Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn tt

Tính cấp thiết của Luận án Nhiều hiện tượng trong Vật lý, Cơ học và một số lĩnh vực khác được mô hìnhhóa bởi các bài toán biên cho phương trình vi phân thường hoặc phương trìnhđạo hàm ri

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-

NGUYỄN THANH HƯỜNG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN

CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN

Công trình được hoàn thành tại:

Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học

và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học 1: GS TS Đặng Quang Á

Người hướng dẫn khoa học 2: TS Vũ Vinh Quang

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Phản biện 3:

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án Tiến sĩ, họp tại

Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công

nghệ Việt Nam vào hồi … giờ, ngày … tháng … năm

Có thể tì m hiểu Luận án tại:

- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của Luận án

Nhiều hiện tượng trong Vật lý, Cơ học và một số lĩnh vực khác được mô hìnhhóa bởi các bài toán biên cho phương trình vi phân thường hoặc phương trìnhđạo hàm riêng với các loại điều kiện biên khác nhau Việc nghiên cứu định tínhcũng như phương pháp giải các bài toán này luôn là những chủ đề thu hút đượcnhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước như R.P Agawarl,

E Alves, P Amster, Z Bai, Y Li, T.F Ma, H Feng, F Minhós, Y.M Wang,Đặng Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Hữu Công, NguyễnVăn Đạo, Lê Lương Tài, Sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dươngcủa nghiệm, phương pháp lặp tìm nghiệm của một số bài toán biên cho phươngtrình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng cấp bốn đã được xét đến trongcác công trình của tác giả Đặng Quang Á và các cộng sự (2006, 2010, 2016-2018).Tác giả Phạm Kỳ Anh (1982, 1986) cũng có một số công trình nghiên cứu về tínhgiải được, cấu trúc tập nghiệm, các phương pháp xấp xỉ nghiệm, của bài toánbiên tuần hoàn Sự tồn tại nghiệm, tồn tại nghiệm dương của các bài toán về dầmđược xét đến trong các công trình của T.F Ma (2000, 2003, 2004, 2007, 2010)

Lý thuyết và vấn đề giải số các bài toán biên tổng quát đã được đề cập đến trongcác tài liệu R.P Agarwal (1986), Uri M Ascher (1995), Herbert B Keller (1987),

M Ronto (2000),

Trong số các bài toán biên, bài toán biên cho phương trình vi phân thường vàphương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn nhận được sự quan tâmlớn của các nhà nghiên cứu bởi chúng là mô hình toán học của nhiều hiện tượngtrong thực tiễn như sự uốn cong của dầm và của bản, Ta có thể chia phươngtrình vi phân cấp bốn thành hai loại: Phương trình vi phân cấp bốn địa phương vàphương trình vi phân cấp bốn không địa phương Phương trình vi phân cấp bốn

có chứa thành phần tích phân được gọi là phương trình vi phân cấp bốn khôngđịa phương hoặc phương trình loại Kirchhoff Ngược lại, phương trình được gọi

là phương trình vi phân cấp bốn địa phương Dưới đây, ta sẽ điểm qua một sốphương pháp tiêu biểu khi nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi phânphi tuyến cấp bốn

Phương pháp được kể đến đầu tiên là phương pháp biến phân - phương phápphổ biến nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên phi tuyến Ý tưởng

của phương pháp là đưa bài toán ban đầu về bài toán tìm cực trị của một phiếmhàm Các định lý về điểm tới hạn được sử dụng trong nghiên cứu sự tồn tại cựctrị của phiếm hàm Có rất nhiều công trình sử dụng phương pháp biến phân(xem T.F Ma (2000, 2003, 2004), R Pei (2010), F Wang và Y An (2012), S.Heidarkhani (2016), John R Graef (2016), S Dhar và L Kong (2018), ) Tuynhiên phải để ý rằng, khi sử dụng phương pháp biến phân, với các giả thiết vềđiều kiện tăng trưởng đặt lên hàm vế phải, các tác giả phần lớn chỉ xét sự tồn tạinghiệm, sự tồn tại nhiều nghiệm của bài toán (có thể xét sự tồn tại duy nhất củanghiệm trong trường hợp phiếm hàm lồi) nhưng lại không có ví dụ nào về nghiệmtồn tại, đồng thời phương pháp giải bài toán cũng không được xét đến.

