Toán lớp 6 NC 03 day so trong tap hop so nguyen

a Dạng tốn cĩ quy luật: Dãy cộng Ở chủ đề 01: “TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN” cĩ một số bài tốn đưa ra dạng tốn cĩ quy luật và đan xen vào đĩ là tính tổng của dãy phần bài tập tự luyện.. Ở chủ đề

DẠNG TOÁN QUY LUẬT – DÃY SỐ - CHUYÊN ĐỀ HSG TOÁN 6

Thực hiện phép tính Error! Bookmark not defined

a) Dạng toán có quy luật: (Dãy cộng) 2

Ví dụ 1: 2

Ví dụ 2: 3

Ví dụ 3: 3

Ví dụ 4: 4

Ví dụ 5: 4

 Một số bài tập có giải 6

 Bài tập tự luyện 8

b) Dạng toán có không có quy luật 8

Bài 1: Tính tổng: 8

Bài 2: Tính tổng: 10

Bài 3: Tính tổng: 11

Bài 4: Tính tổng: 13

Bài 5: Tính tổng: 14

Bài 6: Tính tổng: 16

Bài 7: Tính tổng: 17

Bài 8: Tính tổng: 19

c) Phương pháp dự đoán và quy nạp 19

Bài tập áp dụng tổng hợp 20

a) Dạng tốn cĩ quy luật: (Dãy cộng)

Ở chủ đề 01: “TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN” cĩ một số bài tốn đưa ra dạng tốn cĩ quy luật và đan xen vào đĩ là tính tổng của dãy (phần bài tập tự luyện) Ở chủ đề này, mục đầu tiên xin được đưa ra trong các phép tốn trong tập hợp số tự nhiên là dạng tốn cĩ quy luật Các em học sinh cùng nghiên cứu các bước giải và ví dụ tính tốn sau:

Muốn tính tổng của một dãy số cĩ quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:

2

Số hạng cuối Số hạng đầu Số số hạng

Khoảng cách số hạng liên tiếp

.2

Số hạng cuối Số hạng đầu

(quy tắc dân gian : dĩ đầu, cộng vĩ , chiết bán, nhân chi)

Với dãy số tăng dần ta cĩ:

Số hạng cuối = số hạng lớn nhất

Số hạng đầu = số hạng bé nhất

Ở các bài tập dưới đây, dãy cộng với số tự nhiên đa phần ta gặp đĩ là dãy tăng dần

Ví dụ 1: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ hai chữ số ? Tính tổng của chúng

Số số hạng của dãy: 99 10

1 901

Khoảng cách số hạng liên tiếp

Ta cĩ: Số số hạng1Khoảng cách số hạng liên tiếp2  Số hạng cuối Số hạng đầu

Ví dụ 4: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đĩ là 2019 ?

Phân tích: Như bài tập số 2 ta cĩ:

Với dãy số tăng dần ta cĩ:

Ví dụ 5: Một dãy phố cĩ 15 nhà Số nhà của 15 nhà đĩ được đánh là các số lẻ liên tiếp,

biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đĩ bằng 915 Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy

Số hạng cuối Số hạng đầu

Suy ra: 2.Tổng của dãy : Số số hạngSố hạng cuối Số hạng đầu

Bài tốn cho chúng ta biết số số hạng là 15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915 Từ bước 1 và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối Từ đĩ ta hướng dẫn học sinh chuyển bài tốn về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đĩ

Hướng dẫn giải

Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là: 15 1 2    28

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là: 915 2 :15 122

Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là: 122  28 : 2 47

(bài toán tổng hiệu quen thuộc)

Đáp số: 47

CÂU CHUYỆN VỀ VUA TOÁN HỌC GAUSS

Ba tuổi, thiên tài tính toán đã bộc lộ ở Gauss; Bảy tuổi đến trường

và khiến cho các giáo viên phải kinh ngạc trước khả năng toán học của mình Mười chín tuổi, Gauss quyết tâm trở thành nhà toán học Khó có thể chỉ ra một ngành toán học nào mà ở đó lại không có những đóng góp của ông “Vua toán học” Carl Friedrich Gauss

