Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải bài tập hình học

Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theo định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh 22 2.1.. Xuất phát từ những yêu cầu xã hội đối với sự phát triển nhân cách củathế hệ

Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của T.S Nguyễn Đinh Hùng.

Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý của các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành

Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán.

Xin trân trọng gửi tới các thầy cô giáo lời biết ơn chân thành và sâu sắc của tác giả.

Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán trường Nghi Lộc 1 đã tạo điều kiện trong quá trình tác giả thực hiện đề tài.

Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ

vũ động viên để tác giả thêm nghị lực hoàn thành Luận văn này.

Tuy đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.

Vinh, tháng 11 năm 2007

Tác giả

1.3 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo 91.4 Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho HS 141.5 Tiềm năng của hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng

Chương 2 Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theo

định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh 22

2.1 Vấn đề 1: Rèn luyện tư duy sáng tạo qua bài toán dựng hình 222.2 Vấn đề 2: Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho

2.3 Vấn đề 3: Xây dựng hệ thống bài toán gốc giúp học sinh quy

lạ về quen

69

2.4 Vấn đề 4: Chuyển việc tìm tòi lời giải bài toán hình học

không gian về bài toán hình học phẳng

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Thế giới ngày nay đang thay đổi theo một tốc độ luỹ thừa, nhằm đápứng được những thay đổi nhanh chóng đó trong khoa học, công nghệ, truyềnthông Chúng ta không những dựa trên các giải pháp của quá khứ, mà cònphải tin tưởng vào những quá trình giải quyết các vấn đề mới

Điều này không chỉ hàm ý nói đến những kỹ thuật mới mà còn nói đếnmục tiêu giáo dục Mục tiêu của giáo dục phải là phát triển một xã hội trong

đó con người có thể sống thoải mái với sự thay đổi hơn là sự xơ cứng Vì thếbắt buộc bản thân các nhà giáo dục phải vừa giữ gìn, lưu truyền tri thức vàcác giá trị của quá khứ vừa chuẩn bị cho một tương lai mà ta chưa biết rõ

Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãitrong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống

xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá sản xuất, trởthành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìa khoá của

sự phát triển

Xuất phát từ những yêu cầu xã hội đối với sự phát triển nhân cách củathế hệ trẻ, từ những đặc điểm của nội dung mới và từ bản chất của quá trìnhhọc tập buộc chúng ta phải đổi mới phương pháp dạy học theo hướng bồidưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

Việc học tập tự giác tích cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi học sinhphải có ý thức về những mục tiêu đặt ra và tạo được động lực trong thúc đẩybản thân họ tư duy để đạt được mục tiêu đó

Trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ở trường phổ thông,môn Toán đóng vai trò rất quan trọng Bởi vì, Toán học có một vai trò to lớntrong sự phát triển của các ngành khoa học và kỹ thuật; Toán học có liên quanchặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa

học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại; Toán học còn là mộtcông cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác.

Vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh đã được nhiều tác giả

trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Với tác phẩm "Sáng tạo toán học"

nổi tiếng, nhà toán học kiêm tâm lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất củaquá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học Đồng thời trong tác phẩm

"Tâm lý năng lực toán học của học sinh", Krutecxiki đã nghiên cứu cấu trúc

năng lực toán học của học sinh Ở nước ta, các tác giả Hoàng Chúng, NguyễnCảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Tôn Thân,Phạm Gia Đức,… đã có nhiều công trình giải quyết những vấn đề về lý luận

và thực tiễn việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Hay như luận văn

Thạc sĩ của Từ Hữu Sơn - Đại học Vinh năm 2004 với tiêu đề: "Góp phần bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo lý thuyết đồ thị" Phạm Xuân Chung năm 2001: "Khai thác sách giáo khoa hình học 10 THPT hiện hành qua một số dạng bài tập điển hình nhằm phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh" Tác giả Bùi Thị Hà - Đại học Vinh năm 2003, trong luận văn của mình với đề tài: "Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập nguyên hàm, tích phân".

Như vậy, việc bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong hoạt độngdạy học toán được rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Tuy nhiên, việc bồidưỡng tư duy sáng tạo thông qua dạy giải các bài tập hình học ở trường THPTthì các tác giả chưa khai thác và đi sâu vào nghiên cứu cụ thể Vì vậy, tôi

chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là: " Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải bài tập hình học".

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và đề xuất một số vấn đềnhằm góp phần rèn luyện yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh qua dạy họcgiải bài tập hình học

3 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu dạy học hình học theo định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo chohọc sinh thì có thể góp phần đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạnhiện nay và nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông trung học

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

4.1- Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo

4.2- Xác định các vấn đề đã đề xuất nhằm rèn luyện năng lực tư duysáng tạo cho học sinh

4.3- Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập hình học phù hợp với sựphát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

4.4- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tínhhiện thực, tính hiệu quả của đề tài

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1- Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luậndạy học môn toán

- Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài

- Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.5.2 Quan sát

- Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo viên và việc học của học sinhtrong quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa

- Lý do chọn đề tài

- Mục đích nghiên cứu

- Nhiệm vụ nghiên cứu

- Giả thiết khoa học

- Phương pháp nghiên cứu

B Phần nội dung

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Tư duy

1.2 Tư duy sáng tạo

1.3 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

1.4 Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho HS.1.5 Tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sángtạo cho học sinh

1.6 Kết luận chương 1

Chương 2 Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theo định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

2.1 Vấn đề 1: Rèn luyện tư duy sáng tạo qua bài toán dựng hình

2.2 Vấn đề 2: Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải trong một

3.3.2 Kết luận về thực nghiệm sư phạm.

Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chấtmối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng tronghiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết (theo tâm lý học đại cương -Nguyễn Quang Cẩn)

Theo từ điển triết học: "Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổchức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giớikhách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận Tư duy xuất hiện trongquá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thựctại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉtồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lờinói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của conngười được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quảcủa tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là những quátrình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đềnhất định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thiết, những ýniệm Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó"

Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của tư duy

- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phảnánh tích cực thế giới khách quan.

- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thểhiện qua ngôn ngữ

- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượngđược phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của conngười nhằm phản ánh đối tượng

- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từthuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người

1.2 Tư duy sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giảiquyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung củasáng tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích(giá trị hơn cái cũ) Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nàocủa xã hội loài người Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phươngdiện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu

tư duy, như là một năng lực của con người

Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sángtạo Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính dộc lập và tính phê phán lànhững điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về nhữngmặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ởkhả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kếtquả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" (Nguyễn BáKim - Phương pháp dạy học bộ môn Toán)

Theo Tôn Thân quan niệm: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độclập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao" Và

theo tác giả "Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụthuộc vào cái đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đíchvừa trong việc tìm giải pháp Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rấtđậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó (Tôn Thân - Xây dựng hệ thống câuhỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinhkhá và giỏi Toán ở trường THCS Việt Nam, luận án phó Tiến sỹ khoa học sưphạm - Tâm lý, Viện khoa học giáo dục Hà Nội)

Nhà tâm lý học người Đức Mehlhow cho rằng "Tư duy sáng tạo là hạtnhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục"Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng,hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chínhxác Trong khi đó, J.DanTon lại cho rằng "Tư duy sáng tạo đó là những nănglực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chứcnăng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cáchdạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: sựkhám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thámhiểm"

Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một tư duy gọi

là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Cóthể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bàitoán sau này Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có sốlượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duycàng cao, thí dụ: lúc những cố gắng của người giải vạch ra được các phươngthức giải áp dụng cho những bài toán khác Việc làm của người giải có thể làsáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy khônggiải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả"

Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học Toán:

"Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đươngđầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết

Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thaotác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn),tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểunhững bước đi chưa biết trước Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho họcsinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.

Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì

đó là tư duy sáng tạo ra cái mới Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đến những trithức mới về thế giới về các phương thức hoạt động Lene đã chỉ ra các thuộctính sau đây của tư duy sáng tạo:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo

- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách"

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu

- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìmhiểu lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thànhmột phương thức mới)

- Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưngphương thức khác (Lene - dạy học nên vấn đề - NXBGD - 1977)

Tư duy sáng tạo là tư duy tích cực và tư duy độc lập nhưng không phảitrong tư duy tích cực đều là tư duy độc lập và không phải trong tư duy độc lậpđều là tư duy sáng tạo và có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các khái niệmdưới dạng vòng trong đồng tâm

Tư duy tích cực

Tư duy độc lập

Tư duy sáng tạo

Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứngminh mà học sinh đó chưa biết đến Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sángtạo giải quyết mâu thuẫn tồn tạo trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ởtính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp

Nói chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởngmới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

1.3 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, … về cấu trúccủa tư duy sáng tạo, có năm đặc trưng cơ bản sau:

Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanhchóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc

độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy cósẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan

hệ mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán

đoán Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiếnthức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có nhữngyếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của nhữngkinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước Đó lànhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới củađối tượng quen biết.

Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duysáng tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các emgiải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy

1.3.2 Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cáchnhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàncảnh, đưa ra giả thuyết mới Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chấtlượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo

Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượngnhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khảnăng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh

ra chất lượng Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau:

- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìmđược nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trướcmột vấn để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm

và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tốiưu

Ví dụ : Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA

= OB = OC = a Gọi I là trung điểm của BC Hãy tính khoảng cách giữa haiđường thẳng chéo nhau AI, OC?

Cách 1: Xem khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AI và OC là khoảng

cách từ 1 điểm thuộc 1 đường thẳng (chẳng hạn O  OC) đến một mặt phẳngsong song đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại mặt phẳng (AIJ)

Qua I kẻ IJ // OC (J  OB)

Gọi (P) là mặt phẳng qua AI, IJ khi đó (P) // OC

Vậy d(AI, OC) = d(OC, (P)) = d(O, (P))

- Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau,

có một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứkhông phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

Trở lại ví dụ trên ta có:

Cách 2: Dựng đường vuông góc chung của AI và OC.

- Qua I kẻ đường thẳng IJ // OC (J  OB)

- Qua O kẻ đường thẳng OH // AJ (H  AJ)

- Qua H kẻ đường thẳng HE // IJ (I  AI)

- Qua E kẻ đường thẳng EF // OH (F  OC)

Khi đó EF là đoạn  góc chung của AI và OC

c

i

e h a

j

b

Do đó EF  OC (OH // EF) (3)

Từ (2) và (3) ta có điều phải chứng minh

Khoảng cách giữa đường thẳng AI và OC là:

d(AI, OC) = EF = OH

Cách 3: Xét khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và OC là khoảng cách giữa

hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng AI, OC và song song với nhau

Cách 4: Xem khoảng cách giữa 2 đường thẳng AI và OC là chiều cao hình

chóp có đỉnh là một điểm nằm trên một đường thẳng (chẳng hạn O  OC) đáynằm trên mặt phẳng // đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại (mp(AIJ)) Hình chóp OAIJ

Ta có d(OC, AI) = OAIJ

AIJ

3VSTrong đó:

b h

a

3 2a a 5  5Vậy d (OC, AI) = a

5 .