Phương pháp tiếp theo được sử dụng rộng rãi là phương pháp nghiệm trên vànghiệm dưới Kết quả chính của phương pháp này khi áp dụng cho các bài toánbiên phi tuyến như sau: Nếu bài toán có nghiệm trên và nghiệm dưới thì với một

số giả thiết, bài toán có ít nhất một nghiệm và nghiệm này nằm trong khoảngnghiệm trên và nghiệm dưới Đồng thời ta có thể xây dựng được hai dãy đơn điệuvới các xấp xỉ đầu là nghiệm trên và nghiệm dưới hội tụ tới nghiệm cực đại vànghiệm cực tiểu của bài toán Trong trường hợp hai nghiệm cực đại và cực tiểutrùng nhau thì bài toán có nghiệm duy nhất

Dưới đây là một số công trình tiêu biểu sử dụng phương pháp nghiệm trên

và nghiệm dưới khi nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi phân phituyến cấp bốn: J Ehme (2002), Z Bai (2004, 2007), Y.M Wang (2006, 2007), H.Feng (2009), F Minhós (2009), Từ các công trình trên ta thấy rằng, phươngpháp nghiệm trên và nghiệm dưới có thể thiết lập được sự tồn tại nghiệm, tínhduy nhất nghiệm, xây dựng được dãy lặp hội tụ tới nghiệm nhưng một giả thiếtkhông thể thiếu được là bài toán phải có nghiệm trên và nghiệm dưới, trong khi

đó tìm được các nghiệm này không phải là việc dễ dàng Ngoài ra ta còn cần cácgiả thiết khác đặt lên hàm vế phải như điều kiện tăng trưởng tại vô cùng hoặcđiều kiện phức tạp như điều kiện Nagumo

Ngoài phương pháp biến phân, phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới, cácnhà khoa học còn dùng phương pháp sử dụng các định lý điểm bất động trongnghiên cứu các bài toán biên phi tuyến Áp dụng phương pháp trên, người ta đưabài toán đã cho về bài toán tìm điểm bất động của một toán tử, sau đó áp dụngcác định lý điểm bất động đối với toán tử này Ta có thể liệt kê rất nhiều côngtrình sử dụng phương pháp trên (xem R.P Agarwal (1984), B Yang (2005), P.Amster (2008), T.F Ma (2010), S Yardimci (2014), )

Chú ý rằng, trong các công trình áp dụng phương pháp điểm bất động nghiêncứu các bài toán biên phi tuyến, phần lớn các tác giả sử dụng cách tiếp cận đưabài toán đã cho về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm Sử dụng các định lý

về tồn tại điểm bất động như Định lý điểm bất động Schauder, Leray-Schauder,Krassnosel’skii, đối với toán tử này ta chỉ thiết lập được sự tồn tại nghiệm Sử

dụng Định lý điểm bất động Bannach ta không những thiết lập được sự tồn tạiduy nhất nghiệm của bài toán mà còn đưa ra được phương pháp lặp hội tụ cấp

số nhân tìm nghiệm Tuy nhiên cũng phải để ý rằng, việc lựa chọn toán tử và xéttoán tử này trên một không gian phù hợp sao cho các giả thiết đặt lên các hàmràng buộc là đơn giản mà vẫn đảm bảo các điều kiện để áp dụng được các định

lý điểm bất động trong nghiên cứu định tính cũng như phương pháp giải các bàitoán biên phi tuyến đóng vai trò vô cùng quan trọng

Một trong những phương pháp số phổ biến được sử dụng rộng rãi trong xấp xỉnghiệm của các bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trìnhđạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn là phương pháp sai phân hữu hạn (xem T.F

Ma (2003), R.K Mohanty (2000), J Talwar (2012), Y.M Wang (2007), ) Bằngcách thay thế các đạo hàm bởi các công thức sai phân, bài toán đã cho được rờirạc thành các hệ phương trình đại số Giải hệ này ta thu được nghiệm xấp xỉcủa bài toán tại các nút lưới Chú ý rằng khi sử dụng phương pháp sai phân hữuhạn nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến, nhiều công trình tiếp cận theo hướngcông nhận sự tồn tại nghiệm của bài toán (không xét về mặt định tính), rời rạchóa bài toán ngay từ ban đầu Cách làm này có nhược điểm là khó đánh giá được

sự ổn định, hội tụ của lược đồ sai phân và khó có thể đánh giá sai số giữa nghiệmđúng và nghiệm xấp xỉ

Khi nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến, ngoài các phương pháp phổ biếnđược trình bày ở trên còn có thể kể đến một số phương pháp khác như phươngpháp phần tử hữu hạn, phương pháp chuỗi Taylor, phương pháp chuỗi Fourier,phương pháp sử dụng lý thuyết bậc Brouwer, bậc Leray-Schauder, Có thể kếthợp các phương pháp nêu trên để nghiên cứu đầy đủ cả về mặt định tính lẫn địnhlượng của bài toán

