Cho hình chóp.. Gọi I là trung điểm của AC.. Biết hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn BI=3IH và góc giữa hai mặt phẳngSAB;SBC bằng 60ο.. Tính thể tích khối chóp .S AB
Trang 1ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH THÁI NGUYÊN
NĂM HỌC: 2018-2019 THỜI GIAN : 180 PHÚT
Bài 1(4 điểm) Cho hàm số 3 2
y x x có đồ thị ( )C , đường thẳng ( )d đi qua A(1; 2) và có
hệ số góc m Tìm m để ( )d cắt ( )C tại ba điểm phân biệt , ,A B C sao cho BC=4 2
Bài 2(4 điểm) Giải phương trình
Bài 3 (4 điểm)
Cho dãy số ( )u n n∞=1 thỏa mãn 1 2
2
=
u
Tìm giới hạn lim(n u 2 n)
Bài 4 (4 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB=a Gọi I
là trung điểm của AC Biết hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn BI=3IH
và góc giữa hai mặt phẳng(SAB);(SBC) bằng 60ο
Tính thể tích khối chóp S ABC đã cho và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB , SI theo a
Bài 5 (4 điểm) Cho các số thực dương , x y thỏa mãn điều kiện 2 2 2 8
3
x y Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức
HẾT
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1(4 điểm) Cho hàm số y=x3−3x2+4 có đồ thị ( )C , đường thẳng ( )d đi qua A(1; 2) và có
hệ số góc m Tìm m để ( )d cắt ( )C tại ba điểm phân biệt , , A B C sao cho BC=4 2
Lời giải
+) Phương trình đường thẳng ( )d : y=m x( − +1) 2
+) Phương trình hoành độ giao điểm x3−3x2+ =4 m x( − + ⇔1) 2 x3−3x2−mx+m+ =2 0
2
1
x
Giả sử g x( )=0 có hai nghiệm x x , khi đó 1, 2 B x m x( 1; ( 1− +1) 2 ;) C x m x( 2; ( 2− +1) 2)
( ) ( )2 ( ) ( )2
Thay m=1 vào g x( )=x2−2x− = ⇔ = −3 0 x 1;x=3 (thỏa mãn)
Vậy m=1
Lời giải
Điều kiện: x− ≥ ⇔ ≥3 0 x 3
Phương trình đã cho tương đương với
⇔
Dễ thấy x=3 không là nghiệm của phương trình đã cho
Với x>3, giải phương trình ( )∗ ta được ,
=
Xét hàm số ( )
1
= +
f t
t trên (− +∞ có 1; ), ( )
3
1
′ = + > ∀ > −
+
t
Trang 3Suy ra f t là hàm số đồng biến trên ( ) f t mà ( ) f x( −4)= f( x−3)
Do đó
2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 4; 9 5
2
+
Bài 3 (4 điểm)
Cho dãy số ( )u n n∞=1 thỏa mãn 1
2
2
=
u
u u u u n u n Tìm giới hạn lim(n u 2 n)
Lời giải
Theo giả thiết ta có:
1
u
Bài 4 (4 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB=a Gọi I
là trung điểm của AC Biết hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn BI=3IH
và góc giữa hai mặt phẳng(SAB ;) (SBC bằng 60) ο
Tính thể tích khối chóp S ABC đã cho và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB , SI theo a
Lời giải
a) Từ giả thiết của bài toán ta có ⊥ ⇒ ⊥( )⇒ ⊥
⊥
Trang 4Kẻ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒
⊥
AJ SB
IJ SB
CJ SB góc giữa hai mặt phẳng (SAB và ) (SCB bằng góc giữa )
hai đường thẳng AJ và CJ
Dễ thấy ∆AIJ là tam giác cân tại J , kết hợp với giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SAB )
và (SCB bằng 60) ο
ta có hai trường hợp sau:
TH1: AJC=60ο⇒AJI=30ο
2
∆BIJ ∆BSH⇒SH= IJ BH
BJ
Nên ta có
3
TH2: AJC=120ο⇒AJI=60ο
=AI ο= a ⇒BJ= BI + = a
Làm tương tự TH1 ta có
3
b) Gọi E là trung điểm của BC⇒IE AB Do vậy ta có
d AB SI d AB SIE d B SIE
Do BI=3IH⇒d B SIE( ,( ) )=3d H SIE ( ,( ) )
Kẻ HK⊥IE ( K thuộc IE )
Mặt khác ta lại có SH⊥(ABC nên ) SH⊥IE⇒IE⊥(SHK)⇒(SIE) (⊥ SHK )
Kẻ HF ⊥SK⇒HF ⊥(SIE)⇒d H SIE( ,( ) )=HJ
Xét tam giác vuông SHK ta có: 2 2 2
+
SH HK HF
3
=a
15
Trang 5- Khi 2
3
9
Bài 5 (4 điểm) Cho các số thực dương , x y thỏa mãn điều kiện 2 2 8
2 3
x y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải
Ta có: 4 x2+2xy+8y2 = 16x2+32xy+128y2 = 7(x−2y)2+(3x+10y)2 ≥3x+10y( )1
Suy ra: P=7(x+2y)−4 x2+2xy+8y2 ≤7x+14y−(3x+10y)=4(x+y )
2 2
+ = + ≤ + + = ⇒ ≤ =
Đẳng thức xảy ra ở ( ) ( )1 & 2 khi và chỉ khi
4
1
8 2 3
x
y
Vậy GTLN P=8 đạt được khi
4 3 2 3
=
=
x
y