Cách 5: Xem khoảng cách giữa hai đường thẳng AI, OC là chiều cao hình

hộp có hai đáy chứa 2 đường thẳng trên

Dựng hình hộp AMNPOCDI

Gọi V là thể tích của hình hộp Khi đó d (OC, AI) =

MNCO

VSTrong đó V = AO SOCDI = 2AO SOCI

AJ = 2 a2

a4

n

b

i

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng.

- Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bênngoài liên tưởng như không có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan

hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từhoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiệncho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau(tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà

có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố này có quan

hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tínhnhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên

tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người

1.3.4 Tính hoàn thiện

Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hànhđộng, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng

1.3.5 Tính nhạy cảm vấn đề

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:

- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ

đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ởhọc sinh nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi Trong học tậpToán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay

đổi các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùngphân tích trong khi tìm tòi lời giải và dùng tổng hợp để trình bày lời giải Ởhọc sinh khá và giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu tố đặc trưng của tư duysáng tạo Điều quan trọng là người giáo viên phải có phương pháp dạy họcthích hợp để có thể bồi dưỡng và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo ở cácem.

1.4 Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

Tư duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh vànhiệm vụ của người thầy giáo là rèn luyện cho học sinh năng lực xem xét cácđối tượng và hiện tượng trong sự vận động, trong những mối liên hệ, mối mâuthuẫn và trong sự phát triển

Tư duy biện chứng rất quan trọng, nó là cái giúp ta phát hiện vấn đề vàđịnh hướng tìm tòi cách giải quyết vấn đề, nó giúp ta cũng cố lòng tin khi trongviệc tìm tòi tạm thời gặp thất bại, những khi đó ta vẫn vững lòng tin rằng rồi sẽ

có ngày thành công và hướng tìm đến thành công là cố nhìn cho được mỗi kháiniệm toán học theo nhiều cách khác nhau, càng nhiều càng tốt

Tư duy sáng tạo là loại hình tư duy đặc trưng bởi hoạt động và suy nghĩnhận thức mà những hoạt động nhận thức ấy luôn theo một phương diện mới,giải quyết vấn đề theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnh hoàn toànmới, xem xét sự vật hiện tượng, về mối quan hệ theo một cách mới có ýnghĩa, có giá trị Muốn đạt được điều đó khi xem xét vấn đề nào đó chúng taphải xem xét từ chính bản thân nó, nhìn nó dưới nhiều khía cạnh khác nhau,đặt nó vào những hoàn cảnh khác nhau, như thế mới giải quyết vấn đề mộtcách sáng tạo được Mặt khác tư duy biện chứng đã chỉ rõ là khi xem xét sự vậtphải xem xét một cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó, tức là phải xemxét sự vật trong tất cả các mặt, các mối quan hệ trong tổng thể những mối quan

hệ phong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự vật khác Đây là cơ sở đểhọc sinh học toán một cách sáng tạo, không gò bó, đưa ra được nhiều cách giảikhác nhau.

Điều đó có nghĩa là chúng ta phải rèn luyện tư duy biện chứng cho họcsinh hay nói cách khác là rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh từ đó

có thể rèn luyện được tư duy sáng tạo cho học sinh

Ví dụ: Xét bài toán sau đây: "Cho tam giác ABC, về phía ngoài của tam

giác đó ta dựng các tam giác đều ABC', ACB', BCA' Chứng minh rằng tam giácIJK tạo thành từ các điểm là tâm của các tam giác đều trên là một tam giác đều".Trước hết ta chưa nêu ra lời giải bài toán ngay mà hãy đặt bài toán trongnhững mối liên hệ, xem xét nó trong sự vận động, nhìn bài toán dưới nhiều góc

độ khác nhau để tìm phương án giải quyết tối ưu nhất, sáng tạo nhất

Đối với bài toán chứng minh một tam giác là một tam giác đều chúng taphải hướng học sinh nhìn nhận tam giác đều dưới nhiều khía cạnh khác nhau

để tìm ra các lời giải cho bài toán:

- Nếu ta nhìn tam giác đều là một tam giác có ba cạnh bằng nhau chúng

ta sẽ có hướng chứng minh ba cạnh của tam giác bằng nhau:

J I

B'

A'

C B

A C'

Ta tìm cách biến đổi để có biểu thức của KJ2 đối xứng đối với a, b, c

3

26

cbaKJ

S3

326

c6

b6

2bc.cosAc

bKJ

2 2 2 2

2 2 2

2 2

3bc.cosA3

13

b3c

)60bc.cos(A3

23

b3

cKJ

2 2

2 2

Trong tam giác AKJ ta có:

KJ2 = AK2+AJ2-2.AK.AJ.cosKAJ

Gọi các cạnh của tam giác ABC lần

lượt l a, b, c thì à a, b, c thì

3

3bAJ,3

3c

Còn cosKAJ cos(A 60   o)

Vì biểu thức KJ2 đối xứng đối với a, b, c nên một cách tương tự ta có:

2 2

2 JI KI

KJ   Suy ra KJ JIKI hay tam giác IJK đều

- Nếu ta nhìn tam giác đều là một tam giác có ba góc bằng nhau ta sẽ cóhướng chứng minh ba góc của tam giác bằng nhau:

Ta yêu cầu học sinh hãy xét bài toán này xem trong bản thân nó cónhững mối liên hệ nào? Lúc này buộc học sinh phải suy nghĩ, phải đặt bàitoán trong những mối liên hệ khác, ta có cách giải 2:

Cách giải 2: Chứng minh ba góc I, J, K bằng nhau:

Mặt khác, IJ là đường nối tâm, OC là dây cung của hai đường tròn BOC

và AOC nên IJOC

Tương tự, ta có IK OA Do đó, vì AOB 120  0, nên IJK 60  0

Hoàn toàn tương tự ta có: JKI KIJ 60   0

(Nếu O nằm ngoài tam giác ABC ta cũng có cách chứng minh tương

tự như trên)

Vậy ta có tam giác IJK là tam giác đều.