Với sự phát triển không ngừng của khoa học, kỹ thuật, vật lý, cơ học, xuấtphát từ những bài toán thực tế trong các lĩnh vực này, các bài toán biên mới đượcđặt ra ngày càng nhiều và phức tạp trong cả phương trình lẫn điều kiện biên.Mỗi tác giả sẽ có phương pháp, cách tiếp cận, kỹ thuật khác nhau với từng bàitoán Mỗi phương pháp đề ra sẽ có những ưu điểm và hạn chế riêng và khó cóthể khẳng định phương pháp nào thực sự tốt hơn phương pháp nào từ lý thuyếtcho đến thực nghiệm Tuy nhiên, chúng tôi sẽ hướng tới phương pháp nghiên cứuđược toàn diện cả về mặt định tính lẫn định lượng của các bài toán sao cho cácđiều kiện được đặt ra là đơn giản và dễ kiểm tra, đưa ra những ví dụ minh họacho tính ứng dụng của kết quả lý thuyết, so sánh được kết quả chúng tôi đạt được

so với kết quả đã có của một số tác giả khác về một mặt nào đó

Đây chính là mục đích và lí do chúng tôi lựa chọn đề tài Luận án "Giải gầnđúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn"

2 Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của Luận án

Đối với một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân thường vàphương trình đạo hàm riêng cấp bốn là mô hình các bài toán trong lý thuyết uốncủa dầm và của bản:

- Nghiên cứu định tính (sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dươngcủa nghiệm) bằng cách sử dụng các định lý điểm bất động và nguyên lý cực đạikhông cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo, của hàm

vế phải

- Xây dựng các phương pháp lặp giải bài toán

- Đưa ra các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví

dụ thể hiện ưu thế của phương pháp đề xuất so với phương pháp của một số tácgiả khác

3 Phương pháp và nội dung nghiên cứu

- Sử dụng cách tiếp cận đơn giản nhưng hiệu quả đưa các bài toán biên phituyến về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian,

sử dụng các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình viphân, nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và một số tính chấtkhác của nghiệm của một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường vàphương trình đạo hàm riêng cấp bốn địa phương và không địa phương

- Đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội

tụ của phương pháp

- Đưa ra một số ví dụ trong cả hai trường hợp đã biết trước nghiệm đúng vàchưa biết trước nghiệm đúng để minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lýthuyết và kiểm tra sự hội tụ của các phương pháp lặp tìm nghiệm

4 Kết quả đạt được của Luận án

Luận án đề xuất một phương pháp đơn giản nhưng rất hiệu quả nghiên cứu sựtồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải năm bài toán biên cho phươngtrình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương, không địa phương với cácloại điều kiện biên khác nhau và hai bài toán biên cho phương trình song điều hòa

và phương trình song điều hòa loại Kirchhoff nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa bàitoán đã cho về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trunggian Các kết quả đạt được là:

- Thiết lập được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán dưới các điềukiện dễ kiểm tra, trong đó bài toán biên cho phương trình vi phân thường cấpbốn địa phương với điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp và bài toánbiên cho phương trình song điều hòa, xét được tính dương của nghiệm

- Đề xuất phương pháp lặp giải các bài toán này và chứng minh sự hội tụ củaphương pháp với tốc độ hội tụ cấp số nhân.

- Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lýthuyết, trong đó có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp trong Luận án

so với phương pháp của một số tác giả khác

- Đưa ra các thử nghiệm số kiểm tra sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm.Luận án được viết trên cơ sở các bài báo [A1]-[A8] trong Danh mục các côngtrình của tác giả liên quan đến Luận án

Luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và danh mục các tài liệutham khảo

Các kết quả trong Luận án đã được báo cáo và thảo luận tại:

1 Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 11, Ba Vì, 24-27/4/2013

2 Hội nghị toàn quốc lần thứ IV về Ứng dụng Toán học, Hà Nội, 23-25/12/2015

3 Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, 21-23/4/2016

4 Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 13/11/2016

12-5 Hội nghị Nghiên cứu cơ bản và ứng dụng Công nghệ Thông tin (FAIR’ 10),

Chương 1

Kiến thức bổ trợ

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần sử dụng trong các chươngtiếp theo của Luận án Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu A.N.Kolmogorov và S.V Fomin (1957), E Zeidler (1986), A.A Sammarskii (1989,2001), A Granas và J Dugundji (2003), J Li (2005), Đặng Quang Á (2009), R.L.Burden (2011)