Gauss sinh ra trong một gia đình người sửa ống nước kiêm nghề làm vườn vào mùa xuân năm 1777 Người ta còn kể mãi một câu chuyện về thời thơ ấu của ông như sau:

Cha của Gauss thường nhận thầu khoán công việc để cải thiện đời sống Ông hay thanh toán tiền nong vào chiều thứ bảy Lần ấy, ông vừa đọc xong bảng thanh toán thì từ phía giường trẻ có tiếng của Gauss gọi:

- Cha ơi, cha tính sai rồi, phải thế này mới đúng…

Mọi người không tin, nhưng khi kiểm tra lại thì quả là Gauss đã tính đúng Khi ấy, Gauss mới tròn 3 tuổi Có thể nói, Gauss đã học tính trước khi học nói

Những ngày đầu đến trường, Gauss không có gì đặc biệt so với các trò khác Nhưng tình hình thay đổi hẳn khi nhà trường bắt đầu dạy môn số học Một lần, thầy giáo ra cho lớp bài toán tính tổng tất cả các số nguyên từ 1 – 100 Khi thầy vừa đọc và phân tích đầu bài thì Gauss đã lên tiếng:

- Thưa thầy, em giải xong rồi!

Thầy giáo không hề để ý đến Gauss, dạo quanh các bàn và nói chế nhạo:

- Carl, chắc em sai rồi đấy, không thể giải quá nhanh một bài toán khó như vậy đâu!

- Thầy tha lỗi cho em, em giải rất đúng ạ! Em nhận thấy ở dãy số này có các tổng hai số của từng cặp số đứng cách đều phía đầu và phía cuối của dãy số đều bằng nhau: 100 + 1

= 99 + 2 = 98 + 3 =… 50 = 51 = 101 Có 50 tổng như vậy nên kết quả sẽ là 1 = 2 = 3= … =

101 * 50 = 5050

Thầy giáo hết sức ngạc nhiên khi thấy Gauss giải bài toán một cách chính xác tuyệt đối,

mà cách giải lại vô cùng độc đáo Từ đó,Gauss được mọi người biết đến như một thiên tài toán học

Ngay trong những năm đầu tiên ở trường Đại học Tổng hợp Gottinghen, Gauss đã đưa

ra cách dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước kẻ và compa Đây là một phát hiện rất quan trọng, nên về sau người ta đã theo di chúc của ông mà khắc trên mộ ông đa giác đều 17 cạnh nội tiếp trong một đường tròn

Sau này, nhờ có nghệ thuật tính toán mà Gauss đã phát hiện một hành tinh mới Vào đầu thế kỷ XIX, một nhà thiên văn học người Italia đã phát hiện ra hành tinh mới gọi là Xexera Ông quan sát được nó không lâu, sau đó nó dịch lại gần mặt trời và bị lẫn vào những tia sáng mặt trời Những thí nghiệm của các nhà thiên văn đều không đạt kết quả nữa, họ không nhìn thấy được nó ở chỗ mà theo dự đoán nó phải hành trình đến Các kính viễn vọng đều bất lực Nhưng Gauss, với những số liệu quan sát ban đầu, ông

đã tính được quỹ đạo của hành tinh mới đó và chỉ ra vị trí của nó với độ chính xác cao Nhờ thế, các nhà thiên văn đã tìm thấy Xexera Về sau, theo cách này, người ta đã tìm ra nhiều hành tinh mới khác Sau công trình thiên văn kiệt xuất đó, Gauss được xem như một nhà toán học vĩ đại của thế giới và được tôn là “Ông hoàng toán học”

C F Gauss thọ 78 tuổi, và cả cuộc đời ông là những cống hiến vĩ đại cho ngành toán học của nhân loại Cho đến tận ngày nay, câu chuyện về khả năng tính toán thiên bẩm của Gauss vẫn còn được kể như là những huyền thoại

+ S có số số hạng được tính bằng cách: 99 – 7 : 2   147

Tổng của dãy: S  99   7 47 : 2   2491

(cách viết khác tôi hay sử dụng:  99 7 .4

24 17

b) Số hạng thứ 33 của tổng trên là :  33 –1 2   7 71

Bài 3: Cho dãy số 2;7;12;17;22;…

a) Nêu quy luật của dãy số trên

c) Viết tập hợp B gồm 5 số hạng liên tiếp của dãy số đó, bắt đầu từ số hạng thứ năm

c) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số

Bài 4: Người ta viết liền nhau các số tự nhiên 123456…

a) Hỏi các chữ số đơn vị của các số 53; 328; 1587 đứng ở hàng thứ bao nhiêu?

b) Chữ số viết ở hang thứ 427 là chữ số nào?

