một số bài toán không dựng hình được bằng thước và copa

Dựng cạnh x của mật hình lắp phương cá thể tích gấp đôi hình lập phương đã cha, nghĩa là xÌ = 2dÌ, lấy a làm don vi thi P-2=0 4 Trong đại số, nghiệm hữu tỷ của phương trình này chỉ có th

Bai toan 1 “Gap déi mot hình lập phương” Cho hình láp phương có cạnh là a Dựng cạnh x của mật hình lắp phương cá thể tích gấp đôi hình lập phương đã cha, nghĩa là xÌ = 2dÌ, lấy a làm don vi thi P-2=0 (4)

Trong đại số, nghiệm hữu tỷ của phương trình này chỉ có thể là nguyên

và chứa trong các ước của hệ số tự do (-2), các ước là + 1, + 2 (1) khỏng có nghiệm hữa tỷ nên x khỏng dựng được bằng thước và cormpa Vậy bài toán khỏng dưng được bằng thước và compa

Bài toán 2 "Chia ba mỏt góc” Cho gác Œ, dùng thước và comipa hãy

dựng gốc œ= ễ (cá thể hạn chế bài toần vi P < OP)

Nếu dựng được mỏt góc 0œ thì sẽ dựng dược một đoan x = cos0:.: là mỏt cạnh của tam giác vuông có góc nhọn 0 và canh huyền bang 1

Ngược lại, nếu biết cosơ- thì có thể dựng được øœ là góc nhọn của một tam giác vuông có một cạnh là đoạn cosø., cạnh huyền bảng 1 Vậy bài toán trên tương đương với: Cho góc >, dựng đoạng thằng bang cos

Dat ễ = 0.=> cos‡ = cos30 = 4cos°0 - 3cosD

Dat : = 0.=> cos‡ = cos30 = 4cos°0 - 3cosD

Đặt cos0.= 5 va cos = - thì ta có phương trình :

4|—| l) -3—=_— hay x'- 3x-a= 0 ee (2)

là một phương trình bậc 3 Phương trình này khỏng bao giờ cũng có nghiệm hitu ty (a) (vi dua = 1 (= 609) thì (2) trở thành x? — 3x — l = 0 là phương trình khỏng có nghiệm hữu ty)

Vay trong trường hợp tổng quát, bài toán chia 3 một góc khỏng giải được bảng thước và compa

Bài toán 3 "Cảu phương mỏt hình tròn” ưng hình vuông tương đương vai một hình tròn cho trước

2

Diện tích hình tròn bán kính r là 1rẺ (= z2] , tức là bằng điên

tích của hình vuẻng có canh là P mr Đoan thằng này được xem là đoạn

trung bình nhân của các đoan 21.r và 5 Nếu hết bán kính r, mà có thể dựng

được đoạn thẳng có đỏ dài bằng 21r thì bài toán trên dựng được Ngược lại, nếu với bán kính r đã biết mà có thể dựng được hình vuông có chiên tích bằng điên tích hình tròn thì ta cũng có thể dựng được đoạn thằng có đỏ dài bằng đỏ dài đường tròn

2

That vậy, nếu a là cạnh hình vuông thì # = 1rẺ => 271r = E- và đoan

?

thằng này được xern như đoạn thằng tỉ lệ thứ tư của các đoạn thằng 2a, a và r Như vậy bài toán cảu phương hình tròn tương đương bài toán cảu phương đường tròn, tức là dựng đoạn thẳng có đỏ dài 21r Nếu cho r =1 thì

độ dài đó bằng 21m Theo hệ quả 4.1 thì đoạn thằng có đỏ dài bằng 1 được dựng nếu số 7ú biểu thị được qua số 1 chỉ nhờ một số hữu hạn các phép toán

cơ sở Tức là 1 phải là số đại số Đến năm 1882, người ta đã chứng munh được số 1 là số siêu việt Do đó đoạn thẳng có dé di a khong dựng được bang thước vA compa