• Mục 1.1 trình bày một số Định lý điểm bất động: Định lý điểm bất độngBrouwer, Định lý điểm bất động Schauder, Định lý điểm bất động Banach

• Mục 1.2 trình bày khái niệm hàm Green đối với bài toán biên cho phươngtrình vi phân tuyến tính cấp n và một số ví dụ cụ thể về cách xác định hàmGreen của các bài toán biên cho phương trình vi phân cấp hai và cấp bốnvới các điều kiện biên khác nhau

• Mục 1.3 trình bày một số công thức tính gần đúng đạo hàm, tích phân vớisai số cấp hai và cấp bốn

• Mục 1.4 trình bày công thức xấp xỉ phương trình Poisson với độ chính xáccấp bốn

• Mục 1.5 trình bày phương pháp khử giải hệ phương trình vô hướng ba điểm

và phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc tơ ba điểm

Chương 2

Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi thường phi tuyến cấp bốn

Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải nămbài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương vàkhông địa phương với các điều kiện biên khác nhau: điều kiện biên dạng gối - tựađơn giản, điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp, điều kiện biên phi tuyến

Ở đây, Luận án sử dụng phương pháp đưa bài toán ban đầu về phương trình toán

tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian, sau đó xét trên một miền giớinội thích hợp cùng với một số điều kiện dễ kiểm tra, Luận án chứng minh đượctoán tử đó là co Từ đó, sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán được thiết lập,đồng thời phương pháp lặp tìm nghiệm hội tụ

Các kết quả của chương được trình bày trong các bài báo [A2]-[A4], [A6]-[A8]trong Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án

bốn địa phương

2.1.1 Trường hợp điều kiện biên tổ hợp

Luận án trình bày chi tiết các kết quả của công trình [A4] đối với bài toán

u(4)(x) = f (x, u(x), u0(x), u00(x), u000(x)), 0 < x < 1,

u(0) = 0, u0(1) = 0, au00(0) − bu000(0) = 0, cu00(1) + du000(1) = 0, (2.1.1)

ở đây a, b, c, d ≥ 0, ρ := ad + bc + ac > 0 và f : [0, 1] × R4 → R là hàm liên tục

2.1.1.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Với hàm ϕ(x) ∈ C[0, 1], xét toán tử phi tuyến A : C[0, 1] → C[0, 1] được xácđịnh như sau

(Aϕ)(x) = f (x, u(x), u0(x), u00(x), u000(x)), (2.1.2)

trong đó u(x) là nghiệm của bài toán

u(4)(x) = ϕ(x), 0 < x < 1,

u(0) = 0, u0(1) = 0, au00(0) − bu000(0) = 0, cu00(1) + du000(1) = 0 (2.1.3)

Mệnh đề 2.1 Hàm ϕ(x) là điểm bất động của toán tử A, tức là ϕ(x) là nghiệmcủa phương trình toán tử ϕ = Aϕ khi và chỉ khi hàm u(x) xác định từ bài toán(2.1.3) là nghiệm của bài toán (2.1.1)

Nếu ta đặt v(x) = u00(x) thì bài toán (2.1.3) đưa được về hai bài toán cấp hai

 v00(x) = ϕ(x), 0 < x < 1,

av(0) − bv0(0) = 0, cv(1) + dv0(1) = 0,

 u00(x) = v(x), 0 < x < 1,u(0) = 0, u0(1) = 0

Khi đó toán tử A xác định ở (2.1.2) biểu diễn được trong dạng

(Aϕ)(x) = f (x, u(x), y(x), v(x), z(x)), y(x) = u0(x), z(x) = v0(x)

Với M > 0, ta định nghĩa miền

DM =

n

(x, u, y, v, z) | 0 ≤ x ≤ 1, |u| ≤ ρ1M, |y| ≤ ρ2M, |v| ≤ ρ3M, |z| ≤ ρ4M

o,

ở đây ρ1 = 1

24 +

2ad + bc + 6bd12ρ , ρ2 =

1

12 +

ad + bc + 4bd4ρ ,

ac

2 + max(ad, bc)



Kí hiệu B[O, M ] là hình cầu đóng tâm O bán kính M trong không gian C[0, 1]

Bổ đề 2.1 Giả sử tồn tại các hằng số M > 0, K1, K2, K3, K4 ≥ 0 sao cho

|f (x, u, y, v, z)| ≤ M với mọi (x, u, y, v, z) ∈ DM Khi đó toán tử A ánh xạB[O, M ] vào chính nó Ngoài ra, nếu

|f (x, u2,y2, v2, z2) − f (x, u1, y1, v1, z1)|

≤ K1|u2 − u1| + K2|y2− y1| + K3|v2− v1| + K4|z2 − z1| (2.1.4)với mọi (t, ui, yi, vi, zi) ∈ DM (i = 1, 2) và

q = K1ρ1 + K2ρ2+ K3ρ3 + K4ρ4 < 1 (2.1.5)

thì A là toán tử co trong B[O, M ]

