(9)
b) Cho Q(x) = x4 + mx? + nx? + px + q Biét Q(1) = 5, Q(2) = 7, Q(3) = 9, Q(4) = 11 Tính các giá trị Q(10), Q(11), Q(12), Q(13)
4.4 (Thi Khu vực, 2003, lớp 9)
a) Cho P(x) = x° + 2x4 - 3x3 + 4x2 - 5x + m
1) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x- 2,5 khi m = 2003
2) Tìm giá trị của m để đa thức P(x) chia hết cho x - 2,5
3) P(x) có nghiệm x = 2 Tim m
b) Cho P(x) = 3° + ax? + bxỶ + cx2 + dx +e Biét P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tinh P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(1)
4.5 (Sở GD & ĐT Cần Thơ, 2002) Cho f(x) = x? + ax? + bx + c Biét
())*:(- ~_3.r(1\ 89
Tính giá trị đúng và gần đúng của iG
4.8 (Thị vào các lớp chuyên Toán cấp III
của Bộ GD, 1975)
1) Phân tích biểu thức sau ra ba thừa số :
a‘ - 6a9 + 27a? - 54a + 32
2) Từ kết quả câu trên suy ra rằng biểu
thức nÝ - 6n + 27n - 54n + 32 luôn là số
chẵn với mọi số nguyên n
4.9 (Thi học sinh giỏi toán bang New
York, Mỹ, 1984)
Có chính xác đúng 4 số nguyên dương n
để (n+1}ˆ
n+
lớn nhất
4.10 (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1988)
Chia P(x) = x°1 + ax°” + bx41 + ox! + 2x +1
cho x - 1 được số dư là 5 Chia P(x) cho x - 2
là một số nguyên Hãy tính số
_ được số dư là -4 Hãy tim cap (M, N) biết rằng
Q(x) = x84 + ax5? + px'† + cx!9 + Mx +N
chia hét cho (x - 1)(x - 2)
Trang 8
Trang 9LUẠNg:-toạn 4 2
_Giải: phương trình và hệ Bhương 6 trình
Ghỉ: nhớ + Phải viết phương trình (hệ
phương trình) dưới dạng chính tắc để khi
đưa các hệ số vào máy không bị nhầm lẫn
Dạng toán 4.1 Giải phương trình bậc hai
ax2 + bx+c= 0 Dạng toán 4.1.1 Giải phương trình bậc
hai theo chương trình cài sẵn trên máy
Thí dụ 1 (Sở GD-ĐT TP HCM, 1996)
Giải phương trình
1,85432x2 - 3,21458x - 2,45971 = 0
Giải 1 (trên Casio fx-500A) : i
2.45971 |+/-] [DATA] (x! = 2.30823)
[DATA] (x2 = -0.57467)
Chú ý 1 : Các số trong ngoặc là nghiệm
hiện trên màn hình
Giải 2 (trên Casio fx-500MS) :
[MODE] [MODE] [i] i>! [2] 1.85432 [=j [|
3.21458|=]|(—)|2.45971]=](xI = 2.308233881)
[=] (x2 =-0.574671173)
Chú ý 2 : Casio fx-500A cho nghiệm gần
đúng đến 6 chứ số, còn Casio fx-500MS
cho nghiệm gần đúng đến 10 chữ số
Chú ý 3 : Khi phương trình bậc hai không
có nghiệm thực (vô nghiệm) thì Casio fx-
500A báo lỗi |[—E—|, còn Casio fx-500MS
cho các nghiệm phức
Dạng toán 4.1.2 Giải phương trình bậc
sỹ Sử
2a
Thí dụ 2 (Sở GD-ĐT Đồng Nai, 1998)
.2,354x2 - 1,542x - 3,141 = 0
Giải : Tính A = bˆ - 4ac và nhớ :
hai theo công thức nghiệm x,, =
1.542 [SHIFT] [<7] sHET] [2] H4: H: 2.38 Bl
3.141 E7] El [V ](6.652735621)[Mm] ˆ
Tính x; : 1.842|-] [MR] [=| [x]2|+]2.354_
[=| (-0.87313138407) -
Tinh x, : 1.542[+/-] [+/-] [=] [MR] [=]
t+] 2 [+] 2.354 [5] (1.528193632)
Bài tập 1 Giải phương trình bac hai
` 1.1 (Hà Nội, 1996 ; Thanh Hóa, 2000)
1,23785x* + 4,35816x - 6,98753 = 0 1.2 (Sở GD-ĐT TP HCM,1998)
1,9815x2 + 6,8321x + 1,0581 = 0
Dạng toán 4.2 Giải hệ phương trình bậc
1 ax+bhy=c, (1)
|a.x+b,y=c, (2) 4
Dang toan 4.2.1 Giai hé phuong trinh bậc nhất hai ẩn theo chương trình trên máy
Thí dụ 3 (Vô địch Flanders,1998)
Nếu x và y thỏa mãn hệ phương trình
[83249x+16751y = 108249