* Khi đã nêu được hai cách giải của bài toán và nêu nhận xét bây giờgiáo viên yêu cầu học sinh hãy đặc biệt hóa các giả thiết của bài toán để làmsáng tỏ hơn bài toán và có thể tìm ra các bài toán tương tự

- Trước hết ta xét trường hợp đặc biệt đó là khi tam giác ABC suy biếnthành đoạn thẳng tức là ta nhìn đoạn thẳng là một tam giác có hai đỉnh trùngnhau khi đó ta sẽ có kết quả như thế nào?

Giả sử tam giác ABC có đỉnh C trùng với đỉnh A

Nhìn vào hình vẽ ta thấy: Dễ dàng chứng

minh được rằng tam giác AO1O2 là tam giác đều

Vậy ta cũng có kết quả hoàn toàn tương tự

- Bây giờ ta xét trường hợp nếu các tam

giác đều được dựng về phía trong của tam giác

Vậy tứ giác tạo bởi tâm của các hình vuông có tính chất gì tương tự trên không?

- Học sinh vẽ hình và dự đoán rằng nếu ABCD là hình bình hành thìIKLM là hình vuông

Từ đó sẽ đưa học sinh đến việc chứng minh xem dự đoán đó có đúng không

Thật vậy, vì ABCD là hình bình hành nên ta có I và L, K và M đối xứngnhau qua O (O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD), suy ra IKLM làhình bình hành Mặt khác, ta có hai tam giác IBK và IAM bằng nhau (c.c.c)nên ta suy ra góc KIM là góc vuông Vậy IKLM là hình vuông.

1.5 Tiềm năng của hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh.

Trong quá trình học Toán thì kỹ năng vận dụng Toán học là quan trọngnhất, nhà trường phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh những kiến thứcToán học, mà còn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng tính độc lập, sự độcđáo và khả năng sáng tạo

Các nhà tâm lý học cho rằng: "Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà cácphương pháp logic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặckết quả không đáp ứng được các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giảipháp mới tốt hơn giải pháp cũ"

Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khaithác và sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tưduy sáng tạo biểu hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khả năngtìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới(khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau củamột bài toán)

Chủ đề hình học chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc bồidưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh Bên cạnh việc giúp họcsinh giải quyết các bài tập sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềmnăng đó thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bàitập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình.

Trong quá trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải quyết hệthống bài tập mới, tạo cho học sinh phát hiện vấn đề mới, đó là vấn đề quantrọng mà ta cần quan tâm bồi dưỡng cho học sinh

Có nhiều phương pháp khai thác khác các bài tập cơ bản trong sáchgiáo khoa, để tạo ra các bài toán có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tínhnhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư duy

Trên cơ sở phân tích khái niệm tư duy sáng tạo cùng những yếu tố đặctrưng của nó và dựa vào quan điểm: bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duysáng tạo cho học sinh là một trong những biện pháp để phát triển năng lực tưduy sáng tạo cho các em Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính mềm dẻocủa tư duy sáng tạo với các đặc trưng: dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ nàysang hoạt động trí tuệ khác, suy nghĩ không rập khuôn; khả năng nhận ra vấn

đề mới trong điều kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đốitượng quen biết Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn của

tư duy sáng tạo với các đặc trưng: khả năng tìm được nhiều giải pháp trênnhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau, khả năng xem xét đối tượng dướinhững khía cạnh khác nhau Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính nhạycảm vấn đề của tư duy sáng tạo với các đặc trưng: nhanh chóng phát hiệnnhững vấn đề tìm ra kết quả mới, tạo được bài toán mới, khả năng nhanhchóng phát hiện ra các mâu thuẫn, thiếu logic

Ngoài ra tư duy hình học mang những nét đặc trưng quan trọng và cơbản của tư duy toán học Việc phát triển tư duy hình học luôn gắn với khả

năng phát triển trí tưởng tượng không gian, phát triển tư duy hình học luôngắn liền với việc phát triển của phương pháp suy luận; việc phát triển tư duy ởcấp độ cao sẽ kéo theo sự phát triển tư duy đại số Như vậy để nâng dần cấp

dộ tư duy trong dạy học hình học, việc dạy học phải được chú ý vào: pháttriển trí tưởng tượng không gian bằng cách: giúp học sinh hình thành và tíchluỹ các biểu tượng không gian một cách vững chắc, biết nhìn nhận các đốitượng hình học ở các không gian khác nhau, biết đoán nhận sự thay đổi củacác biểu tượng không gian khi thay đổi một số sự kiện

Như vậy tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi dưỡng tư duysáng tạo cho học sinh là rất lớn

1.6 Kết luận chương 1

Trong chương này luận văn đã làm rõ các khái niệm tư duy, tư duysáng tạo, nêu được các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo, và vận dụngđược tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo, đồng thời nêu đượctiềm năng của chủ đề Hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho họcsinh

Việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạyhọc giải bài tập toán là rất cần thiết bởi qua đó chúng ta giúp học sinh học tậptích cực hơn và kích thích được tính sáng tạo của học sinh trong học tập vàtrong cuộc sống

Vậy công việc của mỗi giáo viên trong quá trình dạy học là tìm ra đượccác phương pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ VẤN ĐỀ DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC

SINH

2.1 Vấn đề 1: Rèn luyện tư duy sáng tạo qua bài toán dựng hình

Toán dựng hình là vấn đề khá lý thú của toán học phổ thông Nó giúpphát triển tư duy logic, óc sáng tạo vì đòi hỏi tự tạo ra hình vẽ cần thiết để suyluận tìm ra cách giải

2.1.1 Vài nét về lịch sử hình học dựng hình.

Vào các thế kỷ thứ tư và thứ năm trước công nguyên các nhà toán họcHiLạp nổi tiếng đã quan tâm đến dựng hình hình học như Pitago, Hipôcrat,Ơclit, Apôlôniut

Trường phái Pitago đã thành công trong một số bài toán tương đối phứctạp như dựng hình ngũ giác đều Vào thế kỷ thứ 5 trước công nguyên có babài toán nổi tiếng Chia ba một góc, gấp đôi hình lập phương và cầu phươnghình tròn (không giải được bằng thước và compa)

Đến thế kỷ thứ 6 trước công nguyên, Ơclit người sáng lập hệ hình họcđầu tiên đã nêu lên những tiên đề quan trọng nhất của hình học chứng tỏ vaitrò của dựng hình trong toán học như:

- Có thể vạch một đường thẳng từ một điểm tới 1 điểm khác

- Có thể liên tục kéo dài một đường thẳng bị giới hạn

- Với mỗi một tâm và mỗi một khoảng cách có thể vạch được một đường tròn.Các nhà hình học cổ HiLạp đã giải được những bài toán dựng hình khóbằng thước và compa, chẳng hạn Apôlôni Pecxki đã giải được bài toán nổitiếng mang tên ông: "Dựng một đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn chotrước" Họ lại giải đại số với dựng hình như: Giải phương trình bậc nhất vàphương trình bậc hai bằng dựng hình

Những người sáng lập ra toán học hiện đại đã quan tâm nhiều đến cácbài toán dựng hình Đềcác và NewTơn đã giải bài toán chia ba một góc bằngcác thiết diện hình nón, giải được bài toán Apôlôni cùng với Ơle.

Việc khảo cứu nhiều vấn đề hình học được dựa vào hình học dựnghình, đặc biệt đối với cách chứng minh sự tồn tại, chẳng hạn sự tồn tại tâmcủa một đường tròn nội tiếp trong tam giác, sự tồn tại của những tam giácđồng dạng, sự tồn tại của những đường thẳng song song, … đều được chứngminh bằng phép dựng hình

2.1.2 Giải một bài toán dựng hình là gì?.

Giải một bài toán dựng hình là tìm được 1 hình thoả mãn những điềukiện trong bài toán

Nói như thế chưa đủ, vì điều kiện quan trọng là dùng những dụng cụ gì

để dựng hình Bởi vì trong thực tiễn cuộc sống đòi hỏi tính hiệu quả của côngviệc Hiệu quả càng cao thì công việc có giá trị Làm sao khi dựng hình, sốlượng dụng cụ sử dụng là ít nhất

Ví dụ với bài toán "dựng một góc bằng 200, lấy 1 tia cho trước làmcạnh", nếu dùng thước đo góc thì bài toán rất đơn giản, nhưng nếu chỉ dùngthước và compa thì bài toán này không giải được! (người ta đã chứng minhrằng chỉ dùng thước và compa thì không thể dựng được 1 góc = 200)

2.1.2.1 Tại sao chỉ dùng thước và compa?

Các nhà toán học cổ HiLạp chỉ xem phép dựng dùng thước và compa làhợp pháp, có tính chất hình học chân chính và không công nhận việc sử dụngcác dụng cụ khác để dựng hình

Quan điểm đó vẫn tồn tại cho đến ngày nay Họ cũng đã thành côngtrong việc giải những bài toán dựng hình rất khó bằng thước và compa Họcoi thước kẻ là vô hạn vì chỉ có một cạnh , coi compa có tính chất dùng để vẽnhững đường tròn có bán kính tuỳ ý

Cơ sở lý luận của hình học dựng hình là những tiên đề sau đây.

* Tiên đề về cái thước:

d) Một đường thẳng xác định bởi hai điểm dựng được thì coi như dựng được

* Tiên đề về cái compa:

đ) Một đường tròn xác định bởi một tâm dựng được, một bán kínhdựng được thì coi như dựng được

Hai tiên đề d và đ biểu thị dưới hình thức trừu tượng về cái thước vàcompa Theo hai tiên đề này thì muốn thực hiện một phép dựng hình bằngthước và compa thì phải có ít nhất hai điểm Nhưng nhiều khi trong đề bài chỉ

có một điểm hoặc không có điểm nào cả

Chẳng hạn:

+) Cho một đường thẳng và một điểm trên đó, dựng tại điểm đó đườngvuông góc với đường thẳng Ở đây chỉ có một điểm cho trước tức là dựngđược

+) Cho hai đường thẳng giao nhau Dựng phân giác của góc tạo thành

ở đây chỉ có một điểm dựng được (Theo tiên đề c)

+) Cho một đường tròn Dựng tâm của nó Ở đây không có điểm dựngđược nào cả

2.1.2.2 Giải một bài toán dựng hình bằng thước và compa là chỉ rõ thứ tự áp

dụng các tiên đề a, b, c, d, đ ở trên để đưa những tiên đề chưa biết về nhữngyếu tố dựng được