Định lý 2.1 Giả sử rằng tất cả các điều kiện trong Bổ đề 2.1 đều được thỏamãn Khi đó, bài toán (2.1.1) có duy nhất nghiệm u và

kuk ≤ ρ1M, ku0k ≤ ρ2M, ku00k ≤ ρ3M, ku000k ≤ ρ4M

Kí hiệu

DM+ =

n(x, u, y, v, z) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ u ≤ ρ1M,

0 ≤ y ≤ ρ2M, −ρ3M ≤ v ≤ 0, −ρ4M ≤ z ≤ ρ4Mo

Định lý 2.2 (Tính dương của nghiệm)

Giả sử trong DM+ hàm f thỏa mãn 0 ≤ f (x, u, y, v, z) ≤ M và các điều kiện (2.1.4),(2.1.5) của Bổ đề 2.1 đều được thỏa mãn Khi đó bài toán (2.1.1) có nghiệm không

Xét lưới đều ωh = {xi = ih, i = 0, 1, , N ; h = 1/N } trên [0, 1] Kí hiệu

Vk, Uk, Φk là các hàm lưới Với hàm lưới tổng quát V trênωh ta kí hiệu Vi = V (xi)

và Vi0 là các đạo hàm sai phân cấp một với độ chính xác cấp bốn Luận án thuđược phương pháp lặp ở mức rời rạc giải bài toán (2.1.1):

Luận án đưa ra các ví dụ số minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó một

số ví dụ được phân tích cho thấy ưu thế của phương pháp đề xuất so với phươngpháp trong H Feng, D Ji, W Ge (2009): phương pháp trong Luận án khẳng định

sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán, trong khi đó, theo phương pháp trong

H Feng, D Ji, W Ge (2009) ta không kết luận được gì về sự tồn tại nghiệm củabài toán

2.1.2 Trường hợp điều kiện biên Dirichlet

Luận án trình bày chi tiết các kết quả trong bài báo [A3] về bài toán

u(4)(x) = f (x, u(x), u0(x), u00(x), u000(x)), a < x < b,u(a) = u(b) = 0, u0(a) = u0(b) = 0, (2.1.6)

2.1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Với hàm ϕ(x) ∈ C[0, 1], xét toán tử phi tuyến A : C[a, b] → C[a, b] được xácđịnh như sau

(Aϕ)(x) = f (x, u(x), u0(x), u00(x), u000(x)), (2.1.7)

ở đây u(x) là nghiệm của bài toán

u(4)(x) = ϕ(x), a < x < b,u(a) = u(b) = 0, u0(a) = u0(b) = 0 (2.1.8)

Mệnh đề 2.2 Nếu hàm ϕ(x) là điểm bất động của toán tử A, tức là, ϕ(x) lànghiệm của phương trình toán tử

thì hàm u(x) xác định từ bài toán (2.1.8) là nghiệm của (2.1.6) Ngược lại, nếuu(x) là nghiệm của bài toán (2.1.6) thì hàm ϕ(x) = f (x, u(x), u0(x), u00(x), u000(x))

là điểm bất động của toán tử A được định nghĩa bởi (2.1.7) và (2.1.8)

Như vậy việc tìm nghiệm của bài toán (2.1.6) được đưa về việc tìm nghiệmcủa phương trình toán tử (2.1.9)

Với số M > 0, ta định nghĩa miền

DM =

n(x, u, y, v, z) | a ≤ x ≤ b, |u| ≤ C4,0(b − a)4M,

Định lý 2.4 Giả sử f là hàm liên tục và tồn tại hằng số M > 0 sao cho

|f (x, u, y, v, z)| ≤ M với mọi (x, u, y, v, z) ∈ DM Khi đó bài toán (2.1.6) có ítnhất một nghiệm

Định lý 2.5 Giả sử rằng tất cả các điều kiện của Định lý 2.4 đều được thỏamãn Thêm vào đó, giả sử tồn tại các hằng số K0, K1, K2, K3 ≥ 0 sao cho

|f (x, u2, y2, v2, z2) − f (x, u1, y1, v1, z1)| ≤ K0|u2− u1| + K1|y2 − y1|

+ K2|v2 − v1| + K3|z2− z1|, (2.1.10)với mọi (x, ui, yi, vi, zi) ∈ DM (i = 1, 2) và