Ứng dụng của phép dời hình trong giải toán

Ứng dụng của phép dời hình trong giải toán Các phép biến hình, nói riêng các phép đời hình trong mặt phăng và không gian, cho khả năng giải nhiều loại toán hình học khác nhau: các bài to

Ứng dụng của phép dời hình trong giải toán

Các phép biến hình, nói riêng các phép đời hình trong mặt phăng và không gian, cho khả năng giải nhiều loại toán hình học khác nhau: các bài toán tính toán, các bài toán chứng mỉnh, các bài toán dựng hình, các bài toán quỹ tích và một số bài toán khác

Tuy nhiên để phương pháp biến hình trở thành một phương pháp hiệu quả, dé hoc sinh có kỹ năng giải các bài toán băng phương pháp biến hình, để họ có năng lực định hướng tìm tòi lời giải các bài toán băng phương pháp biến hình, người giáo viên toán cần trang bị cho học sinh vốn kiến thức và kĩ năng cơ bản, trang bị cho họ hệ thống các bài toán gốc, các bài toán điển hình, chú trọng gia công sư phạm tìm tòi các thuật toán giải các bài toán bằng phương pháp sử dụng các phép biến hình

Vì dụ 1 Cho góc nhọn xOp và một diém A thuéc mén trong của góc này

Hãy tìm trên cạnh Ox một điểm Bvà trên cạnh Oy một điểm C sao cho tam giác

ABC có chu vì nhỏ nhất

Giai Gọi À, là điểm đối xứng với A qua canh Ox, A, la đểm đối xứng với

À qua cạnh Oy Đường thẳng À,À¿ cắt Ox, Oy lản lượt tại B và C Ta có:

AB + BC + CA = A,B+ BC + CÀ, = A,A„ Với các điểm B' khác với B trên Ox

và các điểm C' khác với C trên Oy ta có đường gấp khúc A,B + B’C’ + C’A,

luôn dài hơn đoạn thằng A,A„ Vậy các điểm B,C nói trên tạo nên tam giác ABC

có chu v1 nhỏ nhất.

Yi dụ 2 Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn cho trước TừM, N, P, O lần lượt là trung điểm của các canh AB, BC, CD, DA ta vẽ các đường thẳng vuông góc với các cạnh đối diện tương ứng Chứng minh các đường thằng rày đồng quy

Giải, Gọi © là tâm đường trồn ngoại tiếp tứ giác ABCD Ta có OM, ON,

OP, OO lần lượt vuông góc với các cạnh AB, BC, CD, DÀ của tứ giác Ta dé đồng chứng minh được MNFO là mmột hình bình hành Gọi ï là tâm của hình bình hành này Qua phép đối xứng tâm I các điểm M, N, P, Q lần lượt biến thành các điểm P, Q,M, N và ngược lại Do tính chất của phép đối xứng qua tâm nên đường thằng MO đi qua M biến thành đường thing đi qua P và vuông góc với cạnh đối diện AB Như vậy qua phép đối xứng tâm I, các đường thẳng MO, NO,

PO, QO én lượt biến thành các đường thing đi qua P, O, M, N và vuông góc với các cạnh đối diện tương ứng Các đường này đồng quy tại điểm O' đối xứng với điểm O qua tam 1

Vi dys 3 Cho đường trồn tâm O bán kính R và bai điểm B, C cố định trên đường tròn đó Một điểm A di động trên đường trồn cho trước, hay tim quy tích trực tâm H của tam giác ABC

Giải, Ta vẽ đường kính ED Vì AH L BC và DC.L BC = AH /ƒ DC

Tương tự, CH L AB và DA L AB =CH /ƒ DA Vậy AHCD là hình bình hành và

H là ảnh của À trong phép tịnh tiến theo véctz DC’ Vécto JDC này có phương

vuông gốc với BC và có möáun bằng 4 khoảng cách từ tâm O tối cạnh BC,

‘Vay quỹ tích trực tâm H là đường tròn tâm O' ảnh của đường trồn tâm O

bán kính R cho trước qua phép tịnh tiến theo véctơ OO'= DC cho trước.

Vi dis 4 Cho bai đường thing song song a và b Với một điểm C không nằm trên hai đường thẳng đó, hãy tìm trên a, b lần lượt hai diém A, B sao cho ABC là tam giác đều

Giải, Giả sử ta đã dựng được tam giác đều ABC thoà mãn các điều kiện

của bài toán Với phép quay QŸ ta có điểm A biến thành điểm B, khi đó đường

thẳng a biến thành đường thing a’ cling đi qua B Từ đó suy ra cách dựng sau đây

- Dựng đường thẳng a' là ảnh của đường thẳng a qua phép quay ©? bằng

71 CHỈ tại HY

cách ke CH a tai H, tìm ảnh H của H qua phép quay đó và vẽ

- Gọi B là giao điểm của a' với b và lấy điểm A là tạo ảnh của B trong phép quay nói trên ta có A nằm trên a Ta dé ding chimg minh được ABC là tam

giác đều cản dựng Với phép quay or 1a có thêm một vi trí mới của tam giác ABC cản dựng Hai tam giác này đối xứng với nhau qua ruc CH

Cú ý Nếu hai đường thẳng a, b cho trước cắt nhau và điểm C không nằm trên hai đường thằng đó, ta cũng có bài toán tương tự như bài toán trên đây (có thể xảy ra trường hợp đường thẳng a' không cắt b(a" /ÿ b), khi đó bài toán không

có lời giảo,

ANhậw xéi Để giải được các bài toán trên, chúng ta cần nắm vững cách dựng ảnh của đường thằng, đoạn thẳng, tam giác, đường tin qua các phép dồi hình như sau

Ð Dựng ảnh của đường thing qua các phép dời hình được quy về dựng ảnh của hai điểm của đường thẳng đó

hình D biến đường thẳng thành đường thẳng,

Chế ý + Dựng ảnh của đường thẳng qua phép quay O(O, g) được quy về

Thật vậy, nếu OM L a, Me a, O(O, 0) : M r3 MỊ; O(O, 9) :a tsa thiM' eal,

và do các góc (OM, a) va (OM, a’) bằng nhau và bằng 90° nên chỉ cản dựng a! LOM' tai M!

+ Dựng ảnh của đường thẳng a qua phép 7, được quy về dựng ảnh Mĩ của

Ma và đường thẳng 2 qua MỸ, aj/ƒ a(do qua phép tịnh tiến mọi phương đều bất biến)

ii) Dung anh của đường trồn quy về dựng ảnh của tâm O và một điểm M thuộc đường trồn (do phép dời bảo tồn độ dai)

iii) Dựng ảnh của tam giác được quy vẻ dựng ảnh của 3 đỉnh (do phép dồi biến đoạn thing thành đoạn thằng)

iv) Dung anh của góc quy về dựng ảnh của đình và bai điểm khác tương ứng thuộc hai cạnh của góc đó

(ÂNgiện cứu (kếm Xây dựng tích của các phép dời hình, có nghĩa là xét xnối quan hệ giữa phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, phép quay quanh một điểm trên mật phẳng, phép quay quanh trục, phép đối xứng qua mat phing,