Ví dụ bài toán dựng hình sau:

Qua một điểm A ở ngoài một đường thẳng d dựng đường thẳng songsong với d

Cách giải như sau:

a) Chọn một điểm M tuỳ ý trên d (tiên đề b) và dựng đường tròn tâm Mbán kính MA (phép dựng tương ứng với tiên đề đ)

b) Dựng đường tròn tâm A bán kính AM (tiên đề đ)

c) Lấy giao điểm B của đường tròn thứ nhất với đường thẳng d (tiên đề c).d) Dựng đường tròn tâm M bán kính BA (tiên đề đ)

e) Kẻ đường thẳng qua A và P (tiên đề d)

Tóm lại giải bài toán dựng hình trên đòi hỏi phải lần lượt áp dụng cáctiên đề b, đ, đ, , c, đ, c, d (Dĩ nhiên trước hết bao giờ cũng là tiên đề a)

Chú ý: Tuy nhiên nhiều khi người ta không nêu hai tiên đề a và b mà

phát biểu gọn như sau:

Giải một bài toán dựng hình bằng thước và compa là thực hiện 1 số cóhạn ba phép dựng cơ bản sau:

a) Kẻ đường thẳng đi qua 2 điểm đã biết (tiên

đề về cái thước)

b) Dựng đường tròn có tâm đã biết và bán

kính đã biết (tiên đề về cái compa)

c) Lấy giao điểm của 2 đường thẳng đã biết

(tiên đề c)

2.1.2.3 Dựng hình bằng các dụng cụ khác.

m b

d

Nếu không dùng thước và compa mà dùng những dụng cụ khác để dựngnhư: Thước thẳng có 2 biên, Êke, thì ta vẫn dùng 3 tiên đề a, b, c còn hai tiên đề d,

đ được thay bằng những tiên đề phản ánh tính chất của những dụng cụ mới

a) Dựng hình bằng thước có hai biên:

- Tiên đề về thước thường (dùng 1 biên)

- Một đường thẳng song song với một đường thẳng dựng được và cách

nó một khoảng d thì xem như dựng được (hằng số d ứng với bề rộng củathước 2 biên)

- Nếu có hai điểm dựng được A và B và AB > d thì hai cặp đường thẳngcách nhau một khoảng d và theo thứ tự đi qua A và B được xem như dựng được

Ví dụ: Dựng phân giác của góc xOy

Cách dựng:

- Dựng x'//x và cách x một khoảng d (tiên đề)

- Tương tự dựng y'//y (tiên đề)

- Lấy giao điểm A của x' và y' (tiên đề c)

- Vẽ đường thẳng qua O và A (tiên đề d)

b) Dựng hình bằng Êke

- Đường thẳng đi qua 1 điểm dựng được

tạo với một đường thẳng dựng được một góc 

bằng 900, 600, 300 hoặc 900 và 450, thì xem như

dựng được (**)

- Một điểm của một đường thẳng dựng được mà từ đó ta thấy 2 điểmdựng được dưới một góc  thì xem như dựng được (.)

Eke thường có ba góc 900, 600 và 300 hoặc 900 và 450

Ví dụ: Gấp đôi một đoạn thẳng AB bằng Eke.

- Qua B dựng đường thẳng tạo với AB một góc 600 và qua A dựngđường vuông góc với AB (tiên đề **)

- Lấy giao điểm của hai đường vừa dựng (tiên đề c)

o

a

x x'

y' y d

- Trên BA kéo dài dựng điểm C nhìn BD dưới góc 600 (tiên đề (.) )hoặc qua D dựng đường thẳng tạo với BD một góc 600.

2.1.2.4 Giá trị lý luận và thực tế của các dụng cụ dựng hình.

Bốn dụng cụ; Compa, thước, thước hai biên và eke đều quan trọng nhưnhau về giá trị lý luận chặt chẽ, chính xác và giá trị thực tế của chúng trongđời sống và sản xuất

Năm 1787 nhà khoa học Ý MaxkêRôni đã chứng minh rằng:

Bất kỳ bài toán nào có thể giải được bằng thước và compa đều có thểgiải được bằng một mình compa thôi

Năm 1890 Ađơle đã chứng minh rằng: Bất kỳ bài toán nào giải đượcbằng thước và compa đều có thể giải được bằng một cái thước hai biên hoặcbằng eke

Trong thực tế kinh nghiệm cho thấy rằng ba dụng cụ: Compa, thước vàeke là những dụng cụ cần thiết và tiện lợi nhất cho người vẽ

c) Dựng phân giác của một góc cho trước

d) Dựng trung trực của đoạn thẳng cho trước

đ) Tìm trung điểm của một đoạn thẳng cho trước

e) Qua một đểm cho trước dựng một đường thẳng vuông góc với mộtđường thẳng cho trước

g) Chia một đoạn thẳng cho trước ra nhiều phần bằng nhau

h) Dựng  biết ba cạnh (c c c.), biết hai góc và cạnh kề hai góc đó(g.c.g), biết hai cạnh và góc xen giữa (c.g.c).

i) Dựng tam giác đều hoặc hình vuông khi biết một cạnh của nó

k) Dựng hình chữ nhật khi biết 2 cạnh kề nhau

l) Lấy một đường thẳng đã biết làm một cạnh dựng một góc bằng 600

hoặc 300

2.1.3.2 Loại đường tròn.

a) Dựng đường tròn ngoại tiếp của một tam giác cho trước

b) Dựng đường tròn nội tiếp của một tam giác cho trước

c) Lấy một đoạn thẳng cho trước làm bán kính dựng một đường tròn.d) Chia đôi một cung cho trước