Bài 2: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ; 2014

a, Tính tổng của dãy số trên?

b, Tìm số hạng thứ 99 của dãy?

c, Số hạng 1995 có thuộc dãy số trên không? Vì sao?

Bài 3: Tìm tổng các số chẵn có 3 chữ số ?

Bài 4: Tính tổng 60 số chẵn liên tiếp biết số chẵn lớn nhất trong dãy đó là 2010?

Bài 5: Tính tổng 2014 số lẻ liên tiếp bắt đầu bằng số 1?

Bài 6: Tính tổng: 1 + 5+ 9 + 13 + biết tổng trên có 100 số hạng?

Bài 7: Một dãy phố có 20 nhà Số nhà của 20 nhà đó được đánh là các số chẵn liên tiếp,

biết tổng của 20 số nhà của dãy phố đó bằng 2000 Hãy cho biết số nhà cuối cùng trong dãy phố đó là số nào?

b) Dạng toán có không có quy luật

Từ bài toán tổng quát này ta có thể vận dụng để giải các bài toán tương tự nhưng tổng

có nhều số hạng hơn nhanh chóng thuận tiện và các bài toán liên quan khác

* Một số lưu ý khi dạy bài toán dạng này:

- Ta thấy biểu thức cần tính là tổng một dãy số của các số hạng có cùng cơ số, số mũ là

dãy số cách đều tăng dần Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của biểu thức đó với số nào để khi trừ

cho biểu thức ban đầu thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu?

- Trong bài toán như trên ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 1 đơn vị nên ta nhân hai vế

với cơ số của lũy thừa trong biểu thức rồi thực hiện phép trừ biểu thức mới cho biểu thức ban

đầu ta sẽ tìm được tổng (có thể chỉ để dưới dạng 1 biểu thức) như câu a; câu b;

- Đối với các bài tập dạng này Hs nhận biết được cần nhân 2 vế của biểu thức với chính cơ số

Nhận xét: Vấn đề đặt ra là nhân cả hai vế của A với số nào để khi trừ cho A thì một loạt

các lũy thừa bị triệt tiêu ? Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 2

Nhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng dạng này là 1 Nên ta nhân 2

vế của A với 3 lần khoảng cách này

Vậy 720 : 3 A  240

Ta chú ý tới đáp số 720  8.9.10 , trong đó 8.9 là số hạng cuối cùng của A và 10 là số

tự nhiên kề sau của 9, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp

(Gợi ý: Bài B và C khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi số hạng là 2)

Hướng dẫn giải câu B

6 B  6 1.3 3.5 5.7      97.99

6 B  1.3 6 3.5.6 5.7.6      97.99.6

c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên

số Ta giải được bài toán như sau :

a) A  1.2.3  2.3.4    7.8.9  8.9.10

4A  1.2.3  2.3.4  3.4.5  4.5.6  5.6.7  6.7.8  7.8.9  8.9.10 4

n n 

       nên ta có công thức tổng quát sau:

1³ 2³ 3³ 4³ 5³ ³ 1 ( 2 3 4 5 ²)

c) Phương pháp dự đoán và quy nạp

Trong một số trường hợp khi gặp bài toán dạng tổng hữu hạn

1 2

S  a  a  a Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phương pháp này để giải quyết bài toán

Ta dự đoán Sn  n2

Với n  1; 2; 3 ta đều thấy kết quả đúng, giả sử với n k (k1) ta có:

2

2

( 1)2

2 2 2 2

1.3 3.5 5.7 97.99

C       D  1.99  2.98  3.97    49.51 50.50 1.3 5.7 9.11 97.101

E       F  1 3.5 – 3.5.7  5.7.9 – 7.9.11    97.99.101 1.99 3.97 5.95 49.51

a) Tính A

b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?

c) A có bao nhiêu ước tự nhiên Bao nhiêu ước nguyên?