Í16751x +83249y = 41751 _
thì — bang (chon mét trong 5 đáp số) :
y
(A) 1; (8) 2; (C) 3; (D) 4; (E) 5
Giải 1 (trên Casio fx- -500A) |MOPEI [2
83249|DATA]16751|DATA|108249|DATA]
16751 [DATA|83249[DATA]|41751[DATA] (x=1~1-4)[DATA|(y =1-14)
Giải 2 (trên Casio fx-500MS) :
83249 [=] 16751 [=]
108249 [=| 16751 [=] 83249 [=] 41751 [EI (x = 1.25) [=] (y = 0.25)
Trang 101% 186 = pang 5 Đáp số (E) đúng
Yate z- OA vớt ì-©*>
Giải 3 (lam toán) : Cộng: tác phương
„trình hạiata được x + y + z =-45 HN tee
Dạng toán4.2.2 Giải Hệ jhỪøng trình '` Suy-ra X = y = z = 5 Đáp số :X= nyZ2=6
- bậc nhất hai ẩn theo công thức nghiệm
D, D, “4
x= 3° y= >: vai D=ab,-a,b,
D, =¢,b,-¢,b,, D,= 7 2,C,,
Thí du 4 (Sở snereen Nai, 1998)
1,372x—4,915y=3,123 8,368x+5,214y = 7,318
Giai: Tinh D = a,b, - 2,5, : 1.372|x]5.214
[-]8.268|x|4.915|+/—][=](48.28232800)|Min]|
Tinh x : 3.123 [x] 5.214 [-]7.318 [x] 4.915
(+/-|[=] (52.251292) [3] [MR] [=] (1.082203)
Giải hệ ::
‘Tinh y : 1.372 [x] 7.318 [=] 8.368 [x] 3.123
ie] E] [=] (-0.333309695)
Bài tập 2 Giải hệ phương trình bậc nhất
1 (Sở GD-ĐT Hà Nội, 1996)
13,241x+17,436y =-25,168
ean ~ 19,372 = 103,618
2 2 (Sở GD-ĐT Cần Thơ, 2002)
[1,341x—4,216y = —3,147
{8,616x +4,224y =7,121
Dạng toán 4.3 Giải hệ ba phương trình
bậc nhất ba ẩn (theo chương trình cài đặt săn)
3x+y+2z =30 Thí dụ 5 Giảihệ 42x+3y+z=30
Giải 1 (trên Casio fx-500A) :
‘MODE! [3] 3[DATA] 1 [DATA] 2 [DATA] 30
IDATA] 2 [DATA] 3 [DATA] 1 [DATA] 30
DATA} 1 [DATA] 2 [DATA] 3 [DATA] 30
[DATA] (5) (5) (5)
Giai 2 (trén Casio fx-SOQMS) :
MODE] BỊ 3 (=) 1 =| 2 ] 30
=| 2 =| 3 =j 1 Í=| 30 E=| 1 E=j 2 l=| 3 Ei
30 [=] (x=5) | (y =5) EE] (= =5)
Lời bình : Làm toán hay hơn :
Bải tập 3 Giải hệ ba phương trình bậế nhất ~~
x+2y+3z =26 2x+5y—13z = 1000
3.1 2x+3y+z= 343.2 43x-9y+3z=0 _
3x+2y+z=39 5x—6y—8z = 600
Dạng toán 4.4 Giải phương trinh bac ba
(theo chương trình-trong Casio fx-500MS)
Thí dụ 6 (Sở GD-ĐT Cần Thơ, 2002)
Tìm tất cả các nghiệm gần đúng với 5 chữ
số thập phân của phương trình xỶ - 5x + 1 = O0
Giải :|IMODE][MODEIfIl|B]1[=lo[=]
[(—)|5l=]1|E|(x1 = 2.128419064)|=]
(x2 =-—2.33005874)|=|(x3 = 0.201639675)
Bài tập 4 Giải các phương trình bắc ba :
4.1 xổ + x2 - 2x-1=0;4.2 4xŸ - 3x + 6 = 0
Kết luận : Dạng toán 4 là dạng bài dé,
chỉ đòi hỏi biết sử dụng thành thạo máy tính
và các chương trình cài sẵn Tuy nhiên nó
có một số ý nghĩa sau : 1) Các bài toán thực tế (tăng trưởng dân
số, lãi suất tiết kiệm, .) thường dẫn đến
các phương trinh và hệ phương trình với các
hệ số là những số lẻ Thông qua các bài
toán thực tế, máy tính cho phép gắn kết
toán học với thực tiễn, ý nghĩa của việc học
toán được rõ nét hơn
2) Máy tính cũng cho phép củng cố bài
học (nắm vững và nhớ các công thức
nghiệm của phương trình và hệ phương trình) qua quá trình giải phương trình theo
thuật toán (tìm công thức nghiệm) như các dạng bài 4.1.2 và 4.2.2 Cũng có thể tìm
nghiệm của phương trình bậc ba theo công thức Cardano trên máy tính
3) Ta có thể giải hàng loạt phương trình
(hệ phương trình) trên máy (chỉ cần thay đổi
hệ số) Vì vậy, việc giải toán trên máy mang
tính công nghệ cao
Trang 10