đ) Từ một điểm cho trước ở ngoài hoặc ở trên đường tròn dựng tiếptuyến của đường tròn đó

e) Dựng cung chứa góc

2.1.3.3 Loại tỷ lệ.

a) Cho trước 3 đoạn thẳng dựng đoạn thẳng tỷ lệ thứ tư

b) Chia 1 đoạn thẳng cho trước thành 2 phần sao cho tỷ số của chúng

bằng tỷ số đã biết m

n.c) Dựng đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trước

2.1.3.4 Loại diện tích.

a) Dựng hình vuông có diện tích bằng tổng diện tích của hai hìnhvuông cho trước

b) Dựng hình vuông có diện tích bằng diện tích của hai hình vuông cho trước

2.1.4 Các bước giải của bài toán dựng hình.

Ngay từ thế kỷ thứ tư TCN, các nhà hình học cổ HiLạp đã tìm rađường lối chung để giải 1 bài toán dựng hình gồm bốn bước; Phân tích, dựnghình, chứng minh và biện luận.

2.1.4.1 Bước phân tích.

Phân tích là phần quan trọng nhất giúp lập phương án dựng để tìm ralời giải của một bài toán làm cơ sở xác định được mối quan hệ giữa các yếu tốphải tìm (giống như khi giải bài toán đại số ta chọn ẩn biểu thị bằng chữ xchẳng hạn rồi lập mối liên hệ giữa x với các đại lượng đã cho của bài toán từ

đó mà lập được phương trình)

Như thế trước hết phải vẽ một hình tương ứng với hình phải dựng (tức

là giả sử hình vẽ đã dựng được thoả mãn điều kiện của bài toán) Qua hình vẽphát hiện những yếu tố cho trước và những yếu tố phải dựng

Ví dụ bài toán sau đây:

Dựng tam giác ABC biết cạnh

đáy AC = b; góc A = a kề với đáy và

tổng của hai cạnh kia AB + BC = S"

Trước hết ta giả sử ABC đã dựng được (hình vẽ) Như thế trên hình

vẽ ta đã biết cạnh đáy AC, góc A còn tổng hai cạnh kia không có Để thể hiệntổng S ta kéo dài cạnh AB và đặt trên đường kéo dài cạnh BC' = BC, thế là ta

có AC' = S đã cho



bs

a

b

c c'

Nếu nối C với C' thì AC'C có thể dựng được ngay (Dựng  biết 2cạnh và góc xen giữa).

Dựng được AC'C này chỉ còn phải dựng điểm B trên cạnh AC' để cóđược ABC cần dựng

Lưu ý rằng nếu ta thể hiện tổng S bằng cách kéo dài cạnh CB trên đóđặt đoạn BA' = BA để có CA' = S thì việc dựng AA"C không dễ dàng

Vậy bước phân tích liên quan tới hình vẽ ban đầu, do đó hình vẽ đểphân tích phải được vẽ cẩn thận và chính xác

2.1.4.2 Bước cách dựng

Bước này gồm 2 phần:

a) Kể theo một thứ tự nhất định tất cả các phép dựng cơ bản cần thựchiện được suy ra từ bước phân tích

b) Thực hiện các phép dựng đó bằng các dụng cụ thước và compa,không phải chỉ thực hiện cách dựng mà còn phải mô tả cách dựng đó

Với bài toán trên, cách dựng sẽ như sau:

- Trên đường thẳng bất kỳ xy dựng đoạn AC = b

- Lấy AC làm cạnh A = a

- Kéo dài AB, trên đường kéo dài dựng đoạn BC' = BC;

- Dựng AC'C (biết góc A và hai cạnh AC', AC)

- Dựng trung trực của CC'

- Lấy giao điểm B của trung trực này với AC'

Ta được ABC phải dựng

Sở dĩ phải nêu cách thực hiện phép dựng vì cùng một phép dựng có thể

có những phương pháp khác nhau Ta hãy xét ví vụ sau:

"Dựng hình bình hành ABCD biết một góc nhọn BAD = a và haiđường chéo AC = d và BD = e"

Giả sử đã dựng được hình bình hành Vì các đường chéo cắt nhau tạitrung điểm của mỗi đường nên có thể dựng được ngay ABD biết đáy BD=e,

góc ở đỉnh BAD  và trung tuyến AO 1d

- Lấy giao điểm của cung chứa góc và đường tròn (có 2 giao điểm)

- Nối các giao điểm này với B và D, ta được BAD (và BA'D)

Có thể bổ sung tam giác thành hình bình hành (Tức là xác định đỉnhthứ tư C của hình bình hành) bằng nhiều phương pháp, chẳng hạn:

- Qua B dựng BC // AD, qua D dựng DC// AB

Trên BD dựng  biết hai cạnh BC = AD và CD và AB, kéo dài AO vềphía O và đặt OC = OA, nối C với các điểm B và D, …

2.1.4.3 Bước chứng minh

Sau khi đã dựng được hình cần phải xác nhận xem nó có thoả mãn cácđiều kiện của bài toán hay không, tức là phải chứng minh bằng hình dựngđược thoả mãn tất cả các điều kiện của đề bài, cách chứng minh này phụthuộc vào cách dựng Nói cách khác nếu không biết rõ hai bước phân tích vàcách dựng thì không thể nói rằng chứng minh đúng hay sai, vì có thể cónhững phương pháp giải bài toán khác nhau và ngay cả khi đã phân tích giống

d a

d o e



nhau thì cũng có những cách khác nhau để thực hiện, tức là có cách dựngkhác nhau.

Cũng cần nói thêm rằng nếu cách dựng đã rõ ràng thì bước chứng minhcũng đơn giản

Trở lại bài toán dựng tam giác (bước phân tích) cách chứng minh nhưsau: ABC có góc A bằng a (theo cách dựng), cạnh đáy, AC = b, tổng

- Tứ giác ABCD là hình bình hành về có hai cặp cạnh song song (AD//BC; AB//DC)

- Nó có góc nhọn BAD = a, đường chéo BD = e, đường chéo

AC = 2; AO = d (theo cách dựng ABD)

Vậy hình bình hành này thoả mãn các điều kiện của bài toán nênABCD là hình bình hành phải dựng

2.1.4.4 Bước biện luận

Khi giải bài toán đại số có tham số thường đặt ra câu hỏi: Với nhữngyếu tố cho trước như thế nào thì bài toán giải được, không giải được Tronggiải toán dựng hình cũng phải đặt ra câu hỏi như thế, và mỗi bài toán là mộtyêu cầu về dựng một hình thoả mãn các điều kiện xác định, các điều kiện nàythường được cho bởi các giá trị và vị trí của một số yếu tố của hình

Việc giải một bài toán dựng hình chỉ được coi là xong nếu được cácđiều kiện để lời giải tìm được là đáp án của bài toán Một bài toán dựng hình

c b

"Dựng đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng cho trước và mộtđường tròn cho trước"

Vì đề bài cho hai đường thẳng bất kỳ nên chúng có thể cắt nhau, hoặcsong song với nhau Nếu chúng cắt nhau thì phần biện luận sẽ phức tạp nhưngnếu chúng song song thì đơn giản hơn

Đối với ví dụ sau: "Dựng tam giác biết hai cạnh và góc đối diện vớimột trong hai cạnh đó", thì góc đã cho có thể là nhọn, vuông hoặc tù, vì thếkhi biện luận phải xét đến các trường hợp ấy Để đơn giản bước biện luận cóthể giới hạn độ lớn của góc, chẳng hạn cho góc nhọn đối diện với một tronghai cạnh, hay có thể hạ thấp hơn mức độ bằng cách cho góc nhọn đối diện vớicạnh nhỏ

2.1.5 Toán dựng hình bằng các phương pháp khác nhau

Đứng trước một bài toán dựng hình muốn xác định xem có thể giảibằng phương pháp nào cần biết những dấu hiệu đặc trưng nhất của bài toángiải được bằng phương pháp này hay phương pháp khác

Mỗi phương pháp đều có giá trị riêng của nó Các phương pháp thường

sử dụng là: phương pháp tịnh tiến, phương pháp đối xứng trục, phương phápquay, phương pháp quỹ tích, phương pháp đồng dạng, phương pháp đại số

2.1.5.1 Phương pháp tịnh tiến

Ví dụ: Dựng hình thang biết bốn cạnh: hai cạnh đáy a và b (a > b) và hai cạnh

bên c và d (c  d)

- Phân tích:

2.1.5.2 Phương pháp đối xứng trục

Ví dụ: Cho đường thẳng d cắt đoạn thẳng AB Tìm trên d một điểm M sao

cho đường thẳng d là phân giác của góc AMB

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua trục d,ta có: AM = A'M và

Vậy điểm B phải nằm trên A'M,

nói cách khác điểm M phải nằm trên

A'B Do đó ta dựng được giao điểm M

của đường thẳng A'B với đường thẳng

d

Bài toán có một nghiệm hình nếu khoảng cách từ A và B đến d khôngbằng nhau Nếu các khoảng cách này bằng nhau nhưng hai điểm A và Bkhông đối xứng nhau qua d thì bài toán vô nghiệm (vì A'B // d) Cuối cùngnếu A và B đối xứng nhau qua d thì bài toán vô định: Bất cứ điểm nào trên dđều thoả mãn

2.1.5.3 Phương pháp quay

Ví dụ: Dựng  biết hai cạnh và trung tuyến

kẻ tới cạnh thứ ba

Giả sử ABC là  phải dựng có cạnh

cho trước là a và b, có trung tuyến CD =

b

c d

a

c b p

2.1.5.4 Phương pháp quỹ tích.

Ví dụ: Dựng đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng song song a và b và qua

1 điểm P cho trước

- Phân tích: Gọi khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là d Bánkính đường tròn phải dựng sẽ là d

2 Bài toán quy về dựng tâm của đường trònthoả mãn 2 điều kiện:

a) Cách đều hai đường thẳng a và b

b) Cách điểm P một khoảng d

2.Suy ra cách dựng sau:

- Cách dựng: Từ điểm A tuỳ ý trên đường thẳng a hạ AH  b Dựngtrung điểm C của đoạn AB Quỹ tích n điểm cách đều a và b là đường thẳng c

đi qua điểm C và song song với a,b cách a,b một đoạn bằng d

2.Quỹ tích thoả mãn điều kiện thứ 2 là đường tròn (P, d

2).

Lấy giao điểm O1 của đường tròn này với đường thẳng C1 dựng đườngtròn (O1; O1P) đó là đường tròn phải tìm

- Chứng minh: đường tròn (O1; O1P) tiếp xúc với 2 đường thẳng a và b

vì khoảng cách từ tâm O1 đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng 1

2d.đường tròn này lại qua điểm P theo cách dựng Vậy nó thoả mãn